高中数学必修4三角函数常考题型：弧 度 制

弧度制【知识梳理】1．角度制与弧度制(1)角度制．①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的1360作为一个单位．(2)弧度制．①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.4．弧度与角度的互化设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则【常考题型】题型一、角度与弧度的换算【例1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.[解] (1)72°＝72×π180＝2π5；(2)－300°＝－300×π180＝－5π3；(3)2＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°； (4)－2π9＝－⎝⎛⎭⎫2π9×180π°＝－40°. 【类题通法】角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数．【对点训练】已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3. (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角． 解：(1)α1＝－570°＝－570π180＝－19π6，α2＝750°＝750π180＝25π6.∵α1＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝25π6＝2×2π＋π6， ∴α1是第二象限角，α2是第一象限角． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝k ·360°＋108°(k ∈Z )， 则由－720°≤θ<0°，得－720°≤k ·360°＋108°<0°(k ∈Z )， 解得k ＝－2或k ＝－1， ∴在－720°～0°范围内，与β1有相同终边的角是－612°和－252°； β2＝－π3＝－13×180°＝－60°，设γ＝k ·360°－60°(k ∈Z )，则由－720°≤k ·360°－60°<0°(k ∈Z )， 得k ＝－1或k ＝0， ∴在－720°～0°范围内，与β2有相同终边的角是－60°和－420°.题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用【例2】 (1)已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________． (2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？(1)[解析] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由圆心角为2 rad ，依据弧长公式可得l ＝2r ，从而扇形的周长为l ＋2r ＝4r ＝8，解得r ＝2，则l ＝4.故扇形的面积S ＝12rl ＝12×2×4＝4 cm 2.[答案] 4 cm 2(2)[解] 设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是lR＝2(π－1)， 扇形的面积是12Rl ＝(π－1)R 2.【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，r 是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度． 【对点训练】已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则l ＋2r ＝30，故l ＝30－2r ，从而S ＝12lr ＝12(30－2r )r ＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254⎝ ⎛⎭⎪⎫15π＋1<r <15，所以，当r ＝152 cm 时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm 2.题型三、用弧度制表示角的集合【例3】 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．[解] (1)如图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧θ⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . (2)如图②，∵30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z . 【类题通法】用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z }；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝α＋k ·π2，k ∈Z . 在进行区间的合并时，一定要做到准确无误． 【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y ＝－x 上的角的集合．解：在0到2π范围内，终边落在直线y ＝－x 上的角有两个，即34π和74π，所有与34π终边相同的角构成的集合为S 1＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝34π＋2k π，k ∈Z ，所有与74π终边相同的角构成的集合为S 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝74π＋2k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫α＝34π＋(2k ＋1)π，k ∈Z ，∴终边落在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝αα＝34π＋n π，n ∈Z .【练习反馈】1．下列命题中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析：选D 根据角度制和弧度制的定义可以知道，A 、B 是正确的；1 rad 的角是⎝⎛⎭⎫180π°≈57.30°，故C 也是正确的；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小都与圆的半径无关，故D 错误．2．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－52π的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．3．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．解析：－135°＝－135×π180＝－34π；113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°4．把角－690°化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． 解析：法一：－690°＝－⎝⎛⎭⎫690×π180＝－236π. ∵－236π＝－4π＋π6，∴－690°＝－4π＋π6.法二：－690°＝－2×360°＋30°，则－690°＝－4π＋π6.答案：－4π＋π65．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1.解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.。