人教版高中数学-弧度制
人教版弧度制_课件
探究二
弧AB的长
OB的旋转方 向
r 逆时针
2r 逆时针
r
逆时针
2r
顺时针
0
r r
2r
未做旋转
顺时针 逆时针 逆时针
角AOB的弧度数 角AOB的度数
2
1
-2
0
2
1 8 00
3600
18
00
8 00
3 6 00
2
例1 把45化成弧度
解 45= ×45rad= rad
180
4
3
例2 把 rad化成度
5
解 3 rad = 3×180 =108
5
5
练习
1）用弧度制写出与300同终边的角的集合；
S { | 2k k z}
6 2）指出下列用弧度制表示的角是第几象限角？
1 2 4 8
课堂小结
180
l
3、扇形的面积公式：
S扇形
n
360
R2
n° l
r
l OS
R
讲授新课
弧度制定义
我们规定，长度等于半径的弧所
对的圆心角叫做1弧度的角；用符号rad表
示，读作弧度。 用弧度来度量角的 单位制叫做弧度制． 1弧度记做1rad.
L α
r
B
r
1rad
O
rA
l 2r
CC
2rad
A
A
r
O
o
AOB=1rad AOC=2rad
180
把弧度换成角度
1rad
180
57.30
5718'
人教高中数学必修一A版《弧度制》三角函数研讨说课复习课件
B
O
1rad
r
A
l =r
4.弧度的计算公式：|
l （弧度的绝对值等于弧长除以半径）
|
r
注意：α的正负由角α的终边的旋转方向决定
一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，
零角的弧度数为零。
思考：半圆与整圆所对的圆心角是多少度？是多少弧度？
r
.
①半圆所对的圆心角为：
3
3
3
－ 5 [若 x ＝－5，则 x＝ －5
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3
＝－ 5.]
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6
(2)± 2 019
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(3)[－3，＋∞)
[(1)27 的立方根是 3.
6
(2)因为 x ＝2 019，所以 x＝± 2 019.
6
4
(3)要使 x＋3有意义，则需要 x＋3≥0，即 x≥－3.
高中数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制(教学课件)
当 r
4
时，S
有最大值
16，此时 l
16 2r
8
，
l r
2
，
当 2 时，扇形的面积最大，最大面积是 16.
本节课学习了弧度制的概念， 角度与弧度的互化，扇形的弧长及 面积公式.
感谢观看
（1）若 60 ， r 3 ，求扇形的弧长；
（2）若扇形的周长为 16，当 为多少弧度时，该扇形面积最大？
并求出最大面积.
解析：（1）设扇形的半径为 r，弧长为 l.
60
3
，
r
3 ，l
|
|
r
3
3
.
（2）由题设条件知，l 2r 16 ，l 16 2r(0 r 8) ，
因此扇形的面积 S 1 lr 1 (16 2r)r r2 8r (r 4)2 16 ， 22
2π
5π 6
，
2
750
750π 180
25π 6
2
2π
π 6
，
故1
19π 6
，2
25π 6
，1
的终边在第二象限，2
的终边在第一象限.
（2） 1
3π 5
3 180 5
108
， 2
π 3
1 180 3
60
.
设1 108 k1 360k1 Z ，2 60 k2 360k2 Z ，
令 720 1 180 ， 720 2 180 ，
即 720 108 k1 360 180k1 Z ， 720 60 k2 360 180k2 Z ，
得 k1 2或 k1 1， k2 1 .
故在[720, 180) 内，与 1 终边相同的角是 612 和 252 ，
高中数学人教A版必修第一册第五章《弧度制》课件
1 0.01745rad n ___ rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
(1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
n
n _1_8_0 rad
180
1. 角度与弧度之间的转换：
例1. (1) 60化为弧度是_______
1. 角度与弧度之间的转换：
角度制的度量是60进制的。
角度制
角可以用“ 度 ”作为单位进行度量。这种用 度作为单位来度量角的单位制叫角度制。
角度制的度量是60进制的。
有没有一种办法将线段和弧的度量统一起来， 简化计算呢？
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
定义
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的 角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.
弧
度0 6
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
弧
度0 6 4
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
角 度
0。 30。 45。 60。
90。 120。 135。 150。 180。 270。 360。
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
360 2 180
1 0.01745rad
180
1. 角度与弧度之间的转换： (1) 将角度化为弧度：
5.1.2弧度制课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
探究角度3
区域角的表示
[例4] 如图所示.
(1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;
解:(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是
积为
cm2.
解析:因为 150°=150×
所以 l= ×10=
S= lr= ×
= ,r=10,
(cm).
×10=
2
(cm ).
cm,面
= , = ,
解得
或
=
= .
当 r =1,l=8
时,α= =8>2π(舍去),所以 r =4,l=2,
此时α= = (r ad).如图可知 AB=2·r·sin =2×4×sin =8sin (cm).
即时训练3-1:已知扇形AOB的周长为10 cm,求该扇形的面积的最大值及取
5.1.2弧度制
一、复习回顾
1、1°的角是如何定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.
2、在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的圆弧长如何
计算？
n
nr
l 2r
360 180
二、弧度制的定义
※规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
高中数学必修一(人教版)《5.1.2 弧度制》课件
≤ 2
2α00·α4＋4＝25，当且仅当 α＝α4，即 α＝2 时取等号，此时 r＝22＋02＝5.
故当半径为 5 cm，圆心角为 2 rad 时，扇形面积最大，其最大值为 25 cm2.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．在平面直角坐标系中，集合 S＝αα＝2k3π，k∈Z
的元素所表示的角的终
2.弧度数：
[微思考] 比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半 径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算：
4．角度制与弧度制的比较：
用度作为单位来度 单位“°”不能 角的正负与
角度制
量角的单位制 省略
方向有关
六十进制
用弧度作为单位来 单位“rad”可以 角的正负与
【对点练清】
1．终边落在坐标轴上的角的集合是
A．{α|α＝2kπ，k∈Z }
B．αα＝12kπ，k∈Z
()
C．αα＝kπ＋π2，k∈Z
D．αα＝12kπ，k∈N
解析：终边落在坐标轴上的角用“角度”表示为{α|α＝90°·k，k∈Z }，化成
弧度为αα＝12kπ，k∈Z
.
答案：B
2. 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)， 并判断2 012°是不是这个集合的元素． 解：因为 150°＝56π， 所以终边在阴影区域内角的集合为
() B．－130π 化成度是－600° D．1π2化成度是 15°
解析：对于 A,60°＝60×1π80＝π3；对于 B，－103π＝－130×180°＝－600°；对于 C， －150°＝－150×1π80＝－56π；对于 D，1π2＝112×180°＝15°.故 C 项错误． 答案：C
5.1.2弧度制+课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
换算，如何换算？
例1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度.
(1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)−
解：(1)72° = 72 ×
(3)2 = 2 ×
180
180
=
°=
2.5ຫໍສະໝຸດ 3602.
9
180
(2)−300° = −300 ×
°. (4)−
2
9
= (−
2
)
9
=−
180
)°
×(
5.1.2 弧
度
制
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周
角的 .这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
问题1. 与 可以相加吗？为什么？
问题2.由弧长公式 = ∙
可得
=
∙
，这说明角的大
小仅和角所对的弧长与半径的比值有关，我们能用比值 来刻
应；反过来，每一个实数也都有唯一
的一个角(即弧度数等于这个实数的
角)与它对应.
零角
负角
0
负实数
例2.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) = ；
(2) =
1
2 ；
2
(3) =
1
.
2
其中是圆的半径，(0 < < 2)为圆心角，是扇形的弧长，
是扇形的面积.
证明：由公式|| = 可得： = .
扇形的弧长和面积公式：
设扇形的半径为，弧长为，(0 < < 2)为其圆心角，则:
弧长公式
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：5.1.2 弧度制
＝－(r－52)2＋245(0<r<5).
当 r＝52时，S 取得最大值245， 这时 l＝10－2×52＝5， ∴θ＝5r＝55＝2 rad.
2
一、素养落地 1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养. 2.本节课主要讲述角度制与弧度制的互化和利用弧长公式、面积公式解决有关计算
【训练3】 已知扇形AOB的周长为10 cm. (1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数； (2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.
当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值，需把面积S转化为关于半径r的二次函数.
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S， l＋2r＝10，①
解 (1)2 010°＝2 010×1π80＝676π＝5×2π＋76π， 又 π<76π<32π， ∴(2)α与与α76π终终边边相相同同的，角是可第以三写象成限γ的＝角76π.＋2kπ(k∈Z)， 又－5π≤γ<0，
∴当 k＝－3 时，γ＝－269π； 当 k＝－2 时，γ＝－167π； 当 k＝－1 时，γ＝－56π.
人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离 分成100份，每一份为1华氏度，记作“1 ”.按照华氏温标，则水的冰点为32
，沸点为212 .“华氏温标”是经验温标之一.在美国的日常生活中，多采用这 种温标.规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为 180等份，每等份代表1度.华氏温度用字母“F”表示. 摄氏温度(℃)和华氏温度( )之间的换算关系为： 华氏度与摄氏度的进率：华氏度( )＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏 度( )－32)÷1.8.
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人教A版必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制第二课时弧度制《弧度制》教学设计河北省石家庄二中赵春生深入挖掘数学学科的核心价值，树立以发展学生数学学科核心素养为导向的教学意识，将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程——这是我教学设计的根本宗旨。
本节课我教学的重点就是弧度制概念，设计的一大亮点就是由一道探究题目，展开本节课的全部教学内容。
一．教学内容解析弧度制在本章的位置：本节知识结构：《弧度制》是人教A版必修4第一章第一节第二课时的知识内容，教学重点是弧度制的概念。
本节内容起着承上启下的作用，在弧度制下，任意角的集合和实数集建立起一一对应的关系，为三角函数奠定基础。
首先，理解1弧度的角及弧度制的定义；掌握角度和弧度的换算公式；理解任意角的集合和实数集之间一一对应的关系；理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用。
其次，以本节数学知识作为载体，为渗透类比的思想、转化化归的思想、归纳推理的思想、以及数形结合的思想，还有提高数学推理论证能力、几何直观能力、数据处理与数值计算能力都提供了很好的契机。
另外，探究新概念时，树立敢于质疑，善于思考，严谨求实的科学精神；系统的去思考概念产生的必要性，合理性，优越性，概念的内涵和外延；同时，培养学生自主学习习惯，增强同学间相互交流，取长补短，形成良好课堂学习氛围，达到学生主动、全面、健康发展。
三．学生学情分析其一学生熟知角度制，其二学生能体会不同的单位制会给解决问题带来方便，其三学生已经学习了任意角的概念，这是本节课的知识基础。
能力上，学生经过高中半个多学期的数学思维训练，已经具有一定的学习能力和探索意识，本节课要学习和探究的内容都在学生的最近发展区内。
弧度制的概念教学是重点也是难点，力求讲清概念的内涵和外延，分析概念生成的必要性、合理性、优越性。
四．教学策略分析本节课采用问题驱动式教学，学生探究与教师讲授相结合，结合多媒体辅助教学，围绕这样的问题链展开：引发学生探究性思维活动，使学生在思考、讨论、交流中经历每个知识点的产生和发展过程。
分为以下四个教学环节：（一） 创设情境1. 笛卡尔坐标系，莱布尼茨二进制设计意图：让学生更加重视概念。
2.度量长度既有国际公制，又有中国市制，不同的单位制度会给不同环境下解决问题带来方便。
如：我的身高是0.0016公里和我的身高是1.6米。
设计意图：在一个玩笑中把学生带进课堂，并体会不同单位制度的必要性。
3.角的研究，回顾角度制。
设计意图：有人提出，60进制的角度制给运算带来不便，考虑给出新的度量角的单位制度。
给出弧度制引入的必要性。
（二）新课导入1.从180n r l 出发得到180l n r由此可知，弧长与半径的比决定圆心角的大小，欧拉提出：用圆的半径作单位去度量弧。
设计意图：给出弧度制的合理性。
2.规定：1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角，记作1rad.用弧度作为单位来度量角的单位制叫弧度制。
如图所示：动态演示：1弧度角，2弧度角，-3弧度角的生成过程，设计意图：明确给出1弧度角的定义。
借助多媒体，几何直观感受。
（三）探索新知，数学运用1.问：AOB 是多少弧度？生1：先做一个圆，用塑料绳比对弧长，直尺测量弧长长度，计算弧长与半径的比值即l r得弧度。
设计意图：让学生思考，弧度制下，怎样求角？（定义的内涵。
）创设情境 新课导入 探 数 索 学 新 运 知 用 回 巩 顾 固 小 延 结 伸2.规范：l r 设计意图：任意角的概念刚建立，绝对值符号要落实。
3.追问：求角的时候，借助的圆半径大小不同，对所求结果有无影响？ 生1：180180n r ln r r 与半径大小无关。
生2：根据扇形OCE 与扇形ODF 相似可得，CEDF OC OD ，即1212l l r r 师：几何画板演示设计意图：不论是定性、定量还是几何直观，得出共同的结论：同一个圆心角所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个常数，与圆半径的大小无关。
（弧度制的唯一确定性，即合理性。
）师：选取单位圆，数据简单，计算简化，关键是1r 时l ，角的弧度数即弧长，此种转化意义重大。
（定义的外延）设计意图：教给学生学习新的概念时应有的态度和方法，要从内涵外延，必要性、合理性、优越性等多方面深入挖掘理解。
4.追问：AOB 是多少弧度？是否还有其它解决方法？生1：量角器量角度，由180n r l计算弧长，求出l r 既得。
生2：量角器量角度，通过180换算成弧度，或者通过180n r l r 推出180n 发现角度弧度的关系进行转化。
师：1.总结角度与弧度的互化，明确核心公式180，以及变形公式： 180157.310.01745180rad rad rad练习：特殊角的度数与弧度数的对应表：角度的单位不能省略，弧度的单位可以省略.l /r = 2.09AB 的长度 = 7.39厘米r =OA = 3.54厘米O A B弧度制下，任意角的集合和实数集建立了一一对应的关系，即每个角都有唯一的实数与它对应，同时每个实数也都有唯一的一个角与它对应。
这为任意角的三角函数奠定了坚实的基础。
设计意图：①.让学生认识到新旧制度有区别，同时也有联系，是辩证统一的。
关键是找到寻求角度、弧度等量关系的切入点。
如弧长公式，如周角这个特殊时刻。
②.简单练习角度弧度互化。
③.理解任意角的集合和实数集建立了一一对应的关系，从角度到弧度，从六十进制到十进制，弧度制优越性的体现。
2.引导学生推导扇形的公式并总结：设计意图：感受从角度制到弧度制发生的变化，看到弧度制下扇形的弧长公式，面积公式得到了大大简化，这是弧度制优越性的又一个体现。
（四）回顾小结巩固延伸1.学生梳理本节课的收获。
设计意图：帮助学生理清知识结构，掌握内在联系，体会数学思想方法，会对学生构建自己的知识体系有很大帮助。
2.在本节课学习的基础上布置如下作业：①.课本P10中习题6、7、8、9、10题②.拓展作业：请同学们到阅览室或网上查找古今中外角的单位制度的相关知识，整理并相互交流。
设计意图：课堂的拓展与延伸，强化学习效果。
借助数学知识，渗透数学历史和文化。
（五）板书设计1.1.2 弧度制1.弧度制1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角。
例题：2.角度与弧度的互化：3.弧长公式，扇形面积公式：六．课堂目标检测1.72,10530,,12试比较,,的大小。
2.用弧度表示：（1）终边在x轴上的角的集合；（2）终边在y轴上的角的集合；3.分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m的圆中，60的圆心角所对的弧的长度（可用计算器）。
由生长点，自然生成，呈现了一节有生命力的课堂-------点评：石家庄二中赵春生老师的《弧度制》石家庄二中杨帆认真观摩《弧度制》这节课，深刻感受到这堂课设计新颖，脉络清晰，恰当的组织活动和应用信息技术，紧紧抓住弧度制这个概念作为生长点，探究一个问题作为生成线，激发出学生的思维，是一节有生命力的概念课。
一、引入自然，深刻挖掘概念的本真本节课是从一句朴素的话语“我的身高是0.0016公里”开始，看似随意，其实是用心设计，拉近了和学生之间的距离，产生了好奇心，同时也潜意识的引出了本节课所要讨论的话题，与单位的度量制有关。
很亲切、自然地切入主题，简单明朗，通俗易懂，将学生带入课堂。
概念课的教学，在我们以往的课堂上不够重视。
传统意义上的教学是一个概念，几项注意，抓紧时间反复操练起来！舍不得花时间去搞清概念的源头和背景，严重违背了我们新形势下的《数学课程标准》。
《课标》强调提高从数学角度发现和提出问题的能力，发现问题往往比证明结论更重要，比刷更多的题更重要！在《课标》的指引下，本节课重点探讨了概念产生的必然性、合理性、优越性以及概念本身的内涵和外延。
从学生已有的认知，角度制下的弧长公式出发，提出决定角的变量与之的对应关系，180lnrπ=⋅，让学生明白了角度是可以由一个定圆中的弧长来度量的。
也隐约的感受到与大数学家欧拉和数学老师汤姆生的想法是多么的接近，激发学生对数学文化和数学历史的强烈兴趣和探究欲望！二、注重过程体验，引导学生用数学的思维来思考问题本节课最大的亮点是巧妙的设计了一个问题，不断追问，环环相扣。
看似平淡的问题，实则蕴含了执教者的智慧。
一方面对概念的进一步认识和理解；另一方面学生对于角的认识，在角度制和弧度制两种不同的度量制度下产生了碰撞。
问题是这样的：在事先准备的图纸上，画出了一个指定的角，请问：AOB是多少弧度？最大限度地调动学生的思考力，学生经历动手操作、类比归纳、演算推理等思维过程。
讨论成为一种应该有的常态，讨论很充分，生成的东西很有价值，角度与弧度之间的转化，呼之欲出，水到渠成，顺势而为之！这一点比直接教给学生知识更重要！《课标》中指出情景创设和问题设计要有利于发展数学学科核心素养，数学学科核心素养是“四基”的继承和发展。
这一节课，在引导学生对于概念的认识和理解，积累数学基本活动经验，促进学生核心素养的提升，有一定的独特之处。
三、教学讨论，不足之处弧度制的产生最大的意义是为三角函数定义做准备的，三角函数要成为真正意义上的函数，就必须用实数来刻画角的大小，建立实数与实数的对应，又因为lr比值确定弧度制下的角，可以接受将单位“弧度”两字省略掉，是一种自然的事，而课堂在这个环节上讲解略显突兀，强调的力度上有些单薄；另外，因为借班上课，对学生的了解不是特别清楚，在课堂上出现一问齐答的形式过多，有些不连贯，有脱节现象。
赵老师这一节课，将是她教学生涯一次难忘的经历，相信她收获满满。
但愿我们青年数学教师通过类似活动，不断磨砺，不断成长！正如章建跃博士常说：教学的春天就要到来！我们期待着并为之努力！。