2018年高考数学一轮复习专题

专题1.1 集合的概念及其基本运算

【考纲解读】

【直击考点】

题组一常识题

1．【教材改编】设全集U＝{小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则?U(A∪B)＝________．

【答案】{7，8}

2．【教材改编】已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，则这样的集合B有________个．【答案】4

【解析】因为A∪B?B，A＝{a，b}，所以满足条件的B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以集合B有4个．学#

3．【教材改编】设全集U＝{1，2，3，4，5， 6，7，8，9}，?U(A∪B)＝{1，3}，A∩(?U B)＝{2，4}，则集合B＝________．

【答案】{5，6，7，8，9}

【解析】由?U(A∪B)＝{1，3}，得1，3?B；由A∩(?U B)＝{2，4}，得2，4?B，所以B＝{5，6，7，8，9}．

题组二常错题

4．设集合M＝{(x，y)|y＝x2}，N＝{(x，y)|y＝2x}，则集合M∩N的子集的个数为________．【答案】8

【解析】由函数y＝x2与y＝2x的图像可知，两函数的图像在第二象限有1个交点，在第一象限有2个交点(2，4)，(4，16)，故M∩N有3个元素，其子集个数为23＝8.

5．已知集合M＝{x︱x－a＝0}，N＝{x︱ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．【答案】0或1或－1

【解析】M＝{a}，∵M∩N＝N，∴N?M，∴N＝?或N＝M，∴a＝0或a＝±1.

6．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝________．

【答案】－3

2

7．若A ＝{x|x ＝4k ＋1，k∈Z }，B ＝{x|x ＝2k －1，k∈Z }，则集合A 与B 的关系是A________B. 【答案】?

【解析】 ∵集合B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，A ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，∴B 表示奇数集，A 表示除以4余1的整数，∴B ?A . 题组三 常考题

8．设U ＝R ，A ＝{x|x ＞0}，B ＝{x|x ＞1}，则A ∩(?U B )＝________. 【答案】{x|0＜x≤1}

【解析】 ∵B ＝{x|x ＞1}，∴?U B ＝{x|x≤1}，又A ＝{x|x ＞0}，∴A ∩(?U B )＝{x|0＜x≤1}. 9．已知集合A ＝{x|x 2

－3x ＋2＝0，x∈R }，B ＝{x|0

C 的个数为________．

【答案】4

【解析】 由题意知A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}．又A ?C ?B ，则集合C 可能为{1，2}，{1，

2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．

10．若集合A ＝{x||x|≤1，x∈R }，B ＝{y|y ＝x 2

，x∈R }，则A∩B ＝________. 【答案】{x|0≤x ≤1}

【解析】 ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．

【知识清单】

1．元素与集合

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ?． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示

2．集合间的基本关系

（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集

合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。记为A B ?或B A ?． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ?，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集。记为A B ?≠．

（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．

（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n

个，真子集个数为21n

-． 3．集合的运算

(1)三种基本运算的概念及表示

（2）三种运算的常见性质

A A A = ， A ?=? ， A

B B A = ， A A A = ， A A ?= ， A B B A = ．

(C A)A U U C =，U C U =?，U C U ?=．

A B A A B =?? , A B A B A =?? , ()U U U C A B C A C B = ,

()U U U C A B C A C B = ．

【考点深度剖析】

江苏新高考对集合知识的考查要求较低，均是以填空题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论

和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.集合的基本运算一般不与其它章节知识结合考

查，常单独设置题目，但有时也会以集合知识为载体，与不等式、平面解析几何知识结合考查.

【重点难点突破】

考点1 集合的概念

【1-1】【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】设集合

{}1,0,1A =-，11,B a a a ?

?=-+???

?，{}0A B = ，则实数的值为_________

【答案】 【解析】因为1

0a a

+

≠，所以10,1a a -== 【1-2】若集合A ＝{x ∈R |ax 2

＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝_______． 【答案】0

【领悟技法】

与集合元素有关问题的思路：

(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．

(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【触类旁通】

【变式一】【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知集合

,

,则集合

中元素的个数为__________．

【答案】5

【解析】由题意可得：

，即集合

中元素的个数为5个.

【变式二】设P 、Q 为两个非空集合，定义集合{|}P Q a b a P b Q ∈∈＋＝

＋，．若{}{}0,2,51,2,6P Q ＝，＝，则P Q ＋中元素的个数是_______．

【答案】8

【解析】P Q ＋＝{}1,2,3,4,6,7,8,11，故P Q ＋中元素的个数是8． 考点2 集合间的基本关系

【2-1】已知集合A ＝{x |x 2

－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0

【解析】由x 2

－3x ＋2＝0得A ＝{1,2},又B ＝{1,2,3,4}，

∴满足A ?C ?B 的集合C 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个

【2-2】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1

【领悟技法】

1.判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．

2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析． 【触类旁通】

【变式1】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=A B B ，则A B =e ▲ ． 【答案】{}3 【解析】

2,242{3}U A B B B A a a a C B =???=+=?=?=I

【变式2】设M 为非空的数集，M ?{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有_______． 【答案】6

【解析】集合{1,2,3}的所有子集共有23

＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个) 考点3 集合的基本运算

【3-1】【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知集合{}

13A x x =-<<，

{}2B x x =<，则A B =I ．

【答案】

【解析】

【3-2】已知集合27{|}A x x =-≤≤, 121{|}B x m x m =+<<- ,且B ≠?,若A B A = ,则实数m 的取值范围是________． 【答案】24m <≤

【3-3】已知集合{}1,0,1A =-，21|sin ,2k B x x k Z π+?

?

==∈????

，则A B =e_______． 【答案】{}0

【解析】{}21|sin ,=1,12k B x x k Z π+?

?

==∈-????

,所以{}0A B =e. 【领悟技法】

1. 集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。

2. 涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3. 有些集合是可以化简的，如果先化简再研究 其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决． 【触类旁通】

【变式一】已知集合{|3}A x N x =∈<， {|,,}B x x a b a A b A ==-∈∈，则

A B ?=_______．

【答案】{}0,1,2

【解析】由{|3}A x N x =∈<， {|,,}B x x a b a A b A ==-∈∈，得{}0,1,2A =，

{}2,1,0,1,2B =--

则{}0,1,2A B ?=

【变式2】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=A B B ，则A B =e ▲ ．

【答案】{}3 【解析】

2,242{3}U A B B B A a a a C B =???=+=?=?=I

【易错试题常警惕】

易错典例1：设集合{|}1||A x x a x R <∈＝－，，1{}5|B x x x R <<∈＝，，若A B ?≠，则的

取值范围为________． 易错分析：忽视端点．

温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．

易错典例2：设集合{}

{}2

|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A = ，则实数的取值范围是

_______.

易错分析：遗忘空集．

正确解析：由A B A ?=?A B ?，所以当A φ=时，满足A B ?，此时不等式2

x a <无解，

所以0a ≤，当A φ≠即0a >时，{}

|,0A x a a =

<>，由A B ?可知

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a ≤?<≤，综上可知实数的取值范围是4a ≤. 温馨提示：在A B A B B A B A A B ?? ，＝，＝，＝中容易忽视集合A φ≠这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论．

【素养提升之思想方法篇】

化抽象为具体——数形结合思想

数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：

(1)利用Venn 图，直观地判断集合的包含或相等关系． (2)利用Venn 图，求解有限集合的交、并、补运算．

(3)借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．

【典例】已知集合{||3|}2A

x x ∈R ＝＋＜，集合{|()()}20B x x m x ∈R ＝－－＜，且)1(A B n ＝－，，则m ＝________，＝________.

【答案】－1 1