2021年高考数学第一轮复习教案人教版
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α A P O a α A P 2021年高考数学第一轮复习教案人教版
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理,并能运用它解决有关垂直问题。
【知识梳理】 1.斜线长定理
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,
①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;
②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;
③垂线段比任何一条斜线段都短. 2.重要公式
如图,已知OB ⊥平面α于B ,OA 是平面α的斜线,A 为斜足,直线AC ?平面α,设∠OAB =θ1,又∠CAB =θ2,∠OAC =θ.那么
cos θ=cos θ1cos θ2.
3.直线和平面所成的角
①平面斜线与它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.
②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平面内,那么就说直线和平面所成的角是0的角.
名称
语言表述 图 示 字母表示 应 用
三垂线定 理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. ①证两直线垂直
②作点线距
③作二面角
的平面角
三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
同 上 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直,尤其是证明两条异面直线垂直,此外,还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角.在应用这两个定理时,要抓住平面和平面的垂线,简称“一个平面四条线,线面垂直是关键”.
【点击双基】
1.下列命题中,正确的是 ( )
(A )垂直于同一条直线的两条直线平行
(B )平行于同一平面的两条直线平行
(C )平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线
(D )a 、b 在平面外,若a 、b 在平面内的射影是两条相交直线,则a 、b 也是相交直线
2.直线a 、b 在平面α内的射影分别为直线a 1、b 1,下列命题正确的是 ( )
(A )若a 1⊥b 1,则a ⊥b (B )若a ⊥b ,则a 1⊥b 1
(C )若a 1//b 1,则a 与b 不垂直 (D )若a //b ,则a 1与b 1不垂直
3.直线a 、b 在平面外,若a 、b 在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线,则a 与b C
D A B O
C
A P
B D M N Q l 是 ( )
(A )异面直线 (B )相交直线
(C )异面直线或相交直线 (D )异面直线或平行直线
4.P 是△ABC 所在平面外一点,若P 点到△ABC 各顶点的距离都相等,则P 点在平面ABC 内的射影是△ABC 的 ( )
(A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心
5.P 是△ABC 所在平面外一点,若P 点到△ABC 各边的距离都相等,且P 点在平面ABC 内的射影在△ABC 的内部,则射影是△ABC 的 ( )
(A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心
6.P 是△ABC 所在平面外一点,连结PA 、PB 、PC ,若PA ⊥BC ,PB ⊥AC ,则P 点在平面ABC 内的射影是△ABC 的 ( ) (A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心
7.从平面外一点向这个平面引两条斜线段,它们所成的角为θ.这两条斜线段在平面内的射影成的角为α(90?≤α<180?),那么θ与α的关系是 ( ) (A )θ<α (B )θ>α (C )θ≥α (D )θ≤α
8.已知直线l 1与平面成30角,直线l 2与l 1成60角,则l 2与平面所成角的取值范围是 ( )
(A )[0,60] (B )[60,90] (C )[30,90] (D )[0,90]
【典例剖析】
例1.如果四面体的两组对棱互相垂直,求证第三组对棱也互相垂直.
已知:四面体ABCD 中,AB ⊥CD ,AD ⊥BC ;
求证:AC ⊥BD ;
证法一:作AO ⊥平面BCD 于O , 连OB 、OC 、OD ,∵AB ⊥CD ,∴OB ⊥CD ,同理,由AD ⊥BC 得OD ⊥BC , ∴O 是△BCD 的垂心,∴OC ⊥BD ,从而AC ⊥BD .
证法二:设=a ,=b ,=c ,则=b a ,=c a ,=c b ,
∵AB ⊥CD ,AD ⊥BC ,∴a (c b )=0,c (b a )=0,则a c =a
b ,a
c =c b .
∴a b =c b ,即a b c b =0,从而有b (c a )=0,故⊥.
例2.如图,在三棱锥P ABC 中,ACB =90,ABC =60,PC 平面ABC ,AB =8,PC =6,M 、N 分别是PA 、PB 的中点,设△MNC 所在平面与△ABC 所在平面交于直线l .
(1)判断l 与MN 的位置关系,并进行证明; (2)求点M 到直线l 的距离.
解:(1)l //MN ,证明如下: ∵M 、N 分别是PA 、PB 的中点,
∴MN AB ,MN 平面ABC ,AB 平面ABC , ∴MN 平面ABC .又∵MN 平面MNC ,
平面MNC 平面ABC =l ,∴MN l .
(2)取AC 的中点Q ,连MQ ,则MQ PC , 而PC 平面ABC ,∴MQ 平面ABC .
作QD 直线l 于D ,连MD ,则MD 直线l .
线段MD 的长即为M 到直线l 的距离.
在Rt △ABC 中,可求得AC =4,∴QC =2.
又MQ =PC =3,∠QCD =30?,∴QD =QC =.
于是 MD ==2.
D C O B A a
b c
N M P C B A 例3.如图,P 是ΔABC 所在平面外一点,且PA ⊥平面ABC 。若O 和Q 分别是ΔABC 和 ΔPBC 的垂心,试证:OQ ⊥平面PBC 。
证明: ∵O 是ΔABC 的垂心,∴BC ⊥AE 。 ∵PA ⊥平面ABC ,
根据三垂线定理得BC ⊥PE 。∴BC ⊥平面PAE 。∵Q 是ΔPBC
的垂心,故Q 在PE 上,则OQ 平面PAE ,∴OQ ⊥BC 。
∵PA ⊥平面ABC ,BF 平面ABC ,∴BF ⊥PA ,又∵O 是ΔABC 的垂心,∴BF ⊥AC ,故BF ⊥平面PAC 。因而FM 是BM 在平
面PAC 内的射影。因为BM ⊥PC ,据三垂线定理的逆定理,
FM ⊥PC ,从而PC ⊥平面BFM 。又OQ 平面BFM ,所以OQ ⊥PC 。
综上知 OQ ⊥BC ,OQ ⊥PC ,所以OQ ⊥平面PBC 。
说明:此题涉及直线与平面垂直,需用三垂线定理及逆定理。
例4.如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面ΔABC 是直角三角形,∠ABC=,2AB=BC=BB 1=a ,且A 1C ∩AC 1=D ,BC 1∩B 1C=E ,截面ABC 1与截面A 1B 1C 交于DE 。
(1)A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ;(2)求证:A 1C ⊥BC 1;(3)求证:DE ⊥平面BB 1C 1C 。
证明:(1)∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,
∴侧面与底面垂直,即平面A 1B 1C 1⊥平面BB 1C 1C ,又∵AB ⊥BC ,∴A 1B 1⊥B 1C 1
从而A 1B 1⊥平面BB 1C 1C 。
(2)由题设可知四边形BB 1C 1C 为正方形,∴BC 1⊥B 1C ,而A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ,
∴ A 1C 在平面BB 1C 1C 上的射影是B 1C ,由三垂线定理得A 1C ⊥BC 1
(3)∵直三棱柱的侧面均为矩形,而D 、E 分别为所在侧面对角线的交点,∴D 为A 1C 的中点,E 为B 1C 的中点,∴DE ∥A 1B 1,而由(1)知A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ,∴DE ⊥平面BB 1C 1C 。
例5.如图P 是ABC 所在平面外一点,PA =PB ,CB 平面PAB ,M 是PC 的中点, N 是AB 上的点,AN =3NB
(1)求证:MN AB ;(2)当APB =90,AB =2BC =4时,求MN 的长。
(1)证明:取的中点,连结,∵是的中点,
∴,∵ 平面 ,∴ 平面
∴是在平面内的射影 ,取 的中点,连结
,∵∴,又,∴
∴,∴,由三垂线定理得
(2)∵,∴,∴,∵平面
∴,且,∴
【知识方法总结】
运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影,而确定射影的关键又是“垂足”,如果“垂足”,定了,那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影。
【作业】
1. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知E 在上底面A 1B 1C 1D 1内,A 1B 1E=60,A 1B 1=2B 1E ,求证:AE B 1E
2.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是棱DD 1的中点,O 为是底面AC 的中心,P 为棱A 1B 1上任意的一点,则直线OP 与AM 所在的角等于。
A 90度
B 60度
C 45 度
D 30度
3. 如图:在平面β内有△ABC ,在平面β外有点S ,斜线SA
⊥AC ,SB ⊥BC ,且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等,
(1) 求证:AC =BC ;(2) 又设点S 与平面β的距离是4cm ,AC
⊥BC ,且AB =6cm ,求点S 与直线AB 的距离。
4.如图所示,在矩形ABCD 中,AB=,BC=3,沿对角线BD 将
BCD 折起,使点C 在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上。(1)求证:BC 平面ACD ;(2)求点A 到平面BCD 的距离;(3)求直线AB 与平面BCD 所成的角的大小。
D A B C A B C
D O
5.直线a 平行于平面,l 为平面的斜线,a 直线l 在内的射影,求证:l a 。
6.G 为ABC 的垂心,GP 平面ABC ,且AP BP ,求证:AP CP