概率论与数理统计假设检验

H0 ： ? ? ? 0 H1 ： ? >? 0
z ? x ? ?0 ?n
? 未知： z ? z1? ? / 2
t ? x ? ?0
sn
z ? ? z1? ?
z ? z1? ?
t ? t1? ? / 2
P??
t ? ? t1??
拒绝H0
t ? t1??
一、总体标准差已知时的单个正态总体均值的 U检验
s/ n
假设
单侧检验 双侧检验
左侧检验 右侧检验
原假设 H0 : ? = ? 0 H0 : ? ? ? 0 H0 : ? ? ? 0
备择假设 H1 : ? ≠? 0 H1 : ? < ? 0 H1 : ? > ? 0
双侧检验
抽样分布
置信水平
拒绝H0
? /2
1 -?
拒绝H0
? /2
0 临界值
样本统计量 临界值
在Matlab中U检验法由函数ztest来实现。调用格式如下
[H , P,CI , zval] ? ztest( X, ? 0 ,? ,? ,Tail )
·[h,sig]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail) ·h=ztest(x,m,sigma) ·h=ztest(x,m,sigma,alpha) ·[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail) 命令[h,sig,ci]＝ztest(x,m,sigma,alpha,tail)表示通过tail 指定值控制可选择假 设的类型, 以显著性水平为alpha 检验, 标准差为sigma 的正态分布样本x 的 均值是否为m. 返回值h＝l表示在显著性水平为alpha 时拒绝原假设; h＝0 表 示在显著水平为alpha 时不拒绝原假设. 返回值sig 为Z 的样本数据在x 的均 值为 m 的原假设下较大或者在统计意义下较大的概率值. ci 返回置信度为100(1-alpha)%的真实均值的置信区间.
当Tail=0时，备择假设为“ ? ? ? 0 ”；
当Tail=1时，备择假设为“ ? ? ? 0”；
当Tail=-1时，备择假设为“ ? ? ? 0 ”；
当H=0表示接受原假设； 当H=1表示拒绝原假设。
例 1、某切割机正常工作时，切割的金属棒的长度服从正态分布
N (100,4) .
从该切割机切割的一批金属棒中随机抽取
总体：
X
~
N(?
,?
2 0
)
样本： X1, X2 , , Xn
假设：
H0 : ? ? ?0, H0 : ? ? ?0, H0 : ? ? ?0,
H1 : ? ? ? 0 . H1 : ? ? ? 0 H1 : ? ? ? 0
? ztest函数 调用格式： h = ztest(x,m,sigma) h = ztest(...,alpha) h = ztest(...,alpha,tail) h = ztest(...,alpha,tail,dim) [h,p] = ztest(...) [h,p,ci] = ztest(...) [h,p,ci,zval] = ztest(...)
是否成立 , 以决定是接受还是否定原假设 H 0. 假设检验的判断和结论是根据样本做出的 , 故具有“概率性” , 从而要犯判断上的错误 ——弃真错误和取伪错误 . 假设检验分为参 数假设检验和总体分布假设检验两类 . ? 由样本数据来做出拒绝和接受原假设的判断 , 计算量是相当大的 . 下面我们用 MATLAB 软件来解决这一问题 .
抽样分布
拒绝H0
?
置信水平
1 -?
临界值
0
样本统计量
观察到的样本统计量
抽样分布
置信水平
拒绝H0
1-?
?
0 观察到的样本统计量
样本统计量 临界值
假设 假设形式
统计量
拒绝域 P 值决策
双侧检验
H0 ： ? =? 0 H1 ： ? ? ? 0
? 已知：
左侧检验
右侧检验
H0 ： ? ? ?0 H1 ： ? <? 0
15 根，测得它们的长度（单
位： mm ）如下：
97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103. 假设总体方差不变，试检验该切割机工作是否正常，即总体均值是否等于
100mm ？取显著性水平 ? ? 0.05 .
>> x = [97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103]; % 调用ztest函数作总体均值的双侧检验， % 返回变量h，检验的p值，均值的置信区间muci，检验统计量的观测值zval >> [h,p,muci,zval] = ztest(x,100,2,0.05) % 调用ztest函数作总体均值的单侧检验 >> [h,p,muci,zval] = ztest(x,100,2,0.05,'right')
我认为这种新药的疗效 比原有的药物更有效!
2
构造假设 选择统计量并计算 确定? 作出决策
总体
??
??பைடு நூலகம்
? ??
??
提出假设
我认为人口的平 均年龄是 50岁
作出决策 拒绝假设
别无选择!
抽取随机样 本
??均x =值20?
? 1. 问题背景 ? 假设检验是统计推断的基本问题之一 , 主要是确定关于样本总体特征的判断是否合理 . ? 其基本思想是 , 按照一定的规则 (即检验准则 ), 根据样本信息对所做出的原假设 H 0 判断
? 2. 实验目的与要求 ? (1) 掌握 MATLAB 工具箱中关于假设检验的有关操作命令 ; ? (2) 熟练掌握对单个正态总体均值、方差的假设检验 ; ? (3) 掌握对两个正态总体均值、方差有关的假设检验 ; ? (4) 掌握两个未知总体分布类型对均值是否相等的假设检验 ; ? (5) 掌握对单个总体是否服从正态分布的假设检验 ; ? (6) 掌握对单个总体是否服从指定的理论分布的假设检验 .
? 求解参数假设检验问题的步骤 : ? (1) 根据问题提出合理的原假设 H 0和备择假设H 1 ; ? (2) 给定显著性水平 α , 一般取较小的正数 , 如
0.05,0.01 等;
? (3) 选取合适的检验统计量及确定拒绝域的形式 ; ? (4) 令P{当H 0为真拒绝H 0}<= α , 求拒绝域; ? (5) 由样本观察值计算检验统计量的值 , 并做出决策:
拒绝H 0或接受H 0 .
(1) ? 已知：
设 x1 , x2 , , xn 是来自正态总体X的一个简单随机样
? 本，样本均值为
x?
1 n
n i?1
xi ，根据单个总体的抽样分布结
论，选用统计量
z ? x ? ? 0 ~ N (0,1) ?n
(2) ? 未知：
选用统计量：
t ? x ? ? 0 ~ t(n ? 1)