高中数学 第四章 弧度制(2)教案

4.2弧度制（二）
教学目的：
1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．
2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系． 教学重点：运用弧度制解决具体的问题． 教学难点：运用弧度制解决具体的问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 r
l
=
α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同
⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同 2. 角度制与弧度制的换算：
∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad
∴ 1︒=
rad rad 01745.0180
≈π
'185730.571801ο
οο
=≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πrad
在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系
任意角的集合 实数集R
5．初中学过的弧长公式、扇形面积公式：180
r
n l π=；3602R n S π=扇
二、讲解新课：
1．弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=
r l α α⋅=r l 比公式180
r
n l π=
简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2．扇形面积公式 lR S 21
= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径
证：如图：圆心角为1rad 的扇形面积为：221
R ππ
o
R S
l
弧长为l 的扇形圆心角为
rad R
l
∴lR R R l S 2
1212=⋅⋅=
ππ 比较这与扇形面积公式 360
2
R n S π=扇 要简单
三、讲解范例：
例1．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m 解： ∵ 3
60π=ο
∴ )(471514.3453
m R l ≈⨯≈⨯=
⋅=
π
α
例2．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角
是1弧度，求该扇形的面积
解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有
⎩⎨
⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22162l r r
l l r ∴ 扇形的面积2
)(221cm rl S ==
例3 计算4
sin π
和5.1tan
解：∵
ο454
=π
∴ 2
245sin 4
sin
=
=οπ
'578595.855.130.571.5rad οο==⨯=•
∴ 12.14'5785tan 5.1tan ==ο
例4 将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式
⑴
π319
⑵ ο315- 解： ππ
π63
319+=
ππ
24
36045315-=
-=-οοο
o
A
B
例5 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴3
4π ⑵ ο
165 解： cm r 10= ⑴ )(3
401034cm r l ππα=⨯=
⋅= ⑵ rad rad 1211)(165180165ππ=⨯=ο
∴)(6
55101211cm l ππ=⨯=
例6 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数．
解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ，
由题意：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+62
1102r l r l ⇒0652
=+-r r
∴ ⎩⎨
⎧==62l r 或⎩⎨⎧==4
3l r ∴ r l =α=3 或34
四、课堂练习：
1.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 2.时钟经过一小时，时针转过了( ) A.
6π rad B.－6
π
rad C. 12πrad D.－
12
π
rad 3.一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )
2
22
2)1cos 1sin D.(1 2
1
.1cos 1sin 21B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R -- 4.圆的半径变为原来的
2
1
，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来 的 倍.
5.若α＝－216°，l ＝7π，则ｒ＝ (其中扇形的圆心角为α，弧长为l ，半径为r ).
6.在半径为π
30
的圆中，圆心角为周角的
3
2
的角所对圆弧的长为 .
参考答案：1.B 2.B 3.D 4.2 5.
6
35
6.40 五、小结：用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 六、课后作业：
1.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的比为( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶2 D.1∶8
2.在半径为1的单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则弦AB 所对圆心角
α是( )
A.α＝3
B.α＜3
C.α＝
3
2π
D.α＝120 3.下列命题中正确的命题是( )
A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比是1∶2
B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D.任意角的集合可以与实数集R 之间建立一种一一对应关系
4.时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了 弧度.
5.已知扇形AOB 的面积是1 cm 2
，它的周长是4 cm ，则弦AB 的长等 于 cm.
6.已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，则扇形所含弓形的面积为 .
7.2弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积. 8.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L 最小?
9.在时钟上，自零时刻到分针与时针第一次重合，分针所转过角的弧度数是多少?
参考答案：1.C 2.C 3.D 4.－3
π
5.2sin1
6.12π－93
7.1
sin 12
8.2 9.－1124π
七、板书设计（略）
八、课后记：
一个扇形OAB 的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB 和弦AB 的长.
分析：欲求∠AOB ，需要知AB 的长和半径OA 的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能
比较容易地求得，之后在△AOB 中求弦AB 的长.作OM ⊥AB 交AB 于M ，则
AB BM AM 2
1
=
=，在Rt △AMO 中求AM . 答案：∠AOB ＝2 rad ，AB ＝2sin1 cm.。