2014年湖南省怀化市中考数学试卷(含答案和解析)
2014年湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（3分）（2014•怀化）我国南海海域面积为3500000km2，用科学记数法表示正确的是（）A．3.5×105cm2B．3.5×106cm2C．3.5×107cm2D．3.5×108cm22．（3分）（2014•怀化）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°3．（3分）（2014•怀化）多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）4．（3分）（2014•怀化）下列物体的主视图是圆的是（）A．B．C．D．5．（3分）（2014•怀化）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是（）A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COB C．△ABO≌△DCO D．△ADB≌△DAC6．（3分）（2014•怀化）不等式组的解集是（）A．﹣1≤x＜2 B．x≥﹣1 C．x＜2 D．﹣1＜x≤27．（3分）（2014•怀化）某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，列表如下：锻炼时间（小时） 5 6 7 8人数 2 6 5 2则这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（）A．6，7 B．7，7 C．7，6 D．6，68．（3分）（2014•怀化）已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）9．（3分）（2014•怀化）计算：（﹣1）2014=_________．10．（3分）（2014•怀化）分解因式：2x2﹣8=_________．11．（3分）（2014•怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC=_________．12．（3分）（2014•怀化）分式方程=的解为_________．13．（3分）（2014•怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A=_________°．14．（3分）（2014•怀化）已知点A（﹣2，4）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值为_________．15．（3分）（2014•怀化）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD=_________°．16．（3分）（2014•怀化）某校九年级有560名学生参加了市教育局举行的读书活动，现随机调查了70名学生读书的数量，根据所得数据绘制了如图的条形统计图，请估计该校九年级学生在此次读书活动中共读书_________本．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（6分）（2014•怀化）计算：|﹣3|﹣﹣（）0+4sin45°．18．（6分）（2014•怀化）设一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（1，3）、B（0，﹣2）两点，试求k，b的值．19．（10分）（2014•怀化）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：（1）△ABE≌△AFE；（2）∠FAD=∠CDE．20．（10分）（2014•怀化）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．21．（10分）（2014•怀化）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．22．（10分）（2014•怀化）如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，≈1.73，π≈3.14）．23．（10分）（2014•怀化）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根1，x2．（1）若+=1，求的值；（2）求+﹣m2的最大值．24．（10分）（2014•怀化）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2014年湖南省怀化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．（3分）（2014•怀化）我国南海海域面积为3500000km2，用科学记数法表示正确的是（）A．3.5×105cm2B．3.5×106cm2C．3.5×107cm2D．3.5×108cm2考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将3500000用科学记数法表示为：3.5×106．故选：B．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（3分）（2014•怀化）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．已知∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据平行线的性质得∠2=∠3，再根据互余得到∠1=60°，所以∠2=60°．解答：解：∵a∥b，∴∠2=∠3，∵∠1+∠3=90°，∴∠1=90°﹣30°=60°，∴∠2=60°．故选D．点评：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．3．（3分）（2014•怀化）多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．=a（x2﹣4x﹣12）=a（x﹣6）（x+2）．点评：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．4．（3分）（2014•怀化）下列物体的主视图是圆的是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．分析：根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．解答：解：A、只是图是矩形，故A不符合题意；B、主视图是三角形，故B不符合题意；C、主视图是圆，故C符合题意；D、主视图是正方形，故D不符合题意；故选：C．点评：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．5．（3分）（2014•怀化）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O，则下列判断不正确的是（）A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COB C．△ABO≌△DCO D．△ADB≌△DAC考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定．分析：由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易证得△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC；继而可证得∠ABO=∠DCO，则可证得△ABO≌△DCO．解答：解：A、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠ABC=∠DCB，在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS）；故正确；B、∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∵BC＞AD，∴△AOD不全等于△COB；故错误；C、∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC，∵∠ABC=∠DCB，∴∠ABO=∠DCO，，∴△ABO≌△DCO（AAS）；故正确；D、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠BAD=∠CDA，在△ADB和△DAC中，，∴△ADB≌△DAC（SAS），故正确．故选B．点评：此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．6．（3分）（2014•怀化）不等式组的解集是（）A．﹣1≤x＜2 B．x≥﹣1 C．x＜2 D．﹣1＜x≤2考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范围即可．解答：解：，由①得，4x＜8，x＜2，由②得，x≥﹣1，故不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选A．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．7．（3分）（2014•怀化）某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，列表如下：锻炼时间（小时） 5 6 7 8人数 2 6 5 2则这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（）A．6，7 B．7，7 C．7，6 D．6，6考点：众数；中位数．分析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．解答：解：∵共有15个数，最中间的数是8个数，∴这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是6；6出现的次数最多，出现了6次，则众数是6；故选D．点评：此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．8．（3分）（2014•怀化）已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象；一次函数图象与系数的关系．分析：根据一次函数图象可以确定k、b的符号，根据k、b的符号来判定正比例函数y=kx和反比例函数y=图象所在的象限．解答：解：如图所示，∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0．∴正比例函数y=kx 的图象经过第一、三象限，反比例函数y=的图象经过第二、四象限．综上所述，符合条件的图象是C选项．故选：C．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）9．（3分）（2014•怀化）计算：（﹣1）2014=1．考点：有理数的乘方．分析：根据（﹣1）的偶数次幂等于1解答．解答：解：（﹣1）2014=1．故答案为：1．点评：本题考查了有理数的乘方，﹣1的奇数次幂是﹣1，﹣1的偶数次幂是1．10．（3分）（2014•怀化）分解因式：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：常规题型．分析：先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：2x2﹣8故答案为：2（x+2）（x﹣2）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11．（3分）（2014•怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC=1：4．考点：三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，再求出△ADE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．解答：解：∵D、E是边AB、AC上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=（1：2）2=1：4．故答案为：1：4．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．12．（3分）（2014•怀化）分式方程=的解为x=1．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x﹣6=﹣x﹣2，移项合并得：4x=4，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解．故答案为：x=1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．13．（3分）（2014•怀化）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A=30°．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：直接利用正弦函数的定义求解即可．解答：解：由题意得：AB=4米，BC=2米，在Rt△ABC中，sinA===，故∠A=30°，故答案为：30．点评：本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦函数的定义是解答本题的关键．14．（3分）（2014•怀化）已知点A（﹣2，4）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值为﹣8．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：直接把点A（﹣2，4）代入反比例函数y=（k≠0），求出k的值即可．解答：解：∵点A（﹣2，4）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴4=，解得k=﹣8．故答案为：﹣8．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．15．（3分）（2014•怀化）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，延长BC到D，则∠ACD=80°．考点：三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答：解：∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACD=∠A+∠B=30°+50°=80°．故答案为：80．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质是解题的关键．16．（3分）（2014•怀化）某校九年级有560名学生参加了市教育局举行的读书活动，现随机调查了70名学生读书的数量，根据所得数据绘制了如图的条形统计图，请估计该校九年级学生在此次读书活动中共读书2040本．考点：用样本估计总体；条形统计图．分析：利用条形统计图得出70名同学一共借书的本数，进而得出该校九年级学生在此次读书活动中共读书本数．解答：解：由题意得出：70名同学一共借书：2×5+30×3+20×4+5×15=255（本），故该校九年级学生在此次读书活动中共读书：×255=2040（本）．故答案为：2040．点评：此题主要考查了用样本估计总体以及条形统计图等知识，得出70名同学一共借书的本数是解题关键．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（6分）（2014•怀化）计算：|﹣3|﹣﹣（）0+4sin45°．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：原式=3﹣2﹣1+4×=3﹣2﹣1+2=2．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）（2014•怀化）设一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（1，3）、B（0，﹣2）两点，试求k，b的值．考点：待定系数法求一次函数解析式．专题：计算题．分析：直接把A点和B点坐标代入y=kx+b，得到关于k和b的方程组，然后解方程组即可．解答：解：把A（1，3）、B（0，﹣2）代入y=kx+b得，解得，即k，b的值分别为5，﹣2．点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．19．（10分）（2014•怀化）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：（1）△ABE≌△AFE；（2）∠FAD=∠CDE．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据角平分线的性质可得∠1=∠2，再加上条件∠B=∠AFE，公共边AE，可利用AAS证明△ABE≌△AFE；（2）首先证明AF=CD，再证明∠B=∠AFE，∠AFD=∠C可证明△AFD≌△DCE进而得到∠FAD=∠CDE．解答：证明：（1）∵EA是∠BEF的角平分线，∴∠1=∠2，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）；（2）∵△ABE≌△AFE，∴AB=AF，∵四边形ABCD平行四边形，∴AB=CD，AD∥CB，AB∥CD，∴AF=CD，∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，∵∠B=∠AFE，∠AFE+∠AFD=180°，∴∠AFD=∠C，在△AFD和△DCE中，，∴△AFD≌△DCE（AAS），∴∠FAD=∠CDE．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确证明△AFD≌△DCE．20．（10分）（2014•怀化）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．考点：游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．分析：（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．解答：解：（1）∵三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，∴从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：；（2）这个游戏不公平．画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，∴P（甲胜）=，P（乙胜）=．∴P（甲胜）≠P（乙胜），∴这个游戏不公平．点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．21．（10分）（2014•怀化）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．考点：解直角三角形的应用-方向角问题；作图—应用与设计作图．分析：（1）到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，分别在Rt△CMD中和Rt△CND中，用CD表示出MD和ND的长，从而求得CD的长即可．解答：解：（1）答图如图：（2）作CD⊥MN于点D，由题意得：∠CMN=30°，∠CND=45°，∵在Rt△CMD中，=tan∠CMN，∴MD==；∵在Rt△CND中，=tan∠CNM，∴ND==CD；∵MN=2（+1）km，∴MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km，解得：CD=2km．∴点C到公路ME的距离为2km．点评：本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图，正确的作出图形是解答本题的关键，难度不大．22．（10分）（2014•怀化）如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH=OH=3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，≈1.73，π≈3.14）．考点：切线的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；相似三角形的判定；特殊角的三角函数值．专题：综合题．分析：（1）由条件可证∠AED=∠EFB，从而可证△ADE∽△BEF．（2）由DF与⊙O相切，DH=OH=OG=3可得∠ODG=30°，从而有∠GOE=120°，并可求出DG、EF长，从而可以求出△DGO、△DEF、扇形OEG的面积，进而可以求出图中阴影部分的面积．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°．∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°．∴∠AED=90°﹣∠BEF=∠EFB．∵∠A=∠B，∠AED=∠EFB，∴△ADE∽△BEF．（2）解：∵DF与⊙O相切于点G，∴OG⊥DG．∴∠DGO=90°．∵DH=OH=OG，∴sin∠ODG==．∴∠ODG=30°．∴∠GOE=120°．∴S扇形OEG==3π．在Rt△DGO中，cos∠ODG===．∴DG=3．在Rt△DEF中，tan∠EDF===．∴EF=3．∴S△DEF=DE•EF=×9×3=，S△DGO=DG•GO=×3×3=．∴S阴影=S△DEF﹣S△DGO﹣S扇形OEG=﹣﹣3π=.9﹣3π≈9×1.73﹣3×3.14=6.15≈6.2∴图中阴影部分的面积约为6.2．点评：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定、切线的性质、特殊角的三角函数值、扇形的面积等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积．23．（10分）（2014•怀化）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根1，x2．（1）若+=1，求的值；（2）求+﹣m2的最大值．考点：根与系数的关系；根的判别式；二次函数的最值．分析：（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值；（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3∴+===1解得：m1=，m2=（不合题意，舍去）∴=﹣2．（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．当m=﹣1时，最大值为3．点评：此题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．24．（10分）（2014•怀化）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO 的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式；（3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）判断出△ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°，然后求出AO⊥CO，再根据平移的性质可得AO⊥C′O′，从而判断出△OO′G是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解；（2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标，然后设抛物线解析式为y=ax2+bx，再把点B、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（3）设点P到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式求出h，再分点P在x轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可．解答：解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°，∴△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵∠yOC=45°，∴∠AOC=（90°﹣45°）+45°=90°，∴AO⊥CO，∵C′O′是CO平移得到，∴AO⊥C′O′，∴△OO′G是等腰直角三角形，∵射线OC的速度是每秒2个单位长度，∴OO′=2x，∴y=×（2x）2=2x2；（2）当x=3秒时，OO′=2×3=6，∵×6=3，∴点G的坐标为（3，3），设抛物线解析式为y=ax2+bx，则，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）设点P到x轴的距离为h，则S△POB=×8h=8，解得h=2，当点P在x轴上方时，﹣x2+x=2，整理得，x2﹣8x+10=0，解得x1=4﹣，x2=4+，此时，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）；当点P在x轴下方时，﹣x2+x=﹣2，整理得，x2﹣8x﹣10=0，解得x1=4﹣，x2=4+，此时，点P的坐标为（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2），综上所述，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）时，△POB 的面积S=8．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，（3）要注意分情况讨论．。
【解析版】2014-2015学年怀化市洪江市八年级上期中数学试卷
2014-2015学年湖南省怀化市洪江市八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若分式的值为零，那么x的值为（ ） A．x=1或x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=02．下列命题是真命题的是（ ） A．两边及一个角对应相等的两三角形全等 B．两角及一边对应相等的两三角形全等 C．三个角对应相等的两三角形全等 D．面积相等的两三角形全等3．下列运算正确的是（ ） A．x2﹣x﹣2=x0 B．x2+x﹣2=x0 C．x2×x﹣2=x0 D．x2÷x﹣2=x04．下列计算错误的是（ ） A．=B．=﹣1 C．=2 D．+=5．如果把的x与y都扩大到原来的10倍，那么这个代数式的值（ ） A．不变B．扩大10倍C．扩大100倍D．无法确定6．在等腰△ABC中，∠A的相邻外角是70°，则∠B为（ ） A．70° B．35° C．110°或35° D．110°7．有4条线段，长分别是：2，3，4，5，从中任取3条，可以组成三角形的情况有（ ） A．0种B．1种C．2种D．3种8．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A．9 B．12 C．9或12 D．79．适合条件∠A=2∠B=3∠C的△ABC是（ ） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形10．如图，某同学把一块三角形状的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带③去，依据是三角形的全等判定（ ） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11．当x= 时，分式的值为零．12．，，的最简公分母为 ．13．计算：= ．14．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 74mm2，这个数用科学记数法表示为 ．15．写出“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题： ．16．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．17．如图，线段AC与BD交于点O，且OA=OC，请添加一个条件，使△OAB≌△OCD，这个条件是 ．18．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连结EC，则∠ECD的度数是 ．19．如图，点D、E分别边AB、AC的中点，将△ADE沿着DE对折，点A落在BC边的点F上，若∠B=50°，则∠BDF= ．20．已知a2+4a+1=0，且，则m= ．三、解答题（本题满分60分，21至26题，每小题8分，27题12分）21．计算：（1）（π﹣3.14）0+（﹣1）2013﹣（﹣）﹣2（2）（﹣）•（x﹣y）2．22．解方程：（1）﹣=0（2）=．23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．24．已知x+y=4，xy=2，求+的值．25．某人骑自行车比步行每小时快8千米，坐汽车比骑自行车每小时快16千米，此人从A 地出发，先步行4千米，然后乘坐汽车10千米就到B地，他又骑自行车从B 地返回A地，往返所用的时间相等，求此人步行的速度．26．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M 作ME∥BC交AB于点E．求证：△ABC≌△MED．27．（12分）（2014秋•洪江市期中）阅读下列材料：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣（即x+=c+）的解是x1=c，x2=﹣；x+=c+的解是x1=c，x2=；x+=c+的解是x1=c，x2=；…（1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程x+=c+（m≠0）的解，并验证你的结论；（2）利用这个结论解关于x的方程：x+．2014-2015学年湖南省怀化市洪江市八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．若分式的值为零，那么x的值为（ ） A．x=1或x=﹣1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0考点：分式的值为零的条件．分析：分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．解答：解：依题意，得x2﹣1=0，且x+1≠0，解得x=1．故选：B．点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．2．下列命题是真命题的是（ ） A．两边及一个角对应相等的两三角形全等 B．两角及一边对应相等的两三角形全等 C．三个角对应相等的两三角形全等 D．面积相等的两三角形全等考点：全等三角形的判定；命题与定理．分析：根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA 、AAS、HL．针对每个选项进行分析，即可选出答案．解答：解：A、根据两边及夹角对应相等的两三角形全等，故此选项错误；B、两角及一边对应相等的两三角形全等，故此选项正确；C、三个角对应相等的两三角形全等，边长不一定相等，故此选错误；D、面积相等的两三角形不一定全等，故此选项错误．故选：B．点评：本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．3．下列运算正确的是（ ） A．x2﹣x﹣2=x0 B．x2+x﹣2=x0 C．x2×x﹣2=x0 D．x2÷x﹣2=x0考点：负整数指数幂；零指数幂．分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得答案．解答：解：x2•x﹣2=x0，故选：C．点评：此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 4．下列计算错误的是（ ） A．=B．=﹣1 C．=2 D．+=考点：分式的基本性质．分析：根据分式的性质，可判断A、B、C；根据分式的加法，可判断D．解答：解：A、分式的分子分母都除以（x2y2），分式的值不变，故A正确；B、分式的分子分母都除以（a﹣b），故B正确；C、分子分母除以不同的数，分式的值变化，故C错误；D、同分母分式相加，分子相加分母不变，故D正确；故选：C．点评：本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，注意同分母分式相加分子相加，分母不变．5．如果把的x与y都扩大到原来的10倍，那么这个代数式的值（ ） A．不变B．扩大10倍C．扩大100倍D．无法确定考点：分式的基本性质．分析：把x换成10x，y换成10y，然后根据分式的基本性质化简即可．解答：解：∵=，∴这个代数式的值扩大10倍．故选B．点评：本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键．6．在等腰△ABC中，∠A的相邻外角是70°，则∠B为（ ） A．70° B．35° C．110°或35° D．110°考点：等腰三角形的性质．分析：根据邻补角的定义求出∠A的度数，然后根据等腰三角形两底角相等解答．解答：解：∵∠A的相邻外角是70°，∴∠A=180°﹣70°=110°，∴∠B=×（180°﹣∠A）=×（180°﹣110°）=35°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．7．有4条线段，长分别是：2，3，4，5，从中任取3条，可以组成三角形的情况有（ ） A．0种B．1种C．2种D．3种考点：三角形三边关系．分析：从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．解答：解：首先任意的三个数组合可以是2，3，4或2，3，5或3，4，5或2，4，5．根据三角形的三边关系：其中2+3=5，不能组成三角形．∴只能组成3个．故选D．点评：考查了三角形的三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．8．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A．9 B．12 C．9或12 D．7考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：分两种情况：当腰为2时，2+2＜5，所以不能构成三角形；当腰为5时，2+5＞5，所以能构成三角形，周长是：2+5+5=12．故选：B．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．9．适合条件∠A=2∠B=3∠C的△ABC是（ ） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形考点：三角形内角和定理．专题：计算题．分析：设∠C=x，由∠A=2∠B=3∠C，则∠A=3x，∠B=x，根据三角形内角和定理得到3x+x+x=180°，解得x=，则有∠A=3x=3×＞90°，即可判断△ABC的形状．解答：解：设∠C=x，∵∠A=2∠B=3∠C，∴∠A=3x，∠B=x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3x+x+x=180°，解得x=，∴∠A=3x=3×＞90°，∴△ABC为钝角三角形．故选C．点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．10．如图，某同学把一块三角形状的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带③去，依据是三角形的全等判定（ ） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS考点：全等三角形的应用．分析：根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．解答：解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．故选：B．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）11．当x= ﹣3 时，分式的值为零．考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．解答：解：要使分式由分子x2﹣9=0解得：x=±3．而x=﹣3时，分母x﹣3=﹣6≠0．x=3时分母x﹣3=0，分式没有意义．所以x的值为﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．12．，，的最简公分母为 6x2y2 ．考点：最简公分母．分析：确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．解答：解：，，的分母分别是2xy、3x2、6xy2，故最简公分母为6x2y2．故答案为6x2y2．点评：本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．13．计算：= x+y ．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：首先把两分式分母化成相同，然后进行加减运算．解答：解：原式===x+y．故答案为x+y．点评：本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．14．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 74mm2，这个数用科学记数法表示为 7.4×10﹣7 ．考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000 000 74=7.4×10﹣7；故答案为：7.4×10﹣7．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．15．写出“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题： 线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等 ．考点：命题与定理．分析：写出线段垂直平分线的性质定理即可．解答：解：“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题为：线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等．故答案为线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等．点评：本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．16．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么它们相等 ．考点：命题与定理．分析：命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．解答：解：题设为：对顶角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．点评：本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．17．如图，线段AC与BD交于点O，且OA=OC，请添加一个条件，使△OAB≌△OCD，这个条件是 ∠A=∠C，∠B=∠D，OD=OB，AB∥CD ．考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：本题要判定△OAB≌△OCD，已知OA=OC，∠AOB=∠COD，具备了一组边对应相等和一组角对应相等，故添加∠A=∠C，∠B=∠D，OD=OB，AB∥CD后可分别根据ASA、AAS 、SAS、AAS判定△OAB≌△OCD．解答：解：∵OA=OC，∠A=∠C，∠AOB=∠COD，∴△OAB≌△OCD（ASA）．∵OA=OC，∠B=∠D，∠AOB=∠COD，∴△OAB≌△OCD（AAS）．∵OA=OC，OD=OB，∠AOB=∠COD，∴△OAB≌△OCD（SAS）．∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），∵OA=OC，∴△OAB≌△OCD（AAS）．故填∠A=∠C，∠B=∠D，OD=OB，AB∥CD．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．18．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连结EC，则∠ECD的度数是 25° ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据角平分线定义求出∠EBC，根据线段垂直平分线得出NE=CE，推出∠ECD=∠EBC 即可．解答：解：∵BE平分∠ABD，∠ABC=50°，∴∠EBD=∠ABC=25°，∵AD垂直平分线段BC，∴BE=CE，∴∠ECD=∠EBC=25°，故答案为：25°．点评：本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．19．如图，点D、E分别边AB、AC的中点，将△ADE沿着DE对折，点A落在BC边的点F上，若∠B=50°，则∠BDF= 80° ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：探究型．分析：先根据点D、E分别边AB、AC的中点可知DE是△ABC的中位线，故可求出∠ADE=∠B=50°，再由翻折变换的性质可知∠EDF=50°，由平角的性质即可求解．解答：解：∵点D、E分别边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠B=50°，∵△DEF是△DEA经过翻折变换得到的，∴∠EDF=50°，∴∠BDF=180°﹣2∠ADE=180°﹣100°=80°．故答案为：80°．点评：本题考查的是图形翻折变换的性质及平角的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．20．已知a2+4a+1=0，且，则m= ．考点：分式的等式证明．分析：由a2+4a+1=0，得a2=﹣4a﹣1，代入所求的式子化简即可．解答：解：∵a2+4a+1=0，∴a2=﹣4a﹣1，=====5，∴（16+m）（﹣4a﹣1）+8a+2=5（m﹣12）（﹣4a﹣1），原式可化为（16+m）（﹣4a﹣1）﹣5（m﹣12）（﹣4a﹣1）=﹣8a﹣2，即[（16+m）﹣5（m﹣12）]（﹣4a﹣1）=﹣8a﹣2，∵a≠0，∴（16+m）﹣5（m﹣12）=2，解得m=．故答案为．点评：解题关键是两次用到了整体代入的思想，它在解题中起到了降幂，从而化难为易的作用．三、解答题（本题满分60分，21至26题，每小题8分，27题12分）21．计算：（1）（π﹣3.14）0+（﹣1）2013﹣（﹣）﹣2（2）（﹣）•（x﹣y）2．考点：分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解答：解：（1）原式=1﹣1﹣4=﹣4；（2）原式=•（x﹣y）2=•（x﹣y）2=x﹣y．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．解方程：（1）﹣=0（2）=．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（1）去分母得：2x﹣4﹣3x+9=0，解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解；（2）去分母得：3x+6=5x，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质．专题：证明题．分析：由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．解答：证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．点评：本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．24．已知x+y=4，xy=2，求+的值．考点：分式的化简求值．分析：根据x+y=4，xy=2，得出x2+y2=（x+y）2﹣2xy=12，再把要求的式子进行通分，然后代值计算即可．解答：解：∵x+y=4，xy=2，∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=42﹣4=12，∴+=+===．点评：此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是完全平方和平方差公式，关键是根据给出的条件求出x2+y2的值．25．某人骑自行车比步行每小时快8千米，坐汽车比骑自行车每小时快16千米，此人从A 地出发，先步行4千米，然后乘坐汽车10千米就到B地，他又骑自行车从B 地返回A地，往返所用的时间相等，求此人步行的速度．考点：分式方程的应用．分析：设步行的速度是x千米/小时，骑自行车的速度是（x+8）千米/小时，汽车的速度是（x+8+16）千米/小时，根据往返所用的时间相等，可列方程求解．解答：解：设步行的速度是x千米/小时，+=，x=6，经检验x=6符合题意，答：此人步行的速度6千米/小时．点评：本题考查理解题意的能力，关键是以往返所用的时间相等做为等量关系列方程求解． 26．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M 作ME∥BC交AB于点E．求证：△ABC≌△MED．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△MED．解答：证明：∵MD⊥AB，∴∠MDE=∠C=90°，∵ME∥BC，∴∠B=∠MED，在△ABC与△MED中，，∴△ABC≌△MED（AAS）．点评：此题考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，难度一般．27．（12分）（2014秋•洪江市期中）阅读下列材料：x+=c+的解是x1=c，x2=；x﹣=c﹣（即x+=c+）的解是x1=c，x2=﹣；x+=c+的解是x1=c，x2=；x+=c+的解是x1=c，x2=；…（1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程x+=c+（m≠0）的解，并验证你的结论；（2）利用这个结论解关于x的方程：x+．考点：解分式方程．专题：阅读型．分析：本题考查观察、比较，猜想、逻辑分析能力，观察所给式子，可看出：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可直接解得．利用这个结论，可解题．解答：解：（1）有两种可能：x=c或．故x1=c，x2=，把x1=c，x2=代入方程，方程右边的形式与左边完全相同．（2）有两种可能：x﹣1=a或．故x1=a，x2=．点评：本题要打破常规思维，能够大胆猜想，学会变形整理再去验证．。
【初中数学】湖南省怀化市2014年初中毕业学业水平考试数学模拟试卷(一) 人教版
怀化市2014年初中毕业学业水平考试模拟试卷（一）数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．在下列实数中，无理数是（）A．2B．3.14 C．D．2．如图所示圆柱的左视图是（）3．下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是（）A．B．C．D．4．下列计算中，正确的是（）A．（a3b）2=a6b2B．a•a4=a4C．a6÷a2=a3D．3a+2b=5ab5．已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差，乙组数据的方差，下列结论中正确的是（）A．甲组数据比乙组数据的波动大B．乙组数据的比甲组数据的波动大C．甲组数据与乙组数据的波动一样大D．甲组数据与乙组数据的波动不能比较6．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断7．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5y 12 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（2）当时，y＜0；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．08．有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（）A．a+b B．2a+b C．3a+b D．a+2b二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．计算：a4÷a2=_________．10．分解因式：a2+2a+1=_________．11．方程=的解为_________．12．任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数大于4的概率为_________．13．按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为_________．14．如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为_________．（结果保留π）15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为_________．16．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则=_________用含k 的代数式表示）．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）化简：﹣．18．（6分）解方程组：．19．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．20．（10分）某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．消费金额（元） 300﹣400 400﹣500 500﹣600 600﹣700 700﹣900 …返还金额（元） 30 60 100 130 150 …根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：若够买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×（1﹣80%）+30=110（元）．（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？（2）如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？21．（10分）某企业500名员工参加安全生产知识测试，成绩记为A，B，C，D，E共5个等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的成绩（等级），统计整理并制作了如下的统计图：（1）求这次抽样调查的样本容量，并补全图①；（2）如果测试成绩（等级）为A，B，C级的定位优秀，请估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O 与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD=BF；（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2 与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）求点C在这条抛物线上时m的值．（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标．②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE，当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值．（参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（，））24．（10分）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ 的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D﹣A运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．18．解：，②﹣①×2得：x=6，将x=6代入①得：6+2y=0，即y=﹣3，则方程组的解为．19．证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∠ADB=∠CDB，∴∠PMD=∠PND=90°，PM=PN，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵PM=PN，∴四边形MPND是正方形．20．解：（1）标价为1000元的商品按80%的价格出售，消费金额为800元，消费金额800元在700﹣900之间，优惠额为150元，顾客获得的优惠额是：1000×（1﹣80%）+150=350（元）；（2）设该商品的标价为x元．当80%x≤500，即x≤625时，顾客获得的优惠额不超过625×（1﹣80%）+60=185＜226；当500＜80%x≤600，即625＜x≤750时，（1﹣80%）x+100≥226，解得x≥630．所以630≤x≤750．当600＜80%x≤800×80%，即750＜x≤800时，顾客获得的优惠额大于750×（1﹣80%）+130=280＞226．综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为630元．21．解：（1）依题意有：20÷40%=50（人），则这次抽样调查的样本容量为50．50﹣20﹣5﹣8﹣5=12（人）．补全图①为：；（2）依题意有500×=370（人）．答：估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数为370人．22．（1）证明：连接OE，∵AC与圆O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE=BF，又∵OE=BD，则BF=BD；（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，又∵CF=1，∴BF=3x+1，由（1）得：BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=5x﹣=，∵OE∥BF，∴∠AOE=∠B，∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，解得：x=，则圆O的半径为=．。
2014-2015年湖南省怀化市洪江市初三上学期期末数学试卷含答案解析
2014-2015学年湖南省怀化市洪江市初三上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，﹣2，﹣3B．1，﹣2，3C．1，2，3D．1，2，﹣3 2．（3分）反比例函数y=的图象经过第二、四象限，那么k的值可能是（）A．3B．4C．5D．23．（3分）反比例函数y=图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1 4．（3分）两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（）A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm5．（3分）从全市5000份数学试卷中随机抽取400份试卷，其中360份成绩合格，那么可以估计全市数学成绩合格的学生大约有多少人？（）A．4500B．4000C．3600D．48006．（3分）如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=7．（3分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m8．（3分）关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（）A．无论k为任何实数，方程都没有实数根B．无论k为任何实数，方程都有两个相等的实数根C．无论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和两个相等实数根三种9．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=60°，a=3时，c的值是（）A．c=4B．c=5C．c=6D．c=710．（3分）学校评选出30名优秀学生，要选5名代表参加全市优秀学生表彰会，已经确定了1名代表，则剩余学生参加全市优秀学生表彰会的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以点A为位似中心，把△ABC放大3倍后得到△AEF，则∠E=．12．（3分）反比例函数y=的图象经过点（2，1），则m的值是．13．（3分）若=，则=．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=3，AC=4，则sinB的值是．15．（3分）2014年1月，“教学点数字教育资源”进入某县农村中小学，2014年该县投入该项工程的经费为3500万元，预计2016年投入4600万元．设这两年投入这项工程的经费的年平均增长率为x，则可列方程：．16．（3分）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为．17．（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．18．（3分）设x1，x2为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=，根据材料，若x1，x2是方程x2+8x+4=0的两根，则+的值．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）解方程：x2﹣10x+9=0．20．（6分）计算：2cos30°﹣tan45°﹣|1﹣tan60°|．21．（8分）某中学开展“八荣八耻”演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．（1）根据如图，分别求出两班复赛的平均成绩和方差；（2）根据（1）的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好？22．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，4）、B（3，m）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）求k的负整数值，并选择一个k的负整数值，求出方程的根．24．（10分）如图①是矗立的文峰塔，喜爱数学实践活动的小明查资料得知：文峰塔始建于明万历十二年（1584它是洪江市现存最高大、最古老的宝塔．小明决定用自己所学习的知识测量大观楼文峰塔的高度，如图②，他利用测角仪站在B处测得文峰塔最高点P的仰角为45°，又前进了12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°．请你帮助小明算算文峰塔的高度．（结果保留根号）．25．（10分）如图，已知△ABC中，∠ABC=135°，过B作AB的垂线交AC于点P，若，PB=2，求BC的长．26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，将∠MPN的顶点P在矩形ABCD的边AD上滑动，在滑动过程中，始终保持∠MPN=90°，射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F．（1）求证：△AEP∽△DPC；（2）在点P的运动过程中，点E与点B能重合吗？如果能重合，求DP的长；（3）是否存在这样的点P使△DPC的面积等于△AEP面积的4倍？若存在，求出AP的长；若不存在，请证明理由．2014-2015学年湖南省怀化市洪江市初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，﹣2，﹣3B．1，﹣2，3C．1，2，3D．1，2，﹣3【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣2，﹣3．故选：A．2．（3分）反比例函数y=的图象经过第二、四象限，那么k的值可能是（）A．3B．4C．5D．2【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k﹣3＜0，即k＜3．∴D符合，故选：D．3．（3分）反比例函数y=图象上有三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1【解答】解：∵反比例函数y=中，k=6＞0，∴此反比例函数图象的两个分支在一、三象限；∵x3＞0，∴点（x3，y3）在第一象限，y3＞0；∵x1＜x2＜0，∴点（x1，y1），（x2，y2）在第三象限，y随x的增大而减小，故y2＜y1，由于x1＜0＜x3，则（x3，y3）在第一象限，（x1，y1）在第三象限，所以y1＜0，y2＞0，y1＜y2，于是y2＜y1＜y3．故选：B．4．（3分）两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为（）A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm【解答】解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，∴大多边形与小多边形的相似比是4：3．∴相似多边形周长的比是4：3．设大多边形的周长为x，则有=，解得：x=48．即大多边形的周长为48cm．故选：A．5．（3分）从全市5000份数学试卷中随机抽取400份试卷，其中360份成绩合格，那么可以估计全市数学成绩合格的学生大约有多少人？（）A．4500B．4000C．3600D．4800【解答】解：5000×=4500（人）．故选：A．6．（3分）如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=【解答】解：当=时，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA．故选：C．7．（3分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，∴解得：AB=40，故选：B．8．（3分）关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（）A．无论k为任何实数，方程都没有实数根B．无论k为任何实数，方程都有两个相等的实数根C．无论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和两个相等实数根三种【解答】解：x2+2kx+k﹣1=0，△=（2k）2﹣4（k﹣1）=4k2﹣4k+4=4（k﹣）2+3，不论k为何值，△＞0，即一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：C．9．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=60°，a=3时，c的值是（）A．c=4B．c=5C．c=6D．c=7【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinA=，∴c===6．故选：C．10．（3分）学校评选出30名优秀学生，要选5名代表参加全市优秀学生表彰会，已经确定了1名代表，则剩余学生参加全市优秀学生表彰会的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：因为有30名优秀学生已经确定了1名代表，所以还有29名学生，再从中选5﹣1=4名有29种可能，符合条件的有4种，故其概率为：．故选：D．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以点A为位似中心，把△ABC放大3倍后得到△AEF，则∠E=72°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°∵△ABC∽△AEF∴∠E=∠B=72°．故答案为：72°．12．（3分）反比例函数y=的图象经过点（2，1），则m的值是1．【解答】解：将点（2，1）代入解析式y=可得：m+1=2，所以m=1．故答案为：1．13．（3分）若=，则=．【解答】解：根据=得3a=5b，则=．故答案为：．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=3，AC=4，则sinB的值是．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=3，∴AB=2CD=6，∵AC=4，∴sinB===，故答案为：．15．（3分）2014年1月，“教学点数字教育资源”进入某县农村中小学，2014年该县投入该项工程的经费为3500万元，预计2016年投入4600万元．设这两年投入这项工程的经费的年平均增长率为x，则可列方程：3500×（1+x）2=4600．【解答】解：设增长率为x，根据题意得3500×（1+x）2=4600，故答案为：3500×（1+x）2=4600．16．（3分）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为12米．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，∴BC：AC=1：，∴AC=•BC=6（米），∴AB===12（米）故答案为12米．17．（3分）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为5米．【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知=，即=，解得AM=5m．则小明的影长为5米．18．（3分）设x1，x2为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=，根据材料，若x1，x2是方程x2+8x+4=0的两根，则+的值﹣2．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣8，x1•x2=4，所以+===﹣2．故答案为﹣2．三、解答题（共8小题，满分66分）19．（6分）解方程：x2﹣10x+9=0．【解答】解：x2﹣10x+9=0，（x﹣1）（x﹣9）=0，x﹣1=0，x﹣9=0，x1=1，x2=9．20．（6分）计算：2cos30°﹣tan45°﹣|1﹣tan60°|．【解答】解：原式=2×﹣1﹣+1=0．21．（8分）某中学开展“八荣八耻”演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．（1）根据如图，分别求出两班复赛的平均成绩和方差；（2）根据（1）的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好？【解答】解：（1）九（1）班的选手的得分分别为85，75，80，85，100，∴九（1）班成绩的平均数=（85+75+80+85+100）÷5=85，九（1）班的方差S12=[（85﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]÷5=70；九（2）班的选手的得分分别为70，100，100，75，80，九（2）班成绩的平均数=（70+100+100+75+80）÷5=85，九（2）班的方差S22=[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]÷5=160；（2）平均数一样的情况下，九（1）班方差小，成绩比较稳定．22．（8分）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（1，4）、B（3，m）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【解答】解：（1）点A（1，4）在反比例函数y=的图象上，所以k2=xy=1×4=4，故有y=因为B（3，m）也在y=的图象上，所以m=，即点B的坐标为B（3，），一次函数y=k1x+b过A（1，4）、B（3，）两点，所以解得所以所求一次函数的解析式为y=﹣x+（2）过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A′、A〞，过点B作x轴的垂线，垂足为B′，=S矩形OA′AA″+S梯形A′ABB′﹣S△OAA″﹣S△OBB′则S△AOB=1×4+×（4+）×（3﹣1）﹣×1×4﹣×3×=，∴△AOB的面积为．23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）求k的负整数值，并选择一个k的负整数值，求出方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣3）2+4k＞0，解得：k＞﹣；（2）假设k=﹣2，则x2﹣3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，．24．（10分）如图①是矗立的文峰塔，喜爱数学实践活动的小明查资料得知：文峰塔始建于明万历十二年（1584它是洪江市现存最高大、最古老的宝塔．小明决定用自己所学习的知识测量大观楼文峰塔的高度，如图②，他利用测角仪站在B处测得文峰塔最高点P的仰角为45°，又前进了12米到达A处，在A处测得P的仰角为60°．请你帮助小明算算文峰塔的高度．（结果保留根号）．【解答】解：由题意得，∠PAO=60°，∠B=45°，设塔高为x米，在Rt△AOP中，∵∠PAO=60°，∴OA=x，在Rt△BOP中，∵∠B=45°，∴OB=x，则x﹣x=12，解得：x=18+6．答：文峰塔的高度为（18+6）米．25．（10分）如图，已知△ABC中，∠ABC=135°，过B作AB的垂线交AC于点P，若，PB=2，求BC的长．【解答】解：过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，∵PB⊥AB，CD⊥AB，∴PB∥CD，∴△APB∽△ACD，∴=，∵=，∴=，∵PB=2，∴CD=3，∵∠ABC=135°，∴∠DBC=45°，∵CD⊥BD，∴BD=CD=3，由勾股定理得：BC==3．26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，将∠MPN的顶点P在矩形ABCD的边AD上滑动，在滑动过程中，始终保持∠MPN=90°，射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线BC于点F．（1）求证：△AEP∽△DPC；（2）在点P的运动过程中，点E与点B能重合吗？如果能重合，求DP的长；（3）是否存在这样的点P使△DPC的面积等于△AEP面积的4倍？若存在，求出AP的长；若不存在，请证明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，∴∠PCD+∠DPC=90°，又∵∠CPE=90°，∴∠EPA+∠DPC=90°，∴∠PCD=∠EPA，∴△AEP∽△DPC．（2）假设在点P的运动过程中，点E能与点B重合，当B，E重合时，∵∠BPC=90°，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠DPC+∠DCP=90°，∴∠DCP=∠APB，∵∠A=∠D，∴△ABP∽DPC，∴=，即：=，解得：DP=1或9，∴B，E重合时DP的长为1或9；（3）存在满足条件的点P，∵△CDP∽△PAE，根据使△DPC的面积等于△AEP面积的4倍，得到两三角形的相似比为2，∴=2， 即=2，解得AP=1.5；附加：初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征： 60°60°60° 45°45°45°运用举例： 1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标； x yB C AO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．l s 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
中考数学最新真题试题汇编及解析(湖南怀化)
=1+ -1+2-2
=2- ．
【点睛】本题考查的是实数的运算，熟知二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的计算法则是解答此题的关键．
18.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式组的方法步骤求解，然后在数轴上把解集表示出来即可．
7.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A.七边形B.八边形C.九边形D.十边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解．
【详解】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7，
∴这个多边形的边数是7，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．
设CD=x，则BD=2.4-x，
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，
∴∠CAD=45°，
∴AD=CD=x．
在Rt△ABD中， ，
即 ，
解得x=0.88，
可知AD=0 88千米=880米，
因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，
在Rt△OCA中，AO=3，OC=2，
∴AC= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
2014年湖南省湘西州中考数学试卷(含解析版)
2014年湖南省湘西州中考数学试卷一、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分，将正确答案填在相应的横线上）1．（3分）（2014•湘西州）2014的相反数是．2．（3分）（2014•湘西州）分解因式：ab﹣2a=．3．（3分）（2014•湘西州）已知∠A=60°，则它的补角的度数是度．4．（3分）（2014•湘西州）据中国汽车协会统计，2013年我国汽车销售量约为2198万辆，连续五年位居全球第一位，请用科学记数法表示21980000=．5．（3分）（2014•湘西州）如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，则∠DOE=度．6．（3分）（2014•湘西州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE=cm．二、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）7．（4分）（2014•湘西州）下列运算正确的是（）A．（m+n）2=m2+n2B．（x3）2=x5C．5x﹣2x=3 D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 8．（4分）（2014•湘西州）已知x﹣2y=3，则代数式6﹣2x+4y的值为（）A．0B．﹣1 C．﹣3 D．39．（4分）（2014•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（）A．B．C．1D．210．（4分）（2014•湘西州）如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠2度数为（）A．45°B．60°C．90°D．120°11．（4分）（2014•湘西州）在一个不透明的口袋中，装有5个红球和3个绿球，这些球除了颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．1D．12．（4分）（2014•湘西州）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．13．（4分）（2014•湘西州）每年4月23日是“世界读书日”，为了了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（）A．500名学生B．所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况C．50名学生D．每一名学生对“世界读书日”的知晓情况14．（4分）（2014•湘西州）已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（）A．7B．8C．6或8 D．7或815．（4分）（2014•湘西州）正比例函数y=x的大致图象是（）A．B．C．D．16．（4分）（2014•湘西州）下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直三、解答题（本大题9小题，共92分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤）17．（6分）（2014•湘西州）计算：2﹣1+2cos60°+．18．（8分）（2014•湘西州）解不等式：3（x+2）≥0，并把它的解集在数轴上表示出来．19．（8分）（2014•湘西州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE=DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：AE=CF．20．（8分）（2014•湘西州）据省环保网发布的消息，吉首市空气质量评价连续两年居全省14个省辖市城市之最，下表是吉首市2014年5月份前10天的空气质量指数统计表（一）2014年5月1日～10日空气质量指数（AQI）情况日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日空气质量指数（AQI）28 38 94 53 63 149 53 90 84 35 （二）空气质量污染指数标准（AQI）污染指数等级0～50 优51～100 良101～150 轻微污染151～200 轻度污染（1）请你计算这10天吉首市空气质量指数的平均数，并据此判断这10填吉首市空气质量平均情况属于哪个等级；（用科学计算器计算或笔算，结果保留整数）（2）按规定，当空气质量指数AQI≤100时，空气质量才算“达标”，请你根据表（一）和表（二）所提供的信息，估计今年（365天）吉首市空气质量“达标”的天数．（结果保留整数）21．（8分）（2014•湘西州）如图，一次函数y=﹣x+m的图象和y轴交于点B，与正比例函数y=x图象交于点P（2，n）．（1）求m和n的值；（2）求△POB的面积．22．（10分）（2014•湘西州）五一期间，春华旅行社组织一个由成人和学生共20人组成的旅行团到凤凰古城旅游，景区门票售票标准是：成人门票148元/张，学生门票20元/张，该旅行团购买门票共花费1936元，问该团购买成人门票和学生门票各多少张？23．（10分）（2014•湘西州）如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．（1）填空：AC=，AB=．（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；（3）判断△CAB和△DEF是否相似？并说明理由．24．（12分）（2014•湘西州）湘西盛产椪柑，春节期间，一外地运销客户安排15辆汽车装运A、B、C三种不同品质的椪柑120吨到外地销售，按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品质的椪柑，每种椪柑所用车辆部不少于3辆．（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑车辆数为y辆，根据下表提供的信息，求出y与x之间的函数关系式；椪柑品种 A B C每辆汽车运载量10 8 6每吨椪柑获利（元）800 1200 1000（2）在（1）条件下，求出该函数自变量x的取值范围，车辆的安排方案共有几种？请写出每种安排方案；（3）为了减少椪柑积压，湘西州制定出台了促进椪柑销售的优惠政策，在外地运销客户原有获利不变的情况下，政府对外地运销客户，按每吨50元的标准实行运费补贴．若要使该外地运销客户所获利润W（元）最大，应采用哪种车辆安排方案？并求出利润W（元）的最大值？25．（22分）（2014•湘西州）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B（2，﹣）和点C（﹣3，﹣3）两点均在抛物线上，点F（0，﹣）在y轴上，过点（0，）作直线l与x轴平行．（1）求抛物线的解析式和线段BC的解析式．（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为点S，过点P作PN⊥l，垂足为点N，试判断△FNS的形状，并说明理由；（4）若点A（﹣2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值．2014年湖南省湘西州中考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分，将正确答案填在相应的横线上）1．（3分）（2014•湘西州）2014的相反数是﹣2014．2．（3分）（2014•湘西州）分解因式：ab﹣2a=a（b﹣2）．3．（3分）（2014•湘西州）已知∠A=60°，则它的补角的度数是120度．4．（3分）（2014•湘西州）据中国汽车协会统计，2013年我国汽车销售量约为2198万辆，连续五年位居全球第一位，请用科学记数法表示21980000= 2.198×107．5．（3分）（2014•湘西州）如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，则∠DOE=20度．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：由∠AOC=40°，根据对顶角相等求出∠DOB=40°，再根据角平分线定义求出∠DOE即可．解答：解：∵∠AOC=40°，∴∠DOB=∠AOC=40°，∵OE平分∠DOB，∴∠DOE=∠BOD=20°，故答案为：20．点评：本题考查了对顶角的性质角、角平分线定义的应用，关键是求出∠BOD的度数．6．（3分）（2014•湘西州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE=4cm．考点：垂径定理；勾股定理．分析：先根据垂径定理得出CE的长，再在Rt△OCE中，利用勾股定理即可求得OE的长．解答：解：∵CD⊥AB∴CE=CD=×6=3cm，∵在Rt△OCE中，OE=cm．故答案为：4．点评：本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握．二、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）A．（m+n）2=m2+n2B．（x3）2=x5C．5x﹣2x=3 D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；平方差公式．分析：根据完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则，平方差公式分别求出每个式子的值，再判断即可．解答：解：A、（m+n）2=m2+2mn+n2，故本选项错误；B、（x3）2=x6，故本选项错误；C、5x﹣2x=3x，故本选项错误；D、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了对完全平方公式，幂的乘方，合并同类项法则，平方差公式的应用，注意：完全平方公式有（a+b）2=a2+2ab+b2，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，题目比较好，难度适中．8．（4分）（2014•湘西州）已知x﹣2y=3，则代数式6﹣2x+4y的值为（）A．0B．﹣1 C．﹣3 D．3考点：代数式求值．分析：先把6﹣2x+4y变形为6﹣2（x﹣2y），然后把x﹣2y=3整体代入计算即可．解答：解：∵x﹣2y=3，∴6﹣2x+4y=6﹣2（x﹣2y）=6﹣2×3=6﹣6=0故选：A．点评：本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算．9．（4分）（2014•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（）A．B．C．1D．2考点：等腰直角三角形．分析：由已知可得Rt△ABC是等腰直角三角形，得出AD=BD=AB=1，再由Rt△BCD是等腰直角三角形得出CD=BD=1．解答：解：∵∠ACB=90°，CA=CB，∴∠A=∠B=45°，∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB=1，∠CDB=90°，∴CD=BD=1．故选：C．点评：本题主要考查了等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质求角及边的关系．10．（4分）（2014•湘西州）如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠2度数为（）A ．45°B．60°C．90°D．120°考点：平行线的性质；垂线．分析：根据垂线的定义可得∠1=90°，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠1．解答：解：∵c⊥a，∴∠1=90°，∵a∥b，∴∠2=∠1=90°．故选C．点评：本题考查了平行线的性质，垂线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．11．（4分）（2014•湘西州）在一个不透明的口袋中，装有5个红球和3个绿球，这些球除了A．B．C．1D．考点：概率公式．分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：根据题意可知，共有8个球，红球有3个，故抽到红球的概率为，故选B．点评：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．13．（4分）（2014•湘西州）每年4月23日是“世界读书日”，为了了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是A．500名学生B．所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况C．50名学生D．每一名学生对“世界读书日”的知晓情况考点：总体、个体、样本、样本容量．分析：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断．解答：解：样本是所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况．故选B．点评：本题考查了样本的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．14．（4分）（2014•湘西州）已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长A．7B．8C．6或8 D．7或8考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为等腰三角形的两边分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：当2为底时，三角形的三边为3，2、3可以构成三角形，周长为8；当3为底时，三角形的三边为3，2、2可以构成三角形，周长为7．故选D．点评：题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．A．B．C．D．考点：正比例函数的图象．分析：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限．解答：解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限．∴正比例函数y=x的大致图象是C．故选：C．点评：此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．16．（4分）（2014•湘西州）下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直考点：正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质．分析：根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．三、解答题（本大题9小题，共92分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤）17．（6分）（2014•湘西州）计算：2﹣1+2cos60°+．考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=+2×+3=4．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）（2014•湘西州）解不等式：3（x+2）≥0，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．分析：不等式两边同时除以3，然后移项，即可求解．解答：解：不等式两边同时除以3，得：x+2≥0，移项，得：x≥﹣2．点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．19．（8分）（2014•湘西州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE=DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：AE=CF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的对应边相等即可证得．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键．20．（8分）（2014•湘西州）据省环保网发布的消息，吉首市空气质量评价连续两年居全省14个省辖市城市之最，下表是吉首市2014年5月份前10天的空气质量指数统计表（一）2014年5月1日～10日空气质量指数（AQI）情况日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日空气质量指数（AQI）28 38 94 53 63 149 53 90 84 35（二）空气质量污染指数标准（AQI）污染指数等级0～50 优51～100 良101～150 轻微污染151～200 轻度污染并据此判断这10填吉首市空气质量平均情况属于哪个等级；（用科学计算器计算或笔算，结果保留整数）（2）按规定，当空气质量指数AQI≤100时，空气质量才算“达标”，请你根据表（一）和表（二）所提供的信息，估计今年（365天）吉首市空气质量“达标”的天数．（结果保留整数）考点：用样本估计总体；统计表；算术平均数．分析：（1）求出这10天的空气质量平均平均数，再根据空气质量污染指数标准找出等级即可；（2）找出这10天空气质量“达标”的天数，求出占的比列，再乘以365即可．解答：解：（1）=68.7≈69，69在51～100之间，所以吉首市空气质量平均情况属于良；（2）∵这10天空气质量“达标”的天数为9天，今年（365天）吉首市空气质量“达标”的天数为=328.5≈329（天），答：估计今年（365天）吉首市空气质量“达标”的天数为329天．点评：本题考查从统计表中获取信息的能力，及统计中用样本估计总体的思想．21．（8分）（2014•湘西州）如图，一次函数y=﹣x+m的图象和y轴交于点B，与正比例函数y=x图象交于点P（2，n）．（1）求m和n的值；（2）求△POB的面积．考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题．分析：（1）先把P（2，n）代入y=x即可得到n的值，从而得到P点坐标为（2，3），然后把P点坐标代入y=﹣x+m可计算出m的值；（2）先利用一次函数解析式确定B点坐标，然后根据三角形面积公式求解．解答：解：（1）把P（2，n）代入y=x得n=3，所以P点坐标为（2，3），把P（2，3）代入y=﹣x+m得﹣2+m=2，解得m=4，即m和n的值分别为4，3；（2）把x=0代入y=﹣x+4得y=4，所以B点坐标为（0，4），所以△POB的面积=×4×2=4．点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．22．（10分）（2014•湘西州）五一期间，春华旅行社组织一个由成人和学生共20人组成的旅行团到凤凰古城旅游，景区门票售票标准是：成人门票148元/张，学生门票20元/张，该旅行团购买门票共花费1936元，问该团购买成人门票和学生门票各多少张？考点：二元一次方程组的应用．分析：设购买成人门票x张，学生门票y张，则由“成人和学生共20人”和“购买门票共花费1936元”列出方程组解决问题．解答：解：设购买成人门票x张，学生门票y张，由题意得解得答：购买成人门票12张，学生门票8张．点评：此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．23．（10分）（2014•湘西州）如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．（1）填空：AC=2，AB=2．（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；（3）判断△CAB和△DEF是否相似？并说明理由．考点：相似三角形的判定；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：（1）根据勾股定理来求AC、AB的长度；（2）利用勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义来解题；（3）由“三边法”法来证它们相似．解答：解：（1）如图，由勾股定理，得AC==2．AB==2故答案是：2，2；（2）如图所示，BC==2．又由（1）知，AC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2=40，∴∠ACB=90°．tan∠1==．综上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是；（3）△CAB和△DEF相似．理由如下：如图，DE=DF==，EF==．则===2，所以△CAB∽△DEF．点评：本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．24．（12分）（2014•湘西州）湘西盛产椪柑，春节期间，一外地运销客户安排15辆汽车装运A、B、C三种不同品质的椪柑120吨到外地销售，按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品质的椪柑，每种椪柑所用车辆部不少于3辆．（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑车辆数为y辆，根据下表提供的信息，椪柑品种 A B C每辆汽车运载量10 8 6每吨椪柑获利（元）800 1200 1000每种安排方案；（3）为了减少椪柑积压，湘西州制定出台了促进椪柑销售的优惠政策，在外地运销客户原有获利不变的情况下，政府对外地运销客户，按每吨50元的标准实行运费补贴．若要使该外地运销客户所获利润W（元）最大，应采用哪种车辆安排方案？并求出利润W（元）的最大值？考点：一次函数的应用．分析：（1）等量关系为：车辆数之和=15，由此可得出x与y的关系式；（2）关系式为：装运每种脐橙的车辆数≥3；（3）总利润为：装运A种椪柑的车辆数×10×800+装运B种椪柑的车辆数×8×1200+装运C种椪柑的车辆数×6×1000+运费补贴，然后按x的取值来判定．解答：解：（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑车辆数为y辆，则装C种椪柑的车辆是15﹣x﹣y辆．则10x+8y+6（15﹣x﹣y）=120，即10x+8y+90﹣6x﹣6y=120，则y=15﹣2x；（2）根据题意得：，解得：3≤x≤6．则有四种方案：A、B、C三种的车辆数分别是：3辆，9辆，3辆或4辆，7辆，4辆或5辆5辆、2辆、8辆或6辆、3辆、6辆；（3）W=10×800x+8×1200（15﹣x）+6×1000【15﹣x﹣（15﹣2x）】+120×50=4400x+150000，根据一次函数的性质，当x=6时，W有最大值，是4400×6+150000=176400（元）．应采用A、B、C三种的车辆数分别是：6辆、3辆、6辆．点评：本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键．25．（22分）（2014•湘西州）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B（2，﹣）和点C（﹣3，﹣3）两点均在抛物线上，点F（0，﹣）在y轴上，过点（0，）作直线l与x轴平行．（1）求抛物线的解析式和线段BC的解析式．（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为点S，过点P作PN⊥l，垂足为点N，试判断△FNS的形状，并说明理由；（4）若点A（﹣2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值．考点：二次函数综合题；二次根式的性质与化简；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短．专题：压轴题．分析：（1）由于抛物线的顶点在坐标原点O，故抛物线的解析式可设为y=ax2，把点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y=mx+n，把点B、C的坐标代入即可求出直线BC的解析式．（2）由点D（x，y）在线段BC上可得y D=x﹣2，由点G在抛物线y=﹣x2上可得y G=﹣x2．由h=DG=y G﹣y D=﹣x2﹣（x﹣2）配方可得h=﹣（x+）2+．根据二次函数的最值性即可解决问题．（3）可以证明PF=PN，结合PN∥OF可推出∠PFN=∠OFN；同理可得∠QFS=∠OFS．由∠PFN+∠OFN+∠OFS+∠QFS=180°可推出∠NFS=90°，故△NFS是直角三角形．（4）过点M作MH⊥l，垂足为H，如图4，由（3）中推出的结论PF=PN可得：抛物线y=﹣x2上的点到点F（0，﹣）的距离与到直线y=的距离相等，从而有MF=MH，则MA+MF=MA+MH．由两点之间线段最短可得：当A、M、H三点共线（即AM⊥l）时，MA+MH（即MA+MF）最小，此时x M=x A=﹣2，从而可以求出点M及点A的坐标，就可求出MF+MA的最小值．解答：解：（1）如图1，∵抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，∴抛物线解析式为y=ax2．∵点C（﹣3，﹣3）在抛物线y=ax2上，∴.9a=﹣3．∴a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣x2．设直线BC的解析式为y=mx+n．∵B（2，﹣）、C（﹣3，﹣3）在直线y=mx+n上，∴．解得：．∴直线BC的解析式为y=x﹣2．（2）如图2，∵点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），∴y D=x﹣2，且﹣3＜x＜2．∵DG⊥x轴，∴x G=x D=x．∵点G在抛物线y=﹣x2上，∴y G=﹣x2．∴h=DG=y G﹣y D=﹣x2﹣（x﹣2）=﹣x2﹣x+2=﹣（x2+x）+2=﹣（x2+x+﹣）+2=﹣（x+）2++2=﹣（x+）2+．∵﹣＜0，﹣3＜﹣＜2，∴当x=﹣时，h取到最大值，最大值为．∴h与x之间的函数关系式为h=﹣（x+）2+，其中﹣3＜x＜2；当x=﹣时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是．（3）△FNS是直角三角形．证明：过点F作FT⊥PN，垂足为T，如图3，∵点P（m，n）是抛物线y=﹣x2上位于第三象限的一个动点，∴n=﹣m2．m＜0，n＜0．∴m2=﹣3n．在Rt△PTF中，∵PT=﹣﹣n，FT=﹣m，∴PF=====﹣n．∵PN⊥l，且l是过点（0，）平行于x轴的直线，∴PN=﹣n．∴PF=PN．∴∠PNF=∠PFN．∵PN⊥l，OF⊥l，∴PN∥OF．∴∠PNF=∠OFN．∴∠PFN=∠OFN．同理可得：∠QFS=∠OFS．∵∠PFN+∠OFN+∠OFS+∠QFS=180°，∴2∠OFN+2∠OFS=180°．∴∠OFN+∠OFS=90°．∴∠NFS=90°．∴△NFS是直角三角形．（4）过点M作MH⊥l，垂足为H，如图4，在（3）中已证到PF=PN，由此可得：抛物线y=﹣x2上的点到点F（0，﹣）的距离与到直线y=的距离相等．∴MF=MH．∴MA+MF=MA+MH．由两点之间线段最短可得：当A、M、H三点共线（即AM⊥l）时，MA+MH（即MA+MF）最小，等于AH．即x M=x A=﹣2时，MA+MF取到最小值．此时，y M=﹣×（﹣2）2=﹣，点M的坐标为（﹣2，﹣）；y A=×（﹣2）﹣2=﹣，点A的坐标为（﹣2，﹣）；MF+MA的最小值=AH=﹣（﹣）=．∴当点M的坐标为（﹣2，﹣）时，MF+MA的值最小，最小值为．。
专题 压轴题--湖南省2014-2017年中考数学试题分项解析(解析版)
一、选择题1.（2014年，湖南省长沙市，3分）函数y=ax与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）【考点】1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．2.（2014年湖南省株洲市，3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）3．（2016年湖南省娄底市，3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小【答案】C．考点：锐角三角函数的增减性．4．（2016年湖南省永州市，4分）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：3根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216=4，②log 525=5，③log 2=﹣1．其中正确的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 【答案】B. 【解析】试题分析：根据表格中的规律可得:①因为24=16，此选项正确；②因为55=3125≠25，所以此选项错误；③因为2﹣1=21，所以此选项正确；故答案选B ． 考点：实数的运算．5. （2016年湖南省岳阳市，3分）对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b}的意义为：当a ≥b 时，max{a ，b}=a ；当a ＜b 时，max{a ，b]=b ；如：max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x 的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】考点：分段函数6．（2016年湖南省长沙市，3分）已知抛物线y=ax 2+bx+c （b ＞a ＞0）与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧； ②关于x 的方程ax 2+bx+c+2=0无实数根； ③a ﹣b+c ≥0； ④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D ．考点：二次函数的图象与系数的关系.1．（2014年，湖南省衡阳市，3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3，OM4，OM5，…根据以上规律，请直接写出OM2014的长度为▲ ．2．（2015·湖南常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1。
2014-2015年湖南省怀化市洪江市九年级上学期数学期中试卷带答案
2014-2015学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题2分，满分24分）1．（2分）方程4（x﹣2）2﹣25=0的解为．2．（2分）已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），则m的值为．3．（2分）若=，则=；若==≠0，则=．4．（2分）已知线段a：b=c：d，若a=5cm，b=6cm，d=12cm，则c=．5．（2分）在反比例函数y=图象的每个象限内，y随x的增大而减小，则m 的取值范围是．6．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=；c=．7．（2分）已知在△ABC和△DEF，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°．当∠F=时，△ABC∽△DEF．8．（2分）若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值等于．9．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．10．（2分）国家实施惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年由1万元，提高到1.44万元，这两年该镇农民人均收入的平均增长率是．11．（2分）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△=．DEF12．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是．二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．（3分）下列各点中，在反比例函数图象上的是（）A．（﹣1，8）B．（﹣2，4）C．（1，7） D．（2，4）14．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A．x2+3x+4=0 B．x2﹣4x+3=0 C．x2+4x﹣3=0 D．x2+3x﹣4=015．（3分）下列命题正确的是（）A．位似图形一定不是全等形B．相似比等于1的两个位似图形全等C．两个位似图形的周长比等于相似比的平方D．两个位似图形面积的比等相似比16．（3分）已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内D．若x＞1，则0＞y＞﹣217．（3分）若关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0的两根相等，那么m等于（）A．﹣1或5 B．﹣1或﹣5 C．1或﹣5 D．1或518．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．1419．（3分）如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A．AC：BC=AD：BD B．AC：BC=AB：AD C．AB2=CD•BC D．AB2=BD•BC 20．（3分）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（）A．B．C．D．三、解答题（21、22题每小题6分，23-28题每小题6分）21．（6分）解方程（2x+1）2﹣（x﹣3）（2x﹣1）=3x．22．（6分）如图，已知D，E分别是△ABC的边AB、AC的延长线上的点，且DE ∥BC，AB=5，BD=3，BC=6，求DE的长．23．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日盈利额可达到2100元？24．（10分）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．25．（10分）如图所示，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD 垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．26．（10分）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．27．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于O点，过点B作BE∥CD交CA的延长线于点E．求证：OC2=OA•OE．28．（10分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+3=0．（1）当m为何值时方程有实数根？（2）设方程的两实根分别为x1、x2，且x12+x22=22，求m的值．2014-2015学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题2分，满分24分）1．（2分）方程4（x﹣2）2﹣25=0的解为或﹣．【解答】解：∵4（x﹣2）2﹣25=0，∴（x﹣2）2=，∴x﹣2=±，∴x1=，x2=﹣．故答案为或﹣．2．（2分）已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），则m的值为﹣3．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），∴k=xy=﹣2×3=﹣6，∴2m=﹣6，∴m=﹣3．故答案为：﹣3．3．（2分）若=，则=；若==≠0，则=．【解答】解：=由合比性质，得==；由==≠0，得y=，z=2x．===，故答案为：，．4．（2分）已知线段a：b=c：d，若a=5cm，b=6cm，d=12cm，则c=10cm．【解答】解：∵a：b=c：d，∴bc=ad，∵a=5cm，b=6cm，d=12cm，∴6c=5×12，解得c=10．故答案为10cm．5．（2分）在反比例函数y=图象的每个象限内，y随x的增大而减小，则m 的取值范围是m＜1．【解答】解：∵在反比例函数y=图象的每个象限内，y随x的增大而减小，∴1﹣m＞0，解得m＜1．故答案为：m＜1．6．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=﹣3；c=2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，∴1+2=﹣b，1×2=c，∴b=﹣3，c=2，故答案为：﹣3，2．7．（2分）已知在△ABC和△DEF，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°．当∠F=60°时，△ABC∽△DEF．【解答】解：∵∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°﹣40°﹣80°=60°，而∠B=80°=∠E=80°，∴当∠F=∠C=60°时，△ABC∽△DEF．故答案为60°．8．（2分）若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值等于﹣1．【解答】解：∵y=（m﹣1）是反比例函数，∴m2﹣2=﹣1，m﹣1≠0，∴m=﹣1．故答案为﹣1．9．（2分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＜2，且a≠1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4×（a﹣1）×1＞0，解这个不等式得，a＜2，又∵二次项系数是（a﹣1），∴a≠1．故a的取值范围是a＜2且a≠1．10．（2分）国家实施惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年由1万元，提高到1.44万元，这两年该镇农民人均收入的平均增长率是20%．【解答】解：设这两年该镇农民人均收入的平均增长率是x，根据题意得：1×（1+x）2=1.44解得x=﹣2.2（不合题意舍去），x=0.2所以这两年该镇农民人均收入的平均增长率是20%．故答案是：20%．11．（2分）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF= 4：9．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴S△ABC ：S△DEF=（）2=．故答案为：4：9．12．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是m≤1．【解答】解：由题意知，△=4﹣4m≥0，∴m≤1，故答案为：m≤1．二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．（3分）下列各点中，在反比例函数图象上的是（）A．（﹣1，8）B．（﹣2，4）C．（1，7） D．（2，4）【解答】解：A、∵﹣1×8=﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；B、∵﹣2×4=﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；C、∵1×7=7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；D、2×4=8，∴该点在函数图象上，故本选项正确．故选：D．14．（3分）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A．x2+3x+4=0 B．x2﹣4x+3=0 C．x2+4x﹣3=0 D．x2+3x﹣4=0【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，∴3+1=﹣p，3×1=q，∴p=﹣4，q=3，故选：B．15．（3分）下列命题正确的是（）A．位似图形一定不是全等形B．相似比等于1的两个位似图形全等C．两个位似图形的周长比等于相似比的平方D．两个位似图形面积的比等相似比【解答】解：A、位似图形有可能是全等形，故此选项错误；B、相似比等于1的两个位似图形全等，正确；C、两个位似图形的周长比等于相似比，故此选项错误；D、两个位似图形面积的比等相似比的平方，故此选项错误；故选：B．16．（3分）已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内D．若x＞1，则0＞y＞﹣2【解答】解：A、图象必经过点（﹣1，2），说法正确，不合题意；B、k=﹣2＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；C、k=﹣2＜0，图象在第二、四象限内，说法正确，不合题意；D、若x＞1，则﹣2＜y＜0，说法正确，不符合题意；故选：B．17．（3分）若关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0的两根相等，那么m等于（）A．﹣1或5 B．﹣1或﹣5 C．1或﹣5 D．1或5【解答】解：∵关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0的两根相等，∴△=（m+1）2﹣4（2m﹣1）=m2﹣6m+5=0，解得：m=1，m=5，当m=1或m=5时，2m﹣1≠0，∴关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0的两根相等，那么m等于1或5．故选：D．18．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A．4.5 B．8 C．10.5 D．14【解答】解：∵DE∥BC，∴=，即=，解得EC=8．故选：B．19．（3分）如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A．AC：BC=AD：BD B．AC：BC=AB：AD C．AB2=CD•BC D．AB2=BD•BC【解答】解：∵∠B=∠B，∴当时，△ABC∽△DBA，当AB2=BD•BC时，△ABC∽△DBA，故选：D．20．（3分）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（）A．B．C．D．【解答】解：矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式是：y=（x＞0）．是反比例函数，且图象只在第一象限．故选：C．三、解答题（21、22题每小题6分，23-28题每小题6分）21．（6分）解方程（2x+1）2﹣（x﹣3）（2x﹣1）=3x．【解答】解：由（2x+1）2﹣（x﹣3）（2x﹣1）=3x，得2x2+8x﹣2=0，x2+4x=1，x2+4x+4=1+4，即（x+2）2=5，解得x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．22．（6分）如图，已知D，E分别是△ABC的边AB、AC的延长线上的点，且DE ∥BC，AB=5，BD=3，BC=6，求DE的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴=，即=，解得：DE=．23．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日盈利额可达到2100元？【解答】解：设每件商品降价x元，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去．∴x=20．答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．24．（10分）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．【解答】解：由题意知，m≠0，△=b2﹣4ac=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）=1∴m1=0（舍去），m2=2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3=0，解得，x1=1，x2=3/2．25．（10分）如图所示，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD 垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．【解答】解：（1）∵OA=OB=OD=1，∴点A、B、D的坐标分别为A（﹣1，0），B（0，1），D（1，0）；（2）∵点A、B在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=x+1．∵点C在一次函数y=x+1的图象上，且CD⊥x轴，∴点C的坐标为（1，2），又∵点C在反比例函数y=（m≠0）的图象上，∴m=2；∴反比例函数的解析式为y=．26．（10分）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，∵∠B是公共角，∵①当=，即=时，△PBQ∽△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP∽△ABC，解得：x=1.6，∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似．27．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于O点，过点B作BE∥CD交CA的延长线于点E．求证：OC2=OA•OE．【解答】证明：∵CD∥BE，∴∠DCO=∠E，又∠DOC=∠BOE，∴△OCD∽△OEB，∴．又∵AD∥BC．同理．∴，即OC2=OA•OE．28．（10分）已知关于x 的方程x 2﹣2（m +1）x +m 2+3=0． （1）当m 为何值时方程有实数根？（2）设方程的两实根分别为x 1、x 2，且x 12+x 22=22，求m 的值． 【解答】解：（1）若方程有实数根，则△=4（m +1）2﹣4（m 2+3）≥0， 解得：m ≥1．答：当m ≥1时，方程有实数根；（2）设方程的两实根分别为x 1、x 2，且x 12+x 22=22， 则（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=22， 4（m +1）2﹣4（m 2+3）=22， 解得：m=．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa B E挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
【解析版】怀化市洪江市2014-2015学年九年级上期中数学试卷
2014-2015学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题2分，满分24分）1．方程4（x﹣2）2﹣25=0的解为．2．已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），则m的值为．3．若=，则= ；若==≠0，则= ．4．已知线段a：b=c：d，若a=5cm，b=6cm，d=12cm，则c= ．5．在反比例函数y=图象的每个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是．6．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b= ；c= ．7．已知在△ABC和△DEF，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°．当∠F= 时，△ABC ∽△DEF．8．若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值等于．9．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是．10．国家实施惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年由1万元，提高到1.44万元，这两年该镇农民人均收入的平均增长率是．11．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF= ．12．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是．二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．下列各点中，在反比例函数图象上的是（）A．（﹣1，8） B．（﹣2，4） C．（1，7） D．（2，4）14．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A． x2+3x+4=0 B． x2﹣4x+3=0 C． x2+4x﹣3=0 D． x2+3x﹣4=015．下列命题正确的是（）A．位似图形一定不是全等形B．相似比等于1的两个位似图形全等C．两个位似图形的周长比等于相似比的平方D．两个位似图形面积的比等相似比16．已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2） B． y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则y＞﹣217．若关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0的两根相等，那么m等于（） A．﹣1或5 B．﹣1或﹣5 C． 1或﹣5 D． 1或518．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC 的长是（）A． 4.5 B． 8 C． 10.5 D． 1419．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A． AC：BC=AD：BD B． AC：BC=AB：AD C． AB2=CD•BC D． AB2=BD•BC20．矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（） A． B． C． D．三、解答题（21、22题每小题6分，23-28题每小题6分）21．解放程（2x+1）2﹣（x﹣3）（2x﹣1）=3x．22．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB、AC的延长线上的点，且DE∥BC，AB=5，BD=3，BC=6，求DE的长．23．商场某种商品平均每天可销售30件，每件价格50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日销售额可达到2100元？24．关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．25．如图所示，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．26．如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．27．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于O点，过点B作BE∥CD交CA的延长线于点E．求证：OC2=OA•OE．28．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+3=0．（1）当m为何值时方程有实数根？（2）设方程的两实根分别为x1、x2，且x12+x22=22，求m的值．2014-2015学年湖南省怀化市洪江市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题2分，满分24分）1．方程4（x﹣2）2﹣25=0的解为或﹣．考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：把原式变形为（x+a）2=b的形式，用直接开平方法求出x﹣2，然后进一步求x．解答：解：∵4（x﹣2）2﹣25=0，∴（x﹣2）2=，∴x﹣2=±，∴x1=，x2=﹣．故答案为或﹣．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，遵循的法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．2．已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），则m的值为﹣3 ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：此题可根据反比例函数图象上点的横纵坐标是一个定值即可求解．解答：解：∵反比例函数的图象经过点（m，2）和（﹣2，3），∴k=xy=﹣2×3=﹣6，∴2m=﹣6，∴m=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，较为简单，容易掌握．3．若=，则= ；若==≠0，则= ．考点：比例的性质．分析：根据合比性质，可得答案；根据比例的性质，可用x表示y，用x表示z，根据分式的性质，可得答案．解答：解：=由合比性质，得==；由==≠0，得y=，z=2x．===，故答案为：，．点评：本题考查了比例的性质，利用了合比性质，比例的性质用x表示y，用x表示z是解题关键．4．已知线段a：b=c：d，若a=5cm，b=6cm，d=12cm，则c= 10cm ．考点：比例线段．分析：由a：b=c：d，可得bc=ad，再将a=5cm，b=6cm，d=12cm代入，即可求出c．解答：解：∵a：b=c：d，∴bc=ad，∵a=5cm，b=6cm，d=12cm，∴6c=5×12，解得c=10．故答案为10cm．点评：本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．5．在反比例函数y=图象的每个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是m ＜1 ．考点：反比例函数的性质．分析：根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．解答：解：∵在反比例函数y=图象的每个象限内，y随x的增大而减小，∴1﹣m＞0，解得m＜1．故答案为：m＜1．点评：本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．6．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b= ﹣3 ；c= 2 ．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系，直接代入计算即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，∴1+2=﹣b，1×2=c，∴b=﹣3，c=2，故答案为：﹣3，2．点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．7．已知在△ABC和△DEF，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°．当∠F= 60°时，△ABC∽△DEF．考点：相似三角形的判定．分析：先根据三角形的内角和定理计算出∠C=60°，由于∠B=80°=∠E=80°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，则当∠F=∠C=60°时可判断△ABC∽△DEF．解答：解：∵∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°﹣40°﹣80°=60°，而∠B=80°=∠E=80°，∴当∠F=∠C=60°时，△ABC∽△DEF．故答案为60°．点评：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．8．若函数y=（m﹣1）是反比例函数，则m的值等于﹣1 ．考点：反比例函数的定义．分析：根据反比例函数的定义先求出m的值，再根据系数不为0进行取舍．解答：解：∵y=（m﹣1）是反比例函数，∴m2﹣2=﹣1，m﹣1≠0，∴m=﹣1．故答案为﹣1．点评：本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式．9．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是a＜2，且a≠1 ．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．专题：计算题．分析：本题是根的判别式的应用，因为关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，所以△=b2﹣4ac＞0，从而可以列出关于a的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0．解答：解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4×（a﹣2）×1＞0，解这个不等式得，a＜2，又∵二次项系数是（a﹣1），∴a≠1．故M得取值范围是a＜2且a≠1．点评： 1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2、二次项的系数不为0是学生常常忘记考虑的，是易错点．10．国家实施惠农政策后，某镇农民人均收入经过两年由1万元，提高到1.44万元，这两年该镇农民人均收入的平均增长率是20% ．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这两年该镇农民人均收入的平均增长率是x，那么由题意可得出1×（1+x）2=1.44，解方程即可求解．解答：解：设这两年该镇农民人均收入的平均增长率是x，根据题意得：1×（1+x）2=1.44解得x=﹣2.2（不合题意舍去），x=0.2所以这两年该镇农民人均收入的平均增长率是20%．故答案是：20%．点评：本题考查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．11．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF= 4：9 ．考点：相似三角形的性质．专题：探究型．分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，∴S△ABC：S△DEF=（）2=．故答案为：4：9．点评：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比．12．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是m≤1 ．考点：根的判别式．分析：根据方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．解答：解：由题意知，△=4﹣4m≥0，∴m≤1，故答案为：m≤1．点评：此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是本题的关键．二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）13．下列各点中，在反比例函数图象上的是（）A．（﹣1，8） B．（﹣2，4） C．（1，7） D．（2，4）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：由于反比例函数y=中，k=xy，即将各选项横、纵坐标分别相乘，其积为8者即为正确答案．解答：解：A、∵﹣1×8=﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；B、∵﹣2×4=﹣8≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；C、∵1×7=7≠8，∴该点不在函数图象上，故本选项错误；D、2×4=8，∴该点在函数图象上，故本选项正确．故选D．点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将横、纵坐标分别相乘其积为k者，即为反比例函数图象上的点．14．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是（）A． x2+3x+4=0 B． x2﹣4x+3=0 C． x2+4x﹣3=0 D． x2+3x﹣4=0考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系，直接代入计算即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，∴3+1=﹣p，3×1=q，∴p=﹣4，q=3，故选：B．点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．15．下列命题正确的是（）A．位似图形一定不是全等形B．相似比等于1的两个位似图形全等C．两个位似图形的周长比等于相似比的平方D．两个位似图形面积的比等相似比考点：位似变换；命题与定理．分析：利用位似图形的定义以及相似图形的性质分析求出即可．解答：解：A、位似图形有可能是全等形，故此选项错误；B、相似比等于1的两个位似图形全等，正确；C、两个位似图形的周长比等于相似比，故此选项错误；D、两个位似图形面积的比等相似比的平方，故此选项错误；故选：B．点评：此题主要考查了位似变换以及相似图形的性质，正确利用位似图形的性质求出是解题关键．16．已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2） B． y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则y＞﹣2考点：反比例函数的性质．分析：根据反比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．解答：解：A、图象必经过点（﹣1，2），说法正确，不合题意；B、k=﹣2＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；C、k=﹣2＜0，图象在第二、四象限内，说法正确，不合题意；D、若x＞1，则﹣2＜y＜0，说法正确，不合题意；故选：B．点评：此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．17．若关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0的两根相等，那么m等于（） A．﹣1或5 B．﹣1或﹣5 C． 1或﹣5 D． 1或5考点：根的判别式；一元二次方程的定义．分析：由关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0有两个相等的实数根，即可得判别式△=0，即可得方程4﹣4m=0，解此方程即可求得答案．解答：解：∵关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0的两根相等，∴△=（m+1）2﹣4（2m﹣1）=m2﹣6m+5=0，解得：m=1，m=5，当m=1或m=5时，2m﹣1≠0，∴关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2+（m+1）x+1=0的两根相等，那么m等于1或5．故选：D．点评：此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，注意若一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0．18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC 的长是（）A． 4.5 B． 8 C． 10.5 D． 14考点：平行线分线段成比例．分析：根据平行线分线段成比例定理列式进行计算即可得解．解答：解：∵DE∥BC，∴=，即=，解得EC=8．故选B．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．19．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A． AC：BC=AD：BD B． AC：BC=AB：AD C． AB2=CD•BC D． AB2=BD•BC考点：相似三角形的判定．分析：根据相似三角形的对应边比例且夹角相等进行判断，要注意相似三角形的对应边和对应角．解答：解：∵∠B=∠B，∴当时，△ABC∽△DBA，当AB2=BD•BC时，△ABC∽△DBA，故选D．点评：此题主要考查的是相似三角形的性质，正确地判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键．20．矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（）A． B． C． D．考点：反比例函数的图象；反比例函数的应用．分析：根据矩形的面积得到y与x之间的函数关系式，根据x的范围以及函数类型即可作出判断．解答：解：矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式是：y=（x＞0）．是反比例函数，且图象只在第一象限．故选C．点评：本题考查了反比例函数的图象，注意x的取值范围x＞0，容易出现的错误是忽视取值范围，选择B．三、解答题（21、22题每小题6分，23-28题每小题6分）21．解放程（2x+1）2﹣（x﹣3）（2x﹣1）=3x．考点：解一元二次方程-配方法．分析：先把原方程转化为一般式方程，然后利用配方法解方程：把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．解答：解：由（2x+1）2﹣（x﹣3）（2x﹣1）=3x，得2x2+8x﹣2=0，x2+4x=1，x2+4x+4=1+4，即（x+2）2=5，解得x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．22．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB、AC的延长线上的点，且DE∥BC，AB=5，BD=3，BC=6，求DE的长．考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先根据DE∥BC，可判定△ABC∽△ADE，然后根据对应边成比例，代入求出DE的长度．解答：解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴=，即=，解得：DE=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，根据DE∥BC，得出△ABC∽△ADE是解题的关键，是一道基础题．23．商场某种商品平均每天可销售30件，每件价格50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日销售额可达到2100元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：根据等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．解答：解：设每件商品降价x元，由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100，化简得：x2﹣35x+300=0，解得：x1=15，x2=20，∵该商场为了尽快减少库存，则x=15不合题意，舍去．∴x=20．答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．24．关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．考点：根的判别式；一元二次方程的定义；解一元二次方程-因式分解法．专题：压轴题．分析：由一元二次方程的△=b2﹣4ac=1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．解答：解：由题意知，m≠0，△=b2﹣4ac=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m+1）=1∴m1=0（舍去），m2=10，∴原方程化为：10x2﹣29x+19=0，解得，x1=1，x2=．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．25．如图所示，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD=1．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．考点：反比例函数综合题．专题：计算题；数形结合．分析：（1）根据OA=OB=OD=1和各坐标轴上的点的特点易得到所求点的坐标；（2）将A、B两点坐标分别代入y=kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由C点在一次函数的图象上可确定C点坐标，将C点坐标代入y=可确定反比例函数的解析式．解答：解：（1）∵OA=OB=OD=1，∴点A、B、D的坐标分别为A（﹣1，0），B（0，1），D（1，0）；（2）∵点A、B在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=x+1．∵点C在一次函数y=x+1的图象上，且CD⊥x轴，∴点C的坐标为（1，2），又∵点C在反比例函数y=（m≠0）的图象上，∴m=2；∴反比例函数的解析式为y=．点评：本题主要考查用待定系数法求函数解析式，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．26．如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，经过多长时间后，△PBQ与△ABC相似？试说明理由．考点：相似三角形的判定．专题：动点型．分析：首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=xcm，BQ=2xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，又由∠B是公共角，分别从=或=分析，即可求得答案．解答：解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，则AP=xcm，BQ=2xcm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=AB﹣AP=（8﹣x）cm，∵∠B是公共角，∵①当=，即=时，△PBQ∽△ABC，解得：x=4；②当=，即=时，△QBP∽△ABC，解得：x=1.6，∴经4或1.6秒钟△PBQ与△ABC相似．点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．27．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于O点，过点B作BE∥CD交CA的延长线于点E．求证：OC2=OA•OE．考点：相似三角形的判定与性质；梯形．专题：证明题．分析：由平行线的性质及相似三角形的判定定理可得△OCD∽△OEB，△AOD∽△COB，再由相似三角形的性质可证．解答：证明：∵CD∥BE，∴∠DCO=∠E，又∠DOC=∠BOE，∴△OCD∽△OEB，∴．又∵AD∥BC．同理．∴，即OC2=OA•OE．点评：本题主要考查了平行线的性质及相似三角形的判定定理及性质．28．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+3=0．（1）当m为何值时方程有实数根？（2）设方程的两实根分别为x1、x2，且x12+x22=22，求m的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）根据根的判别式得出若方程有实数根，则△=4（m+1）2﹣4（m2+3）＞0，再求解即可，（2）利用根与系数的关系和已知得出，4（m+1）2﹣4（m2+3）=22，再解方程即可．解答：解：（1）若方程有实数根，则△=4（m+1）2﹣4（m2+3）＞0，解得：m＞1．答：当m＞1时，方程有实数根；（2）设方程的两实根分别为x1、x2，且x12+x22=22，则（x1+x2）2﹣2x1x2=22，4（m+1）2﹣4（m2+3）=22，解得：m=．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根，（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根，（3）△＜0⇔方程没有实数根．。
湖南湘西数学(含解析)
某某省湘西州2014年中考数学试卷一、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分，将正确答案填在相应的横线上）1．（3分）（2014•湘西州）2014的相反数是﹣2014．考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．解答：解：2014的相反数是﹣2014，故答案为：﹣2014．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3分）（2014•湘西州）分解因式：ab﹣2a=a（b﹣2）．考点：因式分解-提公因式法．分析：观察原式，公因式为a，然后提取公因式即可．解答：解：ab﹣2a=a（b﹣2）．（提取公因式）点评：本题主要考查提公因式法分解因式，确定出公因式为a是解题的关键．3．（3分）（2014•湘西州）已知∠A=60°，则它的补角的度数是120度．考点：余角和补角．分析：根据互补的两角之和为180°即可得出这个角的补角．解答：解：这个角的补角=180°﹣60°=120°．故答案为：120．点评：本题考查了补角的知识，属于基础题，掌握互补的两角之和为180°是关键．4．（3分）（2014•湘西州）据中国汽车协会统计，2013年我国汽车销售量约为2198万辆，连续五年位居全球第一位，请用科学记数法表示21980000=2.198×107．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：21980000=2.198×107．故答案为：2.198×107．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（3分）（2014•湘西州）如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=40°，则∠DOE=20度．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：由∠AOC=40°，根据对顶角相等求出∠DOB=40°，再根据角平分线定义求出∠DOE 即可．解答：解：∵∠AOC=40°，∴∠DOB=∠AOC=40°，∵OE平分∠DOB，∴∠DOE=∠BOD=20°，故答案为：20．点评：本题考查了对顶角的性质角、角平分线定义的应用，关键是求出∠BOD的度数．6．（3分）（2014•湘西州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE=4cm．考点：垂径定理；勾股定理．分析：先根据垂径定理得出CE的长，再在Rt△OCE中，利用勾股定理即可求得OE的长．解答：解：∵CD⊥AB∴CE=CD=×6=3cm，∵在Rt△OCE中，OE=cm．故答案为：4．二、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）7．（4分）（2014•湘西州）下列运算正确的是（）8．（4分）（2014•湘西州）已知x﹣2y=3，则代数式6﹣2x+4y的值为（）考点：代数式求值．分析：先把6﹣2x+4y变形为6﹣2（x﹣2y），然后把x﹣2y=3整体代入计算即可．解答：解：∵x﹣2y=3，∴6﹣2x+4y=6﹣2（x﹣2y）=6﹣2×3=6﹣6=0故选：A．点评：本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算．9．（4分）（2014•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C 作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（）A．B．C．1D．2考点：等腰直角三角形．分析：由已知可得Rt△ABC是等腰直角三角形，得出AD=BD=AB=1，再由Rt△BCD是等腰直角三角形得出CD=BD=1．解答：解：∵∠ACB=90°，CA=CB，∴∠A=∠B=45°，∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB=1，∠CDB=90°，∴CD=BD=1．故选：C．点评：本题主要考查了等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用等腰直角三角形的性质求角及边的关系．10．（4分）（2014•湘西州）如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠2度数为（）A．45°B．60°C．90°D．120°考点：平行线的性质；垂线．分析：根据垂线的定义可得∠1=90°，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠1．解答：解：∵c⊥a，∴∠1=90°，∵a∥b，∴∠2=∠1=90°．故选C．点评：本题考查了平行线的性质，垂线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．11．（4分）（2014•湘西州）在一个不透明的口袋中，装有5个红球和3个绿球，这些球除了颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．1D．考点：概率公式．分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：根据题意可知，共有8个球，红球有3个，故抽到红球的概率为，故选B．点评：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．12．（4分）（2014•湘西州）下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．13．（4分）（2014•湘西州）每年4月23日是“世界读书日”，为了了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（）A．500名学生B．所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况C．50名学生D．每一名学生对“世界读书日”的知晓情况考点：总体、个体、样本、样本容量．分析：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断．解答：解：样本是所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况．故选B．点评：本题考查了样本的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是X围的大小．14．（4分）（2014•湘西州）已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（）A．7B．8C．6或8 D．7或8考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为等腰三角形的两边分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：当2为底时，三角形的三边为3，2、3可以构成三角形，周长为8；当3为底时，三角形的三边为3，2、2可以构成三角形，周长为7．故选D．点评：题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．15．（4分）（2014•湘西州）正比例函数y=x的大致图象是（）A．B．C．D．考点：正比例函数的图象．分析：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限．解答：解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k＞0时，经过一、三象限．∴正比例函数y=x的大致图象是C．故选：C．点评：此题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．16．（4分）（2014•湘西州）下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直考点：正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质．分析：根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．三、解答题（本大题9小题，共92分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤）17．（6分）（2014•湘西州）计算：2﹣1+2cos60°+．考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=+2×+3=4．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）（2014•湘西州）解不等式：3（x+2）≥0，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．分析：不等式两边同时除以3，然后移项，即可求解．解答：解：不等式两边同时除以3，得：x+2≥0，移项，得：x≥﹣2．点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．19．（8分）（2014•湘西州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE=DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：AE=CF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的对应边相等即可证得．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．点评：本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键．20．（8分）（2014•湘西州）据省环保网发布的消息，某某市空气质量评价连续两年居全省14个省辖市城市之最，下表是某某市2014年5月份前10天的空气质量指数统计表（一）2014年5月1日～10日空气质量指数（AQI）情况日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日1日空气质量指数（AQI）28 389453631495398435（二）空气质量污染指数标准（AQI）污染指数等级0～50 优51～100 良101～150 轻微污染151～200 轻度污染（1）请你计算这10天某某市空气质量指数的平均数，并据此判断这10填某某市空气质量平均情况属于哪个等级；（用科学计算器计算或笔算，结果保留整数）（2）按规定，当空气质量指数AQI≤100时，空气质量才算“达标”，请你根据表（一）和表（二）所提供的信息，估计今年（365天）某某市空气质量“达标”的天数．（结果保留整数）考点：用样本估计总体；统计表；算术平均数．分析：（1）求出这10天的空气质量平均平均数，再根据空气质量污染指数标准找出等级即可；（2）找出这10天空气质量“达标”的天数，求出占的比列，再乘以365即可．解答：解：（1）=68.7≈69，69在51～100之间，所以某某市空气质量平均情况属于良；（2）∵这10天空气质量“达标”的天数为9天，今年（365天）某某市空气质量“达标”的天数为=328.5≈329（天），答：估计今年（365天）某某市空气质量“达标”的天数为329天．点评：本题考查从统计表中获取信息的能力，及统计中用样本估计总体的思想．21．（8分）（2014•湘西州）如图，一次函数y=﹣x+m的图象和y轴交于点B，与正比例函数y=x图象交于点P（2，n）．（1）求m和n的值；（2）求△POB的面积．考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题．分析：（1）先把P（2，n）代入y=x即可得到n的值，从而得到P点坐标为（2，3），然后把P点坐标代入y=﹣x+m可计算出m的值；（2）先利用一次函数解析式确定B点坐标，然后根据三角形面积公式求解．解答：解：（1）把P（2，n）代入y=x得n=3，所以P点坐标为（2，3），把P（2，3）代入y=﹣x+m得﹣2+m=2，解得m=4，即m和n的值分别为4，3；（2）把x=0代入y=﹣x+4得y=4，所以B点坐标为（0，4），所以△POB的面积=×4×2=4．点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．22．（10分）（2014•湘西州）五一期间，春华旅行社组织一个由成人和学生共20人组成的旅行团到凤凰古城旅游，景区门票售票标准是：成人门票148元/X，学生门票20元/X，该旅行团购买门票共花费1936元，问该团购买成人门票和学生门票各多少X？考点：二元一次方程组的应用．分析：设购买成人门票xX，学生门票yX，则由“成人和学生共20人”和“购买门票共花费1936元”列出方程组解决问题．解答：解：设购买成人门票xX，学生门票yX，由题意得解得答：购买成人门票12X，学生门票8X．点评：此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．23．（10分）（2014•湘西州）如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．（1）填空：AC=2，AB=2．（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；（3）判断△CAB和△DEF是否相似？并说明理由．考点：相似三角形的判定；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：（1）根据勾股定理来求AC、AB的长度；（2）利用勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义来解题；（3）由“三边法”法来证它们相似．解答：解：（1）如图，由勾股定理，得AC==2．AB==2故答案是：2，2；（2）如图所示，BC==2．又由（1）知，AC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2=40，∴∠ACB=90°．tan∠1==．综上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是；（3）△CAB和△DEF相似．理由如下：如图，DE=DF==，EF==．则===2，所以△CAB∽△DEF．点评：本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．24．（12分）（2014•湘西州）湘西盛产椪柑，春节期间，一外地运销客户安排15辆汽车装运A、B、C三种不同品质的椪柑120吨到外地销售，按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品质的椪柑，每种椪柑所用车辆部不少于3辆．（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑车辆数为y辆，根据下表提供的信息，求出y与x之间的函数关系式；椪柑品种 A B C每辆汽车运载量10 8 6每吨椪柑获利（元）800 1200 1000（2）在（1）条件下，求出该函数自变量x的取值X围，车辆的安排方案共有几种？请写出每种安排方案；（3）为了减少椪柑积压，湘西州制定出台了促进椪柑销售的优惠政策，在外地运销客户原有获利不变的情况下，政府对外地运销客户，按每吨50元的标准实行运费补贴．若要使该外地运销客户所获利润W（元）最大，应采用哪种车辆安排方案？并求出利润W（元）的最大值？考点：一次函数的应用．分析：（1）等量关系为：车辆数之和=15，由此可得出x与y的关系式；（2）关系式为：装运每种脐橙的车辆数≥3；（3）总利润为：装运A种椪柑的车辆数×10×800+装运B种椪柑的车辆数×8×1200+装运C种椪柑的车辆数×6×1000+运费补贴，然后按x的取值来判定．解答：解：（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑车辆数为y辆，则装C种椪柑的车辆是15﹣x﹣y辆．则10x+8y+6（15﹣x﹣y）=120，即10x+8y+90﹣6x﹣6y=120，则y=15﹣2x；（2）根据题意得：，解得：3≤x≤6．则有四种方案：A、B、C三种的车辆数分别是：3辆，9辆，3辆或4辆，7辆，4辆或5辆5辆、2辆、8辆或6辆、3辆、6辆；（3）W=10×800x+8×1200（15﹣x）+6×1000【15﹣x﹣（15﹣2x）】+120×50 =4400x+150000，根据一次函数的性质，当x=6时，W有最大值，是4400×6+150000=176400（元）．应采用A、B、C三种的车辆数分别是：6辆、3辆、6辆．点评：本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的X围，得到装在的几种方案是解决本题的关键．25．（22分）（2014•湘西州）如图，抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B（2，﹣）和点C（﹣3，﹣3）两点均在抛物线上，点F（0，﹣）在y轴上，过点（0，）作直线l与x轴平行．（1）求抛物线的解析式和线段BC的解析式．（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为点S，过点P作PN⊥l，垂足为点N，试判断△FNS 的形状，并说明理由；（4）若点A（﹣2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值．考点：二次函数综合题；二次根式的性质与化简；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短．专题：压轴题．分析：（1）由于抛物线的顶点在坐标原点O，故抛物线的解析式可设为y=ax2，把点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y=mx+n，把点B、C的坐标代入即可求出直线BC的解析式．（2）由点D（x，y）在线段BC上可得y D=x﹣2，由点G在抛物线y=﹣x2上可得y G=﹣x2．由h=DG=y G﹣y D=﹣x2﹣（x﹣2）配方可得h=﹣（x+）2+．根据二次函数的最值性即可解决问题．（3）可以证明PF=PN，结合PN∥OF可推出∠PFN=∠OFN；同理可得∠QFS=∠OFS．由∠PFN+∠OFN+∠OFS+∠QFS=180°可推出∠NFS=90°，故△NFS是直角三角形．（4）过点M作MH⊥l，垂足为H，如图4，由（3）中推出的结论PF=PN可得：抛物线y=﹣x2上的点到点F（0，﹣）的距离与到直线y=的距离相等，从而有MF=MH，则MA+MF=MA+MH．由两点之间线段最短可得：当A、M、H三点共线（即AM ⊥l）时，MA+MH（即MA+MF）最小，此时x M=x A=﹣2，从而可以求出点M及点A的坐标，就可求出MF+MA的最小值．解答：解：（1）如图1，∵抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，∴抛物线解析式为y=ax2．∵点C（﹣3，﹣3）在抛物线y=ax2上，∴.9a=﹣3．∴a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣x2．设直线BC的解析式为y=mx+n．∵B（2，﹣）、C（﹣3，﹣3）在直线y=mx+n上，∴．解得：．∴直线BC的解析式为y=x﹣2．（2）如图2，∵点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），∴y D=x﹣2，且﹣3＜x＜2．∵DG⊥x轴，∴x G=x D=x．∵点G在抛物线y=﹣x2上，∴y G=﹣x2．∴h=DG=y G﹣y D=﹣x2﹣（x﹣2）=﹣x2﹣x+2=﹣（x2+x）+2=﹣（x2+x+﹣）+2=﹣（x+）2++2=﹣（x+）2+．∵﹣＜0，﹣3＜﹣＜2，∴当x=﹣时，h取到最大值，最大值为．∴h与x之间的函数关系式为h=﹣（x+）2+，其中﹣3＜x＜2；当x=﹣时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是．（3）△FNS是直角三角形．证明：过点F作FT⊥PN，垂足为T，如图3，∵点P（m，n）是抛物线y=﹣x2上位于第三象限的一个动点，∴n=﹣m2．m＜0，n＜0．∴m2=﹣3n．在Rt△PTF中，∵PT=﹣﹣n，FT=﹣m，∴PF=====﹣n．∵PN⊥l，且l是过点（0，）平行于x轴的直线，∴PN=﹣n．∴PF=PN．∴∠PNF=∠PFN．∵PN⊥l，OF⊥l，∴PN∥OF．∴∠PNF=∠OFN．∴∠PFN=∠OFN．同理可得：∠QFS=∠OFS．∵∠PFN+∠OFN+∠OFS+∠QFS=180°，∴2∠OFN+2∠OFS=180°．∴∠OFN+∠OFS=90°．∴∠NFS=90°．∴△NFS是直角三角形．（4）过点M作MH⊥l，垂足为H，如图4，在（3）中已证到PF=PN，由此可得：抛物线y=﹣x2上的点到点F（0，﹣）的距离与到直线y=的距离相等．∴MF=MH．∴MA+MF=MA+MH．由两点之间线段最短可得：当A、M、H三点共线（即AM⊥l）时，MA+MH（即MA+MF）最小，等于AH．即x M=x A=﹣2时，MA+MF取到最小值．此时，y M=﹣×（﹣2）2=﹣，点M的坐标为（﹣2，﹣）；y A=×（﹣2）﹣2=﹣，点A的坐标为（﹣2，﹣）；MF+MA的最小值=AH=﹣（﹣）=．∴当点M的坐标为（﹣2，﹣）时，MF+MA的值最小，最小值为．。
2014年数学答案定稿
2014年湖南省普通高中学业水平考试数学参考答案及评分标准11．6； 12．32； 13．4； 14．2； 15．45（或4π）． 三、解答题（满分40分）16．解（1）函数)(x f 的大致图象如图所示； ………………………………2分 （2）由函数)(x f 的图象得出，)(x f 的最大值为2， …………………4分其单调递减区间为[]42，．…………………6分 17．解 (1)355030=⨯（人），255020=⨯（人）， 所以从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人； ………………………………………4分 (2) 用A 表示事件“选出的2名同学中恰有1名男同学”，把抽出的3名男同学记为321,,a a a ,把抽出的2名女同学记为21,b b ，则选取两名同学的基本事件有：()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,22123221113121b a b a a a b a b a a a a a ()()()212313,,,,,b b b a b a ，共有1 0种， ………………………………………………………5分 其中恰有一名男同学的基本事件有()()()()()()231322122111,,,,,,,,,,,b a b a b a b a b a b a ， 共6种， ……………………………………………………………………………………6分 由古典概型得所求概率为()53106==A P ． ……………………………………………8分18．解（1）由已知得1413128,141,2a a a a a a =+=+=，又()42312a a a +=+ ，所以11182)14(2a a a +=+ ，解得11=a ，………………2分所以1112--=⋅=n n n qa a ； ……………………………………………………………4分 （2）因为nb n n +=-12，所以543215b b b b b S ++++=()()4615312515212115=+=+⋅+--⋅=．……………………………………………8分 19．解（1）因为6πθ=，所以a ⎪⎭⎫⎝⎛=21,1，所以向量2a +b =()()24122112，，，=+⎪⎭⎫⎝⎛； ………………………………………………4分 （2）因为a ∥b ，所以1sin 2=θ，从而21sin =θ， …………………………………5分 又因为⎪⎭⎫⎝⎛∈20πθ，，所以23cos =θ， …………………………………………………6分 所以4624sincos 4cossin )4sin(+=+=+πθπθπθ． ……………………………8分 20．解（1）配方得()4122=++y x ，则圆心C 的坐标为()01，- ，…………………2分 圆的半径长为2 ； …………………………………………4分（2）设直线l 的方程为kx y =，联立方程组⎩⎨⎧==-++,,03222kx y x y x 消去y 得()032122=-++x x k ，……………5分则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+.13,12221221k x x kx x …………………………………………6分所以3211212121=+=+x x x x x x 为定值；…………………………………7分（3）解法一 设直线m 的方程为b x y +=，则圆心C 到直线m 的距离21-=b d ，所以222422d dR DE -=-=， ……………………………………………8分()224421222=+-≤⋅-=⋅=∆d d d d d DE S CDE， 当且仅当24d d -=，即2=d 时，CDE ∆的面积最大，…………………………9分从而221=-b ，解之得3=b 或1-=b ，故所求直线方程为03=+-y x 或01=--y x ． ………………………………10分 解法二 由（1）知2===R CE CD ，所以2sin 2sin 21≤∠=∠⋅⋅=∆DCE DCE CE CD S CDE ， 当且仅当CE CD ⊥时，CDE ∆的面积最大，此时22=DE ， …………………8分设直线m 的方程为b x y +=，则圆心C 到直线m 的距离21-=b d ，………………9分由222422d dR DE -=-=22=，得2=d ，由221=-b ，得3=b 或1-=b ，故所求直线方程为03=+-y x 或01=--y x ． ………………………………10分说明：解答题如有其它解法，酌情给分．。