数理统计之假设检验教材

解 (1) H 0 : 0 ; H1 : 0
( 0.05) 0 2000
X 0 （2）选取统计量：U n
(3)拒绝域为
u
x 0

n
z
（4）取 , 查表确定临界值 k z z0.05 1.65 （5）计算
u
x 0

X 0

n
Z / 2
拒绝域
572 578 570 568 572 570 570 572 596 584
由样本值求出 x 575.2
z 2 z0.025 1.96;
x 0

n

575.2 570 8 10
5.2 10 2.055 1.96 8

带概率性质的反证法的逻辑是: 如果假设H0是正确的话,一次试验出现一个 概率很小的事件,则以很大的把握否定假设H0.
检验一个H0时,是根据检验统计量来判决是 否接受H0的,而检验统计量是随机的,这就有可能 判决错误.这种错误有以下两类:
H0事实上是正确的,但被我们拒绝了,称犯了 “弃真”的(或称第一类)错误. H0事实上是不正确的,但被我们接受了,称犯 了“存伪”的(或称第二类)错误.
原料，从性能上看， 估计折断力的方差不会有变化， 但不知折断力的大小有无差别。 （=0.05） 解 此问题就是已知方差 检验假设
2 82
H1 : 570
H 0 : 570,
抽出10个样品进行检验，测得其折断力为
572 578 570 568 572 570 570 572 596 584

假设检验是一种统计推断方法 为了了解总体的某些性质，首先作出某种假 设，然后进行试验，取得样本，根据样本值，构 造统计方法，判断是否接受这个假设，即检验这 种假设是否合理，合理则接受，否则拒绝。 小概率事件在一次试验中发生的概率记为α，
0.05, 0.01, 0.1
在假设检验中,称α为显著水平、检验水平。
假设检验的两类错误 实际情况 决定 H0为真 H0不真 拒绝H0 第一类错误 接受H0 正确 正确 第二类错误
犯两类错误的概率: P{拒绝H0|H0为真}= ,
显著性水平 为犯第一类错误的概率. P{接受H0|H0不真}= .
当样本容量n固定时，一类错误概率的减少 导致另一类错误概率的增加.要同时降低两类错误, 必须增加样本容量. 在统计学中,通常控制犯第一类错误的概率. 一般事先选定一个数,(0<<1),要求犯第一类 错误的概率≤. 显著性检验： 只对犯第一类错误的概率加以控制， 而不考虑犯第二类错误的概率。 P{拒绝 H 0| H 0为真} 称 为显著性水平。
(1) H 0 : 0 ; H1 : 0
（2）选取统计量： T
（3）拒绝域为
X 0
S n x 0 t t ( n 1) s n
2250 2000 5 1.65 250 25 n
则拒绝 H 0 ， 即认为这些产品较以往有显著提高.
n 1 k 1 第一步：提出原假设和备择假设
2. 2 未知时， 的检验 1 2 2 未知 ，可用样本方差 S
H 0 : 0
第二步： 选取统计量
2 2 ( X X ) 代替 k
n
H 1 : 0
X 0 T S n x 0 第三步：拒绝域为 t t / 2 (n 1) S n 查表确定临界值 第四步： k t / 2
第五步：计算 t 第六步：判断
x 0 s n
( x)

2
| t | t | t | t
2 2
则H0相容，接受H0 t 则否定H0，接受H1
看在H0条件下会不会产生不合理的现象，
样本均值 X为 的无偏估计， X能较好反映 的大小.
当 H 0为真时， X 差异不能过大。
P{ X 有较大偏差} 较小
若差异较大，即小概率事件发生， 则拒绝假设 H 0 . 当 H 0为真时， U
X 0

n
~N （ 0， 1 ）
于是拒绝 H 0 ，认为包装机工作不Байду номын сангаас常。
选择假设H1表示Z可能大于μ0,也可能小于μ0
这称为双边假设检验。
单边检验
H 0 : 0 ; H1 : 0 右边检验 H 0 : 0 ; H1 : 0 左边检验
(1) H 0 : 0 ; H1 : 0
参数假设检验解题步骤


1 根据问题提出原假设H0，同时给出对立假设H1 （备选假设）； 2 在H0成立的前提下，选择合适的统计量，这个统 计量要包含待检的参数，并求得其分布； 3 给定显著性水平 ，按分布写出小概率事件及其 概率表达式； 4 由样本计算出需要的数值； 5 判断小概率事件是否发生，是则拒绝，否接受
解(1) (2) 取统计量
(3)拒绝域
0 32.5
X 0 T S n
(4)
查表
（5） 将样本值代入算出统计量 T0的实测值,
t 2.997 4.0322
没有落入 拒绝域
故接受 H 0 为真，即可认为产品是合格的。
右边检验
(1) H 0 : 0 ; H1 : 0
平均为 X 172cm ,问是否可以认为该校男生平均身高 超过170cm呢？ ( 0.05) 解 (1) H 0 : 0 ; H1 : 0
0 170
X 0 U （2）选取统计量： n
（3）拒绝域为 u
x 0

n
z
（4）取 , 查表确定临界值 k z z0.05 1.65 （5）计算
这说明小概率事件竟在一次试验中发生了， 故拒绝H0， 可以接受H1。 即认为折断力大小有差别
已知
已知，检验假设
的过程分为六个步骤： 第一步：提出原假设和备择假设
第二步： 选取统计量
第三步：拒绝域为
查表确定临界值 第四步： 第五步：计算 第六步：判断
u
x 0
( x)

n

2
z
0
z x
衡量
u
x 0

n
的大小
设一临界值 k>0，若
u
x 0

n
k
就认为有较大偏差； 则认为 H 0 不真，拒绝 H 0 若
u
x 0

n
k
则接受 H 0
显著性检验： P{拒绝 H | H 为真} 0 0
X 0 P k , n X 0 U ~N （0， 1 ） n k z / 2
因为未知方差σ 2，故采用t检验法。
0 549
X 0 取统计量 T S n
拒绝域 由样本算得 查表
t 2 ( n 1) t 0.025 (4) 2.776
这里 接受H0。新罐的平均爆破压力与过去无显著差别。
例6 某工厂生产一种螺钉,标准要求是长度是32.5毫米,
实际生产的产品其长度X服从正态分布 未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件，得 尺寸数据如下： 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03 问这批产品是否合格？
0
t x
2
2
选择假设H1表示Z可能大于μ0,也可能小于μ0 这称为双边假设检验。
例5 对一批新的某种液体存储罐进行耐裂试验,
重复测量5次,测得爆破压力数据为（单位斤/寸2）: 545 545 530 550 545 过去该种液体存储罐的平均爆破压力为549斤寸(可 看作真值),试问这批新罐的平均爆破压力与过去有无 显著差别？爆破压力X服从正态分布 解: 提出假设 =0.05 H0：=549； H1：549
u
x 0

172 170 2 1.65 3 9 n
则拒绝 H 0 ， 可以认为该校男生平均身高超过170cm. 如题目问：是否有明显提高 H 0用 " " ; H1用 " " 是否有明显下降 H 0用 " " ; H1用 " "
例4 设某厂灯泡平均寿命为2000小时,标准差为250小时 从技术改造后的灯泡中随机抽取 n=25只，测得平均 寿命为2250小时,问此产品寿命是否较前有显著提高.
X 0 U （2）选取统计量： n x 0 （3）拒绝域为 u z n
（4）取 , 查表确定临界值 （5）计算
k z
n (6) u z ,则拒绝 H 0 ，接受 H1 ;反之，接受 H 0.
u
x 0

2 某大学男生身高 例3 X ~ N ( ,3 ), 今测得9名男生身高
（2）选取统计量：T
X 0
S n x 0 （3）拒绝域为 t t ( n 1) s n
（4）取 , 查表确定临界值 k t ( n 1) （5）计算
n (6) t t , 则拒绝 H 0 ，接受 H1 ;反之，接受 H 0.
t
x 0 s
左边检验
X 0 U （2）选取统计量： n x 0 （3）拒绝域为 u z n
（4）取 , 查表确定临界值 （5）计算
右边检验
k z
n (6)u z , 则拒绝 H 0 ，接受 H1 ;反之，接受 H 0.
u
x 0

左边检验
(1) H 0 : 0 ; H1 : 0
其均值为μ =0.5公斤, 标准差σ =0.015公斤. 某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所 （=0.05） 包装的糖9袋,称得净重为(公斤): 0.497 0.506 0.511 0.520 问机器是否正常? 解：先提出假设 0.518 0.515 0.524 0.512 0.498