数据包络分析(DEA)方法

v1.0 可编辑可修改二、 数据包络分析(DEA)方法数据包络分析(data envelopment analysis, DEA)是由著名运筹学家Charnes, Cooper 和Rhodes 于1978年提出的，它以相对效率概念为基础，以凸分析和线性规划为工具，计算比较具有相同类型的决策单元(Decision making unit ，DMU)之间的相对效率，依此对评价对象做出评价[。

DEA 方法一出现，就以其独特的优势而受到众多学者的青睐，现已被应用于各个领域的绩效评价中[2],[3]。

在介绍DEA 方法的原理之前，先介绍几个基本概念:1. 决策单元一个经济系统或一个生产过程都可以看成是一个单位(或一个部门)在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。

虽然这种活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。

由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单位(或部门)被称为决策单元(DMU)。

因此，可以认为，每个DMU(第i 个DMU 常记作DMU i )都表现出一定的经济意义，它的基本特点是具有一定的投入和产出，并且将投入转化成产出的过程中，努力实现自身的决策目标。

在许多情况下，我们对多个同类型的DMU 更感兴趣。

所谓同类型的DMU ，是指具有以下三个特征的DMU 集合：具有相同的目标和任务；具有相同的外部环境；具有相同的投入和产出指标。

2. 生产可能集设某个DMU 在一项经济(生产)活动中有m 项投入，写成向量形式为1(,,)T m x x x =；产出有s 项，写成向量形式为1(,,)T s y y y =。

于是我们可以用(,)x y 来表示这个DMU 的整个生产活动。

定义1. 称集合{(,)|T x y y x =产出能用投入生产出来}为所有可能的生产活动构成的生产可能集。

在使用DEA 方法时，一般假设生产可能集T 满足下面四条公理: 公理1(平凡公理): (,),1,2,,j j x y T j n ∈=。

公理2(凸性公理): 集合T 为凸集。

如果 (,),1,2,,j j x y T j n ∈=, 且存在 0j λ≥ 满足 11nj j λ==∑则 11(,)nnj j j j j j x y T λλ==∈∑∑。

公理3(无效性公理)：若()ˆˆ,,,x y T xx y y ∈≥≤,则ˆˆ(,)x y T ∈。

， 公理4 (锥性公理): 集合T 为锥。

如果(),x y T ∈那么 (,)kx ky T ∈对任意的0k >。

若生产可能集Ｔ是所有满足公理1 , 2 , 3和4的最小者，则T 有如下的唯一表示形式()11,|,,0,1,2,,n nj j j jj j j T x y x x y y j n λλλ==⎧⎫=≤≥≥=⎨⎬⎩⎭∑∑。

3. 技术有效与规模收益(1) 技术有效：对于任意的(,)x y T ∈，若不存在'y y >，且'(,)x y T ∈，则称(,)x y T ∈为技术有效的生产活动。

(2) 规模收益：将产出和投入的同期相对变化比值/y xk y x=称为规模效益。

若1k >，说明规模收益递增，这时可以考虑增大投入；若1k <，说明规模收益递减，这时可以考虑减小投入；若1k =，说明规模收益不变，且称为规模有效。

（一） DEA 方法原理与CCR 模型DEA 方法的基本原理是：设有n 个决策单元(1,2,,)j DMU j n =，它们的投入，产出向量分别为：12(,,,)0,T j j j mj X x x x =>，12(,,,)0,1,,T j j j sj Y y y y j n =>=。

由于在生产过程中各种投入和产出的地位与作用各不相同，因此，要对DMU 进行评价，必须对它的投入和产出进行“综合”，即把它们看作只有一个投入总体和一个产出总体的生产过程，这样就需要赋予每个投入和产出恰当的权重。

假设投入、产出的权向量分别为12(,,,)T m v v v v =和12(,,,)T s u u u u =，从而就可以获得如下的定义。

定义2. 称11,(1,2,)sT r rjj r j T mji iji u yu Y j n v X v xθ=====∑∑为第j 个决策单元j DMU 的效率评价指数。

根据定义可知，我们总可以选取适当的权向量使得1j θ≤。

如果想了解某个决策单元，假设为({1,2,,})o DMU o n ∈在这n 个决策单元中相对是不是“最优”的，可以考察当u 和v 尽可能地变化时，oθ的最大值究竟为多少 为了测得o θ的值，Charnes 等人于1978年提出了如下的CCR(三位作者名字首字母缩写)模型：11111,1,2,,,0,0,,.sr ror omi ioi srrjr mi iji r i u yMaximizev xu ysubject toj n v xu v r i θ=====≤=≥≥∀∑∑∑∑ (1)利用Charnes 和Cooper (1962)[4]提出的分式规划的Charnes-Cooper 变换: 11/mi ioi t v x ==∑,,(1,,)r r tu r s μ==,,(1,,)i i tv i m ω==变换后我们可以得到如下的线性规划模型：1111,1,0,1,,,,0,1,,;1,,.sr ro o r m i io i smr rj i ij r i r i Maximize y subject to x y x j n r s i m μθωμωμω======-≤=≥==∑∑∑∑(2)根据线性规划的相关基本理论，可知模型(2)的对偶问题表达形式：11,1,2,,,,1,2,,,0,1,2,,.o nij jo io j nrjj ro j j Minimize subject tox x i m yy r s j n θλθλλ==≤=≥=≥=∑∑(3)上述的模型是基于所有决策单元中“最优”的决策单元作为参照对象，从而求得的相对效率都是小于等于1的。

模型(2)或者(3)将被求解n 次，每次即得一个决策单元的相对效率。

模型(3)的经济含义是：为了评价({1,2,,})o DMU o n ∈的绩效，可以用一组假想的组合决策单元与其进行比较。

模型(3)的第一和第二个约束条件的右端项分别是这个组合决策单元的投入和产出。

从而，模型(3)意味着，如果所求出的效率最优值小于1，则表明可以找到这样一个假想的决策单元，它可以用少于被评价决策单元的投入来获取不少于该单元的产出，即表明被评价的决策单元为非DEA 有效。

而当效率值为1时，决策单元为DEA 有效。

有关DEA 有效根据松弛变量是否都为零还可以进一步分为弱DEA 有效与DEA 有效两类。

即通过考察如下模型中的(1,)i s i m -=与(1,,)r s r s +=的值来判别。

1111(),1,,,1,,,,0,,,.msi r i r nij ji o io j nrj jr ro j j i r Minimize s ssubject to x s x i m ys y r ss s i j r θελθλλ-+==-=+=-+-++==-==≥∀∑∑∑∑o(4)其中ε为非阿基米德无穷小量。

根据上述模型给出被评价决策单元({1,2,,})o DMU o n ∈有效性的定义：定义3. 若模型(4)的最优解满足*1oθ=，则称o DMU 为弱DEA 有效。

定义4. 若模型(4)的最优解满足*1oθ=，且有0i s -=，0r s +=成立，则称o DMU 为DEA 有效。

定义5. 若模型(4)的最优解满足*1oθ<，则称o DMU 为非DEA 有效。

对于非DEA 有效的决策单元，有三种方式可以将决策单元改进为有效决策单元：保持产出不变，减少投入；保持投入不变增大产出；减小投入的同时也增大产出。

CCR 模型容许DMU 在减小投入的同时也增加产出。

对于CCR 模型，可以通过如下投影的方式将其投向效率前沿面，从而投影所得的点投入产出组合即为DEA 有效。

*****ˆ(1),1,,ˆ,1,,.io o io i io o io i io ro ro r ro x x s x x s x i my y s y r s θθ--+=-=---≤==+≥=上述投影所得值与原始投入产出值之间的差异即为被评价决策单元欲达到有效应改善的数值，设投入的变化量为io x ，产出的变化量为ro y ：***ˆ(),1,,ˆ(),1,,.io io io io o io i ro ro ro ro r ro x x x x x s i m y y y y s y r s θ-+=-=--==-=+-=（二） BCC 模型CCR 模型是假设生产过程属于属于固定规模收益，即当投入量以等比例增加时，产出量应以等比增加。

然而实际的生产过程亦可能属于规模报酬递增或者规模报酬递减的状态。

为了分析决策单元的规模报酬变化情况，Banker, Charnes 与Cooper 以生产可能集的四个公理以及Shepard 距离函数为基础在1984年提出了一个可变规模收益的模型，后来被称为BCC 的模型[5]。

线性形式的BCC 模型可表示为：1111,1,0, 1,,,,0,1,,;1,,.sr ro o r m i io i smr rj i ij o r i r i Maximize y u subject to x y x u j n r s i m μωμωμω====-=--≤=≥==∑∑∑∑(5)含松弛变量形式的BCC 对偶模型11111(),1,,,1,,1,,0,,,msi r i r nij ji o io j nrj jr ro j njj j i r Maximize s ssubject to x s x i m ys y r ss s i j rθελθλλλ-+==-=+==-+-++==-===≥∀∑∑∑∑∑o(6)其中ε为非阿基米德无穷小量。

根据BCC 模型中的o u 的取值大小，Banker 和Thrall(1992)[6]提出如下判别方法来判断模型(5)的规模收益。

定理1[6]. 假设含有投入产出组合(,)o o x y 的o DMU 是有效的，那么下面的条件可以判别模型(1)之下o DMU 的规模收益：(i) 对于投入产出组合(,)o o x y 规模收益不变当且仅当在某个最优解情况下有*0o u =；(ii) 对于投入产出组合(,)o o x y 规模收益递增当且仅当在所有最优解情况下都有*0o u <；(iii) 对于投入产出组合(,)o o x y 规模收益递减当且仅当在所有最优解情况下都有*0o u >。