2019年全国1卷省份高考模拟理科数学分类---解析几何

2019年全国1卷省份高考模拟理科数学分类----解析几何1.（2019安徽理科模拟）已知点（1，2）是双曲线（a＞b＞0）上一点，则其离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，）C．，D．，【解答】解：把（1，2）代入双曲线方程得：1，∴b2+4，∴e＞，故选：C．2.（2019安徽理科模拟）已知直线l是抛物线y2＝2px（p＞0）的准线，半径为3的圆过抛物顶点0和焦点F与l相切，则抛物线的方程为．解：∵圆过点O和F（，0），∴圆心横坐标为，∵圆与准线x相切，故圆的半径r3，∴p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x．故答案为：y2＝8x．3.（2019安徽理科模拟）已知P是圆F1：（x+1）2+y2＝16上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）．【解答】（Ⅰ）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，所以点Q的轨迹为以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3所以曲线C的方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（﹣2，0），B（2，0），设点M的坐标为（1，m）直线MA的方程为：将与联立消去y整理得：（4m2+27）x2+16m2x+16m2﹣108＝0，设点D的坐标为（x D，y D），则，故，则直线MB的方程为：y＝﹣m（x﹣2）将y＝﹣m（x﹣2）与联立消去y整理得：（4m2+3）x2﹣16m2x+16m2﹣12＝0 设点E的坐标为（x E，y E），则，故，则HD的斜率为HE的斜率为因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H．4.（2019河南百校联盟理科模拟）已知双曲线的左焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线C的渐近线交于不同原点O的A，B两点，若边边形AOBF的面积为，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．y＝±x D．y＝±2x解：根据题意，OA⊥AF，双曲线C的焦点F到C的一条渐近线的距离为，则|AF|＝b，所以|OA|＝a，所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x．故选：C．5. 已知A，B为抛物线x2＝2py（p＞0）上的两个动点，以AB为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且面积为2π，若过圆心C作该抛物线准线l的垂线CD，垂足D，则|CD|的最大值为（）A．2 B C D．1 2解：根据题意，，∴．设|AF|＝a，|BF|＝b，过点A作AQ⊥l于Q，过点B作BP⊥l于P，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b，由勾股定理得，8＝a2+b2，∵，所以|CD|≤2（当且仅当a＝b时，等号成立）．．故选：A．5.（2019山西理科模拟）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（2，0）C．（0，）D．（0，）解：抛物线的方程为：y＝x2，变形可得x2y，其焦点在y轴正半轴上，且2p，则其焦点坐标为（0，），故选：D．6.（2019福建理科模拟）已知点，是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为2，则（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】利用抛物线的抛物线的定义写出弦长公式，利用中点横坐标来求得弦长.【详解】设，，则，而的中点的横坐标为，所以.故选C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线的定义和性质，考查运算求解能力和化归与转化的数学思想.7.（2019福建理科模拟）在平面直角坐标系中，过双曲线上的一点作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为，，若平行四边形的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设出C点的坐标，利用直线和直线的方程求得点的坐标，由此求得，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离，利用平行四边形的面积列方程，求得含有的等式，利用C在双曲线上这一条件列方程，由此求得的值，进而求出的值以及离心率. 【详解】如图，设，则直线：，直线：，可求得交点的坐标为，所以.又点到直线：的距离，所以平行四边形的面积为，即.因为，所以，所以，从而，.故选A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线与离心率，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力.属于中档题.解题过程中首先考虑的是将平行四边形的面积表示出来，这是方程的思想，也即是要求一个未知数，通过未知数满足的一个方程来求解出来.8.（2019福建理科模拟）已知椭圆：过点，且它的焦距是短轴长的倍.（1）求椭圆的方程.（2）若，是椭圆上的两个动点（，两点不关于轴对称），为坐标原点，，的斜率分别为，，问是否存在非零常数，使当时，的面积为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在这样的常数，此时.【解析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，结合和列方程组，解方程组求得椭圆的标准方程.（2）设直线的方程为和两点的坐标，将两点两点坐标代入，化简得到①.联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离公式和弦长公式求得三角形的面积的表达式，结合①解得和的值.【详解】解：（1）因为椭圆：过点，所以，又因为该椭圆的焦距是短轴长的倍，所以，从而.联立方程组，解得，所以.（2）设存在这样的常数，使，的面积为定值.设直线的方程为，点，点，则由知，，所以.①联立方程组，消去得.所以，点到直线的距离，的面积.④将②③代入①得，化简得，⑤将⑤代入④得，要使上式为定值，只需，即需，从而，此时，，所以存在这样的常数，此时.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦的弦长的求法，考查与椭圆有关的三角形面积的求解，考查方程的思想，综合性较强，属于难题.9.（2019安徽淮南理科模拟）已知点P是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如图，设圆I与的三边、、分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则，，，它们分别是：，，的高，，，，其中r是的内切圆的半径．，，两边约去得：，，根据双曲线定义，得，，，，可得双曲线的渐近线方程为故选：A．设圆I与的三边、、分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得，，可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求．本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．10.（2019安徽淮南理科模拟）在平面直角坐标系中，设点，定义，其中O为坐标原点，对于下列结论：符合的点p的轨迹围成的图形面积为8；设点p是直线：上任意一点，则；设点p是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的必要条件是；设点p是椭圆上任意一点，则．其中正确的结论序号为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由，根据新定义得：，由方程表示的图形关于x，y轴对称和原点对称，且，画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是的正方形，面积等于8，故正确；为直线：上任一点，可得，可得，当时，；当时，；当时，可得，综上可得的最小值为1，故正确；，当时，，满足题意；而，当时，，满足题意．“使最小的点P有无数个”的充要条件是“”，不正确；点P是椭圆上任意一点，则可设，，，，，，正确．则正确的结论有：、、．故选：D．根据新定义由，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，由图象可知点P的轨迹围成的图形为边长是的正方形，求出正方形的面积即可；运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得的最小值；根据大于等于或，把代入即可得到当最小的点P有无数个时，k等于1或；而k等于1或推出最小的点P有无数个，得到是“使最小的点P有无数个”的充要条件；把P的坐标用参数表示，然后利用三角函数的化积求得的最大值说明命题正确．此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，关键是对题意的理解，是中档题．11.（2019安徽淮南理科模拟）若直线经过抛物线的焦点，则______．【答案】2【解析】解：直线过点，即抛物线的焦点F为，，则；故答案为：2．由直线方程求出直线过点，从而得到抛物线的焦点坐标，则p可求；本题考查了抛物线的简单性质，是基础题．12.（2019安徽淮南理科模拟）设椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为A，过点A与垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，过A，Q，三点的圆恰好与直线：相切．求椭圆C的方程；过右焦点作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，问在x轴上是否存在点，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．【答案】解：设椭圆C的焦距为，则点的坐标为，点的坐标为，设点Q的坐标为，且，如下图所示，，，，则，所以，，则点Q的坐标为，直线与直线AQ垂直，且点，所以，，，由，得，则，．为直角三角形，且为斜边，线段的中点为，的外接圆半径为2c．由题意可知，点到直线的距离为，所以，，，，因此，椭圆C的方程为；由题意知，直线l的斜率，并设，则直线l的方程为，设点、将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去x得，由韦达定理得，．，．所以，线段MN的中点为点．由于以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则，则，所以，．由两点连线的斜率公式可得，得．由于，则，所以，，所以，．因此，在x轴上存在点，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，且实数m的取值范围是．【解析】设点Q的坐标为，且，利用以及得出点Q 的坐标，将直角的外接圆与直线相切转化为其外接圆圆心到该直线的距离等于半径，可求出c的值，进而得出a与b的值，从而得出椭圆C的方程；令，得出，设点、，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，并求出线段MN的中点E的坐标，将条件“以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形”转化为，得出这两条直线的斜率之积为，然后得出m的表达式，利用不等式的性质可求出实数m的取值范围．本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，同时也考查了向量的坐标运算，属于中等题．13.（2019福建漳州理科模拟）已知点M为双曲线C：的左支上一点，，分别为C的左、右焦点，则A. 1B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】解：双曲线C：，可得，，，则点M为双曲线C：的左支上一点，，分别为C的左、右焦点，则．故选：B．利用双曲线方程，通过双曲线的定义，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力．14.（2019福建漳州理科模拟）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，该椭圆的左顶点A到直线的距离为．求椭圆C的标准方程；若线段MN平行于y轴，满足，动点P在直线上，满足证明：过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F．【答案】解：左顶点A的坐标为，，，解得或舍去，椭圆C的标准方程为，证明：由题意，，，则依题意可知，由可得，，，整理可得，由，可得，整理可得，由可得，，，，故过点N且垂直于OP的直线过椭圆C的右焦点F．【解析】根据点到直线的距离公式即可求出a的值，可得椭圆方程，由题意，，，根据，可得，由，可得，再根据向量的运算可得，即可证明．本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的关系，向量的运算，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题15.（2019广州理科模拟）己知点A与点B(1，2)关于直线x+y+3=0对称，则点A的坐标为DA.(3,4)B. (4,5)C. (-4,-3)D. (-5,-4)16.（2019广州理科模拟）过双曲线的左焦点F作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右交于点P，若，则双曲线的离心率为AA. B. C. D．17.（2019广州理科模拟）若曲线y= x3 -2x2 +2在点A处的切线方程为y=4x-6,且点A在直线mx+ ny -l=0(其中m>0，n>0)上，则的最小值为 CA.4B. 3+2C. 6+4D.818.（2019广州理科模拟）已知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M(x o，y o)，且1≤y o -x o≤7，则的取值范围为 BA. B. C. D.19.（2019广州理科模拟）在平面直角坐标系中，动点M 分别与两个定点A(-2，0)，B(2，0)的连线的斜率之积为(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设过点（-1，0）的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，判断直线x=与以线段PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由．解：（1）设动点M 的坐标为(),x y ，因为2MA y k x =+()2x ≠-，2MB yk x =-()2x ≠，所以1222MA MBy y k k x x =⨯=-+-． 整理得22142x y +=． 所以动点M 的轨迹C 的方程22142x y +=()20x y ≠±≠或． （2）解法1：过点()1,0-的直线为x 轴时，显然不合题意．所以可设过点()1,0-的直线方程为1x my =-，设直线1x my =-与轨迹C 的交点坐标为P ()11,x y ，()22,Q x y ，由221,1,42x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222230m y my +--=． 因为()()2221220m m ∆=-++>，由韦达定理得+1y 2y =222m m +，1y 2y =232m -+． 注意到+1x 2x =()122422m y y m -+-=+． 所以PQ 的中点坐标为222,22m N m m -⎛⎫⎪++⎝⎭．因为12PQ y =-==点N 到直线52x =-的距离为()22252562222m d m m +=-=++． 因为2d -24PQ =()422292012042m m m ++>+，即d >2PQ， 所以直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离． 解法2：①当过点()1,0-的直线斜率不存在时，直线方程为1x =-，与22142x y +=交于1,P ⎛- ⎝⎭和Q ⎛- ⎝⎭两点，此时直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离． ②当过点()1,0-的直线斜率存在时，设其方程为()1y k x =+， 设直线()1y k x =+与轨迹C 的交点坐标为P ()11,x y ，()22,Q x y ，由()221,1,42y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214240k x k x k +++-=．因为()()()2222244212424160kk k k ∆=-+-=+>，由韦达定理得12x x +=22421k k -+，12x x =222421k k -+．注意到()121222221ky y k x x k k +=++=+．所以PQ 的中点坐标为2222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为12PQ x =-==．点N 到直线52x =-的距离为()22225265221221k k d k k +=-=++． 因为2d -24PQ =()4222122090421k k k ++>+，即d >2PQ ， 所以直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离． 20.（2019广州理科模拟）若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --= 答案：D考点：圆的标准方程，直线方程。