平面向量单元复习
川东大竹海 中国竹世界 = 0－BA = AB
五.应用举例
平面向量基本定理
设OA a, OB b, 试用a, b表示MN
分析：先求OM、 ON.
例3.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于 点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一 点N满足CD=3CN,
a AB
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意 (2)0 // a(3)0 0(4) 0 0 (5)0 a a 0 a
(6) 0 0
3.单位向量
(7)0 a 0
a |a|
与非零向量 a共线的单位向量 a0
川东大竹海 中国竹世界
a b | a ||b |
川东大竹海 中国竹世界
a )
2
⑤|a· b|≤|a|· |b|
若a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 1)a b (x1 x2 , y1 y 2 ) 2)a b (x1 x2 , y1 y 2 ) (x1 , y 1 ) 3) a 4)a b x1 x 2 y 1 y 2
量平移,使两个向量共起点。 向量数量积的几何意义
1
A
| b |cos 叫做向量b在a方向上的投影
a b |a|
可正可负可为零 川东大竹海 中国竹世界
平面向量的数量积a· b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b a· b=0 ③a，b同向a· b=|a||b|反向时a· b=-|a|· |b| a2=a· a=|a|2(a· a= ④cosθ=
例8. 已知向量a=(1，5)，b=(－3，2)，求a在
b方向上的正射影的数量。
a b 7 13 | a | cos a, b 川东大竹海 中国竹世界 |b| 13
五.应用举例
向量的长度与夹角问题
例9已知| a | 4 ， | b |，且 2 (a ⑴ 2b) (a b) ⑶ 与 的夹角。
长度相等且方向相反的向量叫做相反向量 . 川东大竹海 中国竹世界
二.基本运算（向量途径） 1.向量加法的三角形法则
C
a +b a
B
首尾相连首尾连 2.向量加法的平行四边形法则 D C
b A a +b
a b AB BC AC
b
A
， a b AB AD AC
川东大竹海 中国竹世界
五.应用举例
向量加减法则
例2 化简（1）（AB + MB）+ BO + OM
（2） AB + DA + BD －BC－CA 利用加法减法运算法则，借助结论 AB=AP+PB；AB=OB－OA；AB+BC+CA=0
进行变形.
解： （1）原式= AB +（BO + OM + MB） = AB + 0 = AB
2.已知点A（ 1， 1 ） , B(4,5),点C在直线AB上， 且 CA 3 AB，求点C的坐标。
(16,19)或（-14,17）
川东大竹海 中国竹世界
特别注意：
a b 0 cos 0 为锐角或 0
a b 0 cos 0 为钝角或
三.两个等价条件
2.非零向量 a 和 b a b a b 0
若a (x1 , y1 ),b (x2 , y 2 ),则 1.向量a和非零向量b a // b 有唯一的实数，使a b x1 y 2 x2 y1 0
向量的长度 2 2 | a | a （） 1 a a | a | ， （2）设 a （x，y），则| a |
x2 y 2
2 2 （3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则| AB | （x1 x 2） （y1 y 2） x1 x2 y1 y2 a b 向量的夹角 cos 中国竹世界 川东大竹海 2 2 2 2 x y x y | a || b | 1 1 2 2
B
解： （1） 因为 AD ∥ BC 且方向相同， A 所以 AD 与 BC 夹角是 0
120 所以 与 的夹角为 AB DA （2）因为 AB 与 AD 的夹角是 60 ， 1 所以 AB DA | AB || DA | cos120 4 3 ( ) 6 2
2=2λ
k=-λ
∴
λ=-1
k=-1 ∴k=-1
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例6. 已知平行四边形ABCD的三顶点 A(－1,
－3)，B(3，1)，C(5，2)，求第四个顶点D和 中心M的坐标
D(1，－2)
例7. 已知a =(1，-1)，求a共线的单位向量。
1 M (2, ) 2
2 2 a0 ( , ) 2 2
x1 x2 y1 y 2 0
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四.一个基本定理
平面向量基本定理
如果e1、 e 2 是同一平面内的两个不 共线的 向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a, 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e1 2 e 2 把不共线的向量 e1、 e 2叫做表示这一 平面内所有向量的一组 基底.
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上 6.相反向量
(a) a, a (a) 0
AD BC | AD || BC | cos0 3 31 9 所以
思考：若E、F分别是BC，DC的中点， 试求AE AF的值。 20 川东大竹海 中国竹世界
五.应用举例
向量共线定理
例5 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
C
（A）重心 外心 垂心 （C）外心 重心 垂心
（B）重心 外心 内心 （D）外心 重心 内心
由 OA OB OC 知, O为ABC的外心； 由 NA NB NC 0知，O为 ABC的重心 ; PA PB PB PC， PA PC PB 0， CA PB 0, CA PB, 同理，AP BC , P为ABC的垂心，
a
ab
a 与 b 夹角为120°求 ⑵ ； | 2a b |
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五.应用举例
例10
平行与垂直问题
（1）k=
1 （2） k , 反向 3
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练习: 1、若a=(1,2)，b=(-2, λ), 且a与b的 夹角为钝角，则λ的取值范围是
1且 -4
二 .基本运算（坐标途径）
2 2 x1 y 1 5) | a | a a x1 x 2 y 1 y 2 a b 川东大竹海2中国竹世界 6) cos 2 2 2 x y x y | a ||b | 1 1 2 2
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
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五.应用举例
向量的有关概念
例 1 给出下列命题： ①若 a·b = 0 ，则 a、b 中至少有一个为 0 . → ＝DC → ②若 A， B， C， D 是不共线的四点， 则AB 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； ⑤若 a∥b，b∥c，则 a∥c. ②③ 其中正确的序号是________ ．
a xi y j ( x, y) a OA ( x , y ) 点 A ( x , y ) a MN ( xN xM , yN yM )
川东大竹海 中国竹世界
向量的模 :| a | | AB |
川东大竹海 中国竹世界
向量垂直的判定
（ 1 ） a b ab 0 （2） a b x1 x2 y1 y2 0
向量平行的判定(共线向量的判定)
考点 提示
（ 1 ） a //b b a （a 0 ） （2） b // a x1 y2 x2 y1 0 ，其中a （x1，y1）， b （x2，y2）
由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应
排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共
线。
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思考： 4、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，
且 PA PB PB PC PC PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的
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五.应用举例
AD BC
平面向量的数量积
， | AD | 3 | AB | 4，
D
F E
例4、如图，在平行四边形ABCD中，已知 求： ， DAB 60 ； （ 2） （1） ；
C
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
高考数学(文)《平面向量》专题复习
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
返回
考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
平面向量复习
平面向量复习知识点提要一、向量的概念1、既有_________又有_________的量叫做向量。
用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的_________，有向线段的箭头所指的方向表示向量的_________2、_______________叫做单位向量__________3、_________的_________向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做_________。
零向量与任一向量平行4、_________且_________的向量叫做相等向量5、_______________叫做相反向量__________二、向量的表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法三、向量的加减法及其坐标运算四、实数与向量的乘积定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ五、平面向量根本定理如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2 ,其中e1，e2叫基底六、向量共线/平行的充要条件七、非零向量垂直的充要条件八、线段的定比分点设21,p p 是l 上的 两点，P 是上l _________的任意一点，那么存在实数λ，使_______________，那么λ为点P 分有向线段12p p 所成的比，同时，称P 为有向线段12p p 的定比分点定比分点坐标公式及向量式九、平面向量的数量积(1)设两个非零向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，那么∠AOB ＝θ叫a 与b 的夹角，其范围是[0，π]，|b|cos θ叫b 在a 上的投影(2)|a||b|cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a||b|cos θ(3)平面向量的数量积的坐标表示十、平移典例解读1、给出以下命题：①假设|a|=|b|，那么a=b ；②假设A ，B ，C ，D 是不共线的四点，那么AB= DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③假设a=b,b=c ，那么a=c ；④a=b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ；⑤假设a ∥b,b ∥c ，那么a ∥c 其中，正确命题的序号是______2、a,b 方向相同，且|a|=3，|b|=7，那么|2a-b|=____3、假设将向量a ＝〔2，1〕绕原点按逆时针方向旋转 得到向量b ，那么向量b 的坐标为_____4、以下算式中不正确的选项是( )(A) AB+BC+CA=0 (B) AB-AC=BC(C) 0·AB=0 (D)λ(μa)=(λμ)a5、假设向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，那么c=( )6、函数y=x2的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数表达式为( )(A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1 (C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+17、平面直角坐标系中，O为坐标原点，两点A(3，1)，B(-1，3)，假设点C满足OC=αOA+βOB，其中a、β∈R，且α+β=1,那么点C的轨迹方程为( )(A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5(C)2x-y=0 (D)x+2y-5=08、设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，那么 PQ=_________9、A(5,-1) B(-1,7) C(1,2)，求△ABC中∠A平分线长10、假设向量a、b的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，那么a·b等于( )(A)-5 (B)5 (C)7 (D)-111、假设a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，那么( )(A)(a)2·(b)2=(a·b)2 (B)|a+b|＞|a-b|(C)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直(D)(a·b)·c-(b·c)·a=012、设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，那么实数λ的值是( )(A)2 (B)0 (C)1 (D)-1/216、利用向量证明：△ABC中，M为BC的中点，那么 AB2+AC2=2(AM2+MB2)17、在三角形ABC中， =〔2，3〕， =〔1，k〕，且三角形ABC的一个内角为直角，求实数k的值18、△ABC中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1)，BC边上的高为AD，求点D和向量。
高考数学第一轮知识点总复习 第七单元 平面向量
整理得2 e1 k 4e2
∵ e1,不e2 共线,∴
2 0, k 4 0,
解得
2, k 8,
即当k=-8时,A、B、D三点共线.
题型四 向量知识的综合应用
【例4】(12分)已知向量 a 2e1 3e2, b 2e1 3e2, c 2e1 9e2, 其中 e1, e2为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数λ, μ,使向量d=λa+μb与c共线?
相反向量 长度相等且方向 相的反向量
表示法
向模量A BA .B.
记作 0 .
常用 e表示
a与 共b线可记为 a.//b
0与任意向量 平.行
a与 b相等记作 a . b
(1) a与 为b 相反的向量,则 a. b
(2) 0的相反向量为 .0
2. 向量的线性运算
向量运算 定义
加法
求两个向 量和的运 算
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
分析 在正确理解有关概念的基础上,注意特殊情况是解决本题的关键.
解 选B.两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不 一定有相同的起点和终点,故①不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不 一定相等,故②不正确;③、④正确；零向量与任一非零向量都平行,当b=0 时,a与c不一定平行,故⑤不正确.
则有
12
本 k题1, 正是利用这一结论构造方程组来求解的.
k2
举一反三
4. 已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA+PB+PC=0,
若实数λ满足AB+AC=λAP,求λ的值. 解析：∵AB+AC=λAP,∴PB-PA+PC-PA=λAP,
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。
数学核心素养下的大单元结构化教学设计——以“平面向量单元复习课”为例
!数学核心素养下的大单元结构化教学设计***以+平面向量单元复习课,为例"江苏省苏州市第三中学校!顾芳芳新课程标准指出%在教学过程中不仅需要关注每节课教学目标的完成情况!更要立足主题$单元教学目标!全面了解教学过程中核心素养发展情况&且教学过程中基于对教学内容的整体把控!是持续性发展学生核心素养的关键!因此!大单元结构化学习应基于数学知识的基本概念!全面引出知识所涉及的数学思想!形成系统体系!构建起知识结构!树立起学生的系统观以及整体观!而平面向量单元联系高中数学中函数$解析几何$数列等部分知识!本身则是数学学习中的核心概念!文章以本单元为例!展开大单元结构化教学设计!以期帮助学生形成清晰的数学知识研究思路$认知过程!掌握相关方法!实现对知识从本源性质的再认识!!确立学习目标基于教学指导纲要!平面向量单元学习的基本目标%掌握平面向量实际背景以及相关基础概念$平面向量线性运算$平面向量坐标表示及基本定理$平面向量数量积$平面向量应用!通过相关知识的掌握!学生应具备%)#*基于平面向量实际背景!学会应用平面向量含义进行几何表示&)!*掌握向量加$减$乘运算!可根据运算解释其几何意义&),*准确分析向量线性与几何性质&)&*了解平面向量正交分解!准确表示坐标&)/*学会在平面向量中利用坐标表示其共线条件&)+*学会利用平面向量解决几何问题!"设计学习过程大单元结构化教学主要以回顾单元内所学知识为主!通过问题$实例情境引入复习内容!通过学习!同学们对向量的应用已有了了解!为了回顾向量的具体应用!选择以下代表性习题帮助大家回顾平面向量相关知识以及具体应用%例!!)#*已知2(')中有点+!为')边中点!假设(''($ !()'($ !求(+'()用 ! 进行表示*&)!*已知 $)#!"*! $)!!#*!若B " 与 *,共线!求实数B &图#),*如图#所示!在平面直角坐标系中!有点+!+#!+!!其中+#为圆上一点!坐标表示为)&#!%#*!点+与点+!分别为圆与&轴正半轴$%轴负半轴的交点!假设3+0+#为!!且!$'+!求0+#'(00+!'(的值!本环节意图明显!通过简单的题目帮助学生回想平面向量单元所学知识!为后续建构知识体系框架奠定基础!具体来讲!其中)#*$)!*两道题目考查学生对平面向量概念与特征的掌握!),*题目则着重考查在几何与代数表示中平面向量运用方法的应用!在解题过程中!学生可发现运算对象处于不断扩展状态!而这是解决数学问题的重要思路与线索!完善学生对数学思想的理解!也锻炼学生数学运算能力$逻辑思维能力!#梳理所学知识#.!知识梳理经过小题的试练后!与学生沟通构建起知识体系!可采用思维导图的方式!以'平面向量(为核心!明确本单元学习共涉及三大部分内容%)#*向量及其基本概念!)!*线性运算!),*向量的数量积!其中在)#*部分!主要学习知识有零向量$单位向量$共线向量$相等向量以及字母$几何$坐标表示等知识&在)!*部分!为单元学习重点!其属于向量应用的一部分!主要知识点有%向量加减法及向量数乘!在加减法中学习运算律$三角形法则$平行四边形法则!在向量数乘中主要学习平行向量基本定理!综合以上知识掌握坐标表示方法&在),*部分!主要学习知识包括向量)模*长度$向量夹角两部分!其中夹角部分则需掌握两向量)!!"!!年!月上半月备考指南复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.!垂直条件!该部分也为向量应用知识!知识梳理的主要意图是帮助学生构建起系统的知识体系!形成系统观!完整地认识平面向量单元知识!打破知识点间的独立状态!以促进知识的综合运用!在知识梳理构成中!需由向量基本概念出发!通过了解向量本质特征后!实现知识难度进阶!了解向量的运算以及具体应用!以此突出数学知识的系统性&其次则是从整体性角度出发!通过知识体系了解数学概念$数学知识点之间的关系!教师应有意识地将数学思想渗透到各部分知识中!如在采用三角形法则进行向量知识应用过程中!实现了三角函数$平面向量知识的联系!如何形成坐标!表示向量$复数都需要基于一定的数学思想进行!其中化归思想最为普遍!解决问题过程中需要通过转化长度$角度之间的联系!实现坐标之间的互化!使学生对平面向量与几何之间的联系有更为本质的认识&最后!通过比较与类比!对知识体系中各部分知识点进行比较分析!重新梳理其中涉及的数学观点以及数学思想!从而突出数学教学的基础价值!以学科知识育人!#."习题巩固全面回顾知识点且建构知识体系后!配以合适的习题进行巩固!是加深学生对知识点认知与理解的最佳途径!教师需选择典型性习题!考查知识点全面!且题目之间体现进阶性特征!难度增加!学生接触基础性题目后!进一步扎实了对基础知识的掌握!且在解决问题中获取了愉悦感与成就感!产生了征服以及探索知识的欲望!因此!习题进阶性更符合学生认知规律的发展!图!例"!如图!所示!有矩形(')=!已知边('$,!(=$!!且已知向量关系为%'>'($>)'(!=4'($#!4)'(!求(>'(0(4'(的值!该题型为平面向量单元的基础题型!教师可根据需要进行转化!如将矩形(')=转变为平行四边形(')=!但无论例!在转变前还是转变后!其始终以几何图形作为基础!且从例#至例!!向量中的诸多习题都伴随几何出现!将边$角条件进行转化则可改变习题背景!成为新题目!但这样的方式能够让学生认识到平面向量单元本质上始终研究向量数量积的解决与运算方法!由此也可明确!该部分知识为高考考查重点!且会联合几何$函数等知识反复出现!为了利用习题引导学生反思$逻辑推理!应在该题型基础上进行多样式的变化!不断调整学生思考以及解决问题的方向!在习题中更全面与更深入地了解向量知识的应用情况!例#!在2(')中!已知3)$+"G!()$#!')$!!且向量关系为!(>'($>''(!求)>的长!按照上述转化思想!该题型能够转化成更多向量题目!变式#%在2(')中!已知3)$+"G!()$#!')$!!且向量关系为!(>'($>''(!存在点=为')边中点!(=与)>处于相交状态!交点为0!求(0'(!图,变式!%在变式#基础上!如图,所示!2(')中!')边中点为=!且('边上存在点>!已知'>$!>(!(=与)>处于相交状态!交点为0!若向量关系为(''(0()'($+(0'(0>)'(!求('5()$+平面向量单元为高一数学知识!学生刚迈入高中!知识体系并不完善!教学中还需立足几何$代数$基底法$坐标法等夯实学生对基础知识的掌握!因此!题型的变化上也相对保守!但能通过题型变化帮助学生对平面向量知识的应用有更全面的认识!且变式的给出也让学生在思考问题$解决问题上的思路得到了拓展!清楚地认识到平面向量知识不仅可以简单地进行加$减$乘的运算!在几何中应用也有着丰富的设问方式!且需要联动几何基础知识解决问题!任何知识系统都存在结构!只有系统处于开放状态!才能够实现知识间的联系与数学问题的多样变化!因此!在进行大单元复习教学过程中!应牢牢把控整合知识$联系知识的契机!始终从结构化$系统化$整体化视角引导学生加深对知识的认识!在全面掌握知识的同时!综合发展数学能力!参考文献%#&任念兵!纵横联系#结构化处理教学内容***+单元,视角下的+抛物线的标准方程,教学设计%B&!中学数学(上)!!"#-(%)!%!&刘东升!践行+三学,!渐次生成+结构化板书,***以+分式单元起始课,教学为例%B&!中学数学(下)!!"#-(#!)!**!备习备考备考指南!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学新教材高一下期末复习第一讲 平面向量及其应用(解析版)
平面向量及其应用单元复习一知识结构图二.学法指导1.向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．2. 向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解．在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．(2)借助零向量．即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．(3)借助平行向量与垂直向量．即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b ＝0等解决问题．(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 3.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .三.知识点贯通知识点1 平面向量的线性运算首尾相接用加法的三角形法则，如AB →＋BC →＝AC →；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB →－OA →＝AB →.例题1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.【答案】DC →=k e 2.BC →=e 1＋(k －1)e 2. MN →=＝k ＋12e 2.【解析】∵AB →＝e 2，且DCAB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－D A →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.知识点二 平面向量数量积的运算2121cos ||||y y x x b a b a +==⋅θ例题2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝ .【答案】32【解析】因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3，所以AB →·AD →＝32.知识点三 平面向量的坐标运算若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； ⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)；⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22；⑧若θ为a 与b 的夹角，则 cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.例题3 .设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)．①若(λa －b )⊥b ，求λ的值；②若m ＝λa ＋μb ，且|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，求λ，μ的值．【答案】①λ＝2.②λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2.【解析】 ①因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，所以λa －b ＝(2λ，0)－(1，3)＝(2λ－1，－3)．又(λa －b )⊥b ，所以(λa －b )·b ＝0，即(2λ－1，－3)·(1，3)＝0， 所以2λ－1－3＝0.所以λ＝2.②因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，m ＝λa ＋μb ＝λ(2,0)＋μ(1，3)＝(2λ＋μ，3μ)． 因为|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，所以⎩⎪⎨⎪⎧(2λ＋μ)2＋(3μ)2＝(23)2，cos π6＝(2λ＋μ，3μ)·(1，3)23×2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＋λμ＋μ2＝3，λ＋2μ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2， 所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2. 知识点四 平面向量的平行与垂直问题 1．证明共线问题常用的方法(1)向量a ，b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．例题4． (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4,1)． ①若AB →＝CD →，求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值． （1）【答案】B【解析】因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，且(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B 。
平面向量总复习题及答案
答案：B
12.已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x,y)到原点的距离是( )
A.4 B. C. D.
解析：由中点坐标公式可得
解得x＝4，ｙ＝1，再由两点间距离公式得 .
答案：D
13.将点(a,b)按向量a＝(h,k)平移后，得到点的坐标为( )
A.(a－ｈ，b＋ｋ) B.(a－ｈ，b－ｋ)
∴｜AC｜＝ .
故点C分布在以点A为圆心，半径为 的圆上，故点C坐标有无数多个.
答案：D
15.将曲线f(x，ｙ)＝0按向量a＝(ｈ，ｋ)平移后，得到的曲线的方程为( )
A.f(x－ｈ，ｙ＋ｋ)＝0 B.f(x－ｈ，ｙ－ｋ)＝0
C.f(x＋ｈ，ｙ－ｋ)＝0 D.f(x＋ｈ，ｙ＋ｋ)＝0
解析：设平A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
答案：B
3.当｜a｜＝｜b｜≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.相等
解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝｜a｜2－｜b｜2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b).
答案：B
4.下面有五个命题：
若a≠0，且b－c≠0
由a⊥(b－c)，得a·(b－c)＝0
∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，故B正确.
C.若｜a｜＝0或1，则a2＝｜a｜.
D.向量的数量积不满足结合律.
答案：B
18.函数ｙ＝4sin2x的图象可以由ｙ＝4sin(2x－ )的图象经过平移变换而得到，则这个平移变换是( )
A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位
平面向量单元检测题(高职对口升学考试数学复习专题)
平面向量单元检测题班级 姓名一、选择题：1、下列命题正确的是 （ ）A ．若0||=，则0=aB ．若||||=，则b a =或b a -=C ．若||，则||||=D ．若=，则=-2、下列说法不正确的是（ ） A ）()a b b a R λλ⇔=∈与是平行向量 B ）若||||a b a b =⨯，则是相等向量与b aC ）若0a b =，则垂直与b aD ）3、已知平行四边形ABCD 的三个顶点)1,2(-A 、)3,1(-B 、)4,3(C ，则顶点D 的坐标为（ ）A ．)2,1(B ．)2,2(C ．)1,2(D ．)2,2(--4、已知向量1(3,2),(5,1),2OM ON MN =-=--则等于 （ ） A ．)1,8( B ．)1,8(- C ．)21,4(- D ．)21,4(- 5、已知向量(3,1),(1,2),a b =-=-则23--的坐标是 （ ）A ．)1,7(B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-6、已知(1,3),(,1),a b x =-=-且∥，则x 等于 （ ）A ．3B ．3-C ．31D ．31- 7、设)0(||>=m m a ，与反向的单位向量是0b ，则用0b 表示为 （ ）A ．0b m a =B ．0b m a -=C ．01b m a =D ．01b ma -= 8、已知点)2,1(--A 平移向量后变为)1,0`(A ，点)1,2(-B 平移向量后对应点`B 的坐标为（ ）A ．)1,3(B ．)3,1(C ．)2,3(D ．)3,2(9、D 、E 、F 分别为ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上的中点，且=，=，下列命题中正确命题的个数是 （ ） ①12AD a b =--；②12BE a b =+；③1122CF a b =-+；④0AD BE CF ++=。
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10、已知A 、B 、C 三点共线，且)6,3(-A ，)2,5(-B ，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为 （ ）A ．－13B ．9C ．－9D ．1311、、是两个非零向量，222)(+=+是⊥的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件12、若),12,5(),4,3(==则与的夹角的余弦值为 （ ）A ．6563B ．6533C ．6533-D ．6563- 13、若4,6m n ==，与的夹角是 135，则⋅等于 （ ）A ．12B ．212C ．212-D ．12-14、点)4,3(-关于点)5,6(-B 的对称点是 （ ）A ．)5,3(-B ．)29,0(C ．)6,9(-D ．)21,3(- 15、下列向量中，与)2,3(垂直的向量是 （ ）A ．)2,3(-B ．)3,2(C ．)6,4(-D ．)2,3(- 16、在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有 ( )A ．=B ．=或=C ．ABCD 是矩形 D ．ABCD 是正方形17、已知平面内三点x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为 ( )A ．3B ．6C ．7D ．9A ．1B ．1-C ．1±D ．019、已知2(2,1),(3,2),3A B AM AB --=，则点M 的坐标是 ( ) A ．)21,21(-- B ．)1,34(-- C ．)0,31( D ．)51,0(- 20、将向量x y 2sin =按向量(,1)6a π=-平移后的函数解析式是 ( ) A ．1)32sin(++=πx y B ．1)32sin(+-=πx y C ．1)62sin(++=πx y D ．1)62sin(+-=πx y 二、填空题 1、化简：--+=__________。
平面向量全章复习
平面向量全章复习推论及公式：● 设a =（x ，y ），则a 2=x 2+y 2，即|a |=x 2+y 2． ● 两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式为AB = ()()221212x x y y -+-．● a =(x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)，它们的夹角为θ，则有121222221122cos x x y y x y x y θ+==+⋅+a b a b●0⊥⇔=a b a b 1212x x y y ⇔+=0．二．典型例题分析例1. 在四边形ABCD 中, 已知AD AB AC +=, 试判断四边形ABCD 是什么样的四边形?例2. 化简：（1）AB BC CD ++=______；（2）AB AD DC --=_____；（3）()()AB CD AC BD ---=_____． 例3. 若AB =3e 1,CD =－5e 1,且|AD |=|BC |，判断四边形ABCD 的形状． 例4. 若112()(3)032x a b c x b --+-+=，则x =__________．例5. 已知向量a 、b 不共线，实数x 、y 满足向量等式3x a +(10－y )b =2x b +(4y +4)a ,则x =_____________,y =_____________．例6. 向量(1,1)a =，且与b a 2+的方向相同，则b a⋅的取值范围是 ),1(+∞-． 例7. 已知OA =(-1，2)，OB =(3，m )，若OA ⊥OB ，则m 的值为__________．例8. 已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 例9. 已知向量),2,1(),1,3(-=-=b a 则b a 23--的坐标是_____．例10. 已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为_______．例11. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标．例12. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直，求实数k 的值．例13. 已知|p |=22，|q |=3，p 、q 的夹角为45°，求以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边的平行四边形过a 、b 起点的对角线长．例14. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-⋅-+AC AB DA DC DB 试判断△ABC 的形状．例15. 已知|a |=3 ，|b |=4， (且a 与b 不共线)， 当且仅当k 为何值时， 向量a +k b 与a －k b 互相垂直?例16. 已知向量a 、b 满足b b a b a a 求，5,53=-=+=． 例17. 若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=________． 例18. △ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB ______（答：－9）例19. 已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）； 例20. 已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）；例21. 已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 的坐标．例22. 已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角． 例23. 设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a =，，2(11)b a -=-，，则cos θ=_______．(31010)例24. 设向量(3,1),(1,2O A O B ==-，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求,OD OA OC OD +=时的坐标．例25. 已知13(3,1),(,),22a b =-=若存在不为零的实数k 和角α，使得()sin 3,sin c a b d ka b αα=+-=-+⋅，且c d ⊥，试求实数k 的取值范围．例26. 已知M ＝(1+cos2x ，1)，N ＝(1，3sin2x +a )(x ，a ∈R ，a 是常数)，且y =OM ·ON (O 是坐标原点)⑴求y 关于x 的函数关系式y =f (x )；⑵若x ∈[0，2π]，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由y =2sin(x +6π)的图象经过怎样的变换而得到． 例27. 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2）。