高等数学中不等式的证明方法
高等数学课程中的不等式的证明
高等数学课程中的不等式的证明不等式是高等数学教学内容的重要组成部分，是高等数学中经常遇到而解决起来又比较困难的问题之一。
下面通过高等数学的一些原理和方法，分享几种不等式证明的常用的方法。
一、利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a,b）内至少存在一点，使得。
二、利用函数的单调性证明不等式函数单调性的判定定理：设函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，那么：（1）如果f?（x)>0,则f（x)在区间[a，b]上单调增加；（2)f?（x)例2.证明：X>0时，1+>证明：令f（x）=，则f?（x）==，因为f（x）在[0，+oo）上连续，在（0，+oo）内f?（x）>0，因此f（x）在[O，+oo）上单调增加。
从而当x>O时，f（x）>f（O）。
由于f（O）=O，故f（x）>f（O）=O。
即>0，亦即1+＞。
注：运用函数的单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的辅助函数f（x），将原问题等价代换，根据导数f？(x)的符号判定函数f（x)在所给区间上的单调性，从而导出所证不等式。
三、利用函数的凹凸性证明不等式函数凹凸性的定义：设f（x）在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2,恒有f（（x1+x2）/2）2f（x1)+f（x2）/2,则称f（x)在[a,b]上是凸函数；若恒有f（（x1+x2)/2)sf（x1)+f（x2)/2,则称f（x)在[a,b]上是凹函数。
函数凹凸性的判定定理：设f(x)在[a，b]上连续，在区间（a，b)内有二阶导数，（1)如果在区间（a，b）内，（x）>0，那么曲线y=f（x）在[a，b]内是凹的；（2）如果在区间（a，b）内，（x）例3.证明：a>0,b>0且a#b,n>1时，证明：令f（x）=xn，x?（0，+oo），则f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，当n>1时，对任意的x?（0，+oo），都有>0。
高等数学中不等式的证明方法归纳
通过函数的最大值、最小值来证 明不等式是一 种比较特殊 的方法 ，它主要是利用 连续 函数在 区间上 的最大最 小值定 理。 其思路是求 出函数在区间上的最大值 或者最小值 ｍ，则 函数 在 区间中的任何值都满足 ，（ｚ） 或者，（ ） ｍ。
（ ）
：）（ｂ一口）。 故 有
如 果 在 所 要 证 明 的 结 论 中 包 含 形 如 ｆ （
），
』 ）
）出 ，证毕 。
１【，（ ）＋ ：）】的项 ，那么往往可以考虑 寻找合适 的函数 ，应
七 、利用 定 积 分 的 一些 性质 进 行 不 等式 的证 明
用函数 的凹凸性 来证 明不等式。
定积分的性 质在不 等式的证明 中也经 常被 用到 ，主要有定
例 ４：已知 ＞０，Ｙ＞０且 ≠ｙ，求证 ｘｌｎ ＋ｙｌｎ Ｙ＞（ ＋Ｙ） 积分的估值定理、定积分的比较定理 以及推论等 。
Ｉｎ 。
ｆ￣Ｊ ７：求证ｌ
＜ｏｒ·
证 明 ：构 造 函 数 Ｆ （ ） ＝ ｘｌｎ ，（ ＞ ０），则 有
不等式的证明是 高等数学 中的一个重要 内容，同时 也是 一 理采 证 明。 本文 仅 介 绍 通过 拉 格 朋 日中值 定 理 证 明 不 等 式 的 方
个 比较难 以掌握的内容。不等式 的证明有一定 的技 巧和方法 ， 法 ，利用柯西定理证明不等式的方法可仿照下例。
笔者结合多年的教学经验 ，归 纳了以下八种不等式的证明方法。
＜ ｘ ２
函数的单调性 ，然后取 函数 Ｆ（ｘ）在区间［ｏ，ｂ］端点处的函数上述式子中取 。－－ｎ，ｘ２＝ｎ＋１，则有
＝ １厶十 ，
高等数学中证明不等式的几种方法
高等数学中证明不等式的几种方法收稿日期：2018-08-22作者简介：佘智君（1976-），女（汉族），讲师，主要从事于计算数学与应用软件的研究。
不等式的证明是高等数学的重要内容，同时也是高等数学教学中的一个难点，学生遇到不等式的证明时经常不知道如何下手。
不等式的证明方法灵活多样，技巧性强，所以证明不等式之前要对具体问题具体分析，根据题设及不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，这样才能使证明过程简化。
一、利用函数的单调性利用单调性证明不等式是高等数学中最常用的一种方法，其基本思路是将不等式作适当的变形，作辅助函数f （x ），再利用导数确定该函数的单调性，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性，从而使不等式得到证明。
例题1证明：ln （1+x ）＞x1+x （-1＜x ＜0）证明：设f （x ）=ln （1+x ）-x1+x∴f ′（x ）=x（1+x ）2∴f ′（x ）＜0（-1＜x ＜0）∴f （x ）在（-1＜x ＜0）内单调下降又∵f （0）=0∴f （x ）＞0（-1＜x ＜0）故ln （1+x ）＞x1+x（-1＜x ＜0）二、利用微分中值定理证明不等式利用微分中值定理证明不等式的关键是不等式经过恒等变形后一端可化成函数值之差的形式，即f （b ）-f （a ），则可考虑拉格朗日中值定理，这时构造辅助函数f （x ），使得f （x ）在［a ，b ］上满足中值定理的条件，然后利用中值定理得到所要的结论。
例题2证明：x-y x ＜ln x y ＜x-yy（0＜y ＜x ）证明：设f （x ）=lnx ，而f （x ）=lnx 在（y ，x ）满足拉格朗日中值定理∴∃ξ∈（y ，x ）使lnx-lny=f ′（ξ）（x-y ）=1ξ（x-y ）∵0＜y ＜ξ＜x∴1x ＜1ξ＜1y ∴x-y x ＜ln x y ＜x-y y 三、利用泰勒公式如果已知条件或不等式中含一阶及二阶等高阶导数时，一般用泰勒公式。
利用高等数学证明不等式的几种特殊方法探析
数 学的 重 要 内容 ．初 等 数 学 教 育 的重 点在 于培 养 常 量 和 静 态 方 面的 数 学 应 用 ， 因此 在 证 明 不等 式 时往 往 会 遭 遇 一 些 “ 死 角” ．利 用 高等 数 学证 明 不等 式 可 以破 除 常 量 数 学 的 狭 隘性 ． 并 且 更 为 快 速 、 效 ， 文通 过 具 体 例 题 介 绍 利 用 高等 数 学 证 有 本
明不 等 式 的 几种 有 效 的 特 殊 方 法．
即 当且 仅 当 ： …
ｂ１ ｂ ２
时等 号 成 立 ．
ｂ
二、 利用 Ｌ ｇａ ｇ 乘 数 法 ａｒ ｎ ｅ 对 于 一 元 不 等 式 ，利 用 函 数 的 极值 来证 明不 等式 是一 种
关键 词 ： 不等式 二 次型 Ｌ ｇａｇ乘数 ａｒｎｅ
将 Ｌ 别 对ｘ Ｙ ｚ 入 偏 导 数 ， 令 它们 都等 于０ 则 有 ： 分 ，，，求 并 ，
——
一
０ ＝ｃ ｓ ｓ ｖ ｓｎ Ｌ ・ － ｏｘｍ ｌｚ
Ｖ
－
ｓｌ — — — 一 ＣＯＳ— ｎ — —
—
・
ｘ ｙ＋ ＋ ｚ 、 ０
—
—
－Ａ＝Ｕ
ａ ｘ
・
—
３
ｘ ＋ｚ ＋ｙ
，
文 献 ［— ３ 利 用 高 等 数 学 中 的 微 分 中值 定 理 ， 数 的 １ ］ 函
单 调 性 、 数 的极 值 与 最 值 、 勒 公 式 、 函 泰 曲线 的 凹 凸 性 、 积 定
ｊ
分 理 论 、柯 西 一 施 瓦 茨 不 等 式 等 相 关 理 论 研 究 了不 等 式 的 证 明方 法 ，这 些 不 等 式 证 明 中 的 高 等 数学 方 法 较 为 常 见 。 相 关 研 究 也 较 多 见 ．本 文 针 对 不 等 式 证 明的 几 种 不 常 见 的 高 等 数 学 方 法 进 行 了 归纳 总结 ， 结 合 例 题 讨 论 了 这 些 方 法 的具 并 体 应用．
几个常用不等式证明不等式方法辛
不等式是高等数学中的一个重要工具。
运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。
这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。
几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。
2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。
3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。
4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。
不等式的高等数学证明方法
不等式的高等数学证明方法作者：成继红来源：《读写算》2011年第66期内容摘要：在初等数学中，我们对不等式的证明采用移项初等变形方法达到证明不等式的目的，但有些不等式仅利用此方法证起来很麻烦，甚至证不出来，因此总结了一些用高等数学的方法来证明不等式，如利用中值定理，函数单调性，函数的极值，凸凹性，概率的方法等。
关键词：不等式证明方法在学习数学的过程中，不等式证明是非常重要的，下面主要介绍一些用高等数学的知识证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野.1. 拉格朗日中值定理与函数单调性1.1 拉格朗日中值定理若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间[a,b]上连续；(ii)f在开区间（a,b）内可导，则在(a,b)内至少存在一点,使得（1），其中（1）被称为拉格朗日公式。
例、证明不等式，其中0分析：应用拉格朗日中值定理，关键是找出函数及区间，这可结合不等式特点找，则此不等式可改为,由此猜到取,区间在[a,b].证明：由于,取,而在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，故由拉格朗日中值定理，存在使得又01.2 函数单调性定理1.2 设函数在区间I上可导，则在上递增的充要条件是.例、证明不等式证明：设.则.则进而有.根据函数单调性则当时有： ,.进而得.2. 柯西中值定理定理2.1（柯西中值定理）设函数和满足：（i）在[a,b]上都连续（ii）在（a,b）内都可导（iii）和不同时为0 （iv）则存在使得.例．，证明：.证明：设，则.对于在[a,b]上应用柯西中值定理有：.设，考察.由于，显然当时，即.所以在时单调递减，从而有，即.故.3. 函数极值与最值通过变换，把某些问题归纳为求函数极值达到证明不等式的目的。
例：设，求证：.证明：令=-2+当时， .当时，.故.4. 函数的凸凹性和詹森不等式4.1 函数的凸凹性定义：设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点和对于任意的实数总有：,则称为上的凸函数.反之，若总有：则称为上的凸函数。
高等数学中不等式的证明方法
1 。 2 1
2. 利用函数单调性证明不等式
函数不等式是判断函数之间的大小关系 ， 基于这种思想 ， 可以利用函数单调性证明不等式 。 其基本思想是 ：（1 ） 将不等 式 两 边 的 函 数 移 到 同 一 端 ， 并 作 辅 助 函 数 f （x ）；（2 ） 利 用 函 数 f （x ） 一阶导数的符号判断函数在所给区间上的单调性 ；（3 ） 根 据函数 f （x ） 的单调性 ， 得到所求不等式 。 例 3 ： 证明定理 ： 设 （1 ） 函数 φ （x ） 及 ψ （x ） 可微分 n 次 ； （2 ）φ （x0 ）=ψ （x0 ），（k=0 ，1 ，2 ，…，n-1 ）； （3 ） 当时 x＞x0 ，φ （x ）=ψ （x ）。 则当 x＞x0 时 ， 有不等式 φ （x ）＞ψ （x ）。 证 明 ： 设 F （x ） =φ （x ） -ψ （x ）， 则 由 于 φ
复数 z=x+iy圳 坐标平面上的点 p （x ，y ）。 这样学生会将复数 z 、R 中 的 有 序 实 数 对 （x ，y ）、 坐 标 平 面 上 的 点 p （x ，y ） 视 为 同 义 语 ，
2
把复数集 、 平面点集 、 二维空间 R 的子集看成一回事 。 由 z 圮 （x ，y ）， 复 变 函 数 f （z ） 可 看 成 关 于 x 和 y 的 函 数 ， 其 极 限定义可与实二元函数的极限定义比较 ， 而实二元函数又是 在 多 元 微 分 学 中 讲 过 ，学 生 较 为 熟 悉 ，这 样 进 行 比 较 ，可 加 深 学生对复变函数极限念的进一步认识和理解 。 通过比较 ， 可以发现复变函数的极限定义与实二元函数 极限定义相似成分较之实一元函数要多一些 ， 似乎完全相似 ， 不同的地方主要是一个复变函数确定两个实二元函数 ， 复变 函数的极限存在与否取决于两个实二元函数极限的存在与 否 。 两个实二元函数的极限都存在才称复变函数的极限存在 。 2. 导数概念的类比 在微分学中 ， 对一元函数的导数是这样定义的 ： 设函数 y= f （x ） 在点 x0 的某一邻域内有定义 （ 包括 x0 点 ）， 当自变量 x 在 x0 处 有增量 Δx 时 ， 相应的 ， 函数有增量 ，Δy=f （x0+Δx ）-f （x0 ）， 当 Δx→
高等数学中利用辅助函数证明不等式的几种方法
高等数学中利用辅助函数证明不等式的几种方法作者：沈秀娟来源：《文化产业》2016年第06期摘要：高等数学中证明不等式的方法多种多样，而且有些题目适合一题多解.常用的方法有：比较法、反证法、判别式法等.本文从构造辅助函数出发，利用拉格朗日定理和函数的单调性，对于不等式的证明做了较系统的归纳和总结.关键词：拉格朗日定理；单调性；不等式；辅助函数在高等数学的学习过程中，不等式的证明是一个重点和难点，大多数人在遇到不等式证明的问题是就不知所措，对不等式的证明，常用以下情形证明不等式，如：拉格朗日中值定理法、Taylor展开式公式法、泰勒中值定理、极值法、定积分的一些性质等.本文以作辅助函数为出发点，对不等式的证明做了一下探讨.一、用拉格朗日中值定理构造函数证明不等式该定理证明不等式的关键是构造适当的函数和闭区间[a，b]，使得：（一）要证不等式的一部分可以写成或；（二）在上满足拉格朗日公式的适当放大或缩小，即可证出要证明的不等式.二、用函数的单调性构造函数证明不等式构造辅助函数，取定闭区间；构造辅助函数方法：1、利用不等式两边之差构造辅助函数；2、利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数；3、若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数.（一）利用不等式两边之差构造辅助函数（二）利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（三）利用公式法构造函数三、结论不等式的证明在整个数学学习中占有舉足轻重的作用，是进行计算、推理、数学思想方法渗透的重要内容.不等式的证法多种多样，针对本文所存在的局限性，在以后的学习中一定注重题型的复杂多变形，把问题简单化，找到合适的解决方法.本文从构造辅助函数为出发点，把题目变形整形，利用拉格朗日定理和函数单调性，对于不等式的证明给出了系统的归纳和总结，然后找到最简洁的证明方法.该方法对不等式的证明具有极其重要的意义，对学生在证明不等式时选择恰当的方法有一定的指导作用.参考文献：[1]郭大钧，陈玉妹.数学分析[M].山东科学技术出版社，2005，35-38.[2]王晓锋，李静.证明不等式的若干方法[J].数理医学杂志，2008.[3]田玉伟.微积分在解方程和不等式中的应用[J].长江大学学报，农学卷，2009.[4]李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995.[5]叶慧萍.反思性教学设计-不等式证明综合法[J].数学教学研究，2005，10（3）：89-91.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
x
y
ξ
1 ）= （p＞1 ），f （0 ）=1 ，f （1 ）=1 ， p-1 2 2 1 故 maxf （x ）=1 ，minf （x ）= 。 p-1 2 p p 1 所以 ≤x + （1-x ） ≤1 。 p-1 2 4. 利用函数凹凸性证明不等式
运用曲线的凹凸性证明不等式的基本思想方法是 ：（1 ） 构 造 辅 助 函 数 f （x ）；（2 ） 判 定 函 数 f （x ） 在 指 定 区 间 上 的 凹 凸 性 ； （3 ） 根据曲线凹凸性的定义 ， 导出不等式 。 例 6 ： 证明 ：
0 时 ， 比值的极限 lim
f （x0+ 限 为 函 数 y=f
（x ） 在 x0 处的导数 ， 记为 f′ （x0 ）。 复变函数的导数定义为 ： 设函数 w=f （z ） 在区域 D 内有定义 ， 给自变量 z∈D 以增量 Δz=Δx+iΔy ， 相 应 的 ， 函 数 有 增 量 Δw=f （z+Δz ） -f （z ）， 如 果 当 Δz 以 任 何 方 式 趋 f （x0+Δx ）-f （x0 ） 存在 ， 称此极限为函 近于零时 ， 比值的极限 lim
分析 ： 看到有
p p 1 1 ， 考虑当 x= 时 ，x + （1-x ） =0 。 2 2 p p
证明 ： 设 f （x ）=x + （1-x ） ，x∈ ［0 ，1 ］， 则 f′ （x ）=px -p （1-x ） 。 令 f′ （x ）=0 ， 得 x= 又因为 f （
p-1 p-1
因为 0＜y＜ξ＜x ，p-1＞0 ， 所以 y ＜ξ ＜x 。 故 ：py （x-y ）＜x -y ＜px （x-y ）。 例 2 ： 设 a＞e ，0＜x＜y＜
（n ） （n ） （n ） （n ） （n ） （n ） （k ） （k ）
∈ ∈
x+y 2
n
n
t y x x π ， 求证 ：a -a ＞ （cosx-cosy ）a lna 。 2 p-1 p p p-1
p-1
p-1
p-1
证 明 ： 令 f （t ）=a ，g （t ）=cost ， 由 题 设 条 件 知 ，f （t ）、g （t ） 在 ［x ， f （x ）-f （y ） y ］（0＜x＜y ） 上 满 足 柯 西 中 值 定 理 的 条 件 ， 于 是 有 ： = g （x ）-g （y ）
○ 数学教学与研究 2009年第25期
周刊
高等数学中不等式的证明方法
张 昊
215200 ）
（ 南京邮电大学 吴江职业技术学院 基础课部 ， 江苏 吴江 摘 要 ： 不等式的证明在高等数学通用教材中较多 ， 本文 就不等式的证明归纳出了一些方法和基本思路 。 关键词 ： 高等教学 不等式证明 基本方法 不 等 式 证 明 是 高 等 数 学 中 的 常 见 问 题 ，在 各 类 考 试 中 经 常出现 。 证明不等式没有固定的模式 ， 证法因题而异 ， 灵活多 变 ， 技巧性强 ， 因此不等式证明题历来是学生最感到困惑的问 题之一 。 但它也有一些基本的常用方法 。 我们要熟练掌握不等 式的证明技巧 ， 就必须了解这些基本方法 。
1 。 2 1
2. 利用函数单调性证明不等式
函数不等式是判断函数之间的大小关系 ， 基于这种思想 ， 可以利用函数单调性证明不等式 。 其基本思想是 ：（1 ） 将不等 式 两 边 的 函 数 移 到 同 一 端 ， 并 作 辅 助 函 数 f （x ）；（2 ） 利 用 函 数 f （x ） 一阶导数的符号判断函数在所给区间上的单调性 ；（3 ） 根 据函数 f （x ） 的单调性 ， 得到所求不等式 。 例 3 ： 证明定理 ： 设 （1 ） 函数 φ （x ） 及 ψ （x ） 可微分 n 次 ； （2 ）φ （x0 ）=ψ （x0 ），（k=0 ，1 ，2 ，…，n-1 ）； （3 ） 当时 x＞x0 ，φ （x ）=ψ （x ）。 则当 x＞x0 时 ， 有不等式 φ （x ）＞ψ （x ）。 证 明 ： 设 F （x ） =φ （x ） -ψ （x ）， 则 由 于 φ
f′ （ ξ ） a -a a lna π （0＜x＜ξ＜y＜ ）。 。 即 = g′ （ ξ ） cosx-cosy -sinξ 2 y x ξ ξ 1 故 a -a = （cosx-cosy ）a lna ＞ （cosx-cosy ）a lna ＞ （cosxsinξ cosy ）a lna 。
88
周刊 2009年第25期 ○ 数学教学与研究 例 1 ： 若 0＜y＜x ， 及 p＞1 ， 求证 ：py （x-y ）＜x -y ＜px （x-y ）。 证明 ：令 f（t）=t ，显然 f（t）=t 在 ［y，x］上满足拉格朗日中值定
p-1 f（x）-f（y） x -y 理的条件 ，于是有 =f′（ξ）（0＜y＜ξ＜x），即 =pξ 。 x-y x-y p p p p p-1 p p p-1
复数 z=x+iy圳 坐标平面上的点 p （x ，y ）。 这样学生会将复数 z 、R 中 的 有 序 实 数 对 （x ，y ）、 坐 标 平 面 上 的 点 p （x ，y ） 视 为 同 义 语 ，
2
把复数集 、 平面点集 、 二维空间 R 的子集看成一回事 。 由 z 圮 （x ，y ）， 复 变 函 数 f （z ） 可 看 成 关 于 x 和 y 的 函 数 ， 其 极 限定义可与实二元函数的极限定义比较 ， 而实二元函数又是 在 多 元 微 分 学 中 讲 过 ，学 生 较 为 熟 悉 ，这 样 进 行 比 较 ，可 加 深 学生对复变函数极限念的进一步认识和理解 。 通过比较 ， 可以发现复变函数的极限定义与实二元函数 极限定义相似成分较之实一元函数要多一些 ， 似乎完全相似 ， 不同的地方主要是一个复变函数确定两个实二元函数 ， 复变 函数的极限存在与否取决于两个实二元函数极限的存在与 否 。 两个实二元函数的极限都存在才称复变函数的极限存在 。 2. 导数概念的类比 在微分学中 ， 对一元函数的导数是这样定义的 ： 设函数 y= f （x ） 在点 x0 的某一邻域内有定义 （ 包括 x0 点 ）， 当自变量 x 在 x0 处 有增量 Δx 时 ， 相应的 ， 函数有增量 ，Δy=f （x0+Δx ）-f （x0 ）， 当 Δx→
2
1. 利用微分中值公式证明不等式
中值定理特别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理在不 等式的证明中有着重要作用 ， 通过对不等式结构的分析 ， 构造 某特定区间上的函数 ， 满足定理的条件 ， 达到证明的目的 。 其 基 本 思 想 是 ：（1 ） 根 据 题 目 给 定 的 不 等 式 ， 选 取 一 个 适 当 的 辅 助 函 数 f （x ） 和 区 间 ［a ，b ］；（2 ） 当 函 数 f （x ） 在 区 间 ［a ，b ］ 上 满 足 中 值 定 理 的 条 件 ， 利 用 中 值 公 式 ；（3 ） 利 用 得 到 的 公 式 结 合 题 设条件 ， 对写出的公式进行适当的变化 ， 得到所证不等式 。 具备一定的自学能力 。 因此 ， 依据自主探索学习的基本理论 ， 结合目前的教学现状 ， 在复变函数教学中教师可适合安排一 定的教学内容让学生进行自主探索学习 ， 以便收到更好的教 学效果 ， 同时也便于不断提高学生自主探究 、 自我建构知识的 能力 。 例如 ，“ 复数 ” 这节的内容大部分学生在中学阶段都学 过 ，“ 复平面上的点集 ” 的内容与数学分析中平面点集的内容 几 乎 是 一 样 的 ，再 讲 这 些 内 容 ，既 浪 费 时 间 ，学 生 听 起 来 也 不 会感兴趣 。 如果让学生自学 ， 然后教师提出一些问题让学生去 讨 论 ，去 思 考 ，他 们 会 更 集 中 精 力 去 钻 研 ，从 而 收 到 更 好 的 学 习效果 ， 并不断地提高自学能力 。 在 课 堂 上 我 们 应 坚 持 “教 师 是 主 导 ，学 生 是 主 体 ”的 教 学 原 则 ，让 学 生 在 教 师 帮 助 下 逐 渐 消 化 、理 解 知 识 ，引 导 学 生 对 所学知识进行概括与总结 ， 培养学生驾驭知识的能力 ， 让学生 将知识不断地经过自己头脑的分析 、 综合变成自己可以运用 自如的知识体系 。 教师可以利用章节的小结 、 习题课等形式训 练学生对同一问题从不同的路径和方向去思考 ，多角度多方向 去 观 察 ，尽 量 探 索 出 多 种 解 法 ，让 学 生 变 “被 动 学 习 ”为 “主 动 学 习 ”， 从 而 掌 握 学 习 的 主 动 性 ， 并 逐 步 培 养 学 生 一 定 的 自 学 能力和提出问题 、 分析问题 、 解决问题的综合能力 。 三 、 努力提高教学质量 复变函数的教学过程是一个不断摸索的开发过程 ， 教师 需要具备扎实的专业知识背景 ， 在此基础上教学手段的多样 化 ， 教学内容的兴趣化 ， 以及教学器材的现代化都是提高教学 效果的手段 。 只有充分调动教师的聪明才智 、 调动广大学生的 积极性和创造性 ， 才能够取得更好的教学效果 。 教学中教师应注意把教书和育人融为一体 。 教师首先要 以 身 作 则 ，为 人 师 表 ，在 教 学 中 认 真 处 理 好 每 一 个 问 题 ，认 真 回答学生提出的每一个问题 ， 在把握好接受性的原则下 ， 对疑 难问题不回避 ， 以严谨治学的精神影响学生 ， 培养学生勤奋读 书 、 刻苦钻研 、 理论联系实际 、 求实严谨的学风 。 其次对学生要 严格要求 ， 对于学生在学习中暴露出的一些不正确思想和做 法 ，要 及 时 指 出 ，正 确 引 导 ，把 学 生 的 注 意 力 和 精 力 引 导 到 学 习功课上来 。 只要能充分调动学生的学习积极性 ， 任何学习上 的困难都可以克服 ， 复变函数的教学质量就可以得到提高 。 参考文献 ： ［1 ］ 钟玉泉 . 复变函数 . 北京 . 高等教育出版社 .1984.3. ［2 ］ 姜 淑 珍 . 关 于 复 变 函 数 论 教 学 方 法 的 思 考 ［J ］. 长 春 师 范学院学报 ，2004 ，（2 ）. ［3 ］ 姜 涛 . 改 革 高 师 数 学 教 育 培 养 创 新 人 才 ［J ］. 数 学 教 育 学报 ，2000 ，（1 ）. ［4 ］ 杨 春 宏 . 高 师 数 学 专 业 课 程 体 系 分 析 与 探 索 ［J ］. 数 学 教育学报 ，2000 ，（2 ）.