探讨定积分不等式的证明方法
探讨定积分不等式的证明方法摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效 证明方法。
关键词：定积分不等式证法不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明 却一直是一个难点。
要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定 证明方法。
本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证 法。
1 .运用定积分中值定理证明定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与 该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。
a例1 ：设f (x)在［0,1］上连续且单调不增，证明a € ［0,1］有°f(x)dx >a °f (x)dx .aa1证明：由原不等式变形得0f (x)dx>a( 0 f (x)dx 0f (x)dx),a1即是要证：(1 a)0f(x)dx > a 0f(x)dx ,对左式，f (x)在［0,1］上连续，故由定 积分中值定理 知：10, a 使a(1 a)0f (x)dxa(1 a)f( 1),冋理对右式：21a ,使 a 0f(x)dx a(1 a)f( 2),显然, 1< 2又f(x)在［0,1］上单调不增,二 f (1)> f (2)a1故原不等式o f(x)dx > a o f (x)dx 成立.定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握 2 .运用辅助函数证明构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限 (下限)换成x ,移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。
然后再求F 'x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。
例2:设f(x)在［a , b ］上连续，且f(x) >0.f(x) f(t)• f (X )> 0,.. f (t) f (x)又a < x ，二 F '(x)0 ,即F(x)单调不减，又F (a)bb12故 f (x)dx dx (b a) 故 a a f (x)该题构造出积分上限函数，其目的是用单调性来证明不等式。
这种方法 开门见山、直截了当bb1试证：(b a)2证明：构造辅助函数F(x)(x a)(将b 换成x ),'x1则 F(x) f(x)a 帀dtf(x)xf(t)f (t)dt 2(xa)af(t)x(3af(t)dt af(x)f (t)2)dtx 2dtaf(x)，二 F(b) F(a) 0,3 .运用定积分的性质和几何意义证明直观使得不等式的证明变得更加简捷。
导的四个步骤：分割、取点、作和与求极限，这里充分运用了“近似代替”的几 何直观来加以证明。
4 .运用拉格朗日中值定理证明利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先要构造满足中值定理条件的函 数和区间，然后进行不等式放缩，再用定积分比较定理、估值定理或函数的 绝对值不等式等。
例 5：设 f (x)在［a,b ］上可导，且 f'(x) M , f(a) 0 ,与定积分的概念相联系“以直代曲”的“近似代替”的思想，加上积分的几何例3: 证明不等式3sin x , 1 e^dx证明: 因为1 X(1 1 2)，两端积分得: e(1 x )3si nx ,1x厂dx1e x(1 x 2)e 1 1■■/3 1 -2 x 12e例4: 设a,b 1时，证明不等式abe a 1证明:b blnbIn xdx b 1a 1 e X dx 1o根据定积分的几何意义知:b a 1 x(a 1)b1In xdx o edxblnb即 ab e a 1 bln b .本题关键在于深刻领悟定积分概念的由来,即求曲边梯形的面积问题推b M 2试证：f(x)dx (b a).a 2证明：由题设x [a,b], f(x)在[a, b]上都满足拉氏中值定理的条件,于是有：f (x) f (x) f (a) f'( )(x a),•/ f'(x) M ,/. f (x) M (x a)两边在［a, b］上定积分得：此题运用拉格朗日中值定理简直如行云流水，如果采用其他办法显然比较繁琐。
5 .运用Taylor公式证明当已知被积函数f(x)二阶或二阶以上可导且又知最高阶导数的符号时，通常采用泰勒展开式来证明。
首先要写出f(x)的泰勒展开式，然后根据题意写出某些点的泰勒展开式，再进行适当的放缩以变成不等式，最后用定积分的性质进行处理。
例6：设f(x)在［a,b］上单调增加，且f"(x)>o,证明亠、f(a) f (b)(b a) f (a) v f (x)dx < (b a)-2b证明：先证左不等号：(b a) f (a) < a f(x)dx,x ［a,b］, x > a , f(x)单调增加，所以f(x) > f(a)b故a f (x)dx> (b a) f (a) (i)(a,x),f(x)dx b M(b a)dx —(b a)2a 2 '再证右不等号::f(x)dx< (b al^f2,t [a,b], f (t)在点x处的Taylor展式为:f(t) f(x)1 2f'(x)(t x) 2 f"( )(t x)，其中在t 与x 之间,因f"( ) >0,所以f(t) > f (x) f'(x)(t x),将t b,t a分别代入上式并相加得:f (a) f (b) > 2f (x) (a b) f'(x) 2xf (x),将此式在［a,b］上积分得:bf (a) f (b) (b a) > 2 f (x)dx (aab b b) f'(x)dx 2 xf(x)dxa a，b有2[ f (a) f (b)](b a) > 4 f (x)dx ,a故 a f(x)dx v (b a) f (a\ f (b) (2)2综合(1)、(2),原不等式得证.Taylor公式的应用在大学数学的学习中是一个绝对的难点，往往很难掌握。
一个题目在你用其他方式很难解决时，Taylor公式常会给你意想不到的突破。
6 .运用柯西一斯瓦兹不等式证明柯西一斯瓦兹不等式:例7:设f(x)在［0,1］上有一阶连续导数且f (1) f (0) 1,1试证：0[f'(x)]2dx 1.证明：••• f(1)f(0) 0 f'(x)dx ,i又f(1) f(0) 1，所以0f'(x)dx 1 ,因f (x)在［0,1］上可导，所以f (x)在［0,1］上连续，11 2 1 2由柯西一斯瓦兹不等式得：0dx°［f'(x)］ dx ( 0f'(x)dx) 1 ,1即是0［f'(x)］2dx 1.柯西一斯瓦兹不等式是大学数学中的又一难点，虽然记忆起来并不困难, 但应用是灵活多变的。
7 .运用重积分证明重积分要化为定积分来计算，这是众所周知的事实，但反之定积分的乘积往往又可以化为重积分，将定积分不等式的证明化为重积分不等式来证明, 也是一种常见的方法。
例&设f(x)是在［0, 1］上单调增加的连续函数，1 1xf3(x)dx f3(x)dx、_0 __________ _0 ________________试证： 121 2.xf2(x)dx f2(x)dx0 01 1 1 1证明：设I °xf 3(x)dx 0f 2(x)dx 0f 3(x)dx °xf 2(x)dx = xf 3(x) f 2(y)dxdy f 3(x) f 2(y)ydxdyD D=f 3(x)f 2(y)(x y)dxdy …⑴D2 3同样I f (x)f (y)(y x)dxdy (2)D(1) + (2)可得21 (x y)f 2(x)f 3(y)(f (x) f(y))dxdy ,D由于f (x)在［0, 1］上单调增加，故(x y)(f (x) f (y)) 0, 0，从而0xf 3(x)dx o f 2(x)dx o f 3(x)dx °xf 2(x)dx xf3(x)dx f3(x)dx0 ____________ _0 _______________即 121 2xf2(x)dx f2(x)dx0 0总的来说，证明不等式是一门艺术，它具有自己独到的技术手法。
在此, 我研究了上述7种方法来证明不等式，使一些复杂不等式的证明变得更加简洁，也会使一些不等式的证明变得一题多解。
利用定积分证明数列和型不等式
利用定积分证明数列和型不等式我们把形如(为常数)或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型For personal use only in study and research; not for commercial use例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数，求证.For personal use only in study and research; not for commercial use分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明构造函数并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函数图象可知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，For personal use only in study and research; not for commercial use图1即，因为，所以.所以.例2 求证.证明构造函数，又，而函数在上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图2即，所以.例3证明。
证明构造函数，因，又其函数是凹函数，由图3可知，在区间上个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图3即.所以.二、型例4若，求证:.证明不等式链的左边是通项为的数列的前项之和，右边通项为的数列的前项之和，中间的可当作是某数列的前项之和.故只要证当时这三个数列的通项不等式成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而，故不等式成立，从而所证不等式成立.图4例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数的图象在点处的切线方程为.（Ⅰ）用表示出；（Ⅱ）若在内恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明:.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明（Ⅲ）不等式左边是通项为的数列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为的数列的前项之和，则当时，，此式适合，故只要证当时，即，也就是要证.由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积，即.图5而，所以，故原不等式成立.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
细品方知味 深研便得法——高考试题中数列和不等式的定积分证明赏析
＝ （ ２ ｘ ］ ５ － － ４ ｋ ） ２
．
．
＞０且 ≠１．
正解 由 △＞０ 得一 ４ ＜ｋ＜０；
・ ．
．
［ ２ 】 王后雄 ．高 考完 全解 读一王 后雄 考案 （ 数学 ） ．中 国青 年 出版社 ，２ ０ １ ２
＝
５ ＜后＜０ ） ，
１ ６
解
５ （ １ ）略离心率为 — － ４
＝ ＿ ＿
ｊ
．
√ ５ ＋ １ ） ５ （ ＋４
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（ ２ ） 由 椭 圆 的 定 义 可 得 ： ６ ： 拿 ： ２ ，
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令Ｖ ＝
．
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１ ０， 一
，
ａ ＝ ３，故点 的坐标 为 （ ４ ｇ ， ０ ） ，则 圆的方 程为
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“ 世上无难事 ， 只怕有心人” ， 只要我们做教学的 有 心 人 ，就能 帮 助 学 生长 出慧 眼 ，明辨 是非 ，告 别 偷换 ，真 正成 为数 学学 习的主 人 ！
参考 文献
［ １ 】 单蝉 ．普通 高 中课程 标准 实验教 科书 数学 （ 选修 ２ —３ ） ．江苏教 育 出版 社 ，２ ０ ０ ９
梯形用相应 的小矩形 （ 或梯形）近似代替 ，把这些 小矩形 （ 或梯 形 ）面 积累 加 （ 求和 ）起 来 ，就 得 到 曲边 梯 形 的一 个近 似值 ，当分 割无 限变 细 时 ，这 个 近 似值 无 限趋 近于 所 要 求 的 曲边 梯 形 的面 积 ．而 数 列是 自变量取正整数集的一特殊 函数 ．若对数列和 不等式的条件、结构做仔细的观察 ，深入 的剖析 ， 联想到定积分定义 ，结合 函数性质 ，借助 图形，数 列和 不等 式 的证 明便得 心应 手 ，明 了顺 畅 ．
2021考研高等数学如何求证不等式？
2021考研高等数学如何求证不等式？
利用微分中值定理：微分中值定理在高数的证明题中是非常大的，在等式和不等式的证明中都会用到。
当不等式或其适当变形中有函数值之差时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，可考虑用柯西中值定理证明。
利用定积分中值定理：该定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。
基本思路是通过定积分中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，进而得出证明。
除此之外，最常用的方法是左右两边相减构造辅助函数，若函数的最小值为0或为常数，则该函数就是大于零的，从而不等式得以证明。
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关于定积分不等式的证法探悉
关于定积分不等式的证法探悉作者：张笛来源：《科教导刊》2014年第02期摘要本文讨论、研究了利用定积分定义，性质，定积分计算，初等不等式，泰勒公式，构造变限积分函数，中值定理，被积函数相关性态，二重积分和柯西—施瓦茨不等式等方法来证明积分不定式；并加以例题分析，阐述运用这些方法时的基本思路和解题技巧。
关键词定积分不等式证明中图分类号：O172.2 文献标识码：AAbout the Proof Method of Definite Integral InequalityZHANG Di（College of Science， China University of Mining and Technology， Beijing 100083）Abstract This article discusses the use of the definite integral definition， nature， definite integral calculation， elementary inequality， Taylor formula， structural change limit integral function， the mean value theorem， the plot function-related behavior， double integrals and Cauchy - Schwarz inequality integration and other methods to prove the infinitive； analyze and make examples to explain the basic ideas and problem-solving skills when using these methods.Key words definite integral； inequality； proof0 引言定积分不等式证明是高等数学的重点和难点，下面通过例题分析，来探讨在定积分不等式证明过程中的基本思路、技巧和方法。
王伯龙. 用定积分的几何意义证明不等式[J]. 数学通讯, 2010,(16)
![王伯龙. 用定积分的几何意义证明不等式[J]. 数学通讯, 2010,(16)](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/a8b4e963b84ae45c3b358caa.webp)
dt 即当
1 dt t
1 x
x=
1 x
1 1 x
28
数学通讯
2010 年第 8 期 ( 下半月 )
解题方法
简证 2009 年清华大学自主招生一道数学试题
王亚辉
( 河北经贸大学数学与 统计学学院 , 050061 )
试题
( 题 2 ( 1) ) x , y 为实数, 且 x + y = 1, 求
0
dt <
0
1 dt , cos2 t
x n x x n ) 成立, 只须证 ln e > ln( 1+ ) 成立 , 即证 n n x x x x > 0, n 为正整数, n > ln( 1+ n ) . n > 0,
x n x
即当 0< x < 2 时 , 有 sin x < x < t an x . 1 1 例2 当 x > 0 时 , 证明 1 < ln ( 1+ x ) x+ 2 1 < . x 证明 x > 0 时,
的左端, 由
( 收稿日期 : 2010- 03- 29)
=
1 x 1
t+ 1 1 dt . 因为积分变量 t 满足 1< t < , 从而 x 2t t
1 1
质得
x 1 x t+ 1 1 t+ 1 易得 0< < , 由性质得 dt < dt , t 2t t 1 t 1 2t t 1 1 ln x 即 ln < - x , 故当 0< x < 1 时 , 有 < x x - 1 x 1 . x
积分不等式的若干证明技巧
题目：积分不等式的若干证明技巧学院：数学科学学院专业班级：数学07－4实验班学生姓名：努尔艾拉.阿西木指导教师：塔实甫拉提副教授答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务处目录1引言 (1)2 利用有些定义证明积分不等式 (1)2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1)2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2)3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4)4利用微分中值定理证明积分不等式 (4)5利用积分中值定理证明积分不等式 (6)6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7)7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7)8利用将单积分化为重积分的方法 (8)9利用分部积分法来证明积分不等式 (9)10 结论 (10)参考文献： (11)致谢 (12)积分不等式的若干证明技巧摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。
论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。
关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理Integral inequality of several proof skillsAbstracts：inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law.Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem。
[全]高等数学之定积分证明题的问题方法总结[下载全]
高等数学之定积分证明题的问题方法总结
定积分的证明题是考研中必考题型，主要涉及到讨论变限积分所定义的函数的极限、导数、奇偶性、周期性、单调性和求被积函数；讨论定积分或变限积分的不等式，或者定积分、变限积分的零点问题。
需要重点掌握定积分的如下性质：
证明某积分不等式，是考研中经常见到的问题，处理这类问题有三种方法：
（1）将要证的某某>0的一边看成变限函数，用微分学的办法证此不等式（例如单调性，最值，拉格朗日中值定理等），这是考研中经常用到的方法。
（2）利用积分性质，例如积分中值定理，积分变量代换，分部积分等方法，经变形并计算。
例1：
分析：凡是微分中值定理中又涉及积分中值定理的，应首先应用积分中值定理获取一些特定点的函数值信息，再用微分中值定理证明。
证明：
利用积分中值定理证明
例2：
证明：
利用第一种方法证明。
定积分与不等式证明
２１ ０ １年 ８月
赤 峰 学 院 学 报 （科 学 教 育 版 ）
Ｊ ｕ ａ ｏ ｈｆ ｇＵ ｉ ｒ ｔ ｓｉ ｃ ｏ ｒ ｌ ｆ ｉ ｎ ｎ ｅｓ ｙ（ｃ ｎ ｅ＆ｅ ｕ ａ ｏ ） ｎ Ｃ ｅ ｖ ｉ ｅ ｄ ｃｔｎ ｉ
Ｖｎ１３ Ｎｏ８ ． ． Ａｕｇ ２０１ ． １
不 等 式 的 证 明 在 数学 分析 中起 着 重 要 作 用 ． 有 足 积 分 笛
的不等式较 为常见 ， 根据含积分 不等式的特点 ， 般可 以考 一 虑 以下几种求证方法 ：
应分积法：ｘｄ ｘ 』 Ｌ 用部分有』ｘ｝ｌ，￣ ｘ ２ｌ ｄ ｎ ＝ ｎ一ｘ ｘ ｌ ｎ ｘ ４ ￣
１ 充分运用积分运算方法 ． ２ 换元积分法 ， 分部积分法不仅能求解积分 ， 在积 分不等
证 引入参数 １ 考察 ｆ ） ）ｘ， １ ， ． ＋ 【 ）由题设 上式在［ｂ （ ｕｆ ｘ （ ａ］ ，上
对任何实数 Ｕ 都不能恒为“”不然 ， ０， 若假设有实数 ｕ使得 ，
ｒｘ ｕｆ）Ｏ （＋ ｘ（＝ ） ｘ
ｕｆｘ （ｄ＋ｕｆｘｘ （ｄ＋』［ｘ２ ＞ ￣ｘ ｘ２ ｆ）ｘｘ ｆ）ｄ ０ ） （ｅ ） （１ｘ
＝
１ 灵活 运 用 性 质 与 运 算 方 法 证 明
［ｎ ｛ｌ２－ ＋ 手ｘ ｎ １ 孚 一 ｎｎ －２
１１ 应用积分性质 ．
一
＜
些不等式的证明一般不必计算 出定 积分 ，因此对 于
再
等ｎ孚 １ ｌ ＋ ｎ 一
ｎ －Ｉ
含抽象函数 的定 积分不等式证 明， 可灵 活应用积分性质．
一
式 的证 明中也起了重要的作 用．
例 ２ 证明不等式 １（ １ ｎ ｎ －
A证明积分不等式的几种方法_周景芝
证明积分不等式的几种方法周景芝不等式涉及数量之间大小的比较,而通过比较常能显示出变量变化之间相互制约的关系。
因此,从某种意义上说,不等式的探讨,在数学分析学习中甚至比等式的推演更为重要。
积分不等式反映的是某些积分值之间的关系,其证明也是数学分析证题中的难点,其主要原因是其证法没有固定的程序可循,方法多样,技巧性强。
为此,通过典型的一些例题来熟悉积分不等式证明的不同方法,这样对提高证明能力是有益的。
下面就用三种基本方法来证明积分不等式。
一、根据定积分的定义及连续函数的性质来证明定义定积分的方法是分割、代替、作和、取极限。
对于积分和,我们可以把它看成一个级数的部分和,根据各种平均值之间的大小关系,就可以相应的写出关于级数的不等式,然后通过取极限的办法而得到类似的积分不等式。
例1设f(x)在[a,b]上可积,且f(x)在此区间上有正的下界,则b-a Q b a dxf(x)[e1b-a Q b a lnf(x)dx[1b-aQ b a f(x)dx证明:因分f(x)在[a,b]上可积,且有正的下界,因此,积分Q badxf(x)与Q balnf(x)dx均存在,令f k =f(a+kzn),zn=b-an则可证limn y]1nE nk=1fk=1b-aQ baf(x)dx limn y]11nE nk=11fk=b-aQ badxf(x)limn y]n n11K=1fk=e1b-a Q b a lnf(x)dx因为对于n个正数有:调和平均值[几何平均值[算术平均值,因此nE n k=11fk[n n11k=1fk[1nE nk=1fk当n y+]时,有b-aQ badxf(x)[e1b-a Q b a lnf(x)dx[1b-aQ baf(x)d x由上面的例子可以看出,根据积分不等式的特征,用定积分的定义来解的确很方便,在熟练掌握定积分的概念以及各种平均值之间的关系的基础上,在解题实践中有意识的、自觉的加强这方面的训练。
利用定积分证明不等式
．
Ｙ＝Ｘ ， Ｃ上 的点 Ｑ 的 ｌ 横坐 标 为 ｑ０ ｃ＜ ） （＜６ ａ ．
面积 ， 显然 一 ＜ ＋ ）
，
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（ — 。 ＋ ＋ ）
从 ｃ上的点 （ １ ｔ ） ７
作直 线 平行于 轴 ， 交 直线 ， 点 ＋，再 从点 ＋作直 线平 行于 Ｙ轴 ，交 于 。 。
・ ．
∑／）ｒ （ ∑ ） ’＜ ） ｎ ． （ ｆ － ＜ ｉ
用上面的性质可以简证一些不等式，下面举例 说明．
２ 一・ （ ・ 丽 ）
＜ ，
例 ３ 求证 ： 兀 ＜ ． 。 ｅ
例 １设６ 口 ０，证明 ＞＞
＜ｎ Ｉ鱼
．
’
一
证 明 因为 ｂ ａ ０ ＞ ＞ ，所以１ 皇 ＜
解 （ ａ ： ） （ Ｉ ｎ （ 过程略） ） ．
１
．
所证 的不等式两边易看成是 同区间上两个定 积分 时，就构造性质 的形式 ，用性质证明，如果所 证的不等式不易直接构成性质的形式 ， 以通过转 可 化，分类等使其具有性质 的形式 ， 然后再用性质加
（ ）由 ａ＝１ Ｉ Ｉ 知 ＋＝ ，。口 １ 。 ２ ． 。
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因而 ｌ ｎ 皇：
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２ １ （ ９ ：４ ００ ２） ８
以上 本文仅 就 类 比推 理 中 的部 分 问题做 了一