数理统计 假设检验(2015)2
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研究生数理统计之假设检验
1.2 判断“假设”的根据。
判断假设是接受或拒绝，是根据所谓的小概率原理。
小概率原理：小概率事件（或概率很小的事件） 在一次试验（或观察）中是几乎不可能发生的。 设有某个假设 H 0 需要检验，先假定 H 0 正确，在此 “假定”下，构造一个小概率事件 A(即在 H 0 正确 的条件下概率很小，P(A| H 0 )很小)，再根据问题给 出的条件，检验小概率事件 A 在一次试验中是否 发生。如果事件 A 居然发生了，则与小概率事件 几乎不发生相矛盾，这就不能不使人怀疑 H 0 的正 确性。因此很有可能要否定 H 0 ；如果 A 不发生， 这表明原命题成立在情理之中。
正态均值的假设检验原假设0h对立假设1h2?拒绝域0???或0???1???或0???01???已知???unx??0未知10???ntnsx??0???或0???1???或0???01???已知???unx??0未知10???ntnsx??0???0???已知20???unx??未知120???ntnsx??例31
H 0 ： 0 H 0 ： 0 H 0 ： 0
H1 ： 0 具有相同的拒绝域，做法完全一样 H1 ： 0 H1 ： 0 具有相同的拒绝域，做法完全一样
§2 在方差已知情况下正态总体均值μ的检验 总体的分布为 N ( , ) ,并设方差 2 已知 1． H 0 ： H1 ： 1 ( , 已知，且 1 0 )
X 0 X 0 X 0 X 0 | X 0 | | X 0 |
拒绝域{ X c }， c 0 4.
H 0 ： 0
n
n
u
H1 ： 0
u
西北工业大学《概率论与数理统计》课件-第七章 假设检验
分析: 用 和 分别表示这一天袋
装糖重总体 X 的均值和标准差,
由长期实践可知, 标准差较稳定, 设 0.015,
则 X ~ N (, 0.0152 ), 其中 未知.
问题: 根据样本值判断 0.5 还是 0.5 ？
解 1º提出两个对立假设
H0 : 0 0.5 和 H1 : 0 . 2º X 是 的无偏估计量,
则我们拒绝 H0,
反之, 如果 u
x
/
0
n
u，则称 x 与0的差异是 2
不显著的, 则我们接受 H0,
上述关于 x 与 0 有无显著差异的判断是在显 著性水平 之下作出的.
2. 检验统计量
用于检验假设的统计量，称为检验统计量.
如：对于例2, 统计量 U X 0 / n
— 检验统计量.
3. 原假设与备择假设
1 假设 H0 : 0, H1 : 0 ;
2º取检验统计量
U X 0 ~ N (0,1), / n
(当H0为真时)
3º给定显著水平 ( 0< ≤ 0.05)
P{ U u }
2
由
(u
2
)
1
2
，查表可得
u
2
.
拒绝域： W1 {( x1, x2,, xn ) u u }, 2
u U ( x1, x2,, xn )
分析：从直观上分析，这批产品不能出厂. 因为抽样得到的次品率： 2 3% 10 然而，由于样本的随机性，如何才能根据抽
样结果判断总体(所有产品)的次品率是否≤3%?
解 用假设检验法，步骤：
1º提出假设 H0: p 0.03 其中 p为总体的次品率.
2º设
Xi
1, 0,
装糖重总体 X 的均值和标准差,
由长期实践可知, 标准差较稳定, 设 0.015,
则 X ~ N (, 0.0152 ), 其中 未知.
问题: 根据样本值判断 0.5 还是 0.5 ？
解 1º提出两个对立假设
H0 : 0 0.5 和 H1 : 0 . 2º X 是 的无偏估计量,
则我们拒绝 H0,
反之, 如果 u
x
/
0
n
u，则称 x 与0的差异是 2
不显著的, 则我们接受 H0,
上述关于 x 与 0 有无显著差异的判断是在显 著性水平 之下作出的.
2. 检验统计量
用于检验假设的统计量，称为检验统计量.
如：对于例2, 统计量 U X 0 / n
— 检验统计量.
3. 原假设与备择假设
1 假设 H0 : 0, H1 : 0 ;
2º取检验统计量
U X 0 ~ N (0,1), / n
(当H0为真时)
3º给定显著水平 ( 0< ≤ 0.05)
P{ U u }
2
由
(u
2
)
1
2
，查表可得
u
2
.
拒绝域： W1 {( x1, x2,, xn ) u u }, 2
u U ( x1, x2,, xn )
分析：从直观上分析，这批产品不能出厂. 因为抽样得到的次品率： 2 3% 10 然而，由于样本的随机性，如何才能根据抽
样结果判断总体(所有产品)的次品率是否≤3%?
解 用假设检验法，步骤：
1º提出假设 H0: p 0.03 其中 p为总体的次品率.
2º设
Xi
1, 0,
概率论和数理统计 假设检验
① H0 := 0 ② H0 : = 0 ③ H0 : = 0
检验统计量T
X 0 S n
~ t ( n 1) —t检验法
H1 : ≠ 0 H1 : > 0 H1 : < 0
T t ( n 1);
2
T t ( n 1) T t ( n 1)
要问：两总体的均值是否有显著的差别？ 应设 H0：1=2，H1： 1≠2——双边检验 要问：总体X的均值是否显著比总体Y的均值大？ 应设 H0：1 ≤ 2，H1：1——单边检验 2
四、方法的步骤
13
回顾引例的解题过程 1、根据问题的要求，提出假设H0和备择假设H1。
（它的分布应不含任何未知参数，而且可以查出或算出它的分位点。）
原假设 8
二、常用的术语
备择假设
解: 今假设H0 ：=0=0.5， 且记H1 ：≠0=0.5，
由于X～N(0， 2),故 X ~ N ( 0 , 2 n) 当H0为真时， X 0 检验统计量 进而: U ~ N (0,1) 检 n 验 水 对于给定的 =0.05， 有
U X Y
21
1
n1
2
2 2
~
N (0,1)
n2
作为检验统计量——U检验法。 两总体X与Y的方差 12、22未知，但12=22= 2，用
T S X Y 1 1 n1 n2 ~ t ( n1 n2 2)
拒绝域
双侧检验的拒绝域取在两侧; 单边检验的拒绝域中不等式的取向与备择假设H1中不 等式的取向完全一致。
例2 在正常情况下,某工厂生产的灯泡的寿命X服从正态分布,今
测得10个灯泡寿命为: 19 1490,1440,1680,1610,1500,1750,1550,1420,1800,1580 问能否认为该工厂生产的灯泡寿命 0=1600 (=0.05)?
检验统计量T
X 0 S n
~ t ( n 1) —t检验法
H1 : ≠ 0 H1 : > 0 H1 : < 0
T t ( n 1);
2
T t ( n 1) T t ( n 1)
要问：两总体的均值是否有显著的差别？ 应设 H0：1=2，H1： 1≠2——双边检验 要问：总体X的均值是否显著比总体Y的均值大？ 应设 H0：1 ≤ 2，H1：1——单边检验 2
四、方法的步骤
13
回顾引例的解题过程 1、根据问题的要求，提出假设H0和备择假设H1。
（它的分布应不含任何未知参数，而且可以查出或算出它的分位点。）
原假设 8
二、常用的术语
备择假设
解: 今假设H0 ：=0=0.5， 且记H1 ：≠0=0.5，
由于X～N(0， 2),故 X ~ N ( 0 , 2 n) 当H0为真时， X 0 检验统计量 进而: U ~ N (0,1) 检 n 验 水 对于给定的 =0.05， 有
U X Y
21
1
n1
2
2 2
~
N (0,1)
n2
作为检验统计量——U检验法。 两总体X与Y的方差 12、22未知，但12=22= 2，用
T S X Y 1 1 n1 n2 ~ t ( n1 n2 2)
拒绝域
双侧检验的拒绝域取在两侧; 单边检验的拒绝域中不等式的取向与备择假设H1中不 等式的取向完全一致。
例2 在正常情况下,某工厂生产的灯泡的寿命X服从正态分布,今
测得10个灯泡寿命为: 19 1490,1440,1680,1610,1500,1750,1550,1420,1800,1580 问能否认为该工厂生产的灯泡寿命 0=1600 (=0.05)?
概率论与数理统计第八章假设检验
当总体分布函数完全未知或只知其形式、但 不知其参数的情况，为推断总体的性质，提出 某些关于总体的假设。
为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取 样本, 根据样本的取值, 按一定的原则进行检 验, 然后, 作出接受或拒绝所作假设的决定.
整理课件
2
我们主要讨论的假设检验的内容有
参数检验 总体均值、均值差的检验 总体方差、方差比的检验
H0: Θ0 vs H1: Θ1,
根据样本，构造一个检验统计量T 和检验法则： 若与T的取值有关的一个小概率事件W发生，则 否定H0，否则接受H0，而且要求
P(W|H0)
此时称W为拒绝域，整为理课检件 验水平。
11
例 3. 某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2,
而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要求,否
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
于是, 我们判断正确的概率是1-0.043=95.7%
整理课件
8
假设检验中的基本概念和检验思想 (1) 根据问题的背景, 提出原假设
再作一个备择假设
H1: p> 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.
检验: 三起交通事故的发生是相互独立的, 他们
之间没有联系.
如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的 概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧
道南的概率是
P= 0.353 ≈ 0.043.
为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取 样本, 根据样本的取值, 按一定的原则进行检 验, 然后, 作出接受或拒绝所作假设的决定.
整理课件
2
我们主要讨论的假设检验的内容有
参数检验 总体均值、均值差的检验 总体方差、方差比的检验
H0: Θ0 vs H1: Θ1,
根据样本，构造一个检验统计量T 和检验法则： 若与T的取值有关的一个小概率事件W发生，则 否定H0，否则接受H0，而且要求
P(W|H0)
此时称W为拒绝域，整为理课检件 验水平。
11
例 3. 某厂生产的螺钉,按标准强度为68克/mm2,
而实际生产的螺钉强度 X 服从 N ( ,3.6 2 ). 若 E ( X ) = = 68, 则认为这批螺钉符合要求,否
7
所以我们否定H0, 认为隧道南的路面发生交 通事故的概率比隧道北大.
做出以上结论也有可能犯错误。这是因为 当隧道南北的路面发生交通事故的概率相同, 而3起交通事故又都出现在隧道南时, 我们才犯 错误。这一概率正是P=0.043.
于是, 我们判断正确的概率是1-0.043=95.7%
整理课件
8
假设检验中的基本概念和检验思想 (1) 根据问题的背景, 提出原假设
再作一个备择假设
H1: p> 0.35. 在本问题中,如果判定H0不对,就应当承认H1.
检验: 三起交通事故的发生是相互独立的, 他们
之间没有联系.
如果H0为真, 则每一起事故发生在隧道南的 概率都是0.35, 于是这三起交通事故都发生在隧
道南的概率是
P= 0.353 ≈ 0.043.
高等数理统计 假设检验PPT课件
在实际问题中，往往出现的是复合假设的情 况。
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42
一致最优势检验问题 (UMPT)
定义（UMPT）：在检验问题 (0 , 1)
中，设 ( x ) 是水平为 的检验，如果对任意一
个水平为 的 检验 1 ( ，x ) 都有
E (x ) E 1 (X ) 1
则称检验 ( x ) 是水平为 的一致最优势检验，记为
是T(x)的单调函数
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50
定理：设单参数概率密度族关于实值统计量T(x)具 有非降MLR，则对于单边假设检验问题（I），存在 水平为a的UMPT检验函数
1 T (x) c
(T
( x))
r
T (x) c
0 T (x) c
r由下式确定
E0(T(X))
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51
同学们请参考例3.5（P189)
2
kr m1
Sni i
1
i1
完整编辑ppt
62
所以大样本似然比检验有否定域
Yn m21()
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63
非参数统计结构的假设检验问题
前述各种检验方法基本上适用于参数统计结 构，这些方法往往要求总体分布族的密度函 数的数学形式已知，且只含有限个未知参数， 但有些时候，人们难于由经验或某种理论得 到总体的参数统计结构，而只能得到非参数 统计结构。因此有必要寻求非参数统计结构 的检验方法。
类型III,IV一般无UMPT,所以不讨论。类型I，II类似，V过 于复杂，且不实用,所以只讨论类型I即可。
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48
定义：设 {p(x;):}是含有实参数 的概率密 度族，其中 是实直线上的一个区间。如果存 在实值统计量T(X)，使得对任意 1 2 ，都 有
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42
一致最优势检验问题 (UMPT)
定义（UMPT）：在检验问题 (0 , 1)
中，设 ( x ) 是水平为 的检验，如果对任意一
个水平为 的 检验 1 ( ，x ) 都有
E (x ) E 1 (X ) 1
则称检验 ( x ) 是水平为 的一致最优势检验，记为
是T(x)的单调函数
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50
定理：设单参数概率密度族关于实值统计量T(x)具 有非降MLR，则对于单边假设检验问题（I），存在 水平为a的UMPT检验函数
1 T (x) c
(T
( x))
r
T (x) c
0 T (x) c
r由下式确定
E0(T(X))
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51
同学们请参考例3.5（P189)
2
kr m1
Sni i
1
i1
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62
所以大样本似然比检验有否定域
Yn m21()
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63
非参数统计结构的假设检验问题
前述各种检验方法基本上适用于参数统计结 构，这些方法往往要求总体分布族的密度函 数的数学形式已知，且只含有限个未知参数， 但有些时候，人们难于由经验或某种理论得 到总体的参数统计结构，而只能得到非参数 统计结构。因此有必要寻求非参数统计结构 的检验方法。
类型III,IV一般无UMPT,所以不讨论。类型I，II类似，V过 于复杂，且不实用,所以只讨论类型I即可。
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48
定义：设 {p(x;):}是含有实参数 的概率密 度族，其中 是实直线上的一个区间。如果存 在实值统计量T(X)，使得对任意 1 2 ，都 有
数理统计基本概念与假设检验(doc 77页)
数理统计基本概念与假设检验(doc 77页)数理统计与Matlab讲义宋向东目录第1章数理统计基本概念 (1)1.1 总体与样本 (1)1.1.1 简单随机样本 (1)1.1.2 有限总体的无放回样本 (3)1.2 统计量 (3)1.2.1 样本k阶矩 (3)1.2.2 顺序统计量 (4)1.2.3 经验分布函数 (4)1.3 三个常用分布 (6)1.3.1 2 分布 (6)1.3.2 t分布 (7)1.3.3 F分布 (8)第2章参数估计 (10)2.1 点估计 (10)2.1.1 无偏性 (10)2.1.2 有效性 (12)2.1.3 相合性 (12)2.2 区间估计 (13)2.2.1 单正态总体均值的置信区间 (13)2.2.2 单正态总体方差的置信区间 (14)2.2.3 两正态总体均值差的置信区间 (15)2.2.4 两正态总体方差比的置信区间 (15)第3章假设检验 (17)3.1 假设检验的基本概念 (17)3.2 正态总体参数的假设检验 (19)3.2.1 单正态总体均值的假设检验 (19)3.2.2 单正态总体方差的假设检验 (20)3.2.3 两正态总体均值的假设检验 (21)3.2.4 两正态总体方差的假设检验 (21)3.2.5 大样本非正态总体均值的假设检验 (22)3.3 三个常用的非参数检验 (23)3.3.1 符号检验 (23)3.3.2 Wilcoxon秩和检验 (25)3.3.3 Wilcoxon符号秩检验 (30)3.4 检验的功效函数 (32)3.5 总体分布的假设检验 (37)3.5.1 2 检验 (37)3.5.2 Kolmogorov检验 (40)第4章回归分析 (44)4.1 一元回归分析 (44)4.1.1 回归方程的计算 (44)4.1.2 回归方程的显著性检验 (45)4.2 多元回归分析 (48)4.2.1 多元回归方程的计算 (48)4.2.2 显著性检验 (49)4.2.3 逐步回归分析 (52)第5章方差分析 (57)5.1 单因素方差分析 (57)5.1.1 方差分析的基本概念 (57)5.1.2 单因素方差分析的计算 (60)5.1.3 单因素方差分析的多重比较 (65)5.2 双因素方差分析 (67)5.2.1 有重复实验的双因素方差分析 (67)5.2.2 无重复实验的双因素方差分析 (72)参考文献 (76)第1章 数理统计基本概念1.1 总体与样本总体：研究对象的全体。
数理统计 (研究生课程) ：第三章 假设检验
(1) 差异可能是由抽样的随机性引起的，称为 “抽样误差”或 随机误差 这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动。然 而，这种随机性的波动是有一定限度的， (2) 如果差异超过了这个限度，则我们就不能用 抽样的随机性来解释了.
必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映 了生产已不正常.
这种差异称作 “系统误差”
正确
第二类错误
人们总希望犯这两类错误的概率越小越好，但 对样本容量一定时，不可能使得犯这两类错误的 概率都很小。 往往是先控制犯第一类错误的概率在一定限度 内，再考虑尽量减小犯第二类错误的概率。
即： 较小的 (0,1) 使得 P{拒绝H0|H0为真}≤ ,
然后减小P{接受H0|H0不真} 犯两类错误的概率:
如发现不正常，就应停产，找出原因，排除 故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定 时间再抽样，以此监督生产，保证质量.
很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大 的情况下就判断生产 不正常，因为停产的损失是 很大的.
当然也不能总认为正常，有了问题不能及时 发现，这也要造成损失.
如何处理这两者的关系，假设检验面对的就 是这种矛盾.
如果H0不成立，但统计量的实测 值未落入否定域，从而没有作出否定 H0的结论，即接受了错误的H0，那就 犯了“以假为真”的错误 . “取伪错误” 这两类错误出现的可能性是不可能排除的。 原因在于：由样本推导总体
假设检验的两类错误
实际情况 H0为真 H0不真 第一类错误 正确
决定 拒绝H0 接受H0
在上面的例子的叙述中，我们已经初步介绍 了假设检验的基本思想和方法 .
基于概率反证法的逻辑的检验： 如果小概率事件在一次试验中居然发生， 我们就以很大的把握否定原假设.
必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映 了生产已不正常.
这种差异称作 “系统误差”
正确
第二类错误
人们总希望犯这两类错误的概率越小越好，但 对样本容量一定时，不可能使得犯这两类错误的 概率都很小。 往往是先控制犯第一类错误的概率在一定限度 内，再考虑尽量减小犯第二类错误的概率。
即： 较小的 (0,1) 使得 P{拒绝H0|H0为真}≤ ,
然后减小P{接受H0|H0不真} 犯两类错误的概率:
如发现不正常，就应停产，找出原因，排除 故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定 时间再抽样，以此监督生产，保证质量.
很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大 的情况下就判断生产 不正常，因为停产的损失是 很大的.
当然也不能总认为正常，有了问题不能及时 发现，这也要造成损失.
如何处理这两者的关系，假设检验面对的就 是这种矛盾.
如果H0不成立，但统计量的实测 值未落入否定域，从而没有作出否定 H0的结论，即接受了错误的H0，那就 犯了“以假为真”的错误 . “取伪错误” 这两类错误出现的可能性是不可能排除的。 原因在于：由样本推导总体
假设检验的两类错误
实际情况 H0为真 H0不真 第一类错误 正确
决定 拒绝H0 接受H0
在上面的例子的叙述中，我们已经初步介绍 了假设检验的基本思想和方法 .
基于概率反证法的逻辑的检验： 如果小概率事件在一次试验中居然发生， 我们就以很大的把握否定原假设.
概率论与数理统计 --- 第八章{假设检验} 第六节：假设检验的两类错误
假设检验的两类错误
实际情况
数理统计
决定 拒绝H0
接受H0
H0为真
H0不真
第一类错误
正确
正确
第二类错误
犯两类错误的概率: P{拒绝H0|H0为真}=α, P{接受H0|H0不真}=β. 显著性水平 α为犯第一类错误(Type I error)的概率; β为犯第二类错误(Type II error)的概率.
X 0
n
u0.05 1.645
否定域为W : u u0.05 =1.645
代入 σ=2, n=25, 并由样本值计算得统计量U的实测值: u=3.125>1.645
落入否定域
故拒绝H0 , 即认为这批燃料率较以往生产的有显著的提高。
例2: 某织物强力指标X的均值 μ0=21公斤. 改进工艺后生产一批织物, 今从中取30件, 测得 X =21.55公斤.
u=2.51>2.33
落入否定域
故拒绝原假设H0 , 即新生产织物比过去的织物的强力有提高。
小结:
提出 假设
根据统计调查的目的, 提出原假设H0 和备选假设H1 作出 决策
数理统计
拒绝还是 不能拒绝H0
抽取 样本
检验 假设
P(T∈W)=α
α--犯第一类错误 的概率， W--为拒绝域
对差异进行定量的分析， 确定其性质 (是随机误差还是系统误差. 为给出两者界限， 找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.)
两类错误的概率的关系
两类错误是互相关联的, 当样本容量固定时, 一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加. 要同时降低两类错误的概率 α, β 或者 要在 α不变的条件下降低 β, 需要增加样本容量.