高等数学中不等式的证明方法
高等数学课程中的不等式的证明
高等数学课程中的不等式的证明不等式是高等数学教学内容的重要组成部分，是高等数学中经常遇到而解决起来又比较困难的问题之一。
下面通过高等数学的一些原理和方法，分享几种不等式证明的常用的方法。
一、利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则在区间（a,b）内至少存在一点，使得。
二、利用函数的单调性证明不等式函数单调性的判定定理：设函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，那么：（1）如果f?（x)>0,则f（x)在区间[a，b]上单调增加；（2)f?（x)例2.证明：X>0时，1+>证明：令f（x）=，则f?（x）==，因为f（x）在[0，+oo）上连续，在（0，+oo）内f?（x）>0，因此f（x）在[O，+oo）上单调增加。
从而当x>O时，f（x）>f（O）。
由于f（O）=O，故f（x）>f（O）=O。
即>0，亦即1+＞。
注：运用函数的单调性证明不等式，关键在于合理地利用题设条件，构造出相应的辅助函数f（x），将原问题等价代换，根据导数f？(x)的符号判定函数f（x)在所给区间上的单调性，从而导出所证不等式。
三、利用函数的凹凸性证明不等式函数凹凸性的定义：设f（x）在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2,恒有f（（x1+x2）/2）2f（x1)+f（x2）/2,则称f（x)在[a,b]上是凸函数；若恒有f（（x1+x2)/2)sf（x1)+f（x2)/2,则称f（x)在[a,b]上是凹函数。
函数凹凸性的判定定理：设f(x)在[a，b]上连续，在区间（a，b)内有二阶导数，（1)如果在区间（a，b）内，（x）>0，那么曲线y=f（x）在[a，b]内是凹的；（2）如果在区间（a，b）内，（x）例3.证明：a>0,b>0且a#b,n>1时，证明：令f（x）=xn，x?（0，+oo），则f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，当n>1时，对任意的x?（0，+oo），都有>0。
高等数学中不等式的证明方法归纳
通过函数的最大值、最小值来证 明不等式是一 种比较特殊 的方法 ，它主要是利用 连续 函数在 区间上 的最大最 小值定 理。 其思路是求 出函数在区间上的最大值 或者最小值 ｍ，则 函数 在 区间中的任何值都满足 ，（ｚ） 或者，（ ） ｍ。
（ ）
：）（ｂ一口）。 故 有
如 果 在 所 要 证 明 的 结 论 中 包 含 形 如 ｆ （
），
』 ）
）出 ，证毕 。
１【，（ ）＋ ：）】的项 ，那么往往可以考虑 寻找合适 的函数 ，应
七 、利用 定 积 分 的 一些 性质 进 行 不 等式 的证 明
用函数 的凹凸性 来证 明不等式。
定积分的性 质在不 等式的证明 中也经 常被 用到 ，主要有定
例 ４：已知 ＞０，Ｙ＞０且 ≠ｙ，求证 ｘｌｎ ＋ｙｌｎ Ｙ＞（ ＋Ｙ） 积分的估值定理、定积分的比较定理 以及推论等 。
Ｉｎ 。
ｆ￣Ｊ ７：求证ｌ
＜ｏｒ·
证 明 ：构 造 函 数 Ｆ （ ） ＝ ｘｌｎ ，（ ＞ ０），则 有
不等式的证明是 高等数学 中的一个重要 内容，同时 也是 一 理采 证 明。 本文 仅 介 绍 通过 拉 格 朋 日中值 定 理 证 明 不 等 式 的 方
个 比较难 以掌握的内容。不等式 的证明有一定 的技 巧和方法 ， 法 ，利用柯西定理证明不等式的方法可仿照下例。
笔者结合多年的教学经验 ，归 纳了以下八种不等式的证明方法。
＜ ｘ ２
函数的单调性 ，然后取 函数 Ｆ（ｘ）在区间［ｏ，ｂ］端点处的函数上述式子中取 。－－ｎ，ｘ２＝ｎ＋１，则有
＝ １厶十 ，
高等数学中证明不等式的几种方法
高等数学中证明不等式的几种方法收稿日期：2018-08-22作者简介：佘智君（1976-），女（汉族），讲师，主要从事于计算数学与应用软件的研究。
不等式的证明是高等数学的重要内容，同时也是高等数学教学中的一个难点，学生遇到不等式的证明时经常不知道如何下手。
不等式的证明方法灵活多样，技巧性强，所以证明不等式之前要对具体问题具体分析，根据题设及不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，这样才能使证明过程简化。
一、利用函数的单调性利用单调性证明不等式是高等数学中最常用的一种方法，其基本思路是将不等式作适当的变形，作辅助函数f （x ），再利用导数确定该函数的单调性，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性，从而使不等式得到证明。
例题1证明：ln （1+x ）＞x1+x （-1＜x ＜0）证明：设f （x ）=ln （1+x ）-x1+x∴f ′（x ）=x（1+x ）2∴f ′（x ）＜0（-1＜x ＜0）∴f （x ）在（-1＜x ＜0）内单调下降又∵f （0）=0∴f （x ）＞0（-1＜x ＜0）故ln （1+x ）＞x1+x（-1＜x ＜0）二、利用微分中值定理证明不等式利用微分中值定理证明不等式的关键是不等式经过恒等变形后一端可化成函数值之差的形式，即f （b ）-f （a ），则可考虑拉格朗日中值定理，这时构造辅助函数f （x ），使得f （x ）在［a ，b ］上满足中值定理的条件，然后利用中值定理得到所要的结论。
例题2证明：x-y x ＜ln x y ＜x-yy（0＜y ＜x ）证明：设f （x ）=lnx ，而f （x ）=lnx 在（y ，x ）满足拉格朗日中值定理∴∃ξ∈（y ，x ）使lnx-lny=f ′（ξ）（x-y ）=1ξ（x-y ）∵0＜y ＜ξ＜x∴1x ＜1ξ＜1y ∴x-y x ＜ln x y ＜x-y y 三、利用泰勒公式如果已知条件或不等式中含一阶及二阶等高阶导数时，一般用泰勒公式。
利用高等数学证明不等式的几种特殊方法探析
数 学的 重 要 内容 ．初 等 数 学 教 育 的重 点在 于培 养 常 量 和 静 态 方 面的 数 学 应 用 ， 因此 在 证 明 不等 式 时往 往 会 遭 遇 一 些 “ 死 角” ．利 用 高等 数 学证 明 不等 式 可 以破 除 常 量 数 学 的 狭 隘性 ． 并 且 更 为 快 速 、 效 ， 文通 过 具 体 例 题 介 绍 利 用 高等 数 学 证 有 本
明不 等 式 的 几种 有 效 的 特 殊 方 法．
即 当且 仅 当 ： …
ｂ１ ｂ ２
时等 号 成 立 ．
ｂ
二、 利用 Ｌ ｇａ ｇ 乘 数 法 ａｒ ｎ ｅ 对 于 一 元 不 等 式 ，利 用 函 数 的 极值 来证 明不 等式 是一 种
关键 词 ： 不等式 二 次型 Ｌ ｇａｇ乘数 ａｒｎｅ
将 Ｌ 别 对ｘ Ｙ ｚ 入 偏 导 数 ， 令 它们 都等 于０ 则 有 ： 分 ，，，求 并 ，
——
一
０ ＝ｃ ｓ ｓ ｖ ｓｎ Ｌ ・ － ｏｘｍ ｌｚ
Ｖ
－
ｓｌ — — — 一 ＣＯＳ— ｎ — —
—
・
ｘ ｙ＋ ＋ ｚ 、 ０
—
—
－Ａ＝Ｕ
ａ ｘ
・
—
３
ｘ ＋ｚ ＋ｙ
，
文 献 ［— ３ 利 用 高 等 数 学 中 的 微 分 中值 定 理 ， 数 的 １ ］ 函
单 调 性 、 数 的极 值 与 最 值 、 勒 公 式 、 函 泰 曲线 的 凹 凸 性 、 积 定
ｊ
分 理 论 、柯 西 一 施 瓦 茨 不 等 式 等 相 关 理 论 研 究 了不 等 式 的 证 明方 法 ，这 些 不 等 式 证 明 中 的 高 等 数学 方 法 较 为 常 见 。 相 关 研 究 也 较 多 见 ．本 文 针 对 不 等 式 证 明的 几 种 不 常 见 的 高 等 数 学 方 法 进 行 了 归纳 总结 ， 结 合 例 题 讨 论 了 这 些 方 法 的具 并 体 应用．
几个常用不等式证明不等式方法辛
不等式是高等数学中的一个重要工具。
运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。
这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。
几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。
2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。
3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。
4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。
不等式的高等数学证明方法
不等式的高等数学证明方法作者：成继红来源：《读写算》2011年第66期内容摘要：在初等数学中，我们对不等式的证明采用移项初等变形方法达到证明不等式的目的，但有些不等式仅利用此方法证起来很麻烦，甚至证不出来，因此总结了一些用高等数学的方法来证明不等式，如利用中值定理，函数单调性，函数的极值，凸凹性，概率的方法等。
关键词：不等式证明方法在学习数学的过程中，不等式证明是非常重要的，下面主要介绍一些用高等数学的知识证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野.1. 拉格朗日中值定理与函数单调性1.1 拉格朗日中值定理若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间[a,b]上连续；(ii)f在开区间（a,b）内可导，则在(a,b)内至少存在一点,使得（1），其中（1）被称为拉格朗日公式。
例、证明不等式，其中0分析：应用拉格朗日中值定理，关键是找出函数及区间，这可结合不等式特点找，则此不等式可改为,由此猜到取,区间在[a,b].证明：由于,取,而在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，故由拉格朗日中值定理，存在使得又01.2 函数单调性定理1.2 设函数在区间I上可导，则在上递增的充要条件是.例、证明不等式证明：设.则.则进而有.根据函数单调性则当时有： ,.进而得.2. 柯西中值定理定理2.1（柯西中值定理）设函数和满足：（i）在[a,b]上都连续（ii）在（a,b）内都可导（iii）和不同时为0 （iv）则存在使得.例．，证明：.证明：设，则.对于在[a,b]上应用柯西中值定理有：.设，考察.由于，显然当时，即.所以在时单调递减，从而有，即.故.3. 函数极值与最值通过变换，把某些问题归纳为求函数极值达到证明不等式的目的。
例：设，求证：.证明：令=-2+当时， .当时，.故.4. 函数的凸凹性和詹森不等式4.1 函数的凸凹性定义：设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点和对于任意的实数总有：,则称为上的凸函数.反之，若总有：则称为上的凸函数。
高等数学中不等式的证明方法
1 。 2 1
2. 利用函数单调性证明不等式
函数不等式是判断函数之间的大小关系 ， 基于这种思想 ， 可以利用函数单调性证明不等式 。 其基本思想是 ：（1 ） 将不等 式 两 边 的 函 数 移 到 同 一 端 ， 并 作 辅 助 函 数 f （x ）；（2 ） 利 用 函 数 f （x ） 一阶导数的符号判断函数在所给区间上的单调性 ；（3 ） 根 据函数 f （x ） 的单调性 ， 得到所求不等式 。 例 3 ： 证明定理 ： 设 （1 ） 函数 φ （x ） 及 ψ （x ） 可微分 n 次 ； （2 ）φ （x0 ）=ψ （x0 ），（k=0 ，1 ，2 ，…，n-1 ）； （3 ） 当时 x＞x0 ，φ （x ）=ψ （x ）。 则当 x＞x0 时 ， 有不等式 φ （x ）＞ψ （x ）。 证 明 ： 设 F （x ） =φ （x ） -ψ （x ）， 则 由 于 φ
复数 z=x+iy圳 坐标平面上的点 p （x ，y ）。 这样学生会将复数 z 、R 中 的 有 序 实 数 对 （x ，y ）、 坐 标 平 面 上 的 点 p （x ，y ） 视 为 同 义 语 ，
2
把复数集 、 平面点集 、 二维空间 R 的子集看成一回事 。 由 z 圮 （x ，y ）， 复 变 函 数 f （z ） 可 看 成 关 于 x 和 y 的 函 数 ， 其 极 限定义可与实二元函数的极限定义比较 ， 而实二元函数又是 在 多 元 微 分 学 中 讲 过 ，学 生 较 为 熟 悉 ，这 样 进 行 比 较 ，可 加 深 学生对复变函数极限念的进一步认识和理解 。 通过比较 ， 可以发现复变函数的极限定义与实二元函数 极限定义相似成分较之实一元函数要多一些 ， 似乎完全相似 ， 不同的地方主要是一个复变函数确定两个实二元函数 ， 复变 函数的极限存在与否取决于两个实二元函数极限的存在与 否 。 两个实二元函数的极限都存在才称复变函数的极限存在 。 2. 导数概念的类比 在微分学中 ， 对一元函数的导数是这样定义的 ： 设函数 y= f （x ） 在点 x0 的某一邻域内有定义 （ 包括 x0 点 ）， 当自变量 x 在 x0 处 有增量 Δx 时 ， 相应的 ， 函数有增量 ，Δy=f （x0+Δx ）-f （x0 ）， 当 Δx→
高等数学中利用辅助函数证明不等式的几种方法
高等数学中利用辅助函数证明不等式的几种方法作者：沈秀娟来源：《文化产业》2016年第06期摘要：高等数学中证明不等式的方法多种多样，而且有些题目适合一题多解.常用的方法有：比较法、反证法、判别式法等.本文从构造辅助函数出发，利用拉格朗日定理和函数的单调性，对于不等式的证明做了较系统的归纳和总结.关键词：拉格朗日定理；单调性；不等式；辅助函数在高等数学的学习过程中，不等式的证明是一个重点和难点，大多数人在遇到不等式证明的问题是就不知所措，对不等式的证明，常用以下情形证明不等式，如：拉格朗日中值定理法、Taylor展开式公式法、泰勒中值定理、极值法、定积分的一些性质等.本文以作辅助函数为出发点，对不等式的证明做了一下探讨.一、用拉格朗日中值定理构造函数证明不等式该定理证明不等式的关键是构造适当的函数和闭区间[a，b]，使得：（一）要证不等式的一部分可以写成或；（二）在上满足拉格朗日公式的适当放大或缩小，即可证出要证明的不等式.二、用函数的单调性构造函数证明不等式构造辅助函数，取定闭区间；构造辅助函数方法：1、利用不等式两边之差构造辅助函数；2、利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数；3、若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数.（一）利用不等式两边之差构造辅助函数（二）利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（三）利用公式法构造函数三、结论不等式的证明在整个数学学习中占有舉足轻重的作用，是进行计算、推理、数学思想方法渗透的重要内容.不等式的证法多种多样，针对本文所存在的局限性，在以后的学习中一定注重题型的复杂多变形，把问题简单化，找到合适的解决方法.本文从构造辅助函数为出发点，把题目变形整形，利用拉格朗日定理和函数单调性，对于不等式的证明给出了系统的归纳和总结，然后找到最简洁的证明方法.该方法对不等式的证明具有极其重要的意义，对学生在证明不等式时选择恰当的方法有一定的指导作用.参考文献：[1]郭大钧，陈玉妹.数学分析[M].山东科学技术出版社，2005，35-38.[2]王晓锋，李静.证明不等式的若干方法[J].数理医学杂志，2008.[3]田玉伟.微积分在解方程和不等式中的应用[J].长江大学学报，农学卷，2009.[4]李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995.[5]叶慧萍.反思性教学设计-不等式证明综合法[J].数学教学研究，2005，10（3）：89-91.。
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高等数学中不等式的证明方法摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此，不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为专门的研究对象。
高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解决不等式证明的问题。
我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神，创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。
关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function byderivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We canresolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient,Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean ValueTheorem文章来自：<a target='_blank' href=''>全刊杂志赏析网()</a> 原文地址：/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。
【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西凹凸性在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公式法、函数的凹凸性法、柯西1 中值定理定理法利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好ξ点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。
例1 设e4e2(b-a)。
解：对函数ln2x在［a,b］上应用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2lnξξ(b-a)，a<ξ设φ(x)=lnxx，φ′(x)=1-lnxx2当x>e时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调减少，从而φ(ξ)>φ(e2)，即lnξξ>lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a>4e2(b-a)。
也可利用函数的单调性证明，可设φ(x)=ln2x-4e2x例2 设不恒为常数的函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在（a,b）内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)>0。
解：因f(x)不恒为常数且f(a)≠f(b)，故至少存在一点c∈(a,b),使得f(c)≠f(a)=f(b)。
若f(c)>f(a)则在［a,c］上f(x)满足拉格朗日中值定理条件，因此至少存在一点ξ∈(a,c)(a,b)，使得f′(ξ)=1c-a［f(c)-f(a)］>0。
若f(c)2 利用辅助函数的单调性证明辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。
常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。
例3 试证：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。
解：设f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，易知f(1)=0。
又f′(x)=2xlnx-x+2-1x，f′(1)=0, f′(x)=2lnx+1+1x2,f′(1)=2>0f(x)=2(x2-1)x3可见，当00，因此有当00。
又由f′(1)=0及f′(x)是单调增加的函数推知，当00，因此进一步有f(x)≥f(1)=0(00时，(x2-1)lnx≥(x-1)2。
文章来自：<a target='_blank' href=''>全刊杂志赏析网()</a> 原文地址：/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm例4 设b>a>e，证明ab>ba。
分析：要证ab>ba，只需证blna>alnb或lnaa>lnbb解一：令f(x)=xlna-alnx(x≥a),因为f′(x)=lna-ax>1-ax≥0(x≥a)所以f(x)在x≥a时单调增加。
因此当bφa时，有f(b)>f(a)=0，即有blna>alnb，也即ab>ba 。
解二：令f(x)=lnxx,x>e,则有f′(x)=1-lnxx2<0(x>e)，因此f(x)单调减少，故当b>a>e时，有lnaa>lnbb即ab>ba。
3 利用泰勒展开式证明泰勒展开式的证明常用的是将函数f(x)在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点）进行展开，通过分析余项在ξ点的性质，而得出不等式。
另外若余项在所给区间上不变号，也可将余项舍去而得到不等式。
例5 设f(x)在［0，1］上具有二阶可导函数，且满足条件|f(x)|≤a,|f(x)|≤b,其中a,b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点，证明|f′(x)|≤2a+b2 。
分析: 已知f(x)二阶可导，应考虑用二阶泰勒展开式。
本题涉及证明|f′(x)|≤2a+b2，应在特定点x=c处将f(x)按泰勒公式展开。
解：对f(x)在x=c处用泰勒公式展开，得f(x)=f(c)+f′(c)(x-c)+f′(ξ)2!(x-c)2（1）其中ξ=c+θ(x-c),0<θ<1，在（1）式中令x=0，有f(0)=f(c)+f′(c)(0-c)+f′(ξ)2!c2, 0<ξ 1在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f′(c)(1-c)+f′(ξ)2!c2, 0上述两式相减得f(1)-f(0)=f′(c)12! ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］, 于是|f′(c)|=|f(1)-f(0)-12 ［f′(ξ2)(1-c)2-f′(ξ1)c2］|≤|f(1)|+|f(0)|+12|f′(ξ2)| (1-c)2+12 |f′(ξ1)|c2≤2a+b2［(1-c)2+c2］, 又因当c∈(0,1)时，有(1-c)2+c2≤1 故|f′(c)|≤2a+b2因这里ξ与x有关，可将其记为ξ(x)，那么当令x分别取0和1时，对应的ξ可分别用ξ1和ξ2表示。
4 柯西(〖jf(z〗baf(x)g(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf2(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗bag2(x)dx〖jf)〗柯西进行证明，即方便又快捷。
例6 设f(x)在区间［a,b］上连续，且f(x)>0,证明〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx ≥(b-a)2 。
〖jf)〗证明：(〖jf(z〗baf(x)1f(x)dx)2〖jf)〗≤〖jf(z〗baf(x))2 dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba（1f(x))2dx 〖jf)〗即得〖jf(z〗baf(x)dx〖jf)〗·〖jf(z〗ba1f(x)dx≥(b-a)2〖jf)〗5 利用函数图形的凹凸性进行证明函数的凹凸性证明方法首要是找到辅助函数f(x)，利用函数f(x)在所给区间［a,b］的二阶导数确定函数的凹凸性。
f′(x)>0 函数为凹的,则f(a)+f(b)>2f(a+b2)；f′(x)<0 函数为凸的,则f(a)+f(b)<2f(a+b2)，从而证明出结论。
例7 xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2,(x>0,y>0,x≠y)令f(t)=tlnt(t>0), f′(t)=lnt+1, f′(t)=1t>0, 故f(t)=tlnt在（x,y）或（y,x）,x>0,y>0是凹的，于是12［f(x)+f(y)］>f(x+y2)即12［f(x)+f(y)］>x+y2ln x+y2即xlnx+ylny>(x+y)lnx+y2类似的如：证明ex+ey2>ex+y2, (x≠y)。
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