数理统计 第三章 假设检验

第二节 正态总体参数的假设检验 一、单个正态总体均值的检验 设X=(X1,X2,…,Xn)为从正态 总体N(μ,σ2)中抽取的简单随机 样本，给定检验水平α，求下列 三类检验：
(1) H 0 : 0 H 1 : 0 ( 2) H 0 : 0 H 1 : 0 (3) H 0 : 0 H 1 : 0
为对立假设。因此原假设H0和对 立假设H1的地位是不平等的，不 能相互调换。 与犯第一类错误概率相联系的另 一个概念是检验水平。
定义2：设φ是 H 0 : 0 H1 : 1 的一个检验，而0≤α≤1。如果 φ犯第一类错误的概率总不超过 α,则称α是检验φ的一个水平P (第一类错误） P X S） （ E（（X））， 0
这个概率一般随在0中取值的变 化而变化。
第二类错误：原假设不真，而错 误的接受了原假设，又称为取伪, c 接受错误的原假设H0等价于 X S 一般地，检验函数犯第二类错误 的概率为：
称为检验的功效函数(power function)，也称为势函数。
检验函数犯第一类错误的概率为
* ( ) P (第一类错误） P ( X S )
( ) E ( ( X)), 0
这个概率一般随θ在Θ 0中的取值 变化而变化。
第二类错误：一般的检验函数犯第 二类错误的概率为：
( ) P (第二类错误） P X S ） （
* c
1 E ( ( X)) 1 ( )， 1
一个好的检验函数,犯两类错误的 概率都应较小，也就是功效函数 在0中应尽可能的小，在1中尽 可能的大。
6、检验水平 希望一个检验犯两类错误的概 率都小，一般在固定样本大小时, 对任何检验都办不到。例如：要 犯第一类错误的概率减小，就要
或零假设。原假设常用H0来表示, 对立假设常用H1来表示。在参数 族分布模型中，原假设和对立假 设表现为参数的不同范围。
为了清楚的表达所考虑的原假设 和对立假设，一般的将它们成对 的写出来：
H 0 : p 0.04 H1 : p 0.04 H 0 : p 0.04 ; H1 : p 0.04
S n
于是检验的拒绝域为：
S {( X 1 , X 2 ,, X n ) : T t (n 1)}
T
对于检验(3)，当原假设成立时，有 X 0 P{ t (n 1)} S n 于是检验的拒绝域为：
S {( X 1 , X 2 ,, X n ) : T t (n 1)}
T
二、单个正态总体方差的检验
设X=(X1,X2,…,Xn)为从正态 总体N(μ,σ2)中抽取的简单随机 样本，给定检验水平α，求下列 三类检验：
(1) H 0 : H1 :
2 2 0 2 2 2 0 2
2 0 2 0
(2) H 0 : H1 :
因此检验统计量取值为：
X U 0 / n
当原假设为真，即 0 时，检 验统计量 U ~ N (0,1)
对于给定的检验水平α，有
P(| U | u 2 ) 1
于是，当总体的方差已知时，双 边检验（1）的检验水平为α的拒 T S 绝域为： {( X 1 ,..., X n ) :| U | u }
X ~ N ( , )
2
μ未知，检验：
H 0 : 0 H1 : 0 H 0 : 0 H1 : 0
(2)非参数型假设检验：如果总体 分布形式未知，此时就需要有一 种与总体分布族的具体数学形式 无关的统计方法，称为非参数方 法。例如检验一批数据是否来自 某个已知的正态总体的问题。
第一节 假设检验的基本概念 一、假设检验问题的提出 实际推断原理：小概率事件 在一次试验中几乎不会发生；或 者说在一次试验中观察到的事件 不会是小概率事件。
实际推断原理是假设检验的 基本原则，类似于数学推断中的 反证法，但是又与反证法有本质 的不同。
二、基本概念 1、总体分布族 假设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自于分 布族 { f ( x, ) : } 中某一分布的 简单随机样本。目前我们只考
缩小拒绝域，使接受域增大，这 必然导致犯第二类错误的概率增 大，反之亦然。因此Neyman— Paerson提出了一条原则，就是 限制犯第一类错误概率的原则，
即在保证犯第一类错误的概率不 超过指定数值α(0<α<1，通常取 较小的数)的检验中，寻找犯第二 类错误概率尽可能小的检验。
若记： S : ( ) , 0 S 表示由所有犯第一类错误的概 率不超过α的检验函数构成的类. 只考虑 S 中的检验，在 S 中挑 选“犯第二类错误的概率尽可能小
2 1 2 2
当检验水平α给定时，讨论下列检 验问题：
2 2 2 2 (1) H 0 : 2 1 H1 : 2 1 1 1 2 2 2 2 ( 2) H 0 : 2 1 H1 : 2 1 1 1 2 2 2 2 (3) H 0 : 2 1 H1 : 2 1 1 1
P (第二类错误 ) P (X S )
C
1 E ( (X )), 1
5、功效函数 定义1：设 (X)是H 0 : 0 H1 : 1 的一个检验函数，则：
( ) P (用检验 ( X )拒绝了 H 0 )
E ( ( X)),
赖于未知参数；当样本落入S时就 拒绝原假设H0而接受对立假设H1, c 否则就接受原假设H0。划分 (S , S ) 称为假设检验问题 " H 0 H1" 的一 个检验。称S为该检验的拒绝域，
而 S 为该检验的接受域。 为了研究的方便，常用检验函 数φ(X)来描述检验规则：
c
1 , XS (X ) C 0 , X S

2
其检验函数为：
1, (X ) 0, | U | u 2 | U | u 2
2、正态总体的方差σ2未知 当正态总体的方差未知时，检 验统计量就需要改变，在原来的 检验统计量中， σ未知，自然想 到用样本方差去替代总体方差。
于是，取检验统计量为： X T S n 且由T分布的定义知： T ~ t (n 1)
五、成对数据的t检验
前面讨论的用于两个正态总体 均值差、方差比的检验中，假定 了来自两个正态总体的样本是相 互独立的，但在实际问题中，
有时候情况不是这样，可能这两 个正态 总体的样本是来自同一个 总体上的重复观察，它们是成对 出现的，而且是相关的，例如， 为了观察一种安眠药的效果，记
录了n个失眠病人服药前的每晚睡 眠时间 X1，X2 ,… ,Xn和服用此安 眠药后每晚睡眠时间Y1,Y2, …,Yn, 其中(xi : yi)是 第i个病人不服用安 眠药和服用安眠药每晚的睡眠时
对于检验(1),当原假设成立，及给 定的显著性水平α，有： | X 0 | P{| T | t 2 (n 1)} S n 则认为，检验(1)的水平为α的拒绝
域为：
S {( X 1 , X 2 ,, X n ) :| T | t 2 (n 1)}
T
该检验称为t检验，其检验函数为:
间，它们是有关系的，不会相互 独立。另一方面X1,X 2,…. Xn是n 个不同失眠病人的睡眠时间，由 于个 人体质诸方面的条件不同， 这n个观察值不能认为是来自同一
一般的参数的假设检验问题可 以表示为： H 0 : 0 H 1 : 1
其中 0，1均为 的真子集 且 0 1
3、检验规则 即根据样本判断能否接受原假 设的规则一般的，最简单的检验 规则是：把样本可能的取值范围 即样本空间划分为两个不相交的 部分 S和S c ，并且这种划分不依
1, | T | t 2 ( n 1) (X ) 0, | T | t 2 (n 1)
同理可得检验(2),(3)的拒绝域与检 验函数。 检验统计量仍然取
X T S n
对于检验(2)，当原假设成立时，有 X 0 P{ t (n 1)}
虑参数分布族，即概率密度或概 率函数的形式已知，参数的真值 属于已知的参数空间但是未知。 与参数估计的问题一样，总体分 布族的确定建立了统计模型。
2、原假设与对立假设 在实际问题中，研究人员往往 提出某个假设，并希望通过样本 来检验该假设是否成立。在上例 中，检验人员关心的问题是：
这批产品的不合格率是否大于0.04, 这个假设可以称为研究假设，在假 设检验问题中，称为对立假设或备 择假设。“不合格率小于等于0.04” 就是研究假设的反面，称为原假设
其中μ0和检验水平α给定。
1、正态总体的方差σ2已知 对于检验（1），称为双边检验 H 0 : 0 H1 : 0 在估计理论中用样本均值作为总 体均值的估计。在直观上，若原
假设H0成立，样本均值与μ0的差 别不应太大，若差别过大，就有 理由拒绝原假设。但是在考虑两 者的差时，还应该考虑总体均方 差的取值。
2 1 2 2
当μ0和检验水平α给定时，讨论 下列检验问题：
H 0 : 2 1 0 H1 : 2 1 0 H 0 : 2 1 0 H1 : 2 1 0 H 0 : 2 1 0 H1 : 2 1 0
2 2 : 2 0 H1: 2 0 (3) H 0
其中 及检验水平α给定。
2 0
三、两个正态总体均值差的检验 设 X ( X 1 , X 2 , L , X m ), Y (Y1 , Y2 , L , Yn ) 分别来自两个相互独立的正态总体
X ~ N ( 1 , ), Y ~ N ( 2 , )
第三章 假设检验
假设检验问题,就是通过从有关 总体抽取一定容量的样本，利用 样本去检验总体分布是否具有某 种特征。假设检验问题大致分为 两类：