《13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词》教案

教学过程一、课堂导入

正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思维。常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具；在学习数学过程中需要准确全面地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用，所以逻辑用语在数学中也具有很重要的作用。而要正确的使用逻辑用语首要的就是准确的使用逻辑联结词.

在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。为叙述简便，今后常用小写字母p、q、r、s、……，来表示命题。（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）

二、复习预习

1、四种命题的相互关系

2、充分条件与必要条件及其判断方法

三、知识讲解

考点1 命题p∧q、p∨q、非p的真假判定

考点2 全称量词和存在量词

(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．

(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．

(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．

考点3 含有一个量词的命题的否定

三、例题精析

【例题1】

【题干】(2013·长春名校联考)命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋

∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是() A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题

C．非p为假命题D．非q为假命题

【答案】B

【解析】∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，

∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，

例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，

综上可知，“p 或q ”是假命题

【例题2】

【题干】下列命题中是假命题的是( )

A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β

B ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0

C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin B

D ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数

【答案】选D

【解析】对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x ＋122＋34≥34

>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D

是假命题．

【例题3】

【题干】命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．

【解析】有些可以被5整除的数，末位不是0

【解析】省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.

【例题4】

【题干】已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．

【答案】C

【解析】∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0

即p ：00且c ≠1，∴非p ：c >1.

又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：00且c ≠1，

∴非q ：c >12且c ≠1.

又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，

∴p 真q 假或p 假q 真．

①当p 真，q 假时，{c |012且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫c |121}∩⎩⎨⎧⎭

⎬⎫c |0

的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12

四、课堂运用

【基础】

1．(2013·长沙模拟)设p、q是两个命题，则“复合命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是() A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假

C．p、q中有且只有一个为真D．p为真，q为假

解析：选C∵p或q为真⇒p、q中至少有一个为真；p且q为假⇒p、q中至少有一个为假，∴“命题p或q为真，p且q为假”⇒p与q一真一假．

而由C选项⇒“命题p或q为真，p且q为假”．

2．(2013·揭阳模拟)已知命题p：∃x0∈R，cos x0＝5

4；命题q：∀x∈R，x

2－x＋1>0，则下列结论正确的是()

A．命题p∧q是真命题B．命题p∧非q是真命题C．命题非p∧q是真命题D．命题非p∨非q是假命题

解析：选C命题p是假命题，命题q是真命题，∴p∧q是假命题，p∧非q是假命题，

非p∧q是真命题，非q∨非p是真命题．

3．已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－1

2；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则

下列命题是真命题的是()

A．p∧q B．p∨(非q) C．(非p)∧(非q) D．p∨q