山西省太原市2020年高三年级模拟试题(一)理科数学(含答案)
太原市2020年高三年级模拟试题（一）
数学试卷（理科）
（考试时间：下午3：00——5：00）
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}
{
}
26,3x x y x N x
x M -+=
=<=
，则M∩N =（ ）
A ．{}32<<-x x
B ．{}32<≤-x x
C ．{}32≤<-x x
D ．{}
33≤<-x x 2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）
A ．22
B ．2
C ．2
D ．4
3．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A.
165 B.3211 C.167 D.32
13
4．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．函数x
x x f 1
)(2-=的图象大致为（ ）
6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是
5
9
，则（ ）
A.3=a
B.4=a
C.5=a
D.6=a 7.7
3)13(x
x +
展开式中的常数项是（ ） A.189 B.63 C.42 D.21
8．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）
A.π3
B.π3
C.
2
3π
D.π34 9．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤+-≤-+1
0230
6x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最小值为2，则b a 31+
的最小值为（ ）
A ．32+
B ．625+
C ．158+
D ．32
10．已知椭圆)0,0(12222>>=+b a b
y a x C ：的右焦点为F ，过点F 作圆2
22b y x =+的切线，若两条切线互
相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ） A.2
1 B.2
2 C.32 D.36
1l ．设10=AB ，若平面内点P 满足对任意的R ∈λ，都有82≥-AB ，则下列结论一定正确的是（ ） 5≥PA 10≥PB PA C.9-≥⋅ D.ο90≤∠APB
12．定义在R 上的连续奇函数f （x ）的导函数为)(x f '，已知f （1）≠0，且当x>0时有)()(ln x f x f x x -<'⋅成立，则使0)()4(2
>-x f x 成立的x 的取值范围是（ ）
A ．)2,0()0,2(Y -
B ．),2()2,(+∞--∞Y
C ．),2()0,2(+∞-Y
D ．)2,0()2,(Y --∞
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线方程为x y 3=，若其右顶点到这条渐近线的距离为
3，则双曲线方程为 .
14．已知函数)0)(6
sin()(>-
=ωπ
ωx x f 在)34,
0(π单调递增，在)23
4(ππ
，单调递减，则=ω . 15．在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是 .
16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用a （i ，j ）表示第i 行从左数第j 个数，如a （5，2）=11，则a （41，18）= .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题；共60分．
17．（本小题满分12分）
已知△ABC外接圆的半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若2R（sin2B-sin2A）=（a +c）sinC．
（I）求角B；
（Ⅱ）若b=7，c=2，求sinA的值．
18．（本小题满分12分）
如图，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE=1．
（I）求证：平面ABCD⊥平面ABE；
（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使二而角A-BF-E等于45°？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分12分）
新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为22P =．
（I ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；
（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆E 的焦点为F 1（-1，0）和F 2（1，0），过F 2的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的
直线交直线x=3于点C ．设22AF F B λ=u u u u r u u u u u r
，已知当2λ=时，|AB |=|BF 1|．
（I ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．
2L ．（本小题满分12分）
已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()x
g x x
=
． （1）判断函数f （x ）在区间（0．一）上零点的个数；
（Ⅱ）设函数g （x ）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n ． 证明：（1）g （x 1）+g （x 2）<0；
（2）对一切n ∈N *，g （x 1）+g （x 2）+g （x 3）+…+g （x n ）<0成立．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 3cos 3y x （θ为参数），已知点Q （6，0），
点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足MQ PM 2=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（I ）求点M 的轨迹2C 2C 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线kx y l =:与曲线2C 交于A ，B 两点，若AB 4=，求k 的值
23．（本小题满分10分）[选修4-5:不等式选讲]
已知函数1)(,2)(-=-=x x g a x x f .
（I ）若)(2)(x g x f +的最小值为1，求实数a 的值；
（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）<1的解集包含]1,2
1
[，求实数a 的取值范围.。
山西省太原市2020年高三一模理科数学试题文字版带解析
太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理科）（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N=（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.32134．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=aD.6=a 7.73)13(xx +展开式中的常数项是（ ） A.189 B.63 C.42 D.21。
山西省太原市20xx届高三数学模拟试题(一)理(含解析).doc
太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题。
1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】 A【解析】【分析】对集合化简，求出.【详解】，，，故本题选 A.【点睛】本题考查了集合的交集运算的真数要大于零., 本题的关键是对数不等式要解正确，不要忘记对数函数2. 已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出【详解】【点睛】本题考查复数的除法运算. .，故本题选 C.3. 下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B.若，则C. 若命题“ 是真命题”，则命题“D. 命题“ ，”的否定是“是真命题”，”【答案】 D【解析】【分析】对于选项 A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项 B: 要注意成立时，这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；对于选项 D：含有特称量词命题否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。
【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项 A 是假命题；选项 B: 或者，所以选项 B 是假命题；选项 C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；选项 D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选 D.【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.4. 已知，则（）A. B. C. D. 【答案】 B 的【解析】【分析】用二倍角的正弦公式和诱导公式，对所求的式子进行化简，根据题目特点，用，构造出关于的双齐式，进行求解。
【详解】，因为，所以，原式故本题选B。
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及诱导公式。
重点考查了同角三角函数之间的关系。
5. 已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C.1 D.0【答案】 A【解析】【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(理科) (1)
Ⅱ 若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．
已知椭圆 的焦点为 和 ，过 的直线交 于 ， 两点，过 作与 轴垂直的直线交直线 ＝ 于点 ．设 ，已知当 ＝ 时， ＝ ．
Ⅰ 求椭圆 的方程；
Ⅱ 求证：无论 如何变化，直线 过定点．
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
由三都问求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
简单因性规斯
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
椭圆水明心率
此题暂无答案
【考点】
充分常件、头花条件滤充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
函来锰略也与图象的变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
程正然图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
二项式定因及京关概念
已知函数 ＝ ， ．
Ⅰ 判断函数 在区间 上零点的个数；
Ⅱ 设函数 在区间 上的极值点从小到大分别为 ， ， ， ，…， ．证明：
（1） ；
（2）对一切 ， 成立．
山西省太原市2020届高三理科数学一模试卷(解析版)
．
16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了
数表的奇数行和偶数行．如图，若用 a（i，j）表示第 i 行从左数第 j 个数，如 a（5，2）
＝11，则 a（41，18）＝
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；
以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任
取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C5．函数 ሺᖈݔ
若两条切线互相垂直，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．设|AB|＝10，若平面上点 P 满足对任意的λ∈R，恒有
λ
，则一定正确的是
3
（）
A．
B． 諨
C．
D．∠APB≤90°
12．设函数 f'（x）是奇函数 f（x）（x∈R）的导函数，当 x＞0 时，xlnx•f′（x）＜﹣f（x），
山西省太原市 2020 届高三理科数学一模试卷（解析版）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．已知集合 M＝{x||x|＜3}，N＝{x|y 諨 ᖈ ᖈ }，则 M∩N＝（ ） A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|﹣2≤x＜3} C．{x|﹣2＜x≤3} D．{x|﹣3＜x≤3}
山西省太原市2020届高考数学模拟考试(一)试题 理(无答案)
太原市2020年高三年级模拟考试（一）数学 试 题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上。
2．回答第I 卷时，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试题上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，须用0,5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡相对应的答题区域内，写在本试题上无效。
5．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x nS nSh V 31其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V3234,4R V R S其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数1ii的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，既是偶函数又在(0,) 内单调递减的函数是（ ）A ．2y xB ．||1y xC ．lg ||y xD ．||2x y3．若右边表示的程序框图输出的S 是126，则条件①可以是（ ） A ．5n B ．6n C ．7n D ．8n4．甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是2334和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 （ ）A ．12B ．14C ．16D ．5125．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和。
若1342,12,a S 则S = （ ） A ．10 B ．16 C ．20 D ．246．右图是某个三棱锥的三视图，其中正视图是等边三角形， 侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该 三棱锥的体积等于 （ ）A ．612 B ．33C ．64D ．2337．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ，则双曲线的离心率为（ ）A ．13B ．13C ．15D ．158．已知21()nx x的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．40 C ．20 D ．109．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ）， 则点M 取自阴影部分的概率是 （ ） A ．13 B ．12C ．14D ．1610．已知非零向量,,a b c 满足0a b c ，向量a 与b 的夹角为120 ，且|b|=2|a|，则向量a 与c 的夹角为（ ）A ．60B ．90C ．120D ．15011．已知函数()sin()(0)6f x x在4(0,)3 上单调递增，在4(,2)3上单调递减，则 =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．4312．已知函数21,0()log ,0.x x f x x x 则函数[()1]y f f x 的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
太原市2020年高三年级模拟试题(一)数学(理)
.......................................................3 分
∴ cos B a2 c2 b2 1 ，
2ac
2
........................................................5 分
0 B π ， B 2π . 3
(Ⅱ)如图所示，建立空间直角坐标系 A xyz ， ∵ AE 1, AB 2, AE BE ,
z
D
C
F
BE 3 ， B(0, 2, 0), E( 3 , 1 , 0) , ................................8 分 22
A
B y
假设线段 AD 上存在一点 F 满足题意，设 F(0, 0, h) ， (h 0) ，
太原市 2020 年高三年级模拟试题（一） 数学试题（理）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A C A D B D C A
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. x2 y2 1 4 12
14． 1 2
g(x1) g(x2 ) g(x3) g(x4) g(x2k1) g(x2k ) g(x2k1) 0 ，结论也成立.
综上，对一切 n N ，g x1 g x2 g x3 g xn 0 成立. .........................12 分
（二）选考题 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 22.（本小题满分 10 分）
......................................................................6 分
2020-2021学年山西省太原市高三模拟考试数学理科试题(一)及答案解析
太原市高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题 1、已知，则复数（）A.B.C.D.考点：复数的运算 答案：A 2、已知全集，集合,则下图阴影部分表示的集合是（） A.[-1,1） B.(-3,1 C.(-∞,3)⋃[-1,+∞） D.(-3,-1) 考点：集合之间的简单运算 答案：D3、在单调递减等比数列中，若32451,2a a a =+=，则1a =（） A.2 B.4 C. D.2考点：数列的运算 答案：B4、已知函数2()log f x x =，若在[1,8]上任取一个实数0x ，则不等式01()2f x ≤≤成立的概率是（ ） A 、14 B 、12 C 、27 D 、12考点：几何概型 答案：C5、执行如右图所示程序框图，则输出a = （ ）A 、20B 、14C 、10D 、7UMN考点：读程序框图 答案：C6、已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的最小正周期是π，若将其图像向右平移3π个单位后得到的图像关于原点对称，则函数()f x 的图像（ ） A 、关于直线12x π=对称 B 、关于直线512x π=对称C 、关于点(,0)12π对称 D 、关于直线5(0)12π，对称 考点：三角函数图像及性质 答案：B 7、已知在圆内，过点E （1,0）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 A 、B 、6C 、D 、2考点：圆与直线位置关系 答案：D8、已知某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A 、16 B 、32 C 、32 D 、48是开始10,1a i ==2015?i ≤输出aa 是奇数1i i =+结束31a a =-2a a =是否否考点：由三视图求体积 答案：C9、已知实数,a b 满足23,32ab==，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是A. ()2,1--B. ()1,0-C. ()0,1D.()1,2 考点：指数函数，函数的零点问题 答案：B10、已知实数,x y 满足条件2420x x y x y c ≥⎧⎪+≤⎨⎪-++≥⎩若目标函数3z x y =+的最小值为5，其最大值为A. 10B. 12C. 14D. 15 考点：线性规划 答案：A11、已知点O 为双曲线C 的对称中心，过点O 的两条直线1l 与2l 的夹角为60︒，直线1l 与双曲线C 相交于点11,A B ，直线2l 与双曲线C 相交于点22,A B ，若使1122A B A B =成立的直线1l 与2l 有且只有一对，则双曲线C 离心率的取值范围是 A. 323⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 2323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C. 3+3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 3,+3⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭考点：双曲线离心率的求解 答案：A12、已知数列{}n a 的通项公式为()()()121cos12nn n a n n N π*=--+∈，其前n 项和为n S ，则n S = A. 30- B. 60- C. 90 D. 120 考点：数列前n 项和的求解 答案：D二、填空题13.已知向量,a b 满足()()26a b a b -+=，且2,1a b ==，则a b 与的夹角为 。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(理科)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x||x|＜3}，N＝{x|y=√6+x−x2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|﹣2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x≤3}D．{x|﹣3＜x≤3} 2．（5分）设复数z满足z（2+i）＝5，则|z﹣i|＝（）A．√2B．2C．2√2D．43．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．516B．1132C．716D．13324．（5分）在等比数列{a n}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f(x)=x2−1|x|的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则（）A ．a ＝6B ．a ＝5C ．a ＝4D ．a ＝7 7．（5分）（3x 3x ）7展开式中的常数项是（ ） A ．189 B ．63 C ．42 D ．218．（5分）刘徽注《九章算术•商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A ．√3πB ．√32πC ．3πD ．4π9．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤6x −3y ≤−2x ≥1，若目标函数z ＝ax +by （a ＞0，b ＞0）的最小值为2，则1a +3b 的最小值为（ ） A ．2+√3 B ．5+2√6C ．8+√15D ．2√3 10．（5分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作圆x 2+y 2＝b 2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．√22C ．√23D ．√63 11．（5分）设|AB |＝10，若平面上点P 满足对任意的λ∈R ，恒有|2AP →−λAB →|≥8，则一定。
山西省2020年高三年级模拟考试-理科数学试题及答案·A卷
山西省2020年高三年级模拟考试-理科数学试题及答案·A 卷理科数学一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20},{|1}A x x x B x x =-<=≤，则A B = （ ）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[1,2)-D ．[1,1]-1．答案：C解析：2{|20}{|02},{|1}{|11}A x x x x x B x x x x =-<=<<==-≤≤≤，所以[1,2)A B =- ． 2．已知直线,m n 分别在两个不同的平面,αβ内，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．答案：D解析：如果一个平面经过另外一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直，所以仅由m n ⊥不能推出αβ⊥ 两个平面互相垂直，并不能保证两个平面内的任意两条直线垂直，所以m n αβ⊥⇒⊥/．所以“m n ⊥”是“αβ⊥”的既不充分也不必要条件．3．已知向量,a b 不共线，若向量()()3//a b ka b +-，则实数k =（）A ．13-B ．12-C ．13D ．123．答案：A解析：因为,a b 不共线，且()()3//a b ka b +-，所以131k =-，解得13k =-．4．函数224()(2)2x x f x x x -+=>-的最小值是（）A ．3 B ．4C ．5D ．64．答案：D解析：22444()(2)226222x x f x x x x x x -+==+=-++=---≥，当且仅当422x x -=-，即4x =时等号成立，故()f x 的最小值是6．5．已知,(0,)αβπ∈，tan ,tan αβ是方程2420x x ++=的两根，则cos()αβ+的值是（）A B ．C ．45D ．45-解析：由已知得tan tan 40,tan tan 20αβαβ+=-<=>，所以tan 0,tan 0,,,2παβαβπ⎛⎫<<∈⎪⎝⎭， 所以tan tan tan()401tan tan αβαβαβ++==>-，且32ππαβ<+<，所以cos()αβ+=． 6．对于函数2()1x f x e =+的图象，下列说法正确的是（ ） A ．关于点(1,0)对称 B ．关于点(0,1)对称C ．关于直线1x =对称D ．关于直线y x =对称6．答案：B解析：2222()()21111xx x x xe f x f x e e e e-+-=+=+=++++，所以()f x 的图象关于点(0,1)对称． 7．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 的中点在直线1y =上，则直线l 的方程为（ ） A ．22y x =- B ．1y x =- C ．22y x =-+ D ．1y x =-+7．答案：A解析：设1122(,),(,)A x y B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减，得：121212()()4()y y y y x x +-=-，又12121,22y y y y +=∴+=，所以直线AB 的斜率12121242y y k x x y y -===-+， 又(1,0)F ，所以直线AB 的方程为2(1)y x =-，即22y x =-． 8．执行如图所示的程序框图（其中a mod b 表示a 除以b 后 所得的余数），则输出的N 的值是（ ） A ．78 B ．79 C ．80D ．818．答案：D解析：容易看出，该程序框图的功能是统计1至2020中所有是20的倍数但不是100的倍数的整数个数， 在1~2020中，能被20整除的数有101个， 但其中100，200，300，…，2000这20个数能被100整除，故符合条件的整数个数为1012081-=．9．某部门共有4名员工，某次活动期间，周六、周日的上午、下午各需要安排一名员工值班，若规定同一天的两个值班岗位不能安排给同一名员工，则该活动值班岗位的不同安排方式共有（ ） A ．120 B ．132 C ．144 D ．156解析：由题意可知，4个值班岗位有三类不同的排法： 第一类，4个员工各安排1个岗位，对应排法数为4424A =；第二类，1个员工被安排2个值班岗位，另2个员工各安排一个值班岗位，排2个岗位的员工有4个人选，且必然是周六一个岗位，周日一个岗位，故排法为111422C C C ，其余两个岗位排法为23A ，于是第二类排法数为1212422396C C C A =；第三类，2个员工各安排2个值班岗位，4人中，被安排值班岗位的人选共246C =种可能，周六、周日的安排各有22A 种可能，故此类排法共有22242224C A A =． 于是所有排法为249624144++=．10．将函数2()2sin cos f x x x x =-+的图象向左或向右平移(0)a a >个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()6g x g x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭对任意实数x 都成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．524πB ．4πC ．3πD ．6π10．答案：D解析：2()2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x π⎛⎫=-==-⎪⎝⎭， ()()2sin 223g x f x a x a π⎛⎫∴=±=-± ⎪⎝⎭，由()6g x g x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知函数()g x 关于直线12x π=对称，所以2,632a k k ππππ-±=+∈Z ，所以,23k a k ππ±=+∈Z ，故a 的最小值为6π． 11．设12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，与E 的渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形12PFQF 的面积与四边形ABCD 的面积相等，则双曲线E 的离心率为（ ） ABCD11．答案：C解析：由双曲线的定义及平面几何知识可知12222122,4,PF PF a PF PF c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩①②2-②①，得2122PF PF b ⋅=，所以四边形12PFQF 的面积21121222S PF PF b =⨯⋅=．由222x y c by x a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可得x a y b =±⎧⎨=±⎩，所以四边形ABCD 的面积为2224S a b ab =⨯=，112．答案：B解析：由于222222()2()()a a a e b e a a b a b e b -+++=-+-，设(,),(,)a M a e N b b ，则M 为函数x y e =图象上任意一点，N 为函数y x =图象上任意一点，也就是求2MN 的最小值． 12．解析：21i (1i)i 1i1i,1i i i 1z z ++⋅-+====-∴=+-． 14．某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，得到下表：分数段 [70, 90) [90, 110) [110, 130)[130, 150]人数5152010将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计本次考试成绩的中位数是 ．14．答案：115解析：由题意可知，直方图四个矩形的面积从左向右依次为0.1，0.3，0.4，0.2，故中位数位于第3个矩形处，而前2个矩形的面积之和为0.4，故第3个矩形在中位数左侧的面积为为0.1，故中位数为区间[110, 130)的最靠左的四等分点处．故中位数为115．15．已知直角三角形ABC 的两直角边之和为3，将ABC △绕一条直角边旋转一周，所形成旋转体的体积最大值是 ，此时该旋转体外接球的表面积为 ． 15．答案：4,253ππ 解析：设直角三角形的两直角边分别为,a b ，则3a b +=，以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为2232111(3)(3)333V a b a a a a πππ==-=-+，则21(36)(2)3V a a a a ππ'=-+=--， 当02a <<时，0V '>；当23a <<时，0V '<．所以当2a =时，体积最大，最大值为43π．此时圆锥的底面半径2r a ==，高1h b ==，设外接球半径为R ，则222()h R r R -+=， 即22(2)1R R -+=，解得52R =，所以圆锥外接球的表面积2425S R ππ==． 16．已知变量m 的取值完全由变量,,,a b c d 的取值确定，某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好,,,a b c d 四个变量的取值，然后记录相应的变量m 的值，得到下表：试验编号 a b c d m ① 1 1 1 1 4 ② 1 1 1 2 2 ③ 1 1 2 2 1 ④2221则m 关于,,,a b c d 的表达式可能是 ．16．答案：2()a b m cd +=或8()m a b cd =+或223a b m cd+=或其他符合条件的解析式．解析：本题为开放题，答案不唯一．例如，可对比试验①②推断m 与d 成反比，对比试验②③推断m 与c 成反比，对比③④推断m 与a b +成正比（或成反比）．由此可得a bm kcd+=，代入试验①的数据，解得2k =，故2()a b m cd+=是一种可能的表达式； 或设()k m a b cd =+，代入试验①的数据，解得8k =，故8()m a b cd=+．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且对任意n *∈N ，均有2423n n n S a a =+-． （1）求n a ；（2）求数列{(1)}nn a -的前n 项和n T ．17．（1）由2423n n n S a a =+- ①，可知当2n ≥时，2111423n n n S a a ---=+- ②-①②得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，整理得11()(2)0n n n n a a a a --+--=，……………………3分由{}n a 是正项数列可知10n n a a -+>，故120n n a a ---=，…………………………………………4分 故{}n a 是以2为公差的等差数列，又①中，当1n =时，可解得13a =或11a =-（舍去）．………5分 于是21n a n =+．…………………………………………………………………………………………6分 （2）根据题意，1357(1)(21)(1)(21)n n n T n n -=-+-++--+-+ ③(1)⨯-③，得：1357(1)(21)(1)(21)n n n T n n +-=-+++--+-+ ④………………8分-③④，得111(1)2322(1)2(1)(21)32(1)(21)1(1)n n n n n T n n -+--=-+-++-⋅--+=-+⨯+-+-- ……………10分解得(1)(1)1nn T n =-+-．………………………………………………………………………………12分 解法二：当n 为偶数时，(13)(57)[(21)(21)]n T n n n =-++-+++--++= ， 当n 为奇数时，1(1)1(21)2n n n T T a n n n -=+-=--+=--． 故,2,n n n T n n ⎧=⎨--⎩为偶数为奇数……………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）已知12,A A 分别为椭圆222:12x y C b+=的左、右顶点，P 为C 上异于12,A A 的点，且直线1PA 与2PA 的斜率乘积为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若B 为椭圆C 的上顶点，F 为椭圆C 的右焦点，PBF △的面积为1，求直线PB 的方程．18．解析：（1）由题意知12(A A ，设00(,)P x y ，则22222x y b -=⋅，则12220201222PA PA y b k k x ⋅===-=--，解得21b =．故椭圆方程为2212x y +=．…………………………………………………………………………5分（2）当直线BP 的斜率不存在时，BP 的方程为0x =，此时(0,1)P -，易知此时PBF △的面积为1，符合题意；……………………………………………………………………6分 当直线BP 的斜率存在时，设BP 的方程为1y kx =+，将1y kx =+代入22220x y +-=，得：22(12)40k x kx ++=，解得1224,012k x x k =-=+，122412k BP x k∴=-=+． 点F 到直线BP，…………………………………………………………………………10分OFPOF(1,0)F ，BF 直线BF 的方程为1x y +-12PBF S =⨯△，解得2d =，所以d =所以0012x y +-=，所以0030x y +-=或0010x y ++=，又点P 在椭圆22220x y +-=上， 联立2230220x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得2312160x x -+=，21234160∆=-⨯⨯<，所以无解；联立2210220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得2340x x +=，解得0x =或43x =-，(0,1)P ∴或41,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当点P 坐标为(0,1)时，直线BP 的方程为0x =，当点P 坐标为41,33⎛⎫-⎪⎝⎭时，直线BP 的方程220x y -+=． 故直线BP 的方程为0x =或220x y -+=．………………………………………………………………12分 19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，160B BC ∠=︒，111B C AB ⊥． （1）证明：AB AC =；（2）若AB AC ⊥，11AB BB =，在线段11B C 上是否存在一点E ，使二面角11A CE C --？若存在，求111B EB C 的值，若不存在，请说明理由．19．解析：（1）取BC 的中点O ，连接11,,AO OB CB ，1BC BB = ，160B BC ∠=︒，1BCB ∴△为等边三角形，1B O BC ∴⊥．……………………………………………………………………………………2分 又111111//,,BC B C B C AB BC AB ⊥∴⊥，又111,B O AB B BC =∴⊥ 平面1AOB ．……………4分 又AO ⊂平面1AOB ，BC AO ∴⊥，O 为BC 中点，AB AC ∴=．……………………………5分1B1（2）设112AB BB ==，则12BC B C ==．,1AB AC AO ⊥∴=，又1112,OB AB OB AO ==∴⊥．………………………………7分以O 为原点，1,,OB OB OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．则11(1,0,0),(C A B --．…………………………………………………………8分设111B E B C λ=，则1111(12CA CE CB B C λλ==+=-． 设平面1ACE 的法向量为(,,)n x y z =，则10(12)0n CA z n CE x λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取x =21,2),22))y z n λλλλ=-=-∴=--，………………………10分易知平面1CEC 的法向量(0,0,1)m =，则cos ,m n m n m n ⋅===⋅ ，解得14λ=或34λ=（舍去）． 所以存在点E 满足条件，这时11114B E BC =．………………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）某人某天的工作是，驾车从A 地出发，到B ，C 两地办事，最后返回A 地，A ，B ，C 三地之间各路段的行驶时间及当天降水概率如下表：路段 正常行驶所需时间（小时）上午降水概率下午降水概率AB 2 0.3 0.6 BC 2 0.2 0.7 CA30.30.9若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时． 现有如下两个方案：方案甲：上午从A 地出发到B 地办事然后到达C 地，下午在C 地办事后返回A 地； 方案乙：上午从A 地出发到C 地办事，下午从C 地出发到达B 地，办事后返回A 地．（1）若此人8点从A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A 地的概率；（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A 地？ 20．解析：（1）由题意可知，若各路段均不会遇到降水，则返回A 地的时间为17点． 因此若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是，降水的路段数不超过1．记事件123,,M M M 分别表示上午AB 路段降水，上午BC 路段降水，下午CA 路段降水， 则所求概率123123123123()()()()P P M M M P M M M P M M M P M M M =+++0.70.80.10.30.80.10.70.20.10.70.80.90.598=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；…………………………5分（2）设某路段正常行驶时间为x ，降水概率为p ，则该路段行驶时间X 的分布列为行驶时间X x1x +概率p1p -p故()(1)(1)E X x p x p x p =-++=+上午下午路段 正常行驶所需时间（小时）降水概率 行驶时间期望值降水概率 行驶时间期望值AB 2 0.3 2.3 0.6 2.6 BC 2 0.2 2.2 0.7 2.7 CA30.33.30.93.9…………………………………………9分设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为Y ，Z ，则2.3 2.23.98.4, 2.6 2.7 3.38.6EY EZ =++==++=，因此采用甲方案更有利于办事之后能更早返回A 地．……………………………………………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数1(),()ln 1x x e f x g x x x +==-． （1）当1x >时，不等式()f x m >恒成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln 20.693,ln 3 1.099≈≈） （2）证明：当1x >时，()()f x g x <．21．解析：（1）当1x >时，21ln 1()(ln )x x f x x --'=，令1()ln 1F x x x =--，则211()0F x x x'=+>，………………………………………………………2分 因此()F x 在(1,)+∞上单调递增，又455(3)ln 30,(4)ln 42ln 20344F F =-<=-=->，0(3,4)x ∴∃∈使得0()0F x =，即001ln 1x x =+，……………………………………………………4分 当0(1,)x x ∈时，()0,()0,()F x f x f x '<<单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0,()F x f x f x '>>单调递增．00min 000011()()(3,4)1ln 1x x f x f x x x x ++∴====∈+，所以整数m 的最大值为3．…………………6分（2）法一：要证()()f x g x <，即证21ln 0xx x e -->．………………………………………………7分令21()ln x x h x x e -=-，则2321212()x x x x x e x x x h x x e xe-++--'=-=， 令32()2x x e x x x ϕ=+--，则2()341,()64,()6x x x x e x x x e x x e ϕϕϕ''''''=+--=+-=+．……9分 ()0,()x x ϕϕ'''''>∴ 在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0,()e x x ϕϕϕ'''''=->∴>∴在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0,()e x x ϕϕϕ''=->∴>∴在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0e x ϕϕ=->∴>， 即()0,()h x h x '>∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h x h ∴>=，故()()f x g x <．……………………12分法二：要证()()f x g x <，即证21ln 0xx x e -->．………………………………………………7分 令21()ln x x h x x e -=-，则2321212()x x x x x e x x x h x x e xe-++--'=-=， 令32()2x x e x x x ϕ=+--，则2()341x x e x x ϕ'=+--，显然()x ϕ'在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0,()e x x ϕϕϕ''=->∴>∴在(1,)+∞上单调递增，又(1)20,()0e x ϕϕ=->∴>，即()0,()h x h x '>∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h x h ∴>=，故()()f x g x <．……………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系Ox 中，直线,m n 的方程分别为cos 3,sin 2ρθρθ==，曲线2236:45sin C ρθ=+．以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系．（1）将直线,m n 的方程与曲线C 的方程化为直角坐标方程；（2）过曲线C 上的动点P 作直线,m n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值．22．解析：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得直线,m n 的直角坐标方程分别为3,2x y ==，……2分 曲线C 的方程为224936x y +=，即22194x y +=．……………………………………………………4分 （2）设(3cos ,2sin )P θθ，矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，…………………………5分 矩形的面积(33cos )(22sin )6(1sin cos sin cos )S θθθθθθ=--=--+，……………………7分令sin cos [t θθ+=∈，则21sin cos 2t θθ-=．223633(1),[S t t t t =-+=-∈，当t =max 9S =+．……………………………………………………………………10分23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0a b c >>>，且231a b c ++=，求证：（1）11112348a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥； （2）2228271a b c ++<．23．证明：（1）111112132332123a b c b c a c a b a b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==48=；…………………………………………………………………………5分 （2）由0a b c >>>，可知222,,ab b ac c bc c >>>，………………………………………………7分22222222222221(23)494612494612827a b c a b c ab ac bc a b c b c c a b c ∴=++=+++++>+++++=++ ………………10分。
2020届山西省太原市一模数学(理科)试卷及答案
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||3}M x x =<，2{|6}N x y x x ==+-，则(M N = )A ．{|23}x x -<<B ．{|23}x x -< C ．{|23}x x -< D ．{|33}x x -< 2．（5分）设复数z 满足(2)5z i +=，则||(z i -=)A ．2B ．2C ．22D ．43．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．13324．（5分）在等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B．C．D．6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则()A．6a=B．5a=C．4a=D．7a=7．（5分）37 1(3)xx+展开式中的常数项是()A．189B．63C．42D．218．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A3πB3C．3πD．4π9．（5分）已知变量x，y满足约束条件6321x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最小值为2，则13a b+的最小值为()A．23+B．526+C．815+D．310．（5分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，过点F作圆222x y b+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A．12B．22C．23D．6311．（5分）设||10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有|2|8AP AB λ-，则一定正确的是()A ．||5PA B ．||10PA PB +C ．9PA PB -D ．90APB ∠︒12．（5分）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是()A ．(2-，0)(0⋃，2)B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(2⋃，)+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，若其右顶点到，则双曲线方程为．14．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在4(0,3π单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω=．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是．16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用(,)a i j 表示第i 行从左数第j 个数，如(5,2)11a =，则(41,18)a =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABC ∆外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，2c =，求sin A 的值．18．（12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --等于45︒？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1k +次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P =．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20．（12分）已知椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线交直线3x =于点C ．设22AF F B λ=，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．21．（12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()xg x x=．（Ⅰ）判断函数()f x 在区间5(0,)2π上零点的个数；（Ⅱ）设函数()g x 在区间(0,)+∞上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，3x ，4x ，⋯，n x ．证明：（1）12()()0g x g x +<；（2）对一切*n N ∈，123()()()()0n g x g x g x g x +++⋯+<成立．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB =，求k 的值[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||3}M x x =<，2{|6}N x y x x ==+-，则(M N = )A ．{|23}x x -<<B ．{|23}x x -< C ．{|23}x x -< D ．{|33}x x -< 【解答】解：{|33}M x x =-<<，{|23}N x x =- ，{|23}M N x x ∴=-< ．故选：B ．2．（5分）设复数z 满足(2)5z i +=，则||(z i -=)A ．2B ．2C ．22D ．4【解答】解：由(2)5z i +=，得55(2)22(2)(2)i z i i i i -===-++-，22|||2||22|2(2)22z i i i i ∴-=--=-=+-=．故选：C ．3．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．1332【解答】解：设大正方形的边长为4，则面积4416⨯=，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为221222242⨯=，另外一部分为梯形，上底为32=，故概率716P =．故选：C ．4．（5分）在等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在等比数列中，若14a a <，即311a a q <，10a > ，31q ∴<，即1q >，则2531a q a =>，即35a a <成立，若等比数列1，2-，4，8-，16，满足35a a <，但14a a <不成立，故“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件，故选：A ．5．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B．C．D．【解答】解：22()11()()||||x xf x f xx x----===-，则()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当0x>时，211()xf x xx x-==-为增函数，排除A，故选：D．6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则()A ．6a =B ．5a =C ．4a =D ．7a =【解答】解：执行程序框图，有1S =，1k =不满足条件k a >，有1112S =+⨯，2k =；不满足条件k a >，有1111223S =++⨯⨯，3k =；不满足条件k a >，有1111122334S =+++⨯⨯⨯，4k =；不满足条件k a >，有111191122334455S =++++=⨯⨯⨯⨯，5k =；此时，应该满足条件k a >，退出循环输出S 的值为95．故a 的值应为4．故选：C ．7．（5分）37(3x+展开式中的常数项是()A ．189B ．63C ．42D ．21【解答】解：37(3x+展开式的通项公式为：7213772177(3)3r rrr r rr T C x C x---+== ，令72102r-=，解得6r =；所以展开式中的常数项是677321T C == ．故选：D ．8．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A 3πB ．32C ．3πD ．4π【解答】解：由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球；由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴3，∴外接球的半径为32，∴外接球的体积为3433(322V π==．故选：B ．9．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为2，则13a b+的最小值为()A ．23+B ．526+C ．815+D ．3【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数(0,0)z ax by a b=+>>经过C时取最小值为2，所以2a b+=，则1311313()()(4)22b aa ba b a b a b +=++=++22=+b=，并且2a b+=时等号成立；故选：A．10．（5分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，过点F作圆222x y b+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A．12B C D 【解答】解：如图，c =，则222b c =，即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即3c e a ==．故选：D ．11．（5分）设||10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有|2|8AP AB λ- ，则一定正确的是()A ．||5PA B ．||10PA PB +C ．9PA PB -D ．90APB ∠︒【解答】解：以线段AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以其中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则(5,0)A -、(5,0)B 、设点(,)P x y ，则(5,)AP x y =+ ，(10,0)AB =，则2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，即有22(21010)464x y λ+-+ ，整理为以λ为元的一元二次不等式，即222100(20040)4404360x x x y λλ-+++++ ，由于上述不等式对任意R λ∈恒成立，则△0 必然成立，△222(20040)4100(440436)0x x x y =+-⨯⨯+++ ，解得||4y ，即4y 或者4y - ，动点P 位于直线4y =上或其上方部分，或者直线4y =-上或者其下方的区域内，用动态的观点看问题，我们让点P 位于点(5,4)-处，则||4PA =，故A 错误；让点P 位于点(0,4)处，则|||2|8PA PB PO +==，故B 错误；此时||||PA PB ==，||10AB =，用余弦定理计算4141100cos 02||||APB PA PB +-∠=<，90APB ∠>︒故D 错误；我们进一步确定C 选项的正确性，(5,)PA x y =--- ，(5,)PB x y =--，则2225PA PB x y =+-，其中x R ∈，216y ，故2222516259x y x +-+-- ，即9PA PB -，故C 正确．故选：C ．12．（5分）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是()A ．(2-，0)(0⋃，2)B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(2⋃，)+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)【解答】解：根据题意，设()()g x lnx f x = ，(0)x >，其导数1()()()()()()g x lnx f x lnxf x f x lnxf x x'='+'=+'，又由当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，即1()()lnx f x f x x'<- ，则有1()()()0g x f x lnxf x x'=+'<，即函数()g x 在(0,)+∞上为减函数，又由g （1）1()0ln f x == ，则在区间(0,1)上，()()0g x lnx f x => ，又由0lnx <，则()0f x <，在区间(1,)+∞上，()()0g x lnx f x =< ，又由0lnx >，则()0f x <，则()f x 在(0,1)和(1,)+∞上，()0f x <，而1x =时，g （1）1()0ln f x == ，故()f x 也可小于0，又由()f x 为奇函数，则在区间(1,0)-和(,1)-∞-上，都有()0f x >，2240(4)()0()0x x f x f x ⎧->->⇒⎨>⎩或240()0x f x ⎧-<⎨<⎩，解可得：2x <-或02x <<，则x 的取值范围是(-∞，2)(0-⋃，2)；故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，若其右顶点到，则双曲线方程为221412x y -=．【解答】解：根据题意，双曲线渐近线方程为y =，顶点坐标(,0)a ，顶点到渐近线的距离为：2=，解得2a =，根据渐近线方程的斜率ba=，可得b =所以双曲线的方程为：221412x y -=；故答案为：221412x y -=．14．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在4(0,3π单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω=12．【解答】解：由题意44431()sin()12,33636222f k k k Zπππππωπωπω=-=⇒-=+⇒=+∈又0ω>，令0k =得12ω=．（由已知2T π>．如0k >，则2ω ，T π 与已知矛盾）．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是3．【解答】解：法一：如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1F ，0，0)，(0C ，1，1)，设(0,,)AM AC λλλ== ，(,,0)BN BF μμμ==-，01λ ，01μ ．(0MN AB AM BN =-+=，1，0)(0-，λ，)(λμ+，μ-，0)(μ=，1λμ--，)λ-．∴||MN ==λμ=时等号成立）．令(02)t t λμ+=，则||MN ．∴当23t =，即13λμ==时，||min MN ==．MN ∴长度的最小值是3．法二：(0AC = ，1，1)，(1BF =，1-，0)，设与AC ，BF都垂直的一个法向量为(n x = ，y ，)z ，00n AC y z n BF x y ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取1y =，得(1n = ，1，1)-，又(0AB =，1，0)，MN ∴长度的最小值是||||AB n n ==．16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用(,)a i j 表示第i 行从左数第j 个数，如(5,2)11a =，则(41,18)a =835．【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第n 行有n 个数，因为(41,18)a 对应的数字为奇数，则前面奇数行共有：(139)20135394002+⨯+++⋯+==个奇数，故(41,18)a 为第418个奇数，由24181835⨯-=，可得(41,18)835a =，故答案为：835．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABC ∆外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，2c =，求sin A 的值．【解答】解：（1）因为222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．所以2222(sin sin )2()sin R R B A R a c C -=+ ．集222b a ac c -=+，由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==-，0B π<< ，23B π∴=；（2）b = ，2c =，由正弦定理可得，sin sin b cB C=，所以21sin 7C =，因为b c >，故C 为锐角，cos 7C =，所以1sin sin()sin cos sin cos 272714A B C B C C B =+=+=⨯18．（12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --等于45︒？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为AE ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ．所以AE BE ⊥，AE BC ⊥．又因为BC AB ⊥，AE AB A = ，所以BC ⊥平面ABE ．又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABE ．（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -，因为1AE =，2AB =，AE BE ⊥．所以BE =，所以(0B ，2，0)，1,0)2E ，设线段AD 上存在一点F 满足题意，设(0F ，0，)h ，(0)h >，易知平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =，设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，易知3,0)2BE =- ，(0,2,)BF h =- ．所以00n BE n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即302220x y y hz -=⎨⎪-+=⎩，令1y =，可得2)n h = ．由cos ,||||m n m n m n <>===，解得h =．所以存在点F，当AF =A BF E --所成角为45︒．19．（12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1k +次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为3P =．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）该混合样本阴性的概率是28(39=，根据对立事件原理，阳性的概率为81199-=．（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4，方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1，概率为89，若阳性，则检测次数为3，概率为19，设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2，4，6，其分布列为：ξ246P648116811816416122()2468181819E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，其分布列为：η15P648117816417149()15818181E η=⨯+⨯=，()()4E E ηξ<< ，故选择方案三最“优”．20．（12分）已知椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线交E 于A ，B 两点，过A作与y 轴垂直的直线交直线3x =于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，连接1F A ， 222AF F B = ，∴不妨令2||F B m =，则2||2AF m =，1||||3BF AB m ==．由椭圆的定义知，12||||2BF F B a +=，32m m a ∴+=即2a m =，21||||AF a AF ∴==，则点A 为椭圆E 的上顶点或下顶点．令2OAF θ∠=，则1sin a θ=，222cos 2121sin aθθ=-=-①，而在等腰1ABF ∆中，由余弦定理得，22233()()122cos 23322a a a a a θ+-==⨯⨯②，由①②解得，23a =．椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，1c ∴=，22b ∴=，∴椭圆E 的方程为22132x y +=．（Ⅱ）证明：由题可知，直线AB 的斜率一定存在，不妨设其方程为(1)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1(3,)C y ，22AF F B λ= ，1(1x ∴-，12)(1y x λ-=-，2)y ，即12121x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩，而直线BC 的方程为2112(3)3y y y y x x --=--，∴2122()(1)(3)3k x x y k x x x λ-+-=--，∴222(1)(1)(1)(3)3k x y k x x x λλ+-+-=--，∴222223()(1)(3)(1)[](1)33x x x x y k x k x x x λλλ-+-+-=--=-⨯--，当21x x ==时，无论λ如何变化，0y =恒成立，即直线BC 过定点(1,0)．故命题得证．21．（12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()x g x x=．（Ⅰ）判断函数()f x 在区间5(0,)2π上零点的个数；（Ⅱ）设函数()g x 在区间(0,)+∞上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，3x ，4x ，⋯，n x ．证明：（1）12()()0g x g x +<；（2）对一切*n N ∈，123()()()()0n g x g x g x g x +++⋯+<成立．【解答】解：（1）()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，①当(0,)2x π∈时，cos 0x > ，()0f x ∴'>，()(0)1f x f >=，()f x 无零点；②当(2x π∈，32π，cos 0x < ，()0f x ∴'<，(022f ππ=>，33()022f ππ=-<，()f x 有唯一零点；③当3(2x π∈，5)2π，cos 0x > ，()0f x ∴'>，而55()022f ππ=>，()f x 有唯一零点；综上，()f x 在5(0,)2π，有两个零点．（2）证明：①22sin cos ()()x x x f x g x x x +'=-=-，由（1）可知，()g x 在(0,)2π无极值点；(2x π∈，3)2π有极小值点，即为1x ，在3(2x π∈，5)2π有极大值点，即为2x ，而(022f ππ=>，()10f π=-<，33()022f ππ=-<，(2)10f π=>可知1(2x π∈，)π，23(2x π∈，5)2π，同理在5(2π，3)π有极小值点，⋯，在(21)(2n π-，)n π有极值点n x ．由sin cos 0n n n x x x +=，得cos sin n n n x x x =-，1tan n nx x =-，12x x < ，1211x x ∴-<-，112tan()tan tan x x x π+=<，则13(2x ππ+∈，2)π，23(,2)2x ππ∈，故有12x x π+<1212121212cos cos ()()sin sin sin()sin x x g x g x x x x x x x π+=+=--+-sin y x = 在3(,2)2ππ是增函数，12sin()sin 0x x π+-<即12()()0g x g x +<；②，同理，2143(,(21))2k k x k ππ--∈-，241(,2)2k k x k ππ-∈，2124122k k k x x πππ--<+<<，由sin y x =在41(,2)2k ππ-递增得当n 为偶数时，不妨设2n k =，从1()g x 开始相邻两项配对，每组均为负值，即1234212[()()][()()][()()]0k k g x g x g x g x g x g x -++++⋯++<，结论成立；当n 为奇数时，设21n k =+，2141(2k k x π++∈ ，(21))k π+，2121()sin 0k k g x x ++=-<从1()f x 开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也为负值，即即123421221[()()][()()][()()]()0k k k g x g x g x g x g x g x g x -+++++⋯+++<，结论成立；综上，对于一切*n N ∈，12()()()0n g x g x g x ++⋯+<成立．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ = ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB = ，求k 的值【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），设(3cos ,3sin )P θθ，由于点M 满足2PM MQ = ，所以4cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(4)1x y -+=．转换为极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=（Ⅱ）直线:l y kx =转换为极坐标方程为θα=，设1(A ρ，)α，2(B ρ，)α，由于4OA AB = ，所以54OA OB = ，即1254ρρ=，由于28cos 150ρρθ-+=，所以1212128cos 1554ρρθρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得cos θ=．所以222113tan 1cos 243k θθ==-=，解得tan 27k θ==±．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．()2()|2|2|1|f xg x x a x +=++-|2||22||2(22)|x a x x a x =++-+-- |2|1a =+=，解得1a =-或3a =-；（Ⅱ）1[2x ∈，1]时，不等式()()1f x g x +<，即：|2||1|1x a x ++-<，可得：|2|11x a x ++-<，|2|x a x ∴+<．3a x a ∴-<<-，不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，即：132a -<且1a ->，∴312a -<<-．实数a 的取值范围：3(2-，1)-．。