初中数学竞赛指导：裂项相消公式的运用(20200709201447)

1裂项相消公式()11

1

11n n n n =-++的运用

在初中数学竞赛题中，经常出现运用上述公式来解的问题，这里举例如下：例1 方程13153520052007x x

x

x

++++=×?的解是x ＝( )

(A) 20062007(B)2007

2006

(C)20071003(D) 1003

2007

解原方程可化为

故选C ．

点评公式中是两个连续整数之积的倒数，而此题分母是连续奇数之积，要注意灵活处理分子．

例 2 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 3，则

2310011

1

111

a a a +++=---?_______．

2点评

本题通过a n 的通项公式将所求的结论转化为能用上述公式的形式．

例3对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程x 2－(n ＋2)x －2n 2＝0的两个根记作a n 、b n (n ≥2)，则

()()()()()()2233200720071

11

222222a b a b a b ++=------?_______．

点评利用根与系数的关系建立关于n 的代数式，正好可用公式．

例4 计算：

3

3

324610082461010

2461012+++++++++++++++?

???

33

2462014+++++?．　

点评

本题表面上无从下手，但从求偶数和的一般情形出发将分母转化为公式的形式

即可得解．例5设333311111232011S =

++++?，则4S 的整数部分等于( ) A ．4 B ．5 C ．6

D ．7 于是有4<4S<5，

故4S 的整数部分为

4，选A ．点评本题构造不等式，创造了公式的结构，利用公式完成了解．

从以上几例可以归纳出解此类题的规律：一是直接利用公式；二是将表面上不能利用公式的问题，通过转化、构造出符合公式的形式，然后利用公式来解．