第4章 统计假设检验

第4章 统计假设检验

第1节 统计假设检验的基本概念

例 1 某工厂生产60W 灯泡，灯泡寿命X 服从正态分布

2(1000,200)N ，改进灯丝配料方案以后，又生产了一批灯泡，假定

灯泡寿命仍服从正态分布2

(,)N μσ，其标准差200σ=不变。从新

配料方案生产的一批灯泡中抽取20个，测试寿命值，经计算得样本均值为1100x =（单位：h ），试问新的灯丝配料方案生产的灯泡寿命比以往的是否有显著差异？或问是否有显著提高？

例2 某工厂生产的一批产品，按规定标准，出厂的次品率不得超过3%。今从中随机抽取200件样品进行检查，发现有9件不合格品，试问这批产品能否出厂？

例3 对甲乙两种玉米进行品比试验，得到如下资料： 甲：951 966 1008 1082 983 乙：730 864 742 774 990 问这两种玉米产量是否有显著差异？

例4 抛一枚硬币100次，正面出现60次，问这枚硬币是否均匀？ 对随机分布中未知参数的假设，称为参数假设。作为检验对象的假设称为待检假设或零假设。一般用0H 表示。

和原假设对立的任何一个假设称为备择假设，记为1H 。 原假设和备择假设主要有以下几种形式：

（1）简单原假设对简单备择假设00=H θθ：， 11=H θθ： （2）简单原假设对复合备择假设00=H θθ：， 10H θθ≠： 或10H θθ<：或10H θθ>：

（3）复合原假设对复合备择假设00H θθ≤：， 10H θθ>： 或00H θθ≥：， 10H θθ<：或001H θθθ≤≤：， 110H θθθθ><：， 双边检验：00=H θθ：， 10H θθ≠：

单边检验：00=H θθ：，10H θθ<：或00=H θθ：，10H θθ>： 并约定等号放在原假设上。

一般来说，原假设是受到保护的，没有充分的根据是不能拒绝的。 假设只是一种设想，至于这种设想是否成立我们并不知道，我们的任务就是对这个设想进行考察，依据的东西自然就是样本和总体的分布这两个信息，从而决定实际问题能否合理的被认为与假设相符，这一过程就是假设检验。

假设检验的方法是用置信区间的方法，基本思想是小概率事件在一次实验中是不可能发生的。

例5 某车间用一台自动包装机包装葡萄糖，根据长期积累的资料知道，包得的袋装葡萄糖的重量是一个随机变量，且服从

2(0.5,0.015)N 的正态分布，某日开工后为检验包装机工作是否正常，随机地抽取9袋，称得净重为（单位：千克）0.497 0.506 0.518

0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512，问包装机工作是否正常？

假设检验的基本步骤：

第1步：根据实际问题，提出原假设0H 和备择假设1H

第2步：根据0H 的内容，选取检验统计量，并在0H 成立的条件下确定统计量的分布；

第3步：根据检验水平α，确定临界值或拒绝域；

第4步：由样本观察值，计算统计量的值，并与临界值相比较，做出拒绝或接受的判断。

由于我们判断的依据是样本，即由部分来推断总体，因而假设检验不可能绝对正确，也可能犯错误，这种错误大致可以分成两类： 第一类：原假设0H 是正确的（真），而检验结果却错误地拒绝了，这叫“弃真”错误，通常称为第一类错误。由于仅当小概率事件发生时，才否定0H ，所以

{P 拒绝00|H H 为真}=α

第二类：原假设0H 是错误的（不真，伪），而检验结果却错误地接受了，这叫“取伪”错误，通常称为第二类错误。犯第二类错误的概率记为β

。

例6 假设X 是连续型随机变量，U 是对X 的（一次）观测值，

关于其概率密度()f x 有如下假设：

0H ：

1,02()20,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，1

H ：,02

()20,

x

x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 检验规则：当事件3

{}2V U =>出现时，否定0H 接受1H ，求检验犯第一类错误和第二类错误的概率α和β。

例7 关于泊松随机质点流的强度λ有两个二者必居其一的假设，

0=0.5H λ：和1=1H λ：，以10v 表示10分钟出现的随机质点数。检验规则是:当107v >时否定0H 接受1H ，求检验犯第一类错误和第二类错误的概率α和β。

第2节 参数假设检验的方法

一、正态检验法（U 检验法） 1、单正态总体的数学期望的假设检验 设12,,

,n X X X 为取自总体2

~X N μσ（，）的样本，μ未知，2

σ已

知，关于μ的假设检验

第一步：提出假设00=H μμ：， 1000H μμμμμμ≠><：（，）

第二步：选取统计量0~01H X U N μ-=

真

（，）

第三步：对检验水平α，确定拒绝域为/2

||U Z α≥（U

Z α≥或

U Z α≤-）

第四步：计算统计量X U μ-=

的值，若/2

||U Z α≥（U

Z α≥或

U Z α≤-）拒绝0H ，否则接受0H 。

例1 某工厂生产的某种型号的电子元件，其平均使用寿命不得低于1000h 。今从中任取25件，测试其寿命，经计算得样本均值

950x h =，假定原件寿命2

~100X N μ（，），给定显著性水平=0.05α，试问这批元件是否合格？

解：（1）01000H μ≥： 11000H μ<：

（2

）选取统计量0~01H X U N =

真（，） （3）对检验水平=0.05α，拒绝域为0.05U Z ≤-