(完整版)7.微积分基本定理练习题
微积分练习题带答案
微积分练习题带答案微积分是数学的分支之一，它研究的是函数的变化规律。
在微积分中，经常会出现各种各样的练习题，这些练习题有助于我们加深对微积分概念和原理的理解。
在这篇文章中，我们将分享一些微积分练习题，并附带答案，希望对你的学习有所帮助。
1. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 3x - 5的导数。
答案：f'(x) = 6x^2 - 2x + 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。
答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导数。
答案：h'(x) = 2/x4. 求函数i(x) = ∫(0到x) t^2 dt的导数。
答案：i'(x) = x^25. 求函数j(x) = ∫(x到1) t^2 dt的导数。
答案：j'(x) = -x^26. 求函数k(x) = ∫(0到x) e^t * sin(t) dt的导数。
答案：k'(x) = e^x * sin(x)7. 求函数l(x) = e^(-x)的不定积分。
答案：∫ e^(-x) dx = -e^(-x) + C (C为常数)8. 求函数m(x) = 1/(x^2+1)的不定积分。
答案：∫ 1/(x^2+1) dx = arctan(x) + C (C为常数)9. 求函数n(x) = 2x * cos(x^2)的不定积分。
答案：∫ 2x * cos(x^2) dx = sin(x^2) + C (C为常数)10. 求函数o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt的原函数。
答案：o(x) = ∫(1到x) e^(t^2) dt + C (C为常数)以上是一些微积分练习题及其答案。
通过解答这些题目，我们可以巩固对微积分概念和原理的理解，并提升解题能力。
微积分是应用广泛的数学工具，在物理、工程、经济等领域都有重要的应用，掌握微积分对于进一步深入学习这些领域十分必要。
数学选修2-2微积分基本定理练习题含答案
（2）
（3）
（4）
故
40.
【答案】
解： 原式
．
为纯虚数，
∴ 解得 ，
∴ ，
∴ ．
【考点】
复数的模
微积分基本定理
复数代数形式的混合运算
复数的基本概念
【解析】
（1）利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出；
（2）利用复数的运算法则和纯虚数的意义即可得出．
【解答】
解： 原式
．
为纯虚数，
∴ 解得 ，
∴
（2）
【考点】
微积分基本定理
【解析】
（1）根据二倍角的余弦公式，得 ，因此将原式化为 在 上的定积分值，结合积分计算公式，不难算出原式的值；
（2）函数 在区间 上表达式为 ，在区间 上表达式为 ．因此将所求积分转化为 在区间 上的积分值，加上 在区间 上的积分值，所得的和即为原式的值．
【解答】
解：（1）∵ ，
解：由于 ，定义当 时， ，
则
，
故答案为 ．
19.
【答案】
【考点】
微积分基本定理
【解析】
求出原函数，即可求得定积分．
【解答】
解：
．
故答案为： ．
20.
【答案】
【考点】
微积分基本定理
【解析】
利用积分的运算公式和积分的几何意义进行求值．
【解答】
解：因为 是奇函数，所以根据奇函数的积分性质可知， ．
表示圆心在原点半径为 的上半圆，此时半圆的面积为 ，
1.
【答案】
B
【考点】
微积分基本定理
【解析】
由于 为 的一个原函数即 ，根据 公式即可求出值．
微积分练习题及答案
微积分练习题及答案微积分练习题及答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。
在学习微积分的过程中，练习题是非常重要的，它能够帮助我们巩固知识、提高技能。
下面，我将为大家提供一些微积分的练习题及其答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、求导练习题1. 求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的导数。
答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 32. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数。
答案：g'(x) = e^x * sin(x) + e^x * cos(x)3. 求函数h(x) = ln(x^2 + 1)的导数。
答案：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)二、定积分练习题1. 计算定积分∫[0, 1] (x^2 + 1) dx。
答案：∫[0, 1] (x^2 + 1) dx = (1/3)x^3 + x ∣[0, 1] = (1/3) + 1 - 0 = 4/32. 计算定积分∫[1, 2] (2x + 1) dx。
答案：∫[1, 2] (2x + 1) dx = x^2 + x ∣[1, 2] = 4 + 2 - 1 - 1 = 43. 计算定积分∫[0, π/2] sin(x) dx。
答案：∫[0, π/2] sin(x) dx = -cos(x) ∣[0, π/2] = -cos(π/2) + cos(0) = 1三、微分方程练习题1. 求解微分方程dy/dx = 2x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解微分方程dy/dx = e^x。
答案：对方程两边同时积分，得到y = e^x + C，其中C为常数。
3. 求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0。
答案：设y = e^(mx)，代入方程得到m^2 + 2m + 1 = 0，解得m = -1。
微积分基础试题及答案
微积分基础试题及答案1. 计算函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 的导数。
解答:使用导数的定义，对函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 进行求导。
f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h将函数表达式代入求导公式并化简：f'(x) = lim(h→0) [3(x + h)^2 - 2(x + h) + 5 - (3x^2 - 2x + 5)] / h = lim(h→0) [3(x^2 + 2xh + h^2) - 2x - 2h + 5 - 3x^2 + 2x - 5] / h = lim(h→0) [3x^2 + 6xh + 3h^2 - 2x - 2h + 5 - 3x^2 + 2x - 5] / h = lim(h→0) [6hx + 3h^2 - 2h] / h= lim(h→0) [h(6x + 3h - 2)] / h= lim(h→0) 6x + 3h - 2= 6x - 2因此，函数 f(x) = 3x^2 - 2x + 5 的导数为 f'(x) = 6x - 2。
2. 计算函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数。
解答:使用链式法则来求解函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数。
令 u = 4x^3 + 2x，则 g(x) = sqrt(u)。
g'(x) = du/dx * (d(sqrt(u))/du)计算 du/dx：du/dx = d(4x^3)/dx + d(2x)/dx= 12x^2 + 2计算 d(sqrt(u))/du：d(sqrt(u))/du = 1 / (2 * sqrt(u))= 1 / (2 * sqrt(4x^3 + 2x))将 du/dx 和 d(sqrt(u))/du 代入链式法则公式：g'(x) = (12x^2 + 2) * (1 / (2 * sqrt(4x^3 + 2x)))= (12x^2 + 2) / (2 * sqrt(4x^3 + 2x))= (6x^2 + 1) / sqrt(4x^3 + 2x)因此，函数 g(x) = sqrt(4x^3 + 2x) 的导数为 g'(x) = (6x^2 + 1) / sqrt(4x^3 + 2x)。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。
答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。
高二数学微积分基本定理单元测试题
【微积分基本定理】本卷共100分，考试时间90分钟一、选择题 (每小题4分，共40分)1. 下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰10 B ．dx x ⎰+10)1( C ．dx ⎰101 D ．dx ⎰10212.3. 计算的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 4. 已知1220()(2)f a ax a x dx =⎰-，则()f a 的最大值是A ．23B ．29C ．43D ．495. 过抛物线2x y =上一动点P(t,t 2) (0<t<1)作此抛物线的切线l ，抛物线2x y =与直线x=0、x=1及切线l 围成的图形的面积为S,则S 的最小值为 A.121B. 101C. 61D. 41 6. 由直线，x=2，曲线及x 轴所围图形的面积为A ．B ．C ．D ．7. 22-⎰的值是22(1cos )x dxππ-+⎰π22π-2π+1x =sin y x =πsin 2sin1-sin1(2cos11)-21cos12cos 1+-A ．2π B ．π C ．2π D ．4π 8. 给出下列四个结论：①⎰=π200sin xdx ；②命题“的否定是“”；③“若 则”的逆命题为真；④集合}1)(|{},014|{2<-=<--=a x x B x x x A ，则“)3,2(∈a ”是“A B ⊆”充要条件. 则其中正确结论的序号为A.①③ B.①② C.②③④ D.①②④9. 设函数()mf x x ax =+的导函数'()21f x x =+，则21()f x dx -⎰的值等于( )A.56B.12C.23D.16 10. 设函数f(x )=x －[x ]，其中[x ]为取整记号，如，，。
又函数，在区间（0，2）上零点的个数记为，与图像交点的个数记为，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 (共4小题，每小题4分)11. 已知1t >，若2(21)x dx t ⎰+=，则t =________________。
2020年高考数学 考点15 定积分与微积分基本定理必刷题 理(含解析)
【答案】
【解析】
因为 ；
所以 的展开式的通项公式为:
，
令 ，则 ，所以常数项为 。
故答案为 ．
22．直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积为______．
【答案】
【解析】
由题意,联立方程组 ，解得 或 ，
所以直线 与抛物线 围成的封闭图形的面积为：
。
23．设 ，则 的展开式中的常数项为_____.（用数字填写）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题知A(1,1），阴影部分的面积为S
则S= =
故选：A．
6．如图所示，点 ， 是曲线 上一点，向矩形 内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
阴影部分面积为 ，
所以所求概率为 ，选A。
7．已知 ，则多项式 的展开式中 的系数为( )
故选：B．
14．二次函数 的图象如图所示，则定积分 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】
由图象可知，二次函数 的零点为1，2
即方程 的根为1,2坐标原点 作曲线 的切线 ,则曲线 、直线 与 轴所围成的封闭图形的面积为______
【答案】 .
【解析】
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵A（﹣1，﹣1)，B（1，﹣1),C(1，1),D（﹣1，1），
∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4,
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积:
S＝2 [1﹣ ］dx＝2（ x3） 2[(1 ）﹣0]＝2 ，
(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
定积分与微积分基本定理习题一、选择题1． a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )练习、设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169C.⎝⎛⎭⎫43，157 D.⎝⎛⎭⎫45，1373．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64． ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2πB ．3π C.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e ) D ．(0，e 11) 8．如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.32B ．1C ．4D.1210．设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．1、 [答案] D[解析] a ＝⎠⎛02x d x ＝12x 2|02＝2，b ＝⎠⎛02e x d x ＝e x |02＝e 2－1>2，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x |02＝1－cos2∈(1,2)，∴c <a <b .A.112B.14C.13D.7122、[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)． ∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 401＝112.练习； [答案] A[解析] 设P (t ，t 2)(0≤t ≤2)，则直线OP ：y ＝tx ，∴S 1＝⎠⎛t (tx －x 2)d x ＝t 36；S 2＝⎠⎛t2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝43，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169. 3、[答案] A[解析] S ＝⎠⎛2x 3d x ＝⎪⎪x 4402＝4.4、[答案] B[解析] ⎠⎛1(sin x ＋1)d x ＝(－cos x ＋x )|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.5、[答案] A[解析] 如右图，S ＝∫02π(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|02π＝2π.6、[答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323. 7、[答案] D ；[解析] f (x )＝⎠⎛1x 1td t ＝ln t |1x ＝ln x ，a 3＝S 3－S 2＝21－10＝11，由ln x <11得，0<x <e 11.8、[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0πsin x d x＝－cos x |0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC ＝22π＝1π.9、[答案] C[解析] 面积S ＝∫π2－2f (x )d x ＝⎠⎛0－2(x ＋2)d x ＋∫π202cos x d x ＝2＋2＝4.10、 [答案] A[解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛mn g (x )d x ＝⎠⎛14⎝⎛⎭⎫－x 3d x ＝⎪⎪－x 2614＝－52.11、[答案] A ；[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ， 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝⎠⎛01b 2db 1×1＝13.12、[答案] C ；[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛01x 2d x ＝13x 3|01＝13，故所求概率p ＝13.13、 [答案] －1或13；[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|－11＝4，⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，∴6a 2＋4a ＋2＝4，∴a ＝－1或13.14、 [答案] －192；[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.15、[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝4－x解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|－42＝18.16、 [答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知⎠⎛01ax d x ＝23，∴a ＝1，设l ：y ＝2x ＋b 代入y 2＝x 中，消去y 得，4x 2＋(4b －1)x ＋b 2＝0，由Δ＝0得，b ＝18，∴l 方程为16x －8y ＋1＝0. 17、 [答案] －1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.18、 [解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12，令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0. 因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增．所以，当t ＝12时，S min ＝14.。
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7、微积分基本定理
一、选择题
1.⎠⎛0
1(x 2
＋2x )d x 等于( )
A.13
B.23 C ．1 D.43 2．∫2π
π(sin x －cos x )d x 等于( )
A ．－3
B ．－2
C ．－1
D ．0
3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2
0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( )
A ．4
B ．2 C.5
2 D ．3
5．如图，阴影部分的面积是( )
A ．2 3
B ．2－ 3 C.323 D.35
3
6.⎠⎛0
3|x 2
－4|d x ＝( )
A.213
B.223
C.233
D.25
3 7．⎠⎛241
x
d x 等于( )
A ．－2ln2
B ．2ln2
C ．－ln2
D ．ln2 8．若⎠⎛1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2
，y ＝x 3
围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7
12
10．设f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
0≤x <12－x
1<x ≤2
，则⎠⎛0
2f (x )d x 等于( )
A.34
B.45
C.5
6 D ．不存在 [解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2
d x ＋⎠⎛1
2(2－x )d x ，
二、填空题
11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分
的概率为________．
12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．
13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5
4
π，y ＝0所围图形的面积为________．
14．若a ＝⎠⎛02x 2
d x ，b ＝⎠⎛02x 3
d x ，c ＝⎠⎛0
2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．
三、解答题 15．求下列定积分：
①⎠⎛0
2(3x 2＋4x 3
)d x ； ②
sin 2
x
2
d x .
17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2
所围成的图形的面积．
18．(1)已知f (a )＝⎠⎛0
1(2ax 2
－a 2
x )d x ，求f (a )的最大值；
(2)已知f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛0
1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c
的值．
DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2
2
[解析] 所求面积为
＝1＋2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－22＝4－22. 14.[答案] c <a <b 三、解答题
15．①⎠⎛0
2(3x 2＋4x 3
)d x ；②
sin 2
x
2
d x .
[解析] ①⎠⎛02(3x 2
＋4x 3
)d x ＝⎠⎛023x 2
d x ＋⎠⎛0
24x 3
d x ＝x 3
| 2
0＋x 4
| 2
0＝24.
＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－0－12
(1－0)＝π－24. 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2
所围成的图形的面积．
[解析] 由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋3
y ＝x 2
得x 1＝－1，x 2＝3，则所求图形的面积为
＝(x 2
＋3x )| 3－1－13x 3| 3－1＝323
.
18.(1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，所以⎠
⎛0
1(2ax 2－a 2
x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2| 10＝23a －12a 2.所以
f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29.所以当a ＝23时，f (a )有最大值2
9 .
(2)∵f (－1)＝2，f ′(0)＝0，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＋
c ＝2b ＝0
①而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛0
1(ax 2
＋bx ＋c )d x ，
取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝ax 2
＋bx ＋c .∴⎠
⎛0
1f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－
2②
解①②得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。