第三章 线性分组码
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第3章线性分组码
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第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
码的生成矩阵（ k 维线性子空间）
由于[n,k,d]线性分组码是一个k维线性空间。因此必 可找到k个线性无关的矢量，能张成该线性空间。设 C1 , C 2 , C k 是k个线性无关的矢量，则对任意 C ，可有：
C m1C1 m2 C 2 mk C k C1 C2 m1 , m2 , mk C k G称为该分组码的生成矩阵 mG
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第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
线性空间的性质
零元素是唯一的 负元素是唯一的， V 关于0元素有 0 0, k 0 0, ( 1) ,
- 唯一
k ( ) k k
如果
如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0.
9
第3章 线性分组码
3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
例：一个[7, 3 ]码，m2 m1 m0 → c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0 ，如 果码字的生成规则为：
若用矩阵形式表示这些线性方程 组， 则：
C m2 m1
1 0 0 1 1 1 0 m0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
0 ;（β 称为 的负元素）
3
第3章 线性分组码
3.1 线性分组码的基本概念
数量乘法满足下列两条规则 : ⑤ 1 ⑥ k ( l ) ( kl ) 数量乘法与加法满足下列两条规则： ⑦ (k l ) k l ⑧ k ( ) k k
［ n –i, k -i］缩短码的纠错能力至少与原［n, k ］码 相同。 ［n –i, k -i］缩短码是［n , k ］码缩短i位得到的， 因而码率R 比原码要小， 但纠错能力不一定比原码 强。
线性分组码
系统码的校验矩阵和生成矩阵可以转换。
13
线性分组码的性质
线性分组码中任意两个码字的模2加仍为一个码字，这个性 质称为码的封闭性。 零矢量必须是任一线性分组码中的一个码字，称为零码字。 生成矩阵中各行都是一个码字，且生成矩阵的各行是线性 无关的（任意两行相加不为零）。任意码字C是生成矩阵中 各行的某一线性组合。 校验矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性 无关的监督关系式，从而得不到r个独立的监督位。
23
汉明码
汉明码实际上是(2m-1, 2m-m-1)线性分组码，其校验行有m行，共有 n=2m-1列，任一列都不为零且两两互不相等，因此能纠正任何单 个错误。 汉明码的校验矩阵一般有两种构造方式： 一是校验矩阵的标准形式，即H=[PI] 式中P为m×(n-m)维矩阵，I为m×m维单位阵。按这种校验矩阵编 出的码是系统码。 二是校验矩阵的列是按二进制数的自然顺序从左到右排列的非零 列，例如，当n=7,k=4时，H中的第一列为[0 0 1]，第二列为[0 1 0]，…,第七列为[1 1 1]，按这种校验矩阵编出的码是非系统码。 发生单个错误时，伴随式是H中与错误位置对应的列，所以汉明码 伴随式二进制数的值就是错误位置的序号。
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例题-由生成矩阵生成码字
由生成矩阵 所有码字为
m 000
1 0 0 1 1 1 0 G 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1
生成的（7，3）码的
C 0000000
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
在校验方程的矩阵形式中，令
1 1 则校验方程可以写成 H 1 0
HCT=0 或CHT=0
线性分组编码
背景
在通信中，由于信息码元序列是一种随机序列，接收端无法预知码元的取值，也无法识别其中有无错码。所 以在发送端需要在信息码元序列中增加一些差错控制码元，它们称为监督码元（校验元）。这些监督码元和信息 码元之间有确定的关系。
在信息码元序列中加监督码元就称为差错控制编码，差错控制编码属于信道编码。
信息码元和监督码元之间有一种关系，关系不同，形成的码类型也不同。可分为两大类：分组码和卷积码。 其中，分组码是把信息码元序列以每k个码元分组，编码器将每个信息组按照一定规律产生r个多余的码元（称为 校验元），形成一个长为n=k+r的码字。
感谢观看
校验矩阵H
这也表示由G的行矢量所扩张成的k维子空间与H矩阵行矢量所扩张成的r维子空间是正交的。
G与H中只要有一个确定，另一个就是可以确定的。只要校验矩阵给订=定，校验码元和信息码元之间的关系 就完全确定了。
举例
下面是一个（7,3）线性分组码，有信息组(m2m1m0),信息组在码字的前部，即： 生成矩阵为 信息组和对应的码字由表3.1给出。 则其校验矩阵为
基本概念
当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时（用线性方程组），这种分组码就称为线性分组码。 包括汉明码和循环码。
对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码字，从中可以选择M=个码字（k<n）组成一种编码，其中 码字称为许用码字，其余码字称为禁用码字。这样，一个k比特信息可以映射到一个长度为n的码组中，该码字是 从M个码字构成的码字集合中选出来的，剩下的码字即可以对这个分组码进行检错或纠错。
在线性分组码中，两个码字对应位上数字不同的位数称为码字距离，简称距离，又称汉明距离。 编码中各个码字间距离的最小值称为最小码距d，最小码距是衡量码组检错和纠错能力的依据，其关系如下： （1）为了检测e个错码，则要求最小码距d>e+1; （2）为了纠正t个错码，则要求最小码距d>2t+1; （3）为了纠正t个错码，同时检测e个错码，则要求最小码距d>e+t+1,e>t。
信息论基础线性分组码PPT
设码字x5 (x0 , x1, x2 , x3, x4 )， 可得 信息位 码字
00 00000 01 01101 10 10111 11 11010
x2
x3
x0 x0
x1
x4 x0 x1
20
线性分组码的基本概念
改写为
1 1
x0 x0
1 0
x1 x1
1 x2 0 0 x2 1
二战期间在路易斯维尔大学当教授，1945年参加曼哈顿计划， 负责编写电脑程式，计算物理学家所提供方程的解。该程式 是判断引爆核弹会否燃烧大气层，结果是不会，于是核弹便 开始试验。
1946至76年在贝尔实验室工作。他曾和约翰·怀尔德·杜奇、 克劳德·艾尔伍德·香农合作。1956年他参与了IBM 650的程 式语言发展工作。
码字无关！
记S= en·HT ，称之为接收序列rn的伴随式.
36
线性分组码的译码
（n，k）线性分组码的校验矩阵，用列向量
表出：
h1,1
h1,2
H
h2,1
h2,2
h1,n
h2,n
h1
h2
hn
hnk
,1
hnk ,2
hnk
,n
其中，hn-i为H矩阵的第i列.
37
线性分组码的译码
设en=(e1， e2，…，en)=(0，…，ei1，0，…，ei2，0，…， ei3，0，…，eit，0，…，0)
信息位 码字
00 00000
1(01) 1(10) 11
01 01101 10 10111
f (11) 11010
11 11010
1(01101) 1(10111) 11010
f (1(01) 1(10)) 1(01101) 1(10111)
线性分组码(免费)
线性分组码8.3.1 基本概念是一组固定长度的码组，可表示为（n, k），通常它用于前向纠错。
在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。
在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。
当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时，这种分组码就称为。
对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择M=个码组（k<n）组成一种码。
这样，一个k比特信息的线性分组码可以映射到一个长度为n码组上，该码组是从M=个码组构成的码集中选出来的，这样剩下的码组就可以对这个分组码进行检错或纠错。
线性分组码是建立在代数群论基础之上的，各许用码的集合构成了代数学中的群，它们的如下：（1）任意两许用码之和（对于二进制码这个和的含义是模二和）仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性；（2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。
在8.2.1节中介绍的奇偶监督码，就是一种最简单的线性分组码，由于只有一位监督位通常可以表示为（n,n-1），式（8-5）表示采用偶校验时的监督关系。
在接收端解码时，实际上就是在计算：（8-6）其中，…表示接收到的信息位，表示接收到的监督位，若S＝0，就认为无错；若S＝1就认为有错。
式（8-6）被称为监督关系式，S是校正子。
由于校正子S的取值只有“0”和“1”两种状态，因此，它只能表示有错和无错这两种信息，而不能指出错码的位置。
设想如果监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似于式（8-6）的监督关系式，计算出两个校正子和，而共有4种组合：00，01，10，11，可以表示4种不同的信息。
除了用00表示无错以外，其余3种状态就可用于指示3种不同的误码图样。
同理，由r个监督方程式计算得到的校正子有r位，可以用来指示-1种误码图样。
对于一位误码来说，就可以指示-1个误码位置。
对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n - k位的分组码（常记作（n，k）码），如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能，则要求：（8-7) 下面通过一个例子来说明的。
第3章 线性分组码
由上式经移项运算，解出监督位为
a2 a6 a5 a4 a1 a 6 a 5 a 3 a0 a6 a4 a3
已知信息位后，就可直接计算出监督位。由此得出16个许用码组 表4-5（7，4）汉明码的许用码组 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
§3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
一、 码的校验矩阵与生成矩阵
– ［n ，k ，d］分组码的编码问题就是在n 维 线性空间Vn 中，如何找出满足一定要求的， 有2k 个矢量组成的k 维线性子空间Vn ，k 。 – 或者说， 在满足给定条件(码的最小距离d或 码率R)下， 如何从已知的k 个信息元求得r=n -k 个校验元。
• 二进制(5,3)码
– K位信息空间23
• • • • • • • • 000 001 010 011 100 101 110 111
n位编码空间25
00000 00100 01000 01100 10000 10100 11000 11100 00001 00101 01001 01101 10001 10101 11001 11101 00010 00110 01010 01110 10010 10110 11010 11110 00011 00111 01011 01111 10011 10111 11011 11111
a2 a6 a5 a4 a1 a 6 a 5 a 3 a0 a6 a4 a3
已知信息位后，就可直接计算出监督位。由此得出16个许用码组 表4-5（7，4）汉明码的许用码组 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 信息码 a6a5a4a3 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 监督码 a2a1a0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
§3.2 码的一致校验矩阵与生成矩阵
一、 码的校验矩阵与生成矩阵
– ［n ，k ，d］分组码的编码问题就是在n 维 线性空间Vn 中，如何找出满足一定要求的， 有2k 个矢量组成的k 维线性子空间Vn ，k 。 – 或者说， 在满足给定条件(码的最小距离d或 码率R)下， 如何从已知的k 个信息元求得r=n -k 个校验元。
• 二进制(5,3)码
– K位信息空间23
• • • • • • • • 000 001 010 011 100 101 110 111
n位编码空间25
00000 00100 01000 01100 10000 10100 11000 11100 00001 00101 01001 01101 10001 10101 11001 11101 00010 00110 01010 01110 10010 10110 11010 11110 00011 00111 01011 01111 10011 10111 11011 11111
线性码和线性分组码
• G中任一元g与H相加得到旳子集称为H旳陪集
• 举例
– 陪集不相交
– 陪集首
H的陪集
– 商集
• 整数群旳子群
– m旳全部倍数
H
– 剩余类
线性空间、线性码与线性分组码
• 利用线性空间中旳子空间作为许用码字旳编码 称线性码
• 当线性空间为有限维空间时即为线性分组码 • GF(q)上旳n维线性空间Vn中旳一种k维子空间
• 中任一矢量r是许用码字旳充要条件是
r h1T
hT2
hT nk
0
h1
H
h2
hnk
校验矩阵
对偶码
• 用校验矩阵H中行矢量张成旳子空间是一 种(n ,n-k)线性分组码，它与码C互为对偶 码
自由距与校验矩阵
• 校验矩阵旳秩为df -1 • 例：纠一种错旳码设计
– 自由距至少为3 – 校验矩阵旳秩至少为2，即任两个列矢量不同 – 当冗余位数m固定时，最多旳非零列矢量个数为2m -1 – 最高效率为(2m-1，2m-1-m，3)码，称为汉明码，是完
线性分组码译码旳基本措施
• 码C作为一种子群，它旳每一种陪集在码 C旳正交空间H中旳投影是一种点，而不 同旳陪集投影不同。
• 每一种陪集有一种最小码重，作为陪集 首，代表最可能旳错误图案。
• 这就引出了伴随式译码：s=rHT，将s与 最可能旳e建一张表，即可经过查表法实 现译码。
小结：引入线性码旳好处
– 对自由距为d旳码，球半径为s(C) = (d-1)/2
• 能够覆盖整个码空间旳以许用码字为中心半径 相等旳球，其最小半径称为码旳覆盖半径 t(C)，
– 显然球半径不不小于覆盖半径 – 当相等时称为完备码，在k和d相不变旳码中n最小 – 当给定编码参数n和k时，覆盖半径越小码距就能够
线性分组码
• 伴随式是校验矩阵列向量的线性表示。以 下列校验矩阵为例，考察不同错误模式下 的伴随式结构。
• 因此，列向量的线性无关性，与纠错能力 密切相关。：任意d-1个列向量线性无关。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
n-k+1，即d<=n-k+1。
伴随式的计算电路
• 根据校验矩阵H，得到校正子S各元素的数学 表达式，进而给出对应的电路。
• 软件实现方式， sT=HRT为算法。
1 0 1 1 0 0 0 H 1 1 1 0 1 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
C3 =C6 C4 C2 =C6 C5 C4 C1=C6 C5 C0 =C5 C4
C6
1
1
1 0
0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0
0
0 1
C5 CC43 C2 C1
• 汉明码定义：最小码距d=3的（n=2m-1，k=2m-m-1）线性 分组码的统称。
两种特殊的H矩阵
• 系统的H矩阵：将重量为1的n-k个列向量排 列成单位阵形式，其他列向量任意放置。 构成系统汉明码的H矩阵。
• 按列向量的二进制数从小到大排列，得到 特殊的非系统汉明码。当发生单个错误的 时候，伴随式的二进制数的大小，就是接 收码字发生错误的位置。因此，译码非常 简单。这种汉明码是最常用的。
• （n,k）的线性分组码，H矩阵列向量中没有0向量，且任 意两列互不相等，即可构成最小码距为3的分组码。H矩阵 为n-k行n列的矩阵，列向量一共有2n-k-1个，即n= 2n-k-1， 满足这种关系，最小码距为3的（n,k）线性分组码称为汉 明码。
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问题：最小汉明距离有什么变化？
第二节 线性分组码的译码
• 伴随式 • 汉明码 • 标准阵列
一、伴随式(P59)
设发送码字 C cn1, cn2 , c0
接收序列 R rn1, rn2 , r0
根据错误图样的概念，R=C+E S RH T (C E)H T EH T
S是校验矩阵H中某几列数据的线性组合
Step2: 若S=0，正确接收；若S不为零，寻 找错误图样；
Step3: 由错误图样解出码字C=R-E。
• 标准阵列 根据许用码字将禁用码字进行分类， 分类的依据是错误图样。
… …… …
… … …
标准阵列译码
码字
C1 (陪集首)
C2
…Ci
…
E2
C2+E2 Ci+E2
禁 用
E3
C2+E3 Ci+E3
五、延长码
对增广码再填加一个全校验位。[n+1,k+1]
R k 1 n 1
第四节 线性码的纠错能力(p79)
• 码的重量分布(p73) • 普洛特金限(P限) • 汉明限 • V-G限
一、码重量分布
码的性能不仅由码的最小汉明距离决定，还 可由码的重量分布有关
n
Ax A0 A1x An x n Ai xi i0
2
则一定可以构造出一长为n、最小距离为d的[n, k] 线性分组码
• 当n时，由P限可推出： k 1 2d
n
n
• 由汉明限可推出：
k n
1
H
2
d 2n
• 由V-G限可推出：
k n
1
H
2
d n
1) V 关于加法构成阿贝尔群
2) 对于V中的任意元素v和F中任意元素c， cv一定属于集合V(数乘运算)
3) 分配律成立
4) 结合律成立
称V是域F上的一个n维线性空间
• 定义2(张成)：给定线性空间V和V中的一 个子集S，若V中的任意一个矢量均可用 S中的矢量线性组合生成，则称S张成了 矢量空间V。
校验矩阵H与任意一个码字之积为零，因此有
H GT 0
Examples
1 c3 1 c6 0 c5 1 c4
1 1
c2 c1
1 c6 1 c6
1 c5 0 c5
1 c4 0 c4
1 c0 0 c6 1 c5 1 c4
1 0 1 1 0 0 0
H
1
1 0
• 定义3(基底和维数)：给定线性空间V， 能张成该空间的线性独立矢量的集合成 为V的基底，而线性独立矢量的数目称为 V的维数
二、线性分组码基本概念 (P52-54)
• 定义：[n, k]线性分组码是GF(q)上的n维线性空间 中的一个k维子空间。
2n
2k
•性质：[n,k,d]线性分组码的最小距离等于非零 码字的最小重量
二、删余码
在原码基础上删去一个校验元。
[n-1, k]
三、增广码
在原码基础上，增加一个信息元，删去一个 校验元 [n,k+1,d]
G a 1
1
G
1
C a C 1 Ci i 1,2, 2k
da=min{d, n-d’}
四、增余删信码
删去一个信息元，增加一个校验元
若[n,k,d]码的最小汉明距离d为奇数，则 挑选所有偶数重量的码字，即可构成 [n,k-1,d+1]增余删信码
c0 h0,n1 cn1 h0,n2 cn2 h0,nk cnk
hnk 1,n1 hnk 1,nk 1 0 0 cn1 0
hnk 2,n1
h0,n1
hnk 2,nk
h01,nk
0 0
1 0
0 1
cn2 c0
0 0
校验矩阵(nk行，n列)
二、P限
GF(q)上(n,M,d)分组码的最小距离d为：
d
nM q 1 M 1q
三、汉明限(H限、球包限)
长为n纠t个错误的q进制分组码的码字数M 为：
qn
M
t
i0
n i
q
1i
四、V-G限
若码的校验元数目n-k满足
q nk
1
n
1
1(q
1)
n
2
1(q
1) 2
n d
1 2
(q
1) d
第三章 线性分组码
要求掌握的内容
• 线性分组码的定义及性质 • 码的一致校验矩阵和生成矩阵 • 码的伴随式、标准阵列及译码 • 汉明码及译码
第一节 线性分组码基本概念
• 线性空间 • 线性分组码定义 • 生成矩阵 • 校验矩阵 • 对偶码、系统码和缩短码
一、线性空间(p38)
• 定义1(线性空间)：如果域F上的n重元 素集合V满足下述条件：
两个定理
定理1：[n,k,d]线性分组码有最小汉明距离d的充要条件是，H 矩阵中任意d-1列线性无关 定理2：[n,k,d]线性分组码最大可能的最小汉明距离d等于 n-k+1
二、汉明码
• 参数
码长：
n=2m-1
信息位长度：k=2m行，2m-1列，取互不相同的 m重构成
d min w(Ci ) Ci[n,k ]
给定参数n、k和d
如何根据k个信息比特来确定对应的n-k个校验比特？
——利用校验矩阵 ——利用生成矩阵
三、码的生成矩阵(P56)
——从线性空间的角度描述分组码
由于[n,k,d]线性分组码是一个k维线性空间
因此，必可找到k个线性无关的矢量，能张成该线性空间
四、码的校验矩阵(P54)
——从线性方程组的角度描述分组码
cn1 cn2 cnk cnk1 cnk2 c0
k个信息位
nk个校验位
n-k个校验位可用k个已知的信息位表示出来
cnk1 hnk1,n1 cn1 hnk1,n2 cn2 hnk1,nk cnk
cnk2 hnk2,n1 cn1 hnk2,n2 cn2 hnk2,nk cnk
设 C1, C 2 , C k 是k个线性无关的矢量，则对任意
C ，可有：
C m1C1 m2C2 mk Ck
C1
m1 , m2 ,
mk
C2 Ck
mG
G称为该分组码的生成矩阵
注：
1) 生成矩阵G中的每一行都是一个码字 2) 任意k个线性独立的码字都可以作为生
成矩阵
3) 给定一个[n,k,d]线性分组码，其生成矩 阵可有多个
Examples:
GF(2)上的[7,4,3]汉明码，001,010,011,100, 101,110,111,000。校验矩阵为：
0 0 0 1 1 1 1
H 0 1 1 0 0 1 1
1
0
1
0
1
0
1
三、标准阵列译码(p63)
• 线性分组码的基本译码步骤
Step1: 由接收到的序列R，计算伴随式 S=RHT；
1 1 1
1 0 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
五、几个概念(P57-58)
——对偶码、系统码和缩短码
对系统码
G I k P
H P T I nk
缩短码 从[n,k,d]线性分组码的所有码字中，把前面i位全为零的码字 挑选出来构成一个新的子集，该子集即为[n,k,d]的缩短码。
码
字
E2nk
C + C + E 2
2nk
E i 2nk
C2k C2k E2 C2k E3
C2k E2nk
• 两个概念 完备译码 限定距离译码
第三节 由已知码构造新码的方法
• 扩展码 • 删余码 • 增广码(增信删余码) • 增余删信码 • 延长码
一、扩展码
1 1 1
H
H
0 0
增加一个全校验位 [n+1,k,d] 或[n+1,k,d+1]
第二节 线性分组码的译码
• 伴随式 • 汉明码 • 标准阵列
一、伴随式(P59)
设发送码字 C cn1, cn2 , c0
接收序列 R rn1, rn2 , r0
根据错误图样的概念，R=C+E S RH T (C E)H T EH T
S是校验矩阵H中某几列数据的线性组合
Step2: 若S=0，正确接收；若S不为零，寻 找错误图样；
Step3: 由错误图样解出码字C=R-E。
• 标准阵列 根据许用码字将禁用码字进行分类， 分类的依据是错误图样。
… …… …
… … …
标准阵列译码
码字
C1 (陪集首)
C2
…Ci
…
E2
C2+E2 Ci+E2
禁 用
E3
C2+E3 Ci+E3
五、延长码
对增广码再填加一个全校验位。[n+1,k+1]
R k 1 n 1
第四节 线性码的纠错能力(p79)
• 码的重量分布(p73) • 普洛特金限(P限) • 汉明限 • V-G限
一、码重量分布
码的性能不仅由码的最小汉明距离决定，还 可由码的重量分布有关
n
Ax A0 A1x An x n Ai xi i0
2
则一定可以构造出一长为n、最小距离为d的[n, k] 线性分组码
• 当n时，由P限可推出： k 1 2d
n
n
• 由汉明限可推出：
k n
1
H
2
d 2n
• 由V-G限可推出：
k n
1
H
2
d n
1) V 关于加法构成阿贝尔群
2) 对于V中的任意元素v和F中任意元素c， cv一定属于集合V(数乘运算)
3) 分配律成立
4) 结合律成立
称V是域F上的一个n维线性空间
• 定义2(张成)：给定线性空间V和V中的一 个子集S，若V中的任意一个矢量均可用 S中的矢量线性组合生成，则称S张成了 矢量空间V。
校验矩阵H与任意一个码字之积为零，因此有
H GT 0
Examples
1 c3 1 c6 0 c5 1 c4
1 1
c2 c1
1 c6 1 c6
1 c5 0 c5
1 c4 0 c4
1 c0 0 c6 1 c5 1 c4
1 0 1 1 0 0 0
H
1
1 0
• 定义3(基底和维数)：给定线性空间V， 能张成该空间的线性独立矢量的集合成 为V的基底，而线性独立矢量的数目称为 V的维数
二、线性分组码基本概念 (P52-54)
• 定义：[n, k]线性分组码是GF(q)上的n维线性空间 中的一个k维子空间。
2n
2k
•性质：[n,k,d]线性分组码的最小距离等于非零 码字的最小重量
二、删余码
在原码基础上删去一个校验元。
[n-1, k]
三、增广码
在原码基础上，增加一个信息元，删去一个 校验元 [n,k+1,d]
G a 1
1
G
1
C a C 1 Ci i 1,2, 2k
da=min{d, n-d’}
四、增余删信码
删去一个信息元，增加一个校验元
若[n,k,d]码的最小汉明距离d为奇数，则 挑选所有偶数重量的码字，即可构成 [n,k-1,d+1]增余删信码
c0 h0,n1 cn1 h0,n2 cn2 h0,nk cnk
hnk 1,n1 hnk 1,nk 1 0 0 cn1 0
hnk 2,n1
h0,n1
hnk 2,nk
h01,nk
0 0
1 0
0 1
cn2 c0
0 0
校验矩阵(nk行，n列)
二、P限
GF(q)上(n,M,d)分组码的最小距离d为：
d
nM q 1 M 1q
三、汉明限(H限、球包限)
长为n纠t个错误的q进制分组码的码字数M 为：
qn
M
t
i0
n i
q
1i
四、V-G限
若码的校验元数目n-k满足
q nk
1
n
1
1(q
1)
n
2
1(q
1) 2
n d
1 2
(q
1) d
第三章 线性分组码
要求掌握的内容
• 线性分组码的定义及性质 • 码的一致校验矩阵和生成矩阵 • 码的伴随式、标准阵列及译码 • 汉明码及译码
第一节 线性分组码基本概念
• 线性空间 • 线性分组码定义 • 生成矩阵 • 校验矩阵 • 对偶码、系统码和缩短码
一、线性空间(p38)
• 定义1(线性空间)：如果域F上的n重元 素集合V满足下述条件：
两个定理
定理1：[n,k,d]线性分组码有最小汉明距离d的充要条件是，H 矩阵中任意d-1列线性无关 定理2：[n,k,d]线性分组码最大可能的最小汉明距离d等于 n-k+1
二、汉明码
• 参数
码长：
n=2m-1
信息位长度：k=2m行，2m-1列，取互不相同的 m重构成
d min w(Ci ) Ci[n,k ]
给定参数n、k和d
如何根据k个信息比特来确定对应的n-k个校验比特？
——利用校验矩阵 ——利用生成矩阵
三、码的生成矩阵(P56)
——从线性空间的角度描述分组码
由于[n,k,d]线性分组码是一个k维线性空间
因此，必可找到k个线性无关的矢量，能张成该线性空间
四、码的校验矩阵(P54)
——从线性方程组的角度描述分组码
cn1 cn2 cnk cnk1 cnk2 c0
k个信息位
nk个校验位
n-k个校验位可用k个已知的信息位表示出来
cnk1 hnk1,n1 cn1 hnk1,n2 cn2 hnk1,nk cnk
cnk2 hnk2,n1 cn1 hnk2,n2 cn2 hnk2,nk cnk
设 C1, C 2 , C k 是k个线性无关的矢量，则对任意
C ，可有：
C m1C1 m2C2 mk Ck
C1
m1 , m2 ,
mk
C2 Ck
mG
G称为该分组码的生成矩阵
注：
1) 生成矩阵G中的每一行都是一个码字 2) 任意k个线性独立的码字都可以作为生
成矩阵
3) 给定一个[n,k,d]线性分组码，其生成矩 阵可有多个
Examples:
GF(2)上的[7,4,3]汉明码，001,010,011,100, 101,110,111,000。校验矩阵为：
0 0 0 1 1 1 1
H 0 1 1 0 0 1 1
1
0
1
0
1
0
1
三、标准阵列译码(p63)
• 线性分组码的基本译码步骤
Step1: 由接收到的序列R，计算伴随式 S=RHT；
1 1 1
1 0 1
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
五、几个概念(P57-58)
——对偶码、系统码和缩短码
对系统码
G I k P
H P T I nk
缩短码 从[n,k,d]线性分组码的所有码字中，把前面i位全为零的码字 挑选出来构成一个新的子集，该子集即为[n,k,d]的缩短码。
码
字
E2nk
C + C + E 2
2nk
E i 2nk
C2k C2k E2 C2k E3
C2k E2nk
• 两个概念 完备译码 限定距离译码
第三节 由已知码构造新码的方法
• 扩展码 • 删余码 • 增广码(增信删余码) • 增余删信码 • 延长码
一、扩展码
1 1 1
H
H
0 0
增加一个全校验位 [n+1,k,d] 或[n+1,k,d+1]