2018年高考数学一轮复习专题
专题1.1 集合的概念及其基本运算【考纲解读】【直击考点】题组一常识题1．【教材改编】设全集U＝{小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则∁U(A∪B)＝________．【答案】{7，8}2．【教材改编】已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，则这样的集合B有________个．【答案】4【解析】因为A∪B⊇B，A＝{a，b}，所以满足条件的B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以集合B有4个．学#3．【教材改编】设全集U＝{1，2，3，4，5， 6，7，8，9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁U B)＝{2，4}，则集合B＝________．【答案】{5，6，7，8，9}【解析】由∁U(A∪B)＝{1，3}，得1，3∉B；由A∩(∁U B)＝{2，4}，得2，4∉B，所以B＝{5，6，7，8，9}．题组二常错题4．设集合M＝{(x，y)|y＝x2}，N＝{(x，y)|y＝2x}，则集合M∩N的子集的个数为________．【答案】8【解析】由函数y＝x2与y＝2x的图像可知，两函数的图像在第二象限有1个交点，在第一象限有2个交点(2，4)，(4，16)，故M∩N有3个元素，其子集个数为23＝8.5．已知集合M＝{x︱x－a＝0}，N＝{x︱ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．【答案】0或1或－1【解析】M＝{a}，∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.6．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝________．【答案】－327．若A ＝{x|x ＝4k ＋1，k∈Z }，B ＝{x|x ＝2k －1，k∈Z }，则集合A 与B 的关系是A________B. 【答案】⊆【解析】 ∵集合B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，A ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，∴B 表示奇数集，A 表示除以4余1的整数，∴B ⊇A . 题组三 常考题8．设U ＝R ，A ＝{x|x ＞0}，B ＝{x|x ＞1}，则A ∩(∁U B )＝________. 【答案】{x|0＜x≤1}【解析】 ∵B ＝{x|x ＞1}，∴∁U B ＝{x|x≤1}，又A ＝{x|x ＞0}，∴A ∩(∁U B )＝{x|0＜x≤1}. 9．已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x∈R }，B ＝{x|0<x<5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．【答案】4【解析】 由题意知A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}．又A ⊆C ⊆B ，则集合C 可能为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．10．若集合A ＝{x||x|≤1，x∈R }，B ＝{y|y ＝x 2，x∈R }，则A∩B ＝________. 【答案】{x|0≤x ≤1}【解析】 ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B ＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．【知识清单】1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示2．集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。
记为A B ⊆或B A ⊇． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集。
记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n个，真子集个数为21n-． 3．集合的运算(1)三种基本运算的概念及表示（2）三种运算的常见性质A A A = ， A ∅=∅ ， AB B A = ， A A A = ， A A ∅= ， A B B A = ．(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．A B A A B =⇔⊆ , A B A B A =⇔⊆ , ()U U U C A B C A C B = ,()U U U C A B C A C B = ．【考点深度剖析】江苏新高考对集合知识的考查要求较低，均是以填空题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.集合的基本运算一般不与其它章节知识结合考查，常单独设置题目，但有时也会以集合知识为载体，与不等式、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1 集合的概念【1-1】【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】设集合{}1,0,1A =-，11,B a a a ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭，{}0A B = ，则实数的值为_________【答案】 【解析】因为10a a+≠，所以10,1a a -== 【1-2】若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝_______． 【答案】0【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【触类旁通】【变式一】【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知集合,,则集合中元素的个数为__________．【答案】5【解析】由题意可得：，即集合中元素的个数为5个.【变式二】设P 、Q 为两个非空集合，定义集合{|}P Q a b a P b Q ∈∈＋＝＋，．若{}{}0,2,51,2,6P Q ＝，＝，则P Q ＋中元素的个数是_______．【答案】8【解析】P Q ＋＝{}1,2,3,4,6,7,8,11，故P Q ＋中元素的个数是8． 考点2 集合间的基本关系【2-1】已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________． 【答案】4【解析】由x 2－3x ＋2＝0得A ＝{1,2},又B ＝{1,2,3,4}，∴满足A ⊆C ⊆B 的集合C 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个【2-2】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是______________． 【答案】m ≤4【领悟技法】1.判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析． 【触类旁通】【变式1】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=A B B ，则A B =ð ▲ ． 【答案】{}3 【解析】2,242{3}U A B B B A a a a C B =⇒⊂⇒=+=⇒=⇒=I【变式2】设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有_______． 【答案】6【解析】集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个) 考点3 集合的基本运算【3-1】【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则A B =I ．【答案】【解析】【3-2】已知集合27{|}A x x =-≤≤, 121{|}B x m x m =+<<- ,且B ≠∅,若A B A = ,则实数m 的取值范围是________． 【答案】24m <≤【3-3】已知集合{}1,0,1A =-，21|sin ,2k B x x k Z π+⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则A B =ð_______． 【答案】{}0【解析】{}21|sin ,=1,12k B x x k Z π+⎧⎫==∈-⎨⎬⎩⎭,所以{}0A B =ð. 【领悟技法】1. 集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。
2. 涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3. 有些集合是可以化简的，如果先化简再研究 其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决． 【触类旁通】【变式一】已知集合{|3}A x N x =∈<， {|,,}B x x a b a A b A ==-∈∈，则A B ⋂=_______．【答案】{}0,1,2【解析】由{|3}A x N x =∈<， {|,,}B x x a b a A b A ==-∈∈，得{}0,1,2A =，{}2,1,0,1,2B =--则{}0,1,2A B ⋂=【变式2】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知集合{}=2,3,4A ，{}=2B a a +,，若=A B B ，则A B =ð ▲ ．【答案】{}3 【解析】2,242{3}U A B B B A a a a C B =⇒⊂⇒=+=⇒=⇒=I【易错试题常警惕】易错典例1：设集合{|}1||A x x a x R <∈＝－，，1{}5|B x x x R <<∈＝，，若A B ⊂≠，则的取值范围为________． 易错分析：忽视端点．温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．易错典例2：设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A = ，则实数的取值范围是_______.易错分析：遗忘空集．正确解析：由A B A ⋂=⇔A B ⊆，所以当A φ=时，满足A B ⊆，此时不等式2x a <无解，所以0a ≤，当A φ≠即0a >时，{}|,0A x a a =<>，由A B ⊆可知204a ≤⇒<≤，综上可知实数的取值范围是4a ≤. 温馨提示：在A B A B B A B A A B ?⊆ ，＝，＝，＝中容易忽视集合A φ≠这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论．【素养提升之思想方法篇】化抽象为具体——数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：(1)利用Venn 图，直观地判断集合的包含或相等关系． (2)利用Venn 图，求解有限集合的交、并、补运算．(3)借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．【典例】已知集合{||3|}2Ax x ∈R ＝＋＜，集合{|()()}20B x x m x ∈R ＝－－＜，且)1(A B n ＝－，，则m ＝________，＝________.【答案】－1 1。
专题9-9 圆锥曲线的综合问题练-2018年高考数学一轮复
2018年高考数学讲练测【浙江版】【练】第九章解析几何第九节圆锥曲线的综合问题A 基础巩固训练1.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】设椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（）A. 12B.13C.14D.15【答案】B【解析】2．【2018届河南省中原名校高三上第一次联考】已知抛物线C：＝4x，过抛物线C焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点（点A在第一象限），且交抛物线C的准线于点E．若＝2，则直线l的斜率为A. 3 B. 2 C. D. 1【答案】B【解析】分别过A和D两点做AD、BC垂直于准线，交准线于D、C两点垂足分别为D，C，设，，由抛物线的定义可知：，，由＝2，则B 为AE 的中点， 则=2，即 在中，，，∴ntan ∠CBE==，直线l 的斜率k=tan ∠AFx=tan ∠CBE=，故选：B ．3.【2018届云南省昆明一中高三第二次月考】已知点()3,0A -， ()3,0B ，动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹为（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线 【答案】B4．【2018届甘肃省兰州第一中学高三9月月考】设点P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若 S △IPF1＋S △IPF2＝2S △IF1F2，则该椭圆的离心率是A.1214 【答案】A 【解析】设P 12F F 的内切圆半径为r,则由1IPF S+2IPF S=212IF F S得12121112222PF r PF r F F r ⨯+⨯=⨯⨯ 即P 1F +P 2F =212FF即222a c =⨯∴椭圆的离心率12c e a == 故选A5.【2018届云南省名校月考（一）】已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点， l 是C 的准线， P 是C 上一点，点M 在l 上，若4FM FP =，则直线FP 的方程为（ ）A. )2y x =-B. )2y x =±-C. )2y x =-D. )2y x =±- 【答案】BB 能力提升训练1．【2017届江西省抚州市临川区第一中学高三4月模拟】已知B 、C 为单位圆上不重合的两个定点， A 为此单位圆上的动点，若点P 满足AP PB PC =+，则点P 的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 【答案】D【解析】设(),P x y ， ()cos ,sin A θθ， ()11,B x y ， ()22,C x y ，设单位圆圆心为O ，则根据AP PB PC =+可有： 0PA PB PC ++=，所以点P 为ABC ∆的重心，根据重心坐标公式有1212cos 3{sin 3x x x y y y θθ++=++= ，整理得2212121339x x y y x y ++⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点P 的轨迹为圆，故选择D. 2.【2017届浙江省嘉兴市第一中学高三适应性考试】已知,,A B C 是抛物线24y x =上不同的三点，且AB ∥y 轴， 90ACB ∠=，点C 在AB 边上的射影为D ，则AD BD ⋅=（ ）A. 16B. 8C. 4D. 2 【答案】A【解析】设()()224,4,4,4A t t B t t -， ()24,4C m m ，因为90ACB ∠=，所以()()2222216160t mt m -+-=，因此221m t -=-，因为2244CD t m =-=且在Rt ABC ∆中，2AD BD CD ⋅=，所以16AD BD ⋅=．3.【2017届辽宁省沈阳市东北育才学校高三第八次模拟】平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为(1,1)、()3,3-. 若动点P 满足OP OA OB λμ=+，其中λ、R μ∈，且1λμ+=，则点P 的轨迹方程为（ ） A. 0x y -= B. 0x y +=C. 230x y +-=D. ()()22125x y ++-= 【答案】C4.【2017届山西省临汾市高三考前训练（三）】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，点,M N 是椭圆C 上关于长轴对称的两点，若直线AM 与BN 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是 （ ）A. ()0x a y =±≠B. ()()220y b x ay =-≠C. ()22220x y a b y +=+≠ D. ()222210x y y a b-=≠【答案】D【解析】解：设点()()cos ,sin ,cos ,sin M a b N a b θθθθ- ，且()(),0,,0A a B a - ，则：直线AM 的方程为： ()0sin sin cos cos b y b x a a a θθθθ--=--- ，直线BN 的方程为： ()0sin sin cos cos b y b x a a a θθθθ++=-- ，消去参数θ 可得点P 的轨迹方程是 ()222210x y y a b-=≠.本题选择D 选项.5【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等高三下学期五校联考】已知双曲线221y x m-=的焦点为F 1、F 2，渐近线为l 1，l 2，过点F 2且与l 1平行的直线交l 2于M ，若120FM F M ⋅=，则m 的值为 （ ）2 D.3 【答案】DC 思维扩展训练1.【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月高考模拟】如图，点P 在正方体1111ABCD A BC D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A. B.C. D.【答案】B故排除C，D，同理可得，在平面ABB1A1上，点P到点B的距离与到直线C1D1的距离相等，从而排除A，本题选择B选项.2．【2017届江苏省如皋市高三下学期联考（二）】动直线与函数的图像交于A、B两点，点是平面上的动点，满足，则的取值范围为____．【答案】|PA+PB|=|−2m−2ni|=2，|m+ni|=1，即m2+n2=1是一个圆,即P的轨迹是以(3,4)为圆心的单位圆，∴x2+y2的取值范围为[16,36]，故答案为[16,36].3.【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三联考】已知椭圆的离心率为，长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，为坐标原点，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，且直线不经过点.记直线的斜率分别为，试探究是否为定值.若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.【答案】(1) ;(2) 为定值，该定值为0.【解析】试题分析：(1)布列方程组求椭圆的标准方程;(2)联立方程，利用维达定理表示，即可得到定值..试题解析：（Ⅰ）由题意知，，解得，故椭圆的方程为（Ⅱ）结论：，证明如下：设，联立，得，，解得，.，.综上所述，为定值，该定值为0.4.【2018届广东省汕头市金山中学高三上学期期中】在平面直角坐标系xoy中，设点F (1，0)，直线l: x=-，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点, 异于点R的点Q满足：RQ FP 1⊥，⊥.PQ l（1）求动点Q的轨迹的方程；（2）记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E，．的弦AB. CD，设AB. CD的中点分别为M N问直线MN是否经过某个定点？如果是，求出该定点，如果不是，说明理由．【答案】(Ⅰ) 24(0)y x x =>；(Ⅱ)以直线MN 恒过定点R ()3,0．试题解析：(Ⅰ)依题意知，直线l 的方程为： 1x =-．点R 是线段FP 的中点， 且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∴PQ 是点Q 到直线l 的距离．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =． 故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点， l 为准线的抛物线， 其方程为： 24(0)y x x =>．(Ⅱ) 设()(),,,A A B B A x y B x y ， ()(),,M M N N M x y N x y ，，由AB ⊥CD ，且AB 、CD 与抛物线均有两个不同的交点，故直线AB 、CD 斜率均存在，设直线AB 的方程为()1y k x =-则()()2241{42A A B By x y x == （1）—（2）得4A B y y k +=，即2M y k=，代入方程()1y k x =-，解得221M x k =+．所以点Ｍ的坐标为2221,kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 同理可得： N 的坐标为()221,2k k +-．直线MN 的斜率为21M N MN M N y y kk x x k-==--，方程为 ()222211k y k x k k+=---，整理得()()213y k k x -=-， 显然，不论k 为何值， ()3,0均满足方程，所以直线MN 恒过定点R ()3,0．5．【2018届云南省师范大学附属中学高三月考二】已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足（其中为非零常数）（1）求动点的轨迹方程； （2）当时，得到动点的轨迹为曲线，斜率为1的直线与曲线相交于，两点，求面积的最大值.【答案】（1）（2）试题解析：解：（Ⅰ）设动点，则，且，①又，得，代入①得动点的轨迹方程为．（Ⅱ）当时，动点的轨迹曲线为．设直线的方程为，代入中，得，由，∴，设，，∵点到直线的距离，，，当且仅当，即时取到最大值．∴面积的最大值为．。
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课时分层提升练十一2-8函数与方程Word版含解析
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课时分层提升练十一函数与方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是( )A.0,2B.0,C.0,-D.2,-【解析】选C.由题意知2a+b=0,即b=-2a.令g(x)=bx2-ax=0得x=0或x==-.2.(2017·成都模拟)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( )A.f(x)=8x-2B.f(x)=(x+1)2C.f(x)=e x-1D.f(x)=ln【解析】选A.因为g(0)=-1<0,g=1>0,所以g(0)·g<0,所以g(x)的零点在内,因为f(x)=8x-2的零点为,故选A.3.(2017·定州模拟)函数f(x)=e x+3x的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由已知得f′(x)=e x+3>0,所以f(x)在R上单调递增,又f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0,所以f(x)的零点个数是1.【加固训练】函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.当0<x<1时,f(x)=2x log0.5x-1,令f(x)=0,则log0.5x=.由y=log0.5x,y=的图象知,在(0,1)内有一个交点,即f(x)在(0,1)上有一个零点.当x>1时,f(x)=-2x log0.5x-1=2x log2x-1,令f(x)=0得log2x=,由y=log2x,y=的图象知在(1,+∞)上有一个交点,即f(x)在(1,+∞)上有一个零点.4.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b【解析】选B.由于f(-1)=-1=-<0,f(0)=1>0,且f(x)为R上的增函数.故f(x)=2x+x的零点a∈(-1,0).因为g(2)=0,所以g(x)的零点b=2;因为h=-1+=-<0,h(1)=1>0,且h(x)为(0,+∞)上的增函数,所以h(x)的零点c∈,因此a<c<b.【一题多解】本题还可以采用如下方法:选B.由f(x)=0得2x=-x;由h(x)=0得log2x=-x,作出函数y=2x,y=log2x和y=-x的图象(如图).由图象易知a<0,0<c<1,而b=2,故a<c<b.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2017·九江模拟)函数f(x)对一切x∈R都有f=f,并且方程f(x)=0有三个实根,则这三个实根的和为.【解析】因为函数f(x)的图象关于直线x=对称,所以方程f(x)=0有三个实根时,一定有一个根是,另外两个根关于直线x=对称,且和为1,故方程f(x)=0的三个实根的和为.答案:【加固训练】(2017·漳州模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.【解析】画出f(x)=的图象,如图.由于函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得:0<m<1,即m∈(0,1). 答案:(0,1)6.若函数f(x)=lnx+2x-6的零点x0∈(k,k+1),则整数k的值为.【解析】因为f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)=lnx+2x-6存在零点x0∈(2,3).因为f(x)=lnx+2x-6在定义域(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=lnx+2x-6存在唯一的零点x0∈(2,3),则整数k=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)7.(2017·石家庄模拟)已知函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x 的定义域为区间.(1)求g(x)的解析式.(2)判断g(x)的单调性.(3)若方程g(x)=m有解,求m的取值范围.【解析】(1)因为f(a+2)=18,即3a+2=18,所以3a=2,所以g(x)=2x-4x.(2)g′(x)=2x ln2-4x ln4=2x ln2(1-2x+1).因为x∈,所以2x+1∈,所以1-2x+1≤0,又2x>0,ln2>0,所以g′(x)≤0(仅当x=-1时取“=”),所以g(x)在上是减函数.(3)由m=g(x)=2x-4x,得g(1)≤m≤g(-1),所以-2≤m≤.【加固训练】已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,(1)求m的取值范围.(2)求函数的零点.【解析】(1)因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,所以m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去). 所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:当m=-2时,f(x)有唯一零点.(2)由(1)可知,该函数的零点为x=0.8.(2017·徐州模拟)已知y=f(x)是定义域为R的奇函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数y=f(x)的解析式.(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求a的取值范围.【解析】(1)当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞).因为y=f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,所以f(x)=(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值为-1;当x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值为1.所以据此可作出函数y=f(x)的图象(如图所示),根据图象,若方程f(x)=a 恰有3个不同的解,则a的取值范围是(-1,1).(20分钟40分)1.(5分)(2017·荆州模拟)f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2016x+log2016x,则函数f(x)的零点的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.结合函数的图象,可知函数y=2016x和函数y=-log2016x的图象在第一象限有一个交点,所以函数f(x)有一个正的零点,根据奇函数图象的对称性,有一个负的零点,所以函数有三个零点.2.(5分)已知a是函数f(x)=2x-lo x的零点,若0<x 0<a,则f(x0)的值满足( )A.f(x0)=0B.f(x0)<0C.f(x0)>0D.f(x0)的符号不确定【解析】选B.函数f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上是增函数,故零点是唯一的,又0<x0<a,则f(x0)<f(a)=0.3.(5分)(2017·邯郸模拟)已知f(x)=且函数y=f(x)+ax恰有3个不同的零点,则实数a的取值范围是. 【解析】当x<0时,f(x)=(x+1)2-,把函数f(x)在[-1,0)上的图象向右平移一个单位即得函数y=f(x)在[0,1)上的图象,继续右移可得函数f(x)在[0,+∞)上的图象.如果函数y=f(x)+ax恰有3个不同的零点,即函数y=f(x),y=-ax的图象有三个不同的公共点,实数a应满足-a<-或≤a<,即a>或-<a≤. 故实数a的取值范围是∪.答案:∪4.(12分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.(1)求k的值.(2)设g(x)=log4,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.【解析】(1)由函数f(x)是偶函数可知:f(x)=f(-x),所以log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx,log4=-2kx,即x=-2kx对一切x∈R恒成立,所以k=-.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,即方程log4(4x+1)-x=log4有且只有一个实根,化简得:方程2x+=a·2x-a有且只有一个实根,令t=2x>0,则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根.①a=1⇒t=-,不合题意;②a≠1,Δ=0⇒a=或-3,若a=⇒t=-2,不合题意;若a=-3⇒t=;③一个正根与一个负根,Δ>0且<0⇒a>1.综上:实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).5.(13分)(2017·石家庄模拟)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若y=g(x)-m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)因为g(x)=x+≥2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需m≥2e,则y=g(x)-m就有零点.【一题多解】本题还可以采用以下方法:作出g(x)=x+(x>0)的大致图象如图.可知若使y=g(x)-m有零点,则只需m≥2e.(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x>0)的大致图象如图.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.所以其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).关闭Word文档返回原板块。
(浙江版)高考数学一轮复习专题6.2等差数列及其前n项和(测)(2021学年)
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第0２节 等差数列及其前ｎ项和一、选择题(本大题共1２小题,每小题５分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.）１．【２017届浙江台州中学高三10月月考】一个等差数列的项数为2n ,若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=,24272n a a a ++⋅⋅⋅+=,且1233n a a -=，则该数列的公差是( )Ａ。
3 B 。
-3 C.-２ D 。
—1 【答案】B.２．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三模考】等差数列{}n a 中，564a a +=,则10122log (222)a a a ⋅= ( )Ａ。
10 B.20 Ｃ。
４0 D.22log 5+ 【答案】B【解析】因为10121056125()54222222a a a a a a a a ++++⨯⋅⋅⋅===，所以10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B 。
3．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于( )A ．212B ．2１C ．42 Ｄ.84 【答案】B【解析】根据等差数列的求和公式，可知22010()102a a +=，即2202a a +=,所以数列{}n a 前2１ 项的和为1212121()212a a S +==,故答案为Ｂ．4．【云南省玉溪第一中学２0１8届高三上学期第一次月考】数列{}n a 是首项11a =,对于任意*,m n N ∈，有3n m n a a m +=+，则{}n a 前5项和5S =( )A 。
2018年高考数学理一轮复习讲练测 专题6-1 数列的概念
A 基础巩固训练1．数列{}n a 的前n 项积为2n ，那么当2n ≥时，{}n a 的通项公式为( )A ．n a =21n -B ．n a =2nC ．na =()221n n+ D ．n a =()221n n -【答案】D【解析】设数列{}n a 的前n 项积为n T ，则n T ＝2n ，当2n ≥时，n a =1nn T T -＝()221n n -.2．设函数()f x ）定义为如下数表，且对任意自然数n 均有x n+1=02014(),6,n f x x x =若则的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．5 【答案】D3．【2016辽宁大连双基测试】数列{}n a 前n 项和2n n S =，则n a = . 【答案】12,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩ 【解析】当2n ≥时，2nn S =，112n n S --=，两式相减，得11222n n n n a --=-=．又当1n =时，12a =，不满足12n n a -=，所以n a =12,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩． 4．【2015届山东枣庄市第三中学高三第二次模考】观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n 个等式为 ． 【答案】()()()()2123221n n n n n +++++⋅⋅⋅+-=-5．【2015届甘肃兰州第一中学高三12月月考数学试卷】数列{}n a 满足)则n a =________． 【答案】11, 123,2n n n n -=⎧⎨⋅≥⎩【解析】B 能力提升训练1．若在数列{}n a 中，对任意正整数n ，都有221n n a a p ++=（常数），则称数列{}n a 为“等方和数列”，称p 为“公方和”，若数列{}n a 为“等方和数列”，其前n 项和为n S ，且“公方和”为1，首项11a =，则2014S 的最大值与最小值之和为（ ）A 、2014B 、1007C 、1-D 、2 【答案】D【解析】由221n n a a p ++=得2212n n a a p +++=，两等式相减得：222n n a a +=.又“公方和”为1，首项11a =，所以2222223520132420141,0a a a a a a ========.所以2014S 的最大值为1007，最小值为-1005，其和为2.选D.2．【2016新课标II 押题卷1】已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +<恒成立，则m 的取值范围是_______．【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力． 【答案】15(,)43-3．【2016北京东城区二模】成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设三个数为：由题得：所以所以。
【课堂新坐标】2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件第6章第1节不等式的性质与一元二次不等式
1 1 1 1 1 C 正确；函数 y＝x 在(0，＋∞)上为减函数，由 x>y>0⇒x < y⇒x－y<0，
故 A 错误；函数 y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当 x>y>0 时，不能比较 sin x 与 sin y 的大小，故 B 错误；x>y>0⇒xy>0⇒/ ln(xy)>0⇒/ ln x＋ln y＞0，故 D 错误．]
－3x＋4>0 的解集为(－4,1)．]
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高三一轮总复习
5．若不等式 mx2＋2mx＋1>0 的解集为 R，则 m 的取值范围是__________. 【导学号：01772195】
[0,1) [①当 m＝0 时，1>0 显然成立；
m>0， 时，由条件知 2 Δ ＝ 4 m －4m<0，
1 ac<bd， 故②不正确； 因为函数 y＝x3是单调递增的， 所以③正确； 对于④， 由 a>b>0 1 1 可知 a >b >0，所以a2<b2，所以④不正确．]
2 2
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3．(2016· 吉林长春二模)若 a，b∈R，且 a>b，则下列不等式恒成立的是( A．a >b
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1 1 ①当 a＝1 时，a＝1，x－a(x－1)<0 无解； 1 1 1 ②当 a>1 时，a<1，解 x－a (x－1)<0 得a<x<1； 1 1 1 ③当 0<a<1 时，a>1，解 x－a(x－1)<0 得 1<x<a.10 分
(浙江版)2018年高考数学一轮复习 专题6.4 数列求和(讲)
第04节 数列求和【考纲解读】【知识清单】一．数列求和1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 2．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 3. 数列前n 项和①重要公式：（1）1nk k ==∑123n ++++=2)1(+n n （2）1(21)nk k =-=∑()13521n ++++-=2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；③等比数列中，n mm n n m m n S S q S S q S +=+=+.对点练习：1.【2017课标1，理4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C2. 已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35 【答案】B【解析】由题意得479+=4a a ，因此363911+=()6482q q q q ⇒=⇒=舍去负值，因此55116(1)231.112S -==-选B.【考点深度剖析】数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.考查等差数列的求和多于等比数列的求和，往往在此基础上考查“裂项相消法”、“错位相减法”.【重点难点突破】考点1 数列求和【1-1】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根，则数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 . 【答案】1422n n n S ++=-【1-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且12n n S ta =-，其中*n N ∈．（1）求实数t 的值和数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足32log n n b a =，求数列11{}n n b b +的前n 项和n T ． 【答案】（1）23=t ，13-=n n a ；（2）12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n ． 【解析】试题分析：（1）由n n a S =可得32t =，2n ≥时由1n n n a S S -=-得数列{}n a 为首项为1，公比为3的等比数列，可得通项公式；（2）化简21n b n =-，则11111()22121n n b b n n +=--+，用裂项相消求和，可得前项和．试题解析： （1）当1=n 时，21111-==ta S a ，得23=t ，从而 2123-=n n a S ,则 2≥n 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--2123212311n n n n n a a S S a 得 13-=n n a a又01≠a 得31=-n n a a，故数列{}n a 为等比数列，公比为3，首项为1．∴13-=n n a（2）由（1）得 1223-=n n a 得 12-=n b n ∴()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=-121121*********n n n n b b n n 得 ⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=121121513131121n n T n12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nn【领悟技法】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 若n n n a b c =∙，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++； （21k=，特别地当1k ==（3）()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5）)()11(11q p qp p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=.7. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．8. [易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为112n n -+，漏掉前面的系数12； (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 应用错位相减法求和时需注意：①给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n . 【触类旁通】【变式一】【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 。
2018年高考数学一轮总复习 专题2.1 函数及其表示练习(含解析)理
专题.1 函数及其表示真题回放1. 【2017高考天津理第1题】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域B ，则A B =（ ）（A ）()1,2 （B ）(]1,2 （C ）()2,1- （D ）[)2,1- 【答案】D【解析】：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故AB ={}|21x x -≤≤，选D【考点解读】1.集合的运算 2.函数定义域 3.简单不等式的解法，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图来处理2. 【2015高考湖北文第6题】函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）（A ）()2,3 （B ）(]2,4 （C ）()(]2,33,4 （D ）()(]1,33,6-【答案】C【考点解读】本题考察函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容 3. 【2015高考福建理第14题】若函数64,2()(01)3log ,2a x x f x a a x x -+≥≥⎧=>≠⎨+<⎩且的值域是[)4+∞，，则实数的取值范围是______ 【答案】(]12，【解析】：当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4+∞，，只需()1()3l o g2a f x x x =+>的值域包含于[)4+∞，，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(]12，【考点解读】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的两点，要注意分类讨论思想的运用 考点分析1.函数及其表示了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数 2.了解简单的分段函数并能简单的应用3.函数的概念、解析式、图像、分段函数的应用为高考主要考点，重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力，2018年复习时应予以高度关注. 融会贯通题型一 映射与函数的概念【例1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A知识链接1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集.函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.要注意()f a 与()f x 的区别与联系，()f a 表示x a =时，函数()f x 的值，它是一个常数，而()f x 是自变量的函数，对于非常数函数，它是一个变量，()f a 是()f x 的一个特殊值.4.区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点.应注意理解其含义并准确使用.5.函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 【变式训练】1.下列四组函数中，表示为同一函数的是（ ）A ．(),()f x x g x ==B ．x x f -=2)(与2)(-=x x gC ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x ==【答案】A2.已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}【解析】由函数定义，令()f x 分别等于1,1,3-，求对应自变量的值，即得定义域为{1,2,3}. 解题技巧与方法总结1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 题型二 函数的定义域问题典例1. (2017·南师大考前模拟)函数()f x =的定义域为 ▲ ．【答案】3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得123log (23)0023122x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，即定义域是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【变式训练】(2017届河南南阳一中高三文月考)函数()lg(1)f x x =+的定义域为（ ）（A ）(1,0)(0,1]- （B ）(1,1]- （C ）(4,1]-- （D ）(4,0)(0,1]-【答案】A【解析】要使函数有意义，应有⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥+--11,01,0432x x x x 解得01<<-x 或10≤<x ，故选A.解题技巧与方法总结已知解析式求函数定义域问题列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等角度出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式等联系在一起 典例2. (2016·福建福州五校联考理)已知函数(2)y f x =-定义域是[]0,4，则(1)1f x y x +=-的定义域是_________ 【答案】[)3,1-【变式训练1】已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域【答案】由题意2112112x x -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，1x ≤ 【解析】求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域【变式训练2】(2016~2017学年广西陆川县中学月考)已知函数12(log )y f x =的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数(2)x y f =的定义域为（ ）A ．[]1,0-B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．[]0,1 【答案】D解题技巧与方法总结（1）已知原函数()[](),f x a b f a x b << ()f x 的定义域为(),a b ，求复合函数[]()f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域；（2）已知复合函数[]()f g x 的定义域为(),a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域；（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域典例3.已知函数()f x =R ，则实数的取值范围是（ ）（A ）120a -<≤ （B ）120a -<< （C ）13a > （D ）13a ≤ 【答案】A【解析】函数()f x =R ，只需分母不为即为，所以0a =或24(3)0a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩，可得120a -<≤ 【变式训练】已知函数4()12f x x =-+的定义域是[],a b （,a b 为整数），值域是[]0,1，则所有满足条件的整数数对(),a b 所组成的集合为_____________ 【答案】()()()()(){}2,0,2,1,2,2,1,2,0,2----题型三 函数的值域问题 命题点1 求函数的值域 典例1.函数()=x f 25243x x -+的值域是 . 【答案】 (0，5]【解析】因为2x 2-4x+3=2(x-1)2+1≥1，所以0<212-43x x +≤1，所以0<y ≤5，所以值域为(0，5].典例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域. 【答案】{}|3y y ≠【变式训练1】(2016·江苏省扬州市期末统考)函数221xx y =+()0x ≥的值域为 ． 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】函数221111212121x x x x x y +-===-+++110,21,212,0212x x x x ≥∴≥∴+≥∴<≤+Q 1111221x ∴≤-<+【变式训练2】(2016-2017学年黑龙江哈师大附中)函数()f x 的值域为 ． 【答案】[)1,1-解题技巧与方法总结分离常数法求值域步骤：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d +=+； 第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式；第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域.典例3 求函数y x =+. 【答案】(,1]-∞【解析】令210,2t t x -=≥=，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为，没有最小值，故值域为(,1]-∞. 解题技巧与方法总结换元法求值域：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 典例4 (2016人教A 版双基双测)函数21xy x =+的值域为__________ 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】法一：当0x =时，0y =当0x >时，21112,x x y x x +==+≥=当且仅当1x x =即1x =时取“=”，所以102y <≤当0x <时，211112,x x x y x x x +⎛⎫⎫==+=----=- ⎪⎪⎝⎭⎭当且仅当1x x -=-即1x =-时取“=”，所以102y -≤<综上1122y -≤≤法二：21x y x =+，所以20yx x y -+=有解当0y =时方程有解；当0y ≠时，由0≥V 可得2140y -≥，∴1122y -≤≤且0y ≠综上可知1122y -≤≤ 【变式训练1】已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.【答案】最小值为1【变式训练2】 若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【变式训练3】(2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟，理16)已知实数,a b R ∈,若223a ab b -+=, 则()22211ab a b +++的值域为 ．【答案】160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：222233233a ab b a b ab ab ab -+=⇒+=+≥⇒-≤≤()()2222211(3)9614ab ab t t a b ab t t++-===+-+++，其中4[1,7]t ab =+∈，所以9660t t +-≥=，当且仅当3t =时取等号，又当7t =时96t t +-取最大值167， 故值域为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：函数值域典例5求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 2223(1)20x x x ++=++>Q ，所以函数的定义域为R原函数可以化为2223247x y xy y x x ++=+-，整理得：()222(2)370y x y x y -+-++=当2y ≠时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足解题技巧与方法总结判别式法求函数值域：观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域. 【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求常见函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解；二次分式型函数求值域，多采用分离出整式利用基本不等式法求解. 命题点2 已知函数定义域(值域)求参数的取值范围典例1 (2016-2017学年河北卓越联盟高一上学期月考三数学试卷)若函数244y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]8,4--，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,4B ．[)2,4 C ．(]2,4 D ．[]2,4【答案】D【解析】二次函数对称轴为2x =，当2x =时取得最小值8-，当0x =时函数值为4-，由对称性可知4x =时函数值为4-，所以m 的取值范围是[]2,4【变式训练】(2014届陕西省考前保温训练)函数2()46f x x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[10,6]﹣﹣，则m 的取值范围是（ ）A ．0，4]B ．2，4]C ．2，6]D ．4，6]【答案】B典例2(江苏省南京师范大学附属中学2015-2016学年期中)已知函数()f x =的定义域是一切实数，则m 的取值范围是__________． 【答案】[]04，【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一切实数恒成立，所以0{m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.【变式训练】(2015-2016浙江湖州中学高二期中，理14)已知函数2()lg(1)f x mx mx =++，若此函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ；若此函数的值域为R ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】04m ≤< 4m ≥考点：对数函数定义域、值域.典例3 (2015-2016学年广西南宁八中高一上期末)若函数21242y x x =-+的定义域、值域都是闭区间[2]2b ，，则的取值为 ． 【答案】2；【解析】联系二次函数图象特点，注意函数在闭区间[2]2b ，是单调增函数． 解：函数21242y x x =-+的图象是开口向上的抛物线，对称轴是2x =，∴函数在闭区间[2]2b ，上是单调增函数， 函数的定义域、值域都是闭区间[2]2b ， ∴2x b =时，函数有最大值2b ， ∴21422422b b b ⨯⨯+=﹣，∴1b =（舍去） 或2b =， ∴的取值为 2．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．【变式训练】(2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考)已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________． 【答案】()1,4题型四 求函数的解析式典例1 (江西新余四中2016~2017月考)已知2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式 【答案】2()43f x x x =-+【解析】令1x t +=，则1x t =-，求得()f t 的表达式，从而求得()f x 的解析式 考点：换元法求函数解析式【变式训练】(天津南大附中高一同步练习)已知，则的表达式是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】令1x t -=，得1x t =+ 因为2(1)45f x x x -=+-所以22()(1)4(1)56f t t t t t =+++-=+ 由此可得2()6f x x x =+典例2 (辽宁省阜新市2016~2017第一次月考)已知2(1)27f x x x -=-+，求()f x 的解析式【答案】2()6f x x =+【解析】由题意得2227(1)6x x x -+=-+，所以2(1)(1)6f x x -=-+，即2()6f t t =+ 【变式训练】(甘肃省武威第六中学2016~2017第一次月考)若函数()f x 满足(32)9+8f x x +=，则()f x 的解析式是（ ）（A ）()9+8f x x = （B ）()3+2f x x = （C ）()34f x x =-- （D ）()3234f x x x =+--或【答案】B【解析】由题意得(32)983(32)2f x x x +=+=++，所以()32f t t =+，即()32f x x =+ 考点：配凑法求函数解析式典例 3 (河南南阳一中2016级第一次月考)已知函数()y f x =满足1()2()3f x f x x=+，则()f x 的解析式为___________【答案】2()(0)f x x x x=--≠考点：解方程组法求函数解析式【变式训练】定义在(-1,1)内的函数()f x 满足()(-)()21f x f x lg x -＝＋，求函数()f x 的解析式． 【答案】21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈, 【解析】当(-11)x ∈,时，有()(-)()21f x f x lg x -＝＋①以x -代，得2(-)()lg(1)f x f x x -=-+②由①②消去f (－x )，得21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈,典例4 (山东蒙阴一中2016级高一开学考)已知函数()f x 是一次函数，若(())48f f x x =+，求()f x 的解析式【答案】8()2()283f x x f x x =+=--或【分析】设一次函数()(0)f x ax b a =+≠，利用(())48f f x x =+，得出关于,a b 的关系式，即可求解,a b 的值，得出函数的解析式考点：待定系数法求函数解析式 【变式训练】已知[]{}()2713ff f x x =+，且()f x 是一次式，求()f x 的解析式【答案】()31f x x =+【分析】由题意可得，设()(0)f x kx b k =+≠ []2()()f f x k kx b b k x kb b ∴=++=++[]{}232()()2713ff f x k kx kb b b k x k b kb b x ∴=+++=+++=+32273113k k b k b kb b ⎧==⎧⎪∴⎨⎨=++=⎪⎩⎩ ∴()31f x x =+ 解题技巧与方法总结1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错． 题型三 分段函数典例1.【河北枣强中学2016~2017第一次月考】已知21,1()23,1x x f x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，则((2))f f =（ ） (A) -7 (B) 2 (C) -1 (D) 5 【答案】B【解析】由题意得2((2))(1)(1)12f f f =-=-+= 考点：函数值的求解【变式训练】(山东鄄城一中2016~2017调研)设[]3,10()(5),10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则(6)f 的值为_______ 【答案】7【分析】[](6)(65)((11))(8)f f f f f f =+==由(8)((85))(133)=(10)7f f f f f =+=-=典例2．(2015高考数学（理）一轮配套特训：2-1函数的概念、定义域和值域)设函数()f x ＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是( ) A ．(),1,)3(3-∞U ＋ B ．()3,1,()2∞U －＋ C ．()1,1,()3∞U －＋ D ．(),3()1,3∞U －－ 【答案】A典例3.【2014上海,理18】⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则的取值范围为（ ）.(A)-1,2] (B)-1，0] (C)1，2] (D) [0,2] 【答案】D【考点】分段函数的单调性与最值问题．典例4.【2014高考重庆理第16题】若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()312121|2|3221312x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=-++=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩，其图象如下所示（图中的实线部分）考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想. 典例 5.(安徽省六安市2016~2017第一中学)设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的的取值范围是_________【答案】23a ≥解题技巧与方法总结1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 知识交汇1.（北京第四中学2016~2017期中）已知函数()log ()xa f x a ka =-，其中01,a k R <<∈（1） 若1k =，求函数()f x 的定义域 （2） 若12a =，且()f x 在[)1,+∞内总有意义，求的取值范围 【答案】（1）{}|1x x >（2）1k <【交汇技巧】将定义域问题与对数函数的性质进行结合，需要注意对数函数的单调性及真数大于0；本题求参数取值范围采用参数分离，参数分离法求取值范围的原则为分离后不等式另一边函数的单调性、最值、值域等易求2. (江苏连云港房山中学月考)已知函数2()25(1)f x x ax a =-+> （1） 若函数()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数的值（2） 若对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤，求实数的取值范围 【答案】（1）=2 （2）13a <≤【解析】（1）Q 22()()5(1)f x x a a a =-+->∴()f x 在[]1,a 上是减函数，又定义域和值域均为[]1,a ∴(1),()1f a f a == 解得=2（2）若2a ≥，又[]1,1x a a =∈+，且(1)1a a a +-≤-∴2max min (1)62,()5f f a f f a a ==-==-∴对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤∴max min 4f f -≤即2(62)(5)4a a ---≤，解得13a -≤≤∴23a ≤≤若12a <<，22max min (1)6,()5f f a a f f a a =+=-==-max min 4f f -≤显然成立综上13a <≤练习检测1.下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( )①2Z N A B f x y x →＋＝，＝，：＝；②Z A B Z f x y →＝，＝，：； ③{}[11]00A B f x y →＝－，，＝，：＝ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B2.集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）．【答案】B【解析】选项A 中定义域为[]2,0-，选项C 的图像不是函数图像，选项D 中的值域不对，选B.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x，x ＜0(a ∈R )，若ff (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】A【解析】因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以ff (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14。
2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲指数与指数函数课件理2017041501166
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考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解指数函数模型的实际背 景．
2.理解有理数指数幂的含义， 了解实数指数幂的意义，掌握 幂的运算．
3.理解指数函数的概念，理解 指数函数的单调性，掌握指数 函数图象通过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的 函数模型.
零的 n 次方根是零
当 n 是偶函数时，正数的 n 次方根有 ___两__个___，这两个数互为__相__反___数_
n ± a(a>0)
负数没有偶次方根
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(2)两个重要公式
a
①n
an＝|a|＝
n为奇数
a －a
a≥0， a<0
n为偶数
②(n a)n＝____a____(注意：a 必须使n a有意义)．
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2．有理数的指数幂
(1)幂的有关概念
m
①正分数指数幂：an
＝___n__a_m__(a>0，m，n∈N*，且
n>1)；
1
1
m
②负分数指数幂：a－n
＝___a_mn____＝___n_a_m___(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
③0 的正分数指数幂等于____0____，0 的负分数指数无幂意___义___(y__ìy．ì)
∴m21
－m－2
1
＝m2
－m－2
1
m＋1 m－1＋1＝m＋m－1＋1＝14＋1＝15.
m2 －m－2
m2 －m－2
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•二 指数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
2018届高考数学(文)第一轮总复习全程训练仿真考(一)高考仿真模拟冲刺卷(A)Word版含答案
仿真考(一) 高考仿真模拟冲刺卷(A)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图，已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤3}2．若复数z 满足i z ＝2－4i ，则z 在复平面内对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(－4，－2)D ．(－4,2)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x >0，2x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫a 41a 42a 43a 51a 52a 53a 61a 62a 63)4.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )A ．2B ．8C ．7D ．4 5．“吸烟有害健康，吸烟会对身体造成伤害”，哈尔滨市于2012年5月31日规定室内场所禁止吸烟．美国癌症协会研究表明，开始吸烟年龄(X )分别为16岁，18岁，20岁和22岁，其得肺癌的相对危险度(Y )依次为15.10,12.81，9.72和3.21；每天吸烟数量(U )分别为10支、20支和30支者，其得肺癌的相对危险度(V )依次为7.5,9.5和16.6.用r 1表示变量X 与Y 之间的线性相关系数，用r 2表示变量U 与V 之间的线性相关系数，则下列说法正确的是( )A ．r 1＝r 2B ．r 1>r 2>0C ．0<r 1<r 2D ．r 1<0<r 26．执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝110 011，则输出结果是()A ．51B ．49C ．47D ．457．已知点(n ，a n )(n ∈N *)在y ＝e x 的图象上，若满足当T n ＝ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a n >k 时，n 的最小值为5，则k 的取值范围是( )A ．k <15B ．k <10C ．10≤k <15D ．10<k <158．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0,3)和C (0，－3)，顶点B 在椭圆x 216＋y 225＝1上，则sin (A ＋C )sin A ＋sin C＝( )A.35B.45C.54D.53 9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是( ) A.34 B ．1 C.54 D.3210．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以点F 为圆心和双曲线C 的渐近线相切的圆与双曲线C 在第一象限的交点为M ，且MF 与双曲线C 的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为( )A.52 B. 5 C. 2 D ．211．已知点O 是△ABC 外心，AB ＝4，AO ＝3，则AB →·AC →的取值范围是( )A ．[－4,24]B ．[－8,20]C ．[－8,12]D ．[－4,20]12．已知偶函数f (x )的定义域为(－1,0)∪(0,1)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，当0<x <1时，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x f ′(x )·ln(1－x 2)>2f (x )恒成立，那么不等式f (x )<0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <0或12<x <1B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <－12或12<x <1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12且x ≠0 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <－12或0<x <12 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥≤－1，2x －y ≤1，y ≤1，则z ＝3x －y 的最小值为__________．14．在椭圆x 336＋y 29＝1上有两个动点M ，N ，K (2,0)为定点，若KM →·KN →＝0，则KM →·NM→的最小值为________． 15．若函数y ＝e x －a (e 为自然常数)的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，y ＋1≥0，x －y ≥0，则实数a 的取值范围是________．16．已知正四棱锥P －ABCD 的所有顶点都在半径为1的球面上，当正四棱锥P －ABCD 的体积最大时，该正四棱锥的高为________．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos B －2cos A2a －b＝cos C c .(1)求ab 的值；(2)若角A 是钝角，且c ＝3，求b 的取值范围．18．(本小题满分12分) (2017·张掖市第一次诊断考试)张掖市旅游局为了了解大佛寺景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n 人，问题是(1)分别求出a ，b ，x ，y 的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组各抽取多少人；(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．19．(本小题满分12分)(2017·芜湖质检)如图所示，P A ⊥平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，∠CBA ＝30°，P A ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在弧AB 上，且OM ∥AC .(1)求证：平面MOE ∥平面P AC ； (2)求证：平面P AC ⊥平面PCB .20．(本小题满分12分)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1,0)互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)求四边形ADBC 的面积的最大值．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2－ln(x ＋a )＋b ，g (x )＝x 3.(1)若函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为x ＋y ＝0，求实数a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈(0，＋∞)时，求证：f (x )<g (x )；(3)证明：对于任意的正整数n ，不等式1＋1e 4＋1e 18＋…＋1e (n －1)n 2<n (n ＋3)2成立．请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，点F 的极坐标为(22，π)，且F 在直线l 上．(1)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的值； (2)求曲线C 内接矩形周长的最大值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲若∃x 0∈R ，使关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，设满足条件的实数t 构成的集合为T .(1)求集合T ；(2)若m >1，n >1且对于∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求m ＋n 的最小值．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。
福建省2018届高考数学一轮复习专题研讨会-数学核心素养：从直观到推理——以曲线与方程为例 (共20张PPT)
“直观想象”素养内涵与主要表现
• 素养内涵：通过高中数学课程的学习，学生能提 升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能 力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意 识，提升数形结合的能力；形成数学直观直觉， 在具体的情境中感悟事物的本质。
• 主要表现：建立形与数的联系；利用几何图 形描述问题；借助几何直观理解问题；运用 空间想象认识事物。
四、信息技术是直观想象的好帮手
4.1 信息技术为数学教材提供了一种可操作的环 境。在这种环境里，抽象的数学概念和关系是“可 视的”，并且可以被具体操作。
4.2信息技术让数学教材“生动”起来
数学抽象素养的培养需要直观素材的支撑， 更重视从直观到抽象的过程，信息技术在这些方面 都具有独特的优势。信息技术具有的文字、图表、 动画等多种表述方式可以从不同角度提供直观素材 ，为数学对象建立“多元联系表示”，它的交互性 实验环境又可以提供探索的空间，让学生经历从直 观到抽象的过程，让数学教材生动起来，也让数学 学习更加有趣。
学科 核心素养
学科知识
学科活动
1.1 数学概念形成过程的从直观到抽象
《曲线与方程》教学中，首先引导学生思考：在直角 坐标系中，几何图形“点”的代数形式是什么？让学生 初步形成对于“一一对应”的认识。进一步类比到直线、 圆等其他曲线，逐渐形成任意曲线和方程之间“一一 对应”关系的理解。
从特殊到一般的思想表现在从简单情形去 认识复杂事物，这能使抽象的数学命题变得 具体而简单。
2.2 概念形成后的简单推理及应用
例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常 数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.
2.2 概念形成后的简单推理及应用
又如：等差数列an通项公式的另一种推导