考研数学：高数中不等式证明的六种方法
关于不等式的若干证明方法
关于不等式的若干证明方法一、初等数学中不等式的证明方法（一）、比较法比较法是证明不等式中最常用的方法，包括求差比较法和求商比较法。
求差比较法就是把要比较的两个式子相减，判断差的符号；求商比较法一般就是对两个大于零的式子相除后，判断商是大于1，还是小于1。
例1 已知 0,,,>∈b a R y x 且1=+b a 求证 ()222by ax by ax +≥+证明 ()222ax by ax by +-+2222222ax by a x abxy b y =+---)()(222222abxy y b by abxy x a ax --+--= ])1[(])1[(ax y b by by x a ax --+--= 因为,1=+b a 所以a b b a =-=-1,1则()222ax by ax by +-+()()ax bx by by ay ax =-+- )()(y x aby y x abx ---= ))((y x y x ab --= 2)(y x ab -= 因为 ,0,>b a 所以0>ab又因为 ,0)(2≥-y x 所以0)(2≥-y x ab ，故原不等式成立。
例2 已知 +∈R b a , 求证 a b b a b a b a ≥证明 因为b a a b b a b aba b a -=)( ，+∈R b a ,所以当b a >时，1)(,0,1>>->-b a ba b a b a 当b a ≤时，1)(,0,1≥≤-≤-b a ba b a ba于是,1≥a b ba ba b a 即a b b a b a b a ≥（二）、分析法分析法是从证不等式出发，不断用充分条件替换前面不等式，直到找到成立的不等式，也就是“执因索果”。
利用分析法证明例1证明 为了证明 ()222by ax by ax +≥+ 只需证明 abxy y b by x a ax 2222222≥-+- 也即证明 abxy y b b x a a 2)1()1(22≥-+- 因为 1=+b a ，所以a b b a =-=-1,1 也即证明 abxy aby abx 222≥+ 因为 0,>b a ，所以0ab > 即需要证明 xy y x 222≥+因为 ,x y R ∈，所以 222x y xy +≥恒成立，故原不等式成立。
不等式的几种证明方法
不等式证明的几种常用方法一、比较法（1）差值比较法要证明a ＞b ,只要证明a -b ＞0。
①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变 形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。
应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
【例一】求证：233x x +>证明：()()()222233223333x x x x +-=-+-+23330244x ⎛⎫=-+≥> ⎪⎝⎭233x x ∴+>(2)商值比较法已知a ,b 都是正数，要证明a ＞b ,只要证明a/b ＞1 ①作商：将左右两端作商； ②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
【例二】已知a,b>0，求证a b b a a b a b ≥证明： =∵a,b>0+,当a ＞b 时，＞1,a-b ＞0，＞1;当a≤b 时,≤1,a -b≤0, ≥1.∴≥1, 即a b b aa b a b ≥二、综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。
其逻辑关系为：A-B1- B2- B3… Bn -B ，即从已知A 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B 。
重点：基本不等式【例三】已知a ,b ,c 是不全等的正数，求证 a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .证明： 222a b ab +≥ ，222a c ac +≥，222c b bc +≥()222a b cabc ∴+≥，()222b acabc +≥，()222c ababc +≥∴a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)≥6abc .又因为a ,b ,c 是不全等的正数所以有a (c 2+b 2)+b (a 2+c 2)+c (a 2+b 2)＞6abc .三、分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
高等数学之微积分中不等式的证明方法总结
高等数学之微积分中不等式的证明方法总结
不等式的证明题作为微分的应用经常出现在考研题中。
利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法。
有时需要两次甚至三次连续使用该方法，其他方法可作为该方法的补充，辅助函数的构造仍是解决问题的关键。
证明方法总结：
（1）利用函数单调性证明不等式
若在（a,b）上总有f（x）的导数大于零，则函数f（x）在区间(a,b)上单调增加；若在（a,b）上总有f（x）的导数小于零，则函数f （x）在区间(a,b)上单调减少。
（2）利用拉格朗日中值定理证明不等式
对于不等式中含有f（b）-f（a）的因子，可考虑用拉格朗日中值定理先处理一下。
（3）利用函数的最值证明不等式
若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上存在最大值M和最小值m.
（4）利用泰勒公式证明不等式
如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。
不等式证明的难点也是辅助函数的构造，一般可以通过要证明的不等式分析得出要构造的辅助函数。
题型一：利用函数的单调性证明不等式
分析：对要证明的不等式进行如下化简：
解：
备注：构造适当的辅助函数是解决问题的基础，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对区间（a,b）进行分割，分别在小区间上讨论。
题型二：利用拉格朗日中值定理证明不等式
例2：
分析：
解：
备注：对于不等式中含有f（b）-f（a）的因子，可以考虑使用拉格朗日公式先处理一下。
考研考研数学不等式证明方法归纳
考研数学不等式证明方法归纳一、利用函数的单调性进行不等式的证明利用单调性来证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，其适应范围很广。
它的解题思路是将所要证明的不等式作某些必要或适当的变形之后，选取适当的函数F（x）及区间［a，b］，再利用导数确定函数F（x）在区间［a，b］内的单调性。
如果当一阶导数不能确定函数的单调性时，则利用高阶导数来判断函数的单调性，然后取函数F（x）在区间［a，b］端点处的函数值，则可以得证不等式。
二、利用微分中值定理进行不等式的证明微分中值定理在高等数学不等式的证明中的作用也是非常大的。
当不等式或其变形中有函数在两点的函数值之差f(b)-f(a)时，一般可考虑用拉格朗日中值定理来证明。
柯西定理是拉格朗日定理的一个推广，当不等式或其变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，一般可考虑用柯西定理来证明。
三、利用函数的最大值!最小值进行不等式的证明通过函数的最大值!最小值来证明不等式是一种比较特殊的方法，它主要是利用连续函数在区间上的最大最小值定理。
其思路是求出函数在区间上的最大值M 或者最小值m，则函数在区间中的任何值都满足f（x）或者f（x）。
四、利用函数的凹凸性进行不等式的证明如果在所要证明的结论中包含形如f（），[f（x1）+f（x2）]的项，那么往往可以考虑寻找合适的函数，应用函数的凹凸性来证明不等式。
五、利用泰勒级数展开式进行不等式的证明如果已知函数的高阶导数存在，则往往可以考虑通过泰勒公式将函数展开来进行证明。
六、利用定积分中值定理进行不等式的证明定积分中值定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。
其思路是通过中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，得出证明。
七、利用定积分的一些性质进行不等式的证明八、利用柯西&施瓦茨不等式进行不等式的证明关于柯西—施瓦茨不等式:设f（x），g（x）在［a，b］上连续，则有[]2。
高等数学课程中的不等式的证明
高等数学课程中的不等式的证明不等式是高等数学教学内容的重要组成部分，是高等数学中经常遇到而解决起来又比较困难的问题之一。
下面通过高等数学的一些原理和方法，分享几种不等式证明的常用的方法。
一、利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a,b）内至少存在一点，使得。
二、利用函数的单调性证明不等式函数单调性的判定定理：设函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，那么：（1）如果f?（x)>0,则f（x)在区间[a，b]上单调增加；（2)f?（x)例2.证明：X>0时，1+>证明：令f（x）=，则f?（x）==，因为f（x）在[0，+oo）上连续，在（0，+oo）内f?（x）>0，因此f（x）在[O，+oo）上单调增加。
从而当x>O时，f（x）>f（O）。
由于f（O）=O，故f（x）>f（O）=O。
即>0，亦即1+＞。
注：运用函数的单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的辅助函数f（x），将原问题等价代换，根据导数f？(x)的符号判定函数f（x)在所给区间上的单调性，从而导出所证不等式。
三、利用函数的凹凸性证明不等式函数凹凸性的定义：设f（x）在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2,恒有f（（x1+x2）/2）2f（x1)+f（x2）/2,则称f（x)在[a,b]上是凸函数；若恒有f（（x1+x2)/2)sf（x1)+f（x2)/2,则称f（x)在[a,b]上是凹函数。
函数凹凸性的判定定理：设f(x)在[a，b]上连续，在区间（a，b)内有二阶导数，（1)如果在区间（a，b）内，（x）>0，那么曲线y=f（x）在[a，b]内是凹的；（2）如果在区间（a，b）内，（x）例3.证明：a>0,b>0且a#b,n>1时，证明：令f（x）=xn，x?（0，+oo），则f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，当n>1时，对任意的x?（0，+oo），都有>0。
不等式证明方法
不等式证明方法方法一：比较法：作差比较法，作商比较法 证法二：分析法：证法三：综合法：均值不等式，柯西不等式法证法九，排序不等式法 证法四：放缩法：证法五：构造法：构造不等式法，构造函数法，构造方程法，构造几何图形，构造向量证法六：换元法：整体代换法，三角代换法，增量代换法 已知a>0，b>0，求证：b a a b b a +≥+证法一：作差比较法：其步骤为：作差、变形、判断符号、下结论∵))(())(()()()()(2≥-+=--=-+-=-+-=+-+abb a b a abb a b a aa b bb a a a b b b a b a ab b a∴b a ab ba +≥+证法二：作商比较法其步骤为：作商、变形、判断商与1的大小，下结论，注意作商比较法的前提条件是两边均为正数。
∵12)())(()(=-≥-+=+-++=++=++ab abab ababb a b a ab ab b a b a b a ab b b a a b a a b b a∴b a ab ba +≥+证法三：分析法从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能肯定这些充分条件都已具备，那么就可以判定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫分析法，基本思路为执果索因。
要证b a a b b a +≥+只需证a b b a b b a a +≥+即证0)()(≥---b a b b a a 即证)0)(≥--b a b a即证0))((2≥-+b a b a ∵0))((2≥-+b a b a 恒成立 ∴b a a b b a +≥+证法四：综合法利用某些已证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法，其思路为由因导果。
∵a b ba b b a 22=⋅≥+同理b a ab 2≥+同向不等式相加得b a b a a b b a 22+≥+++∴b a ab ba +≥+证法五：柯西不等式法利用柯西不等式()()()2221122212221b a b a b b a a +≥++的形式进行联想，可得到如下证法：∵()()22ba b a ab b a a b b b a a a b b ab a +=++≥+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴b a ab ba +≥+证法六：部分放缩法利用不等式的传递性来证明的方法叫放缩法，此题如果直接利用重要不等式对左边缩小，则会缩得太小，所以想到变形后对一部分缩小，()()()()()()ba ababab b a ababb a b a abb a ab b a +=-+≥-++=+=+232证法七：构造不等式法不等式证明中的构造方法，主要是指通过引进合适的恒等式、不等式、数列、函数、图形等辅助手段，促使命题转化，从而使不等式得证，此题可构造一个不等式。
2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
不等式证明的7种方法总结
1. 拉格朗日中值定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数(值)的不等式;
2. 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数(值)或低阶导函数(值)的不等式;
3. 应用函数的单调性定理证明：(1)对于证明数的大小比较的不等式，转化为同一函数在区间两端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;(2)对于证明函数大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间内的任意一点函数值与区间端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;
4. 利用函数最大值、最小值证明不等式。
把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间上某点x出的函数值大小的比较，然后证明(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
5. 利用函数取到唯一的极值证明不等式。
把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间内某点x处的函数值大小的比较，然后证明(fx)为唯一的极值且为极大值或极小值，即(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
6. 用柯西中值定理证明不等式;
7. 利用曲线的凹凸性证明不等式。
不等式证明都有哪几种方法
不等式证明都有哪几种方法
不等式的证明方法（1）比较法：作差比较： . 作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差. ②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和. ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号. 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小. （2）综合法：由因导果. （3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达. （4）反证法：正难则反. （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：；；（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元. 如：已知，可设；已知，可设 ( )；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究.。
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考研数学：高数中不等式证明的六种方法
不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。
只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。
下面介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。
首先，介绍三种比较常用的方法和典型例题，后续会继续介绍另外三种重要的方法和相关例题。
1、利用函数的单调性证明不等式
2、利用函数的最值证明不等式
3、利用函数的凸凹性证明不等式
4、利用中值定理(微分中值定理或积分中值定理)证明不等式
5、利用Taylor公式证明不等式考研数学：高数中不等式证明
的六种方法
来源：网络发表于：2014-8-22 15:05 浏览次数：43
摘要：不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识
点，但也是学生很难掌握牢固的内容。
只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。
下面介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。
不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。
只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。
下面介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。
首先，介绍三种比较常用的方法和典型例题，后续会继续介绍另外三种重要的方法和相关例题。
1、利用函数的单调性证明不等式
2、利用函数的最值证明不等式
3、利用函数的凸凹性证明不等式
4、利用中值定理(微分中值定理或积分中值定理)证明不等式
5、利用Taylor公式证明不等式
6、利用柯西—施瓦茨不等式证明不等式
以上仅总结与归纳了高等数学中证明不等式的六种常用方法。
当然，还有其他很多种证明不等式的方法，在解题时也需要一定的技巧。
这就要求同学们在平时的复习过程中多积累，不断地总结。
在考试中，不等式证明的方法和技巧的选用，完全取决于同学们平时的努力程序。
希望同学们平时多练习、多巩固、多积累、多总结，在考试中一鸣惊人。
6、利用柯西—施瓦茨不等式证明不等式
以上仅总结与归纳了高等数学中证明不等式的六种常用方法。
当然，还有其他很多种证明不等式的方法，在解题时也需要一定的技巧。
这就要求同学们在平时的复习过程中多积累，不断地总结。
在考试中，不等式证明的方法和技巧的选用，完全取决于同学们平时的努力程序。
希望同学们平时多练习、多巩固、多积累、多总结，在考试中一鸣惊人。