2019-2020年高考数学《数列》专题学案：等差数列新人教A版

∴ 从第 3 年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多．
⑵ 当 n＝ 10 时，由⑴得： S1＝500×10×11＝ 55000
S2＝300×10×21＝ 63000
∴ S 2－ S1＝8000
∴ 在该公司干 10 年，选第二种方案比选第一种方案多加工资
8000 美元．
⑶ 若第二种方案中的 300 美元改成 a 美元． 则＝ an(2n ＋1) n ∈Ｎ*
变式训练 2. 已知公比为 3 的等比数列与数列满足，且，
（ 1）判断是何种数列，并给出证明；
（ 2）若，求数列的前 n 项和
解： 1） bn 1 bn
3an 1 3 an
3an 1 an
3, an 1 an 1 ，即 为等差数列。
（ 2） Cn
1 an an 1
11
an
, an 1
Sn
1 a1
1
1
加 300 美元．问：
⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵ 如果在该公司干 10 年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
⑶ 如果第二种方案中每半年加 300 美元改为每半年加 a 美元．
问 a 取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？ 解 ：⑴ 设工作年数为 n（n∈Ｎ*），第一种方案总共加的工资为
而 d＝
∴ａ8＝ a6＋ 2 d ＝ 16
S8＝
变式训练 1. 在等差数列 {a n} 中， a5＝ 3， a6＝－ 2，则 a4＋ a5＋…＋ a10＝
．

解： ∵d＝ a6－ a5＝－ 5，
∴ａ4＋ a5＋…＋ a10＝
例 2. 已知数列 {a n} 满足 a1＝ 2a，an＝ 2a－（ n≥2）．其中 a 是不为 0 的常数，令 bn＝．
解 ： (1) 方法一： a15 a1 14d 10
a 45 a1 44d 90
82 a1
3 d8
3
∴ａ60＝ a1＋ 59d＝ 130． 方法二：，由 an＝ am＋(n － m)da60＝a45＋ (60 － 45)d ＝ 90＋15×＝ 130． (2) 不妨设 Sn＝ An2＋ Bn， ∴ ∴Ｓn＝ 2n2－17n ∴Ｓ28＝2×28 2－17×28＝ 1092 (3) ∵Ｓ6 ＝S5＋ a6＝ 5＋10＝ 15， 又 S6＝ ∴15＝即 a1＝－ 5
．
5． 数列 {a n} 是等差数列的两个充要条件是：
⑴ 数列 {a n} 的通项公式可写成 an＝ pn＋q(p, q ∈R) ⑵ 数列 {a n} 的前 n 项和公式可写成 Sn＝ an2＋ bn
(a, b ∈R)
6． 等差数列 {a n} 的两个重要性质：
⑴ m, n, p, q ∈Ｎ*，若 m＋ n＝ p＋ q，则
S1，第二种方案总共加的工资
为 S2．则：
S1＝1000×1＋1000×2＋1000×3＋…＋ 1000n
＝ 500(n ＋ 1)n
S2＝300×1＋300×2＋300×3＋…＋ 300×2n
＝ 300(2n ＋ 1)n
由 S2>S1，即： 300(2n ＋ 1)n>500(n ＋ 1)n
解得： n>2
2019-2020 年高考数学《数列》专题学案：等差数列 新人教 A 版
基础过关
1． 等差数列的定义：
－
＝ d（ d 为常数）．
2． 等差数列的通项公式：
⑴ a n＝ a1＋ ⑵ a n＝ am＋
×ｄ ×ｄ
3． 等差数列的前 n 项和公式：
Sn＝
＝
．
4．等差中项：如果 a、 b、c 成等差数列，则 b 叫做 a 与 c 的等差中项，即 b＝
⑴ 求证：数列 {b n } 是等差数列．
⑵ 求数列 {a n} 的通项公式．
解： ∵ ⑴ a n＝ 2a－ (n ≥2)
∴ b n＝ (n ≥2)
∴ b n－ bn－1＝ (n ≥2)
∴ 数列 {b n} 是公差为的等差数列．
⑵ ∵ b 1＝＝
故由⑴得： bn＝＋ (n －1) ×＝
即：＝ 得： an＝a(1 ＋ )
令 25n2+225n≥4750, 即 n2+9n- 190≥0, 而 n 是正整数 , ∴n≥10.
到 xx 年底 , 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于
4750 万平方米 .
(2) 设新建住房面积形成数列 {b n}, 由题意可知 {b n} 是等比数列 , 其中 b1=400,q=1.08, 则 bn=400·(1.08) n-1 ·0.85.
．
⑵ 数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，S2n－ Sn， S3n－ S2n 成
数列．
典型例题
例 1. 在等差数列 {a n} 中，
(1) 已知 a15＝ 10， a45＝ 90，求 a60；
(2) 已知 S12＝ 84， S20＝ 460，求 S28； (3) 已知 a6＝ 10， S5＝5，求 a8 和 S8．
1
an 1
an 1
n。 n1
例 3. 已知 {a n} 为等差数列， Sn 为数列 {a n} 的前 n 项和，已知 S7＝7， S15＝ 75， Tn为数列 {} 前 n
项和。求 Tn．
解： 设 {a n} 首项为 a1 公差为 d，由
S7
7a1
7 6d 7 2
15 14
S15 15a1
d 75
2
∴ S n＝
∴ ∴Ｔn＝
变式训练 3． 两等差数列 {a n} 、 {b n} 的前 n 项和的比，则的值是
A．
B
．
C
．
D
．
（）
9
解： B 解析： a5
2a5
( a1
a9 ) 2
S9
48 。
b5
2b5
9 (b1 b9 ) 2
S9
25
例 4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加
1000 美元；二是每半年结束时
∴ a ＞＝ 250＋≥ 250＋
＝
变式训练 4. 假设某市 xx 年新建住房 400 万平方米 , 其中有 250 万平方米是中低价房 . 预计在今
后的若干年内 , 该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外 , 每年新建住房中 , 中低价房
的面积均比上一年增加 50 万平方米 . 那么 , 到哪一年底 ,
(1) 该市历年所建中低价房的累计面积 ( 以 xx 年为累计的第一年 ) 将首次不少于 4750 万平方
米?
(2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于
85%?
解： (1) 设中低价房面积形成数列 {a n}, 由题意可知 {a n} 是等差数列 ,
2
其中 a1=250,d=50, 则 Sn=250n+=25n +225n,