2021年上海市崇明区中考数学一模卷(配答案)
九年级数学 共6页 第1页崇明区2020学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知线段a 、b 、c 、d 的长度满足等式ab cd =，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误．．的是（ ▲ ）(A)a cb d=； (B)a d c b=； (C)b dc a=； (B)b c d a=． 2．已知点G 是△ABC 的重心，如果联结AG ，并延长AG 交边BC 于点D ，那么下列说法中错误．．的是（ ▲ ）(A)BD CD =；(B)AG GD =；(C)2AG GD =；(D)2BC BD =．3．已知a 和b 都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ▲ ）(A)a b =；(B)2a b +=；(C)0a b −=；(D)2a b +=．4．在△ABC 中，90C =︒∠，如果8AC =，6BC =，那么A ∠的正弦值为（ ▲ ）(A)35；(B)45； (C)34； (D)43．5．抛物线2()y a x k k =−+的顶点总在（ ▲ ）(A)第一象限；(B)第二象限；(C)直线y x =上；(D)直线y x =−上．6▲ ）(A)3；(B)4；(C)5；(D)无法确定．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知53x y =，那么x yy−= ▲ ． 8．已知线段6AB =cm ，点C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，那么线段AC 的长为 ▲ cm ． 9．如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4，那么这两个三角形的面积比为 ▲ ． 10．计算：2(2)3(2)a b a b −++= ▲ ．九年级数学 共6页 第2页11．如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度1:3i =，那么这段斜坡的铅垂高度为 ▲ 米． 12．已知锐角△ABC 中，5AB =，7BC =，4sin 5B =，那么C =∠ ▲ 度． 13．函数2245y x x =+−的图像与y 轴的交点的坐标为 ▲ ．14．如果将抛物线2(1)y x =−先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为 ▲ ．15．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的弧与x 轴交于A 、B 两点，已知点P 的坐标为(1,)y ，点A 的坐标为()1,0−，那么点B 的坐标为 ▲ ．16．如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为 ▲ 厘米．17．我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”，相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD 中，AB AC AD ==，则2AC AB AD =⋅，所以四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是闪亮对角线，AB 、AD 是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形ABCD 中，AC 是闪亮对角线，AD 、CD 是对应的闪亮边，且90ABC ∠=︒，60D ∠=︒，4AB =，2BC =，那么线段AD 的长为 ▲ ．18．在△ABC中，AB =，45B ∠=︒，60C ∠=︒．点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC上，连结DE ，沿直线DE 将△ADE 折叠得到A DE '△．连结AA '，当A E AC '⊥时，则线段AA '的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：22cos30cot 45tan 60sin 452sin 30︒+︒︒+−︒︒．第15题图xy第17题图1CDAB第17题图2C DAB九年级数学 共6页 第3页20．（本题满分10分，第(1)小题4分，第(2)小题的6分）如图，已知△ABC 中，DE BC ∥，2AD =，4DB =，8AC =． （1）求线段AE 的长； （2）设BA a =，BC b =．①请直接写出向量AE 关于a 、b 的分解式，AE = ▲ ； ②联结BE ，在图中作出向量BE 分别在a 、b 方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】21．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）如图，已知O ⊙O ⊙中，OA 、OB 都是圆的半径，且OA OB ⊥． 点C 在线段AB 的延长线上，且OC AB =． （1）求线段BC 的长； （2）求∠BOC 的正弦值．22．（本题满分10分，第(1)小题6分，第(2)小题4分）ACBDE第20题图第21题图为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告：在P处南偏东30︒方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留．海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60︒方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30︒方向上．（1）B、P两处间的距离为▲海里；如果联结图中的B、Q两点，那么BPQ△是▲三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它▲【填“能”或“不能”】到达Q处；（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？23．（本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AED ABC∠=∠，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：ABE ACD∠=∠；（2）如果ED EC=，求证：22DF EFBD EB=．A B QP60°30°30°第22题图第23题图ACEDBF九年级数学共6页第4页九年级数学 共6页 第5页24．（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题4分）如图，已知对称轴为直线1x =−的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(1,0)． （1）求点B 的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P ，对称轴与线段BC 的交点为Q ，将线段PQ 绕点Q ，按顺时针方向旋转120︒，请判断旋转后点P 的对应点P '是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x 轴上是否存在点M ，使△MOC 与△BCP 相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M 的坐标【不必书写求解过程】.第24题图 x第24题备用图x九年级数学 共6页 第6页25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =．点D 为斜边AB 的中点，ED ⊥AB ，交边BC 于点E ．点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：△ADP ∽△EDQ ；（2）设AP x =，BQ y =．求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）联结PQ ，交线段ED 于点F ．当△PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．AD BCP EQ第25题图AD BCP EQ 第25题备用图F九年级数学 共6页 第7页崇明区2020学年第一学期教学质量调研测试九年级数学参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. A2. B3. D4. A5. C6. B 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.238. 3 9. 1﹕16 10. 8a b − 11. 4 12. 45 13. (0,5)− 14. 2(1)1y x =++15. (3,0) 16. 3 17. 18.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式22+12(1222−⨯--------------------5分（每个三角比的值各1分）12−----------------------------3分（后3个数据，每个各1分）=12---------------------------------2分（每个数据各1分）20．（本题满分10分，第(1)小题4分，第(2)小题的6分） 解：（1）∵DE ∥BC ，∴AE ADAC AB=------------------------------2分 ∵AD =2，DB =4，AC =8，∴282+4AE = ∴AE =83----------------------------------------------2分 （2）①1133b a −-------------------------------------------2分 ②图形正确---------------------------------4分（每个分向量各2分） 21．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）解：（1）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ---------------------------1分 ∵OA ⊥OB ，OA =OBAB =2----------------------1分 ∵OH ⊥AB ，OH 过圆心O ，∴BH =12OB =1----------------1分 ∴OH =1，∴CH1分九年级数学 共6页 第8页∴BC1-------------------------------------------1分 （2）过点B 作BD ⊥OC ，垂足为D ----------------------------1分 ∵Rt △OHC 中，OH =12OC ，∴∠C =30°-------------------1分 ∴BD =12BC------------------------------------1分 ∴sin ∠BOC=1BDOB=------------------------------1分 ∴sin ∠BOC=4----------------------------------1分 22．（本题满分10分，第(1)小题6分，第(2)小题4分）解：（1）14；等边；能-----------------------------------6分（每个答案各2分） （2）过P 作PH 垂直于直线AB ，垂足为H ---------------------1分 根据题意得：∠BPH =30°，BP =14，∴PH =14=1分∵，-------------------1分所以，海监船继续向正东方向航行是安全的.---------------1分 23．（本题满分12分，第(1)小题6分，第(2)小题6分）证明：（1）∵∠AED =∠ABC ，∠A =∠A ，∴△AED ∽△ABC ----------2分 ∴AEADAB AC =----------------------------------------1分 ∴AEABAD AC=----------------------------------------1分 又∵∠A =∠A ，∴△ABE ∽△ACD -----------------------1分∴∠ABE =∠ACD -------------------------------------1分（2）∵ED =EC ，∴∠EDC =∠ECD ---------------------------1分又∵∠ABE =∠ACD ，∴∠EDF=∠DBE ------------------1分 又∵∠DEF =∠BED ，∴△DEF ∽△BED -----------------1分∴DF EF BD DE =；DF DEBD BE=---------------------2分(两个比例式各1分) ∴22DF EFBD EB=---------------------------------------1分 24．（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题4分） 解：（1）∵对称轴为直线1−=x ，A 的坐标为（1，0）九年级数学 共6页 第9页∴点B 的坐标为（3−，0）-----------------------------2分把（1，0）、（3−，0）代入32++=bx ax y ，得：0=30933a b a b ++⎧⎨=−+⎩，解方程组得：12a b =−⎧⎨=−⎩∴抛物线的表达式为：223y x x =−−+------------------2分 （2）∵223y x x =−−+=2(1)+4x −+∴点P 的坐标为（1−，4）-----------------------------1分记对称轴与x 轴的交点为H ， 则223QH OC ==， ∴PQ =2-----------------------------------------------1分 过P '作P G '⊥PQ ，垂足为G 则易求得P G '∴点P '1，1）---------------------------1分把1x =代入223y x x =−−+，得：1y =∴点P '还在抛物线上------------------------------------1分 （3）点M 的坐标为（1−，0）或（1，0）或（9−，0）或（9，0）-----------------------------4分（每个坐标各1分）25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）解：（1）证明：∵ED ⊥AB ，PD ⊥QD ，∴∠ADP =∠EDQ=90°—∠PDE ------1分 ∵∠ACB= 90°，ED ⊥AB ，∴∠A =∠DEQ=90°—∠B --------------1分∴△ADP ∽△EDQ ----------------------------------------------2分 （2）∵∠ACB= 90°，AC =6，BC =8，∴AB =10，tan B =34∵点D 为AB 的中点，∴AD = DB= 5∴DE =154，BE =254----------------------------------2分(每个值个1分) ∵△ADP ∽△EDQ ，∴EQ DEAP AD=，即2515445x =∴32544y x =−+----------------------------------------------2分定义域：0≤x ≤253--------------------------------------------1分（3）∵ED ⊥AB ，PD ⊥QD ，∴∠PDE =∠QDB=90°—∠EDQ九年级数学 共6页 第10页∵tan ∠QPD =34DQ DE PD AD ==，∴∠QPD=∠B ∴△ADP ∽△EDQ -----------------------------------------------1分①当PD=PF 时，BD=BQ∴5y =，即325544x −+=，∴53x =-------------------------1分 ②当FP=FD 时，QD=QB ，∴12BQ BE =∴258y =，即32525448x −+=，∴256x =----------------------1分③当DP=DF 时，DQ=DB=DC ，即点Q 在点C 处，∴点P 不在射线AC 上，舍去. --------------------------------1分 综上所述，AP 的长为53或256------------------------------------1分。
2024届上海市崇明区初三一模数学试题及答案
上海市崇明区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.如果两个相似三角形的周长之比为1:4，那么它们对应边之比为（）.A 1:2；.B 1:4；.C 1:8；.D 1:16．2.在直角坐标平面内有一点 5,12A ，点A 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角为 ，那么tan 的值为（）.A 5；12；5；12．3..A 23x ．4..A .2a c ，//b c ．5.在）.A .C 6.）.A 7.8.计算：53222a b a b．9.如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP ），那么APAB的值是．10.在Rt ABC 中，90C ，8AC ，4sin 5B，那么AB 的长为．11.如果抛物线 21y m x m 经过原点，那么该抛物线的开口方向为．（填“向上”或“向下”）12.已知一条抛物线的对称轴是直线1x ，且在对称轴右侧的部分是上升的，那么该抛物线的表达式可以是.（只要写出一个符合条件的即可）第13题图第14题图13.如图，已知////AD BE CF ，它们与直线1l 、2l 依次交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，如果35EF DF ，10AB ，那么线段BC 的长是．14.19AEF BFC S S，AD 15.16.，如果3AP ，BP 17.AD 上的点G 18.定义：与 90ACB ，CD 是的余切值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：2sin 60cos 45cot 303tan 30．第15题图第20题图如图，已知在ABC 中，18BC ，点D 在边BC 上，//DE AB ，94DE AB ．（1）求BD 的长；（2）联结AD ，设AB a ，AC b ，试用a 、b 表示AD．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知二次函数2246y x x ．（1）用配方法把二次函数2246y x x 化为 2y a x m k 的形式，并指出这个函数图像的对称轴和顶点坐标；（2）如果该函数图像与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，O 为坐标原点，求四边形ADCO 的面积．第21题图第23题图如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡BM的坡度i D 处有一棵树AD （假设树AD 垂直水平线BN ），在坡底B 处测得树梢A 的仰角为45 ，沿坡面BM 方向前行30米到达C 处，测得树梢A 的仰角ACQ 为60 （点B 、C 、D 在一直线上）．（1）求A 、C 两点的距离；（2）求树AD 的高度（结果精确到0.11.732 ）23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，E 是边BC 上一点，AE 与对角线BD 相交于点F ，且2BEEF AE ．（1）求证：DAB AFB ∽；（2）联结AC ，与BD 相交于点O ，若AB OB BC AF ，求证：2AF OD BF ．第22题图第24题图备用图24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）①小题4分，第（2）②小题4分）已知在直角坐标平面xOy 中，抛物线2y ax bx c （0a ）经过点 1,0A 、 3,0B 、 0,3C 三点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点D 是点C 关于抛物线对称轴对称的点，联结AD 、BD ，将抛物线向下平移m （0m ）个单位后，点D 落在点E 处，过B 、E 两点的直线与线段AD 交于点F （F 不与点A 、D 重合）．①如果2m ，求tan DBF 的值；②如果BDF 与ABD 相似，求m 的值．第25题图2备用图第25题图125.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知Rt ABC 中，90ACB ，3AC ，5AB ，点D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），点F 是边BC 上的一点，且满足CDF A ，过点C 作CE CD 交DF 的延长线于E ．（1）如图1，当//CE AB 时，求AD 的长；（2）如图2，联结BE ，设AD x ，BE y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）过点C 作射线BE 的垂线，垂足为H ，射线CH 与射线DE 交于点Q ，当CQE 是等腰三角形时，求AD 的长．九年级数学共6页第1页崇明区2023学年第一学期期末质量调研九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ;2.D 3．C 4．A 5．C6．B二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．47；8．3a b ；9．12；10．10；11．向下；12.21y x （）（答案不唯一）；13.15；14.5；15.16.163；17.；18.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式=2()2………………………………………………………（8分）.……………………………………………………………………………（2分）20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵DE AB ∥，94DE AB ∴49DE CD AB BC ……………………………………………………………………（2分）∵18BC ，∴4189CD ，解得：10CD ，……………………………………………………（1分）∴18810BD BC CD .……………………………………………………（2分）（2）∵AB a ,b AC，∴-BC AC AB b a.………………………………………………………………（2分）又∵49CD BC ，DC 与BC 同向，九年级数学共6页第2页∴444999DC BC b a，…………………………………………………………（1分）∴.4445()9999AD AC CD AC DC b b a a b…………………（2分）21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）2246y x x 2226x x （）……………………………………………………………（1分）22218x x （）…………………………………………………………（1分）2218x （）……………………………………………………………（1分）∴对称轴为直线1x ，顶点坐标为1,8 （-）.………………………………（2分）（2）由（1）得18D （，）.令0y ，则22460x x ，解得：13x ，21x ，∴0A （-3，），则AO=3.……（1分）令0x ，则6y ，∴06C （，），则OC=6.……（1分）联结OD .，则：1122AOD DOC ABDC D D S S S AO y OC x△△四边形………………………………（1分）1138611522…………………………………（2分）22．（本题满分10分，第(1)小题5分，第(2)小题5分）解:（1）根据题意可知：∠ABN=45°，∠ACQ=60°，BC =30米.∵小山的斜坡BM的坡度tan i MBN ，∴∠MBN=30°=∠MCQ ，………（1分）∴∠ABC=15ABN MBN ∠∠，∠ACM=30ACQ MCQ ∠∠…………………（2分）∵∠ABC +∠BAC=∠ACM ，∴∠BAC=30°-15°=15°=∠ABC …………………………（1分）∴AC=BC=30米，即A 、C 两点的距离为30米.………………………………………（1分）（2）延长AD 交CQ 于点H ，则∠AHC=90°.在t R ACH △中，30AC ，∠ACQ=60°，∴sin 6030AH AC ，1cos6030152CH AC.……………（2分）在Rt DCH △中，9CH ，∠DCH=30°，BN九年级数学共6页第3页∴tan 3015DH CH …………………………………………………（1分）∴17.3AD AH DH （米）………………………………………………（2分）答：A 、C 两点的距离为18米，树AD 的高度约为17.3米.23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）证明：（1）∵2BE EF AE ，∴BE AE EF BE ，又∵BEF AEB ，∴BEF AEB △∽△，…………………………………………………………（2分）∴EBF BAE .……………………………………………………………（1分）∵AD ∥BC ，∴ADB EBF ，……………………………………………………………（1分）∴BAE ADB ，……………………………………………………………（1分）又∵ABF ABD ，∴DAB AFB △∽△.……………………………………………………………（1分）（2）∵AB OB BC AF ，∴AB AFBC OB，又∵BAF OBC ，∴ABF BCO △∽△，……………………………………………………………（2分）∴AFB BOC =，∴AFO AOF =，∴AF AO .………………………………………………………………………（1分）∵BOC AOD =，∴AFB AOD =，又∵BAF ADO =，∴BAF ADO △∽△，………………………………………………………………（1分）∴AO ODBF AF，即AO AF OD BF ，………………………………………（1分）∵AF AO ，∴2AF OD BF .…………………………………………………（1分）24.（本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题的①满分4分，第(2)小题的②满分4分）解：（1）∵抛物线2y ax bx c （0a ）经过点A （-1,0），3,0B （），0,3C （），九年级数学共6页第4页∴-09303a b c a b c c ，解方程组得：123a b c.………………………………………（3分）∴抛物线的表达式为：223y x x ………………………………………………（1分）（2）由222314y x x x （），得抛物线对称轴为直线1x .∵点D 是点0,3C （）关于抛物线对称轴对称的点，∴2,3D （）…………………………（1分）过点D 作DH x 轴，垂足为点H ，则H （2,0）∴DH=AH=3，BH=1，∴45ADH DAH .当DE=m=2时，EH=1=BH ，∴Rt EBH BE 在中，，45EBH BEH ，∴90DFB FAB FBA ∠…………………………（1分）在t R DEF △中，DE=2，45ADH ∴EF=sin 45DE =DF ，∴BF=EF+BE=在t R DBF △中，1tan 2DF DBF BF .……………………………（2分）（3）如果BDF △与ABD △相似∵ADB 是公共角，1方法一：若DBF DAB ，则DFB DBA△∽△∴DF BD BD AD，则，解得：DF （1分）过点F 作FG DH ，垂足为点G ，则FG AB ∥.∴FG EGBH EH……………………………………（1分）在t R DFG △中，45ADH ，∴53DG FG，∴53EG m ，又3EH m ，∴553313m m，解得：52m .……（1分）；方法二：若DBF DAB ，则DFB DBA △∽△，可得∠DBF =∠DAB=45°九年级数学共6页第5页利用上一题结论，可证明1tan 2EBH ………………………（1分），在t R EHB △中，1tan 2EH EBH BH ，得12EH ………………………（1分）解得52m………………………（1分）;②若DFB DAB ，此时F 与A 重合，即△BDF 和△ABD 全等，即3m ……（1分）.25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）解：在t R ABC △中，3AC ，5AB ，∴4BC ，3cos 5AC A AB .……………（1分）（1）∵CE CD ，∴90DCE .………（1分）∵CE ∥AB ，∴90ADC DCE …（1分）在t R ADC △中，39cos 355AD AC A……（1分）（2）∵90ACB DCE ，∴ACD BCE∵A ACD CDB ,即A ACD CDF FDB ∵CDF A ，∴ACD FDB ，∴FDB BCE ，又∵DFB CFE ，∴△DFB ∽△CFE ，………………………（1分）∴DF BFCF EF，∴DF CFBF EF，又∵CFD EFB ，∴△DFC ∽△BFE ，………………………………………………………………（1分）∴CDF EBF ，∵CDF A ∴A EBF ，∵ACD BCE ，∴△ACD ∽△CBE ，………………………………………………………………（1分）∴AC ADBC BE∵AD=x ，BE=y ，∴34x y，得：43y x.……………………………………………………………………（1分）EABE AB九年级数学共6页第6页定义域：05x .……………………………………………………………（1分）（3）∵A EBF ，∴90A ABC EBF ABC ∠∠，即90DBE ∠.∵CH ⊥BE ，∴∠CHB=90°.在t R CHB △中，4BC ，312cos cos 455BH BC CBE BC A ，165CH.若△CQE 是等腰三角形，①点Q 在线段DE 的延长线上时∵在t R CDE △中，∠CED <90°，∴∠CEQ>90°，∴只有EC=EQ 一种情况.∵CH ⊥BE ，∴165QH CH .∵90DBE CHB ∠∠，∴CQ ∥AB ，∴QH EHBD BE，∴1612555y x y ，即16124553453xx x，解得：x=1或x=9（舍去），∴AD=1………………………………………………（2分）②点Q 在线段DE 上时∵∠CQE>90°，∴只有QC=QE 一种情况.∴∠QCE=∠QEC ，∵在t R CDE △中，90CDE DEC ∠，90ECQ DCQ ∠∴∠QCD=∠QDC ，∴QC=QD ，∴QE=QD ，∵CH ∥AB ，∴EH=BH=125，∴BE =245，即42435x ，解得：185x ，…………………………………………（2分）∴185AD.以上分类讨论的情况正确，有判断过程…………………（1分）综上所述：当△CQE 是等腰三角形时，AD 的长为1或185.。
2021年上海中考一模数学试卷 第17、18、23题汇编
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2021年上海市宝山区初三一模数学试卷2021年上海市奉贤区初三一模数学试卷2021年上海市嘉定区初三一模数学试卷2021年上海市虹口区初三一模数学试卷2021年上海市黄浦区初三一模数学试卷2021年上海市静安区初三一模数学试卷2021年上海市崇明区初三一模数学试卷2021年上海市普陀区初三一模数学试卷2021年上海市松江区初三一模数学试卷2021年上海市徐汇区初三一模数学试卷2021年上海市杨浦区初三一模数学试卷2021年上海市浦东新区初三一模数学试卷
AC=BC，
2021年上海市浦东新区初三一模数学试卷。
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题03 三角形(解析版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题03 三角形一、单选题1．（2021·上海崇明区·九年级一模）已知点G 是ABC 的重心，如果连接AG ，并延长AG 交边BC 于点D ，那么下列说法中错误的是（ ）A ．BD CD =B ．AG GD =C ．2AG GD = D ．2BC BD =【答案】B【分析】根据三角形重心的定义和性质解答即可．【详解】解：∵点G 是ABC 的重心，∵BD CD =，2AG GD =，2BC BD =，∵A 、C 、D 正确，B 错误，故选B ．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．2．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（ ）A ．53B ．73C ．83D ．103【答案】C【分析】因为点G 是ABC 的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1，可知点D 为BC 的中点，21AG GD =，根据GE AC ⊥，可得90AEG ∠=︒，进而证得AEG △∵ACD △，从而得到EG AG CD AD=，代入数值即可求解． 【详解】如图，连接AG 并延长交BC 于点D ．点G 是ABC 的重心，∴点D 为BC 的中点，21AG GD =， 8CB =，∴142CD BD BC ===，GE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，90C ∠=︒，∴90AEG C ∠=∠=︒，EAG CAD ∠=∠（公共角），∴AEG △∵ACD △， ∴EG AGCD AD =，21AG GD =，∴23AG AD =，∴243EG AG AD ==，∴83EG =．故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD 中，AB AC ==32AD CD ==，点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．如果AC 是凸四边形ABCD 的相似对角线，那么EF 的长等于_________．【答案】4【分析】根据相似三角形的判定及性质可得BC ，ACB CAD ∠=∠，继而可证//BC AD ，根据等腰三角形三线合一性质可得CF ＝BF ＝12BC ＝1，34AE =，∵AFC ＝∵FAE ＝90°，继而在Rt∵AFC 中，根据勾股定理可得AF ，继而在Rt∵AEF 中，由勾股定理即可求解．【详解】解：∵AB AC =，DA DC =，∵ABC DAC △∽△∵2AC BC AD =⋅，ACB CAD ∠=∠，∵AB AC ==32AD CD ==， ∵2BC =，又ACB CAD ∠=∠，∵//BC AD ，∵AB ＝AC又点E 、点F 分别是边AD ，边BC 上的中点．∵AF∵BC ，AF∵AD ，CF ＝BF ＝12BC ＝1，34AE =， 即∵AFC ＝∵FAE ＝90°，在Rt∵AFC 中，由勾股定理，得：AF ===∵在Rt∵AEF 中，由勾股定理，得：4EF ===．【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是求出综合利用所学知识求得BC ，AF 的长度．4．（2021·上海黄浦区·九年级一模）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6．则该三角形的重心到其直角顶点的距离是________．【分析】根据题意，画出图形，如解图所示，连接CO 并延长交AB 于点D ，利用勾股定理求出AB ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD ，再利用三角形重心的性质即可求出结论．【详解】解：Rt∵ABC 中，∵ACB=90°，AC=6，BC=3，点O 为三角形的重心，连接CO 并延长交AB 于点D ，，CD 为∵ABC 的中线，∵CD=12AB∵O 为∵ABC 的重心，∵该三角形的重心到其直角顶点的距离CO=23 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和重心的定义及性质，掌握勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和重心的定义及性质是解题关键．5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知AD 、BE 是ABC 的中线，AD 、BE 相交于点F ，如果AD=3，那么AF=______．【答案】2【分析】由三角形的重心的概念和性质，由AD 、BE 为∵ABC 的中线，且AD 与BE 相交于点F ，可知F 点是三角形ABC 的重心，根据重心的特点即可求解．【详解】∵AD 、BE 是ABC 的中线，AD 、BE 相交于点F ，∵F 点是三角形ABC 的重心， ∵AF=23AD=23×3=2。
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题15 几何综合(解答题25题压轴题)(逐题详解版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ． （1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值；（3）当AG AE =时，求CD 的长．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG．（1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求∠MFC的面积；（2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果）3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ．（1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S 与ECF S 的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD 的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数；()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DF AB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切；（3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．13. （2021虹口一模）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．14.（2021宝山一模） 如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．15. （2021松江一模）如图，已知在等腰ABC 中，AB AC ==，tan 2ABC ∠=，BF AC ⊥，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG 4=，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和ABC 相似，求线段BD 的长．16.（2021嘉定一模）在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2DAE ∠=.点F 是线段AE 上一点，联结BF ，CF .（1）如图11，如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长； （2）如图12，如果12CF BC =， ①求证：∠CFE =∠DAE ；②求线段EF 的长.2021年上海市16区中考数学一模汇编专题15 几何综合（解答题25题压轴题）1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，12AC =，5BC =，点D 是边AC 上的动点，以CD 为边在ABC 外作正方形CDEF ，分别联结AE 、BE ，BE 与AC 交于点G ．（1）当AE BE ⊥时，求正方形CDEF 的面积；（2）延长ED 交AB 于点H ，如果BEH △和ABG 相似，求sin ABE ∠的值； （3）当AG AE =时，求CD 的长．【答案】（1）494；（2）119169；（3． 【分析】（1）利用勾股定理求出AB 的长，设CD=x ，则AD=12-x ，利用勾股定理得出13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，求出x 的值，再利用正方形的面积公式求解即可；（2）先证∠BAC=∠EBF ，设边长为x ，利用三角函数求出x 的值，再求∠ABE 的正弦值即可；（3）设边长为x ，利用∠BCG∠∠EDG ，得出5DE DG x BC GC ==，然后联立512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，根据AG=AE ，求解即可．【详解】解：（1）Rt∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，13= ，设CD=x ，则AD=12-x ，在∠ADE 中，AE²=DE²+AD²=x²+(12-x)²，在∠BFE 中，BE²=BF²+EF²=(5+x)²+x²，在∠ABE 中，AE∠BE ，∠AB²=AE²+BE²，即13²=x²+(12-x)²+(5+x)²+x²，解得x=72，∠正方形CDEF 的面积=CD²=72×72=494； （2）如图：延长ED 交AB 于H ，∠∠BEH∠∠ABG ，且∠ABG=∠EBH ，∠∠BEH=∠BAG ， ∠DE∠EF ，∠∠BEH=∠EBF ，∠∠BAC=∠EBF ，设边长为x ， 则tan∠EBF=5x x +，tan∠BAC=512，令5x x +=512，则x=257, ∠25125971284HDAH ADBCAB AC-====，∠59767138484AH =⋅=， ∠BH=13-AH=32584，HD=5929558484⋅=， ∠HE=HD+x=59584， 过H 作HM ，与BE 相交于M ，5sin sin 13B M AG HE ∠=∠=,595sin 84s 951419165in 81332HM HE HEM ABE BH BH ⨯⋅∠∠====；（3）∠DE//BC,∠∠BCG∠∠EDG ，设边长为x ，∠5DE DG xBC GC ==， ∠DG+GC=x ，∠DG=25x x +，GC=55x x +，则512125x AG GC x AE ⎧=-=-⎪+⎨⎪=⎩，令AG=AE ， 则或（舍去）．【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质与判定及利用三角函数求解，解题的关键是熟练掌握相关性质，正确构造辅助线，表示相关线段的长度．2．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知，在矩形ABCD 中，点M 是边AB 上的一个点（与点A 、B 不重合），联结CM ，作∠CMF ＝90°，且MF 分别交边AD 于点E 、交边CD 的延长线于点F ．点G 为线段MF 的中点，联结DG ．（1）如图1，如果AD ＝AM ＝4，当点E 与点G 重合时，求∠MFC 的面积；（2）如图2，如果AM ＝2，BM ＝4．当点G 在矩形ABCD 内部时，设AD ＝x ，DG 2＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果AM ＝6，CD ＝8，∠F ＝∠EDG ，求线段AD 的长．（直接写出计算结果）【答案】（1）20；（2）()4244644x x y x =-+<；（3）AD =或【分析】（1）运用ASA 证明∠AME DFE ≅∆求出FD 的长再运用三角形面积公式即可得到答案；（2）证明FHM MHC △∽△，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式；（3）分点G 在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M 作MH∠DC ，垂足为H ，如图1易得四边形ADHM 是正方形，∠AE ED =又∠FED=∠MEA∠∠()AME DFE ASA ≅∆ ∠.4AM FD DH ===∠MH FC ⊥∠∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∠90FMC ∠=︒，∠∠FMH+∠HMC=90°∠∠FMH=∠HCM∠∠FMH∠∠MCH ∠12MH HC FH MH ==∠2CH =，CF 10=∠1202MFC S CF MH =⋅=△ （2）过M 作MH∠DC ，过G 点作GP∠DC ，垂足分别为H ，P ，如图2，∠FG GM =，//GP MH ∠111222GP MH AD x ===，12FP PH FH == ∠MH∠DC ，∠∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠ HCM=90° ∠∠FMC=90°，∠∠FMH+∠HMC=90° ∠∠FMH=∠HCM ，∠FHM MHC △∽△∠FH MH MH HC =，即4FH x x =，∠24x FH =∠28x PH =，228x DP =-，12GP x =∠222DG DP GP =+∠424644x x y =-+由00FH DP >⎧⎨>⎩ 可得4x <<∠定义域为4x <<（3）点G 在矩形内部时,延长DG 交AB 于J ，连接AG ，AF ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠∠AD BC =∠ADJ BCM ≌△△， 2AJ BM == ∠1GJ GMDG GF==，∠AG DG =∠∠12=∠∠∠1390+∠=︒∠∠3490+∠=︒ ∠∠90AGE =︒∠AG 垂直平分FM ∠6AF AM ==∠4DF MJ ==∠AD ===点G 在矩形外部时，延长DG 交BA 延长线于L ，连接DM ，如图∠EDG EFD MCB ∠=∠=∠，AD BC =∠ADL BCM ≌△△， ∠2AL BM ==∠∠L CMD =∠，∠FMC 为直角，∠90DGE ∠=︒，DG 垂直平分FM ∠8DM DF ==，6AM =，∠AD =AD =或【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键．3．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长； （3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BDx BC=，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-；（3）)．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出∠DEC∠∠CEB ，进而得出结论；（2）由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ，再由∠DEC∠∠DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF ，先证∠BDC∠∠EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FDMF=y ，然后结合已知条件得出结果． 【详解】解：（1）∠∠ACB=90°，∠∠B=45°，∠∠DCE=45°，∠∠B=∠DCE ，∠∠DEC=∠CEB ，∠∠DEC∠∠CEB ，∠EC DE BE CE=，故CE²=BE·DE ； （2）由题意得∠DCE 是等腰三角形，DC=CE ，由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ， 同理可得∠DEC∠∠DCA ，AD=AC ，∠BC=AC ，∠BE=AD=BC=AC ，∠AC=3，∠在Rt∠ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，，∠AD=2BD，∠BD=AB-AD=AB-3，-6，-3，∠DE=AB-BD--3)=6-．（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EFD=∠BCD，∠∠EDF=∠BDC，∠∠BDC∠∠EDF，∠FD DECD BD=，∠tan∠FMD=y，∠FDMF=y，在Rt∠MFC中，∠MCF=45°，∠MF=CF，∠FD FDCF MF==y，∠BDxBC=，BE=BC，∠BD BDxBE BC==，∠,FD BDy xCF BE==，∠DE=1xBDx-，CD=1yFDx-，∠FD DECD BD=，11y xy x=--，则y(1-y)=x(1-y)，y-xy=x-xy，．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．4．（2021·上海浦东新区·九年级一模）四边形ABCD 是菱形，∠B≤90°，点E 为边BC 上一点，联结AE ，过点E 作EF∠AE ，EF 与边CD 交于点F ，且EC=3CF ． （1）如图1，当∠B=90°时，求ABE S与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值； （3）如图3，联结AF ，当∠AFE=∠B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17. 【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：BE ABCF CE=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =， 设,CF a = 再设DH x =， 利用22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==， 设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：cos ,6EF ycoc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒， ∴ 四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒，90BAE BEA ∴∠+∠=︒， ,EF AE ⊥ 90BEA CEF ∴∠+∠=︒， ,BAE CEF ∴∠=∠ ,BEA CFE ∴∽ BE AB CF CE ∴=，,BE CFAB CE∴= 3,EC CF =3,AB BE ∴= 设,,CF a BE b == 3,CE a ∴= 3,AB BC b a ∴==+ 而33,AB BE b ==33,b a b ∴+= 3,2b a ∴= 9,2AB a ∴= 22992.34ABE CEFaSAB SCE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FH AD ⊥于,H 连接AF ，菱形ABCD ，//,AB CD ∴ ,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，,BE CE ∴=,AEB CEG ∠=∠ ()ABE GCE AAS ∴≌,,,AB CG AE GE ∴==,AE EF ⊥ ,AF FG ∴=设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，75,FG AF a DF a ∴===， 设,DH x = 22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=- ,x a ∴= ,DH a ∴= 1cos ,55DH a DDF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠ 1cos .5B ∴=（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =,,EC EH H ECH ∴=∠=∠ 23,CF CE CF ==， 6CE EH ∴==，设,DF x = ,HG GC y == 则2,DC AD x ==+ ,6HG y coc H EH ∴∠== 菱形ABCD ， ,//,B D AB CD ∴∠=∠ ,B ECH ∴∠=∠ ,AFE B ∠=∠,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠ cos ,6EF y coc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠ ,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽ ,EH HF EF DF AD AF ∴== 622,26y y x x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩，解得：15,2.4x y =⎧⎨=⎩经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，217,CD x ∴=+= 即菱形ABCD 的边长为：17. 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ==142ADB S DB AC ∴=⋅=12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH == 1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH∠CB 于H∠EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒∠ACD EHD ．∠AC EH CD DH = 即44EH x x EH=--．∠()444x EH x -=+ ．∠EH∠CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∠)44x EB x -==+ ，AB =∠)44x AE x -=+∠EF AD ⊥，90C ∠=︒∠AFG ADC ∠=∠ ．∠EDB ADC ∠=∠ ∠AFG EDB ∠=∠．∠45FAE B ∠=∠=︒∠AFE BDE ．∠AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt∠MDB 中，DB=4-x,所以MD=MB=(4).2x - 在Rt∠ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+所以tan∠DAB=44DM x AM x -=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论∠CDF 与∠AGE 相似:①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan∠FDC=tan∠DAB,得44y x x x-=⋅+结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0. 解得-4 或--4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan∠CFD=tan∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y x x x -=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或3-（舍去） 如果∠CFD=∠DAB, 44x x y x-=+与y=2x -4整理，得238160.x x -+=此方程无解.综上，CD 的值为-4、8- 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．6．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且2BQ BP =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2或6；（3）33BP << 【分析】（1）证明∠BPQ∠∠BAC 即可；（2）由∠PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tan3AC B BC ===，求出∠B=30，30DPC ∠=︒，计算tan 30CD CP ︒===，根据BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，证明∠EQD∠∠CDP ，得到QE ED CD CP=，设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值； （3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出'CD =，'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 602CD =︒，即可得到3BP =【详解】解：（1）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =∠4AB ==，∠BC AB ==，∠BQ BP =，∠BQ BP =∠BQ BC BP AB =，∠QBP CBA ∠=∠， BPQBAC ∴，∠90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∠ABC中，tan 3AC B BC ===，∠∠B=30， ∠9060QPB B ∠=︒-∠=︒，30DPC ∴∠=︒， ∠2AC =，点D 为边AC 的中点，∠CD=1，∠tan 30CD CP ︒===，BP BC CP ∴=-= 当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∠AC 交AC 于E ，则∠QED=∠PDQ=90C ∠=︒，∠∠EQD+∠EDQ=∠EDQ+∠CDP=90︒，EQD CDP ∴，QE ED CD CP∴=， 设BP t =，过点Q 作QF∠BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，∠∠B=30，∠BQP=90︒， ∠PQ=12t ，∠60QPB ∠=︒，∠cos 6014PF PQ t =⋅︒=，sin 60QF PQ =⋅︒=，∠1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD t =-=-，134t -∴=t ∴=或t =（舍去）， 综上，BP或6；（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，'30DD C B ∴∠=∠=︒，'CD ∴=30CDP ∠=︒，又'DP D P =，()'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=3m ∴=； ②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，∠60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1， ∠PC=tan 603CD =︒，∠3BP =BP <<． ．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．7. （2021黄浦一模）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQ MN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．【答案】（1）45；（2）45°；（3）不会发生变化，35． 【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt △ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 △BCG ≌△DCN ，得到角相等，再由角相等，得△GMC ≌△NMC ，由DN DC =解答即可； （3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∠CPD=∠CND=∠MNC ，再得△CPQ ∽△CNM ，由此解答即可．【详解】解：（1）连接AC ∵4AB AD ==，3CB CD ==∴AC 垂直平分BD∴∠ACB=∠ACD=12∠BCD=∠MCN 在Rt △ABC 中，AB=4，AC=3∴5== ∴sin MCN ∠=sin ∠ACB=45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ，∵CB=CD ∠CBG=∠CBN=90°∴△BCG ≌△DCN ∴∠G=∠CND ，CN=CG ，∠BCG=∠DCN∴∠MCN=12∠BCD ∴∠MCB+∠NCD=12∠BCD ∴∠GCM=∠GCB+∠GCM=12∠BCD=∠MCN ∵CM=CM ， ∠G=∠CND,∴△GMC ≌△NMC ∴∠G=∠MNC=∠DNC当DN=NC时∠DNC=∠DCN=45°∴∠DNC=∠CNM=45°（3）连接NP, ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°∠ADO+∠CDO=90°∴∠ADO=∠COD=12∠BCD=∠MCN∴∠NDP=∠NCP∴D、C、N、P四点共圆，∴∠NPC+∠NDC=180°∵∠NDC=90°∴∠NPC=90°∴∠CPD=∠CND=∠MNC∴△CPQ∽△CNM∴PQ CP MN CN=在Rt△CPN中，CPCN=cos∠MCN=cos∠ACB=35∴不会发生变化35PQMN=【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海静安区·九年级一模）已知∠MAN是锐角，点B、C在边AM上，点D在边AN上，∠EBD=∠MAN，且CE∠BD，sin∠MAN=35，AB=5，AC=9．（1）如图1，当CE与边AN相交于点F时，求证：DF·CE=BC·BE；（2）当点E在边AN上时，求AD的长；（3）当点E在∠MAN外部时，设AD=x，∠BCE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<+． 【分析】（1）根据CE∠BD ，得出∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE 结合题干证明出∠ABD∠∠ECB ，进而得到AD EBAB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∠CEB∠∠CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ． （3）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∠ECB∠∠ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解．【详解】解：（1）∠CE∠BD ，∠∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE ．∠∠A=∠DBE ，∠∠A=∠BEC ．∠∠ABD∠∠ECB ，∠AD EB AB EC ＝．∠AD DF AB BC=，∠EB DFEC BC =，∠DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．∠CE∠BD，∠∠CEB=∠EBD=∠A，又∠∠BCE=∠ECA，∠∠CEB∠∠CAE，∠CE CACB CE=，∠2CE=CB CA⋅．∠AB=5，AC=9，∠BC=4，∠24936CE==⨯，∠CE=6．∠BD ABCE AC=，∠561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∠ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，∠AH=224AB BH-=．==．AD=4±（3）过点B作BH∠AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∠∠ECB∠∠ABD，∠22EBCADBS BCS BD△△＝．∠1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∠21638252yx xx=-+，∠224825xyx x=-+．定义域为44x<．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，Rt ABC中，90ACB∠=︒，6AC=，8BC=，点D为斜边AB 的中点，ED AB⊥，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD QD⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED EDB AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可． （3）先证PDFBDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．【详解】解：（1）PD QD ⊥，ED AB ⊥∠A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，∠ADP EDQ △△．（2）ADP EDQ △△，∠EQ EDAP AD= 又点D 为斜边AB 的中点，∠AD BD = ， EQ ED EDAP AD BD==又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQB BD AD AP==，又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10D 为AB 中点， ∠BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254AP x =，可得34EQ x =，BQ BE EQ =-， 253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （3）tan tan DQ ED EDFPD B DP AD BD∠====，∠FPD B ∠=∠，又∠PDF BDQ ∠=∠， ∠PDFBDQ △△，∠PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ=，542253544x =-，解得256x ．若BD BQ =， 253544x -=，解得53x =． ③若DQ BD =，2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E在边AB 上（点E与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域； （3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；12；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）45x =或45x =【分析】（1）根据垂直关系得到ADE CDF ∠=∠，根据AA 即可证明ADE CDF ∽△△，得到12DE AD DF CD ==，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠； （2）先证明FCH FBE △∽△，得到FC CH FB BE =，代入得到22212x yx x-=+-，故可求解； （3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解． 【详解】解：（1）∠90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∠ADE CDF ∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90ADE CDFEAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩90EAD FCD ︒∠=∠=∠FAD FCD △∽△∠2AB DC ==，1AD =，∠12DE AD DF CD == ∠1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知ADE CDF ∽△△∠12EA DE AD FC DF CD ===∠22FC EA x ==∠AB //CD∠FCH FBE △∽△，∠FC CH FB BE =∠22212x y x x -=+-∠222(02)21x y x x +=<<+， （3）∠AE x =，DH y =，过点E 作EM∠CD 于M 点，∠四边形AEMD 为矩形∠MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∠2BE x =-，DE =EH =∠AB //CD∠AEG CHG △∽△∠EG AE HG CH =∠EG AE EH AE CH =+∠AEEG EH AE CH=⋅+∠BEG DHE ∠=∠， 若BEG DHE △∽△， ∠BE EG DH HE =∠BE AEDH AE CH =+即22x x y x y -=+- 化简得2240x y +-=∠22221x y x +=+∠222212240x x x +⨯-++=化简得22508x x +=-解得x =45x =若EGB HDE △∽△∠BE EG EH HD = ∠2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+即2(2)1()2x x y y x x y ⎡⎤-=⋅+-⎣⎦+- ∠22221x y x +=+代入化简得22637200x x ++=∠=372-4×26×20=-711＜0，∠方程无解综上，45x =和x =BGE △与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数； ()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）72；（2）18°；（3）53【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∠ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出P PED PAO OEB ∠=∠=∠=∠，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∠AOP 和∠OEB ，利用三角形外角的性质即可求得α即ABC ∠；（3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一： 作OG BC ⊥，∠BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，722BC BG ∴==；方法二： 连接AC ，∠AB 为直径，90ACB ∴∠=7cos 2BC AB CBO ∴=⋅∠=； （2）∠AO=OP ，∠∠PAO=∠P ，∠P P ∠=∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPEOPA ∴∆∆P PED PAO OEB ∴∠=∠=∠=∠，C 是AP 中点，CO ∴平分AOP ∠， CO BO =，设,ABC α∠=2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠，AOP OEB ABC ∴∠=∠+∠， 即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；()3 I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∠DH//OP ，∠∠ADH∠∠APO ，∠23AH DH AD AD AO OP AP AD DP ====+， 23AH AO ∴=，∠AB=4，∠OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===， 2,AO OP ==43AH DH ∴==，∠DH//OP ，∠∠BOE∠∠BHD ， 28433EO OB EODH HB ∴===，1EO ∴=， AHD AOED HOEDS S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接,AC由()1得//AC DP ，∠∠ACD∠∠PED ，∠ACB∠∠OEB ，2AD DP =，∠2CD AC ADDE PE DP===，2AC EP ∴=，又,AO BO =∠=2CB AC ABBE OE BO==，2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，60,EOB CAO ∴∠=∠=∠AO=OP ，∠∠PAO=∠APO ，∠PAO+∠APO=∠EOB=60°，∠30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形111222AC BC OE BE CD AC =⋅-⋅-⋅4,AB =2,AC BC BE ∴===1OE =，CD =111212222AOED S ∴=⨯⨯⨯=四边形综上所述，四边形AOED 的面积为53 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．12．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），AE 的垂线AF 交CD 的延长线于点F ．点G 在线段EF 上，满足:1:2FG GE =．设BE x =．（1）求证：AD DFAB BE=； （2）当点G 在ADF 的内部时，用x 的代数式表示ADG ∠的余切； （3）当FGD AFE ∠=∠时，求线段BE 的长．。
2021届崇明区中考数学一模(含答案)
上海市崇明区2021届初三一模数学试卷2021.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 已知线段a 、b 、c 、d 的长度满足等式ab cd ，如果某班四位同学分别将该等式改写 成了如下四个比例式，那么其中错误的是（ ） A. a c b d B. a d c b C. b d c a D. b c d a2. 已知点G 是△ABC 的重心，如果联结AG ，并延长AG 交边BC 于点D ，那么下列说法中错误的是（ ）A. BD CDB. AG GDC. 2AG GDD. 2BC BD 3. 已知a 和b 都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ） A. a b B. 2a b C. 0a b D. ||||2a b4. 在△ABC 中，90C ，如果8AC ，6BC ，那么A 的正弦值为（ ） A. 35 B. 45 C. 34 D. 435. 抛物线2()y a x k k 的顶点总在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 直线y x 上D. 直线y x 上6. （ ）A. 3B. 4C. 5D. 无法确定二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 已知53x y ，那么x y y8. 已知线段6AB cm ，点C 是AB 的黄金分割点，且AC BC ，那么线段AC 的长为 cm9. 如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4，那么这两个三角形的面积比为 10. 计算：2(2)3(2)a b a b11. 如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度1:3i ，那么这段斜坡的铅垂高度为 米12. 已知锐角△ABC 中，5AB ，7BC ，4sin 5B ，那么C 度 13. 函数2245y x x 的图像与y 轴的交点坐标为14. 如果将抛物线2(1)y x 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为15. 如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的弧与x 轴交于A 、B 两点，已知点P 的坐标为(1,)y ，点A 的坐标为(1,0) ，那么点B 的坐标为16. 如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为 厘米17. 我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”，相关两边为“闪亮边”，例如：图（1）中的四边形中ABCD ，AB AC AD ，则2AC AB AD ，所以四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是闪亮对角线，AB 、AD 是对应的闪亮边，如图（2），已知闪亮四边形ABCD 中，AC 是闪亮对角线，AD 、CD 是对应的闪亮边，且90ABC ，60D ，4AB ，2BC ，那么线段AD 的长为18. 在△ABC 中，AB 45B ，60C ，点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC 上，连结DE ，沿直线DE 将△ADE 折叠得到△A DE ，连结AA ，当A E AC 时，则线段AA 的长为三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 计算：22cos30cot 45tan 60sin 452sin 30.20. 如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，2AD ，4DB ，8AC .（1）求线段AE 的长；（2）设BA a ，BC b . ①请直接写出向量AE 关于a 、b 的分解式，AE ； ②联结BE ，在图中作出向量BE 分别在a 、b 方向上的分向量.（可以不写作法，但必须写出结论）21. 如图，已知O 在O 中，OA 、OB 都是圆的半径，且OA OB ，点C 在线段AB 的延长线上，且OC AB .（1）求线段BC 的长；（2）求BOC 的正弦值.22. 为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理，如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P 处的值守人员报告，在P 处南偏东30°方向上，距离P 处14海里的Q 处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A 处测得监测点P 在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B 处，此时测得监测点P 在其北偏东30°方向上.（1）B 、P 两处间的距离为 海里；如果联结图中的B 、Q 两点，那么△BPQ 是 三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它 （填“能”或“不能）到达Q 处；（2）如果监测点P 处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？23. 已知：如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED ABC ，联结BE 、CD 相交于点F .（1）求证：ABE ACD ；（2）如果ED EC ，求证：22DF EF BD EB.24. 如图，已知对称轴为直线1x 的抛物线23y ax bx 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(1,0).（1）求点B 的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P ，对称轴与线段BC 的交点为Q ，将线段PQ 绕点Q ，按顺时 针方向旋转120°，请判断旋转后点P 的对应点P 是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x 轴上是否存在点M ，使△MOC 与△BCP 相似？若不存在，请说明理由，若 存在，请直接写出点M 的坐标（不必书写求解过程）.25. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ，6AC ，8BC ，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD .（1）求证：ADP ∽EDQ .（2）设AP x ，BQ y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结PQ ，交线段ED 于点F ，当△PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长.参考答案一. 选择题1. A2. B3. D4. A5. C6. B二. 填空题7. 238. 3 9. 1:16 10. 8a b 11. 4 12. 45 13. (0,5) 14. 2(1)1y x15. (3,0) 16. 3 17. 18.三. 解答题19. 12. 20.（1）83AE ；（2）1133AE a b ，BD 、DE 即为所求分向量.21.（1）1BC ；（2）sin 4BOC. 22.（1）14，等边，能；（2）安全.23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）(3,0)B ，223y x x ；（2）P 在抛物线上；（3）1(1,0)M ，2(1,0)M ，3(9,0)M ，4(9,0)M .25.（1）证明略；（2）25325(0)443y x x；（3）256AP 或53.。
2020-2021学年上海市崇明区九年级(上)期末数学试卷(一模)(含答案解析)
2020-2021学年上海市崇明区九年级(上)期末数学试卷(一模) 一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.若四条不相等的线段a，b，c，d满足ab =cd，则下列式子中，成立的是()A. ba =cdB. ab=c+md+m(m>0)C. a−bb =d−cdD. a+cb+d=cd2.如图，△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，若△ABC的面积是10，则△OCD的面积是()A. 2B. 1.5C. 53D. 53.已知非零向量，a⃗,b⃗ ,c⃗，下列条件中，不能判定a⃗//b⃗ 的是()A. |a⃗|=|b⃗ |B. a⃗=−b⃗C. a⃗//c⃗,b⃗ //c⃗D. a⃗=2c⃗,b⃗ =4c⃗4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,3)，AO与y轴正半轴所成的夹角为α，则sinα的值为()A. 3B. 13C. √1010D. 3√10105.已知a，b，c为常数，点P(a,c)是第四象限内的一点，则二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点个数为()A. 一个B. 没有交点C. 两个D. 无法确定6.已知正六边形的边心距是2√6，则正六边形的边长是()A. 4√2B. 4√6C. 6√2D. 8√2二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 已知x 2=y 3=z 4≠0，则x−y+zx+2y−z = ______ ． 8. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且较长的线段AP 的长等于10厘米，那么较短的线段BP 的长为______厘米． 9. 如图，AB ，CD 相交于O 点，△AOC∽△BOD ，OC ：CD =1：3，AC =2，则BD 的长为______．10. 如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是OD 的中点，如BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ , BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 11. 如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α=23°，两树间的坡面距离AB =10m ，则这两棵树的水平距离约为______m.(结果精确到0.1m ，参考数据：sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424)12. 如图，点P 在线段BC 上，AB ⊥BC ，DP ⊥AP ，CD ⊥DP ，如果BC =10，AB =2，tanC =12，那么DP 的长是______ ．13. 若二次函数y =x 2+2x +m 的图象与坐标轴有3个交点，则m 的取值范围是______．14. 将抛物线y =2x 2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，那么所得的抛物线的顶点坐标为______．15.如图，在平面直角坐标系中，长方形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN=10，PN=4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为______．16.已知两圆的半径分别为3cm和5cm，且两圆的圆心距为2cm，那么这两圆的位置关系是．17.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，则n−m=______．18.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处，设DE与BC相交于点F，则BF的长为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）)−2+(√3−√7)0−2cos60°−|3−π|19.(1)计算：(12(2)分解因式：6(a−b)2+3(a−b)20.如图，已知△ABC，依据作图痕迹回答下面的问题：(1)AC和MN的位置关系是______；(2)若AB=3，BC=5时，求△ABE的周长；(3)若AE=AB，∠B=60°，求∠BAC的度数．21.已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB=12，cot∠ADB=4．3求：(1)∠DBC的余弦值；(2)DE的长．22.钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛(设M，N为该岛的东西两端点)最近距离为12海里(即MC=12海里).在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向；航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，(其中N，M，C在同一条直线上)，求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．23.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，延长BA至点E，使得AE=AD，连接DE、OE，OE交AD于F.请从以下三个选项中选择一个作为已知条件，选择另一个作为结论，并写出结论成立的计算或证明的过程.①BE=DE；②EF=BD；③EF=√2DF.你选择的条件是______ ，结论是______ .(填序号)24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A，对称轴x=−2交x轴于点C，直线l过点N(0,−2)，且与x轴平行，过点P作PM⊥l于点M，△AOB的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)当∠MPN=∠BAC时，求P点坐标；(3)①求证PM=PC；②若点Q坐标为(0,2)，直接写出PQ+PC的最小值．25.如图1，点P是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AP、PB为边在线段AB的同旁做等边三角形APC和等边三角形PBD，连接AD交PC于点M，连接BC交PC于点N，连接MN．(1)求证：AD=BC．(2)求∠DQB的度数．(3)如图2所示，△APC和△PBD仍为等边三角形，但PA和PB不在同一条直线上，AD=BC是否成立，∠DQB的度数与图1是否相等，请直接写出结论．参考答案及解析1.答案：D解析：解：A、∵ab =cd，∴ba=dc；故本选项错误；B、∵ab =cd，m>0，∴ab≠c+md+m；故本选项错误；C、∵ab =cd，∴a−bb=−d−cd；故本选项错误；D、∵ab =cd，∴a+cb+d=cd；故本选项正确．故选：D．根据比例的性质变形，再进行判断．本题考查了比例的性质．比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．2.答案：C解析：解：∵△ABC中，三条中线AD，BE，CF相交于点O，∴OAOD =21，CD=BD，∴S△ACD=S△ABD=12S△ABC=12×10=5，∴S△OCD=13S△ACD=13×5=53，故选：C．根据三角形的中线得出OAOD =21，CD=BD，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ACD的面积，再根据三角形的面积公式求出即可．本题考查了三角形的重心和三角形的面积，能知道等底等高的三角形的面积相等和等高的三角形的面积比等于底边之比是解此题的关键．3.答案：A解析：解：A、|a⃗|=|b⃗ |，两个向量的模相等，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；B、a⃗=−b⃗ ，两个向量模相等，方向相反，互相平行，故本选项错误；C、a⃗//c⃗，b⃗ //c⃗，则a⃗与b⃗ 都与c⃗平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；D、a⃗=2c⃗，b⃗ =4c⃗，则a⃗与b⃗ 都与c⃗平行，三个向量都互相平行，故本选项错误．故选A．根据向量的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，是基础题．4.答案：C解析：解：过A向x轴作垂线，垂足为B，因为A(1,3)，即OB=1，AB=3，所以OA=√AB2+OB2=√12+32=√10，由锐角三角函数的定义可知，cos∠1=OBOA =1√10=√1010，因为∠1+∠α=90°，所以sinα=cos∠1=√1010．故选C．过A向x轴作垂线，垂足为B，根据A点的坐标及勾股定理可求出OA的值，再根据互余两角的三角函数值求出sinα的值即可．此题比较简单，解答此题的关键是熟知直角三角形中锐角三角函数的定义及互余两角三角函数值的关系．5.答案：C解析：解：∵点P(a,c)是第四象限内的一点，∴a>0，c<0，∴△=b2−4ac>0，∴二次函数y=ax2+bx+c与x轴有2个交点．故选：C．利用第四象限内点的坐标特征得到a>0，c<0，则可判断△=b2−4ac>0，然后根据判别式的意义确定抛物线与x轴的交点个数．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．6.答案：A解析：解：∵正六边形的边心距为2√6，∴OB=2√6，∠OAB=60°，∴AB=OBtan60∘=2√6√3=2√2，∴AC=2AB=4√2．故选：A．运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．7.答案：34解析：解：设x2=y3=z4=k≠0，则x=2k，y=3k，z=4k，x−y+z x+2y−z =2k−3k+4k2k+6k−4k=34；故答案为：34．设x2=y3=z4=k≠0，得出x=2k，y=3k，z=4k，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．此题主要考查了比例的性质，正确利用同一未知数表示出各数是解题关键．8.答案：5√5−5解析：解：设线段AB的长为x，∵点P是线段AB的黄金分割点，较长的线段AP的长等于10厘米，∴√5−12x=10，解得，x=5√5+5，∴较短的线段BP的长=5√5+5−10=5√5−5(厘米)，故答案为：5√5−5．根据黄金比值是√5−12计算，得到答案．本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，掌握黄金比值是√5−12是解题的关键．9.答案：4解析：解：∵OC：CD=1：3，∴OC：OD=1：2，∵△AOC∽△BOD，∴ACBD =OCOD，即2BD =12，解得：BD=4，故答案为：4．根据OC：CD=1：3，求得OC：OD=1：2，根据相似三角形的对应边的比相等列出方程，计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．10.答案：34b ⃗ −14a ⃗ 解析：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OB =OD ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，∵点E 是OD 的中点，∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ +14b ⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −(14a ⃗ +14b ⃗ )=34b ⃗ −14a ⃗ ． 故答案为：34b ⃗ −14a ⃗ ． 由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形法则，可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，然后由三角形法则，求得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又由点E 是OD 的中点，可求得ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由三角形法则求得答案．此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用． 11.答案：9.2解析：解：过点A 作水平面的平行线AC ，过点B 作BC ⊥AC 于C ，由题意得：AB =10m ，∠BAC =23°，则AC =AB ⋅cos∠BAC ≈10×0.921≈9.2(米)，故答案为：9.2．过点A 作水平面的平行线AC ，过点B 作BC ⊥AC 于C ，根据余弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12.答案：65√5解析：解：∵DP ⊥AP ，CD ⊥DP ，∴AP//CD ，∴∠C =∠APB ，∵AB ⊥BC ，∴tan∠APB =AB BP ，∵tanC =12，∴2BP =12，∴BP=4，∴PC=BC−BP=10−4=6，在Rt△CDP中，tanC=DPCD，CD=√PC2−DP2=√62−DP2，∴√62−DP2=12，解得：DP=65√5或DP=−65√5(不合题意舍去)，故答案为：65√5．由DP⊥AP，CD⊥DP，得AP//CD，则∠C=∠APB，由tan∠APB=ABBP，求得BP=4，PC=6，在Rt△CDP中，tanC=DPCD ，CD=√62−DP2，得出√62−DP2=12，即可得出结果．本题考查了三角函数定义、勾股定理、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握三角函数定义是解题的关键．13.答案：m<1且m≠0解析：解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△=22−4m>0，∴m<1．∴m<1且m≠0．故答案为m<1且m≠0．由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式△>0可求出m的取值范围，此题得解．本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△>0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．14.答案：(−1,−3)解析：解：由题意得：平移后的抛物线的解析式为：y=2(x+1)2−3，∴顶点坐标为(−1,−3)，故答案为：(−1,−3)．根据左→加，右→减，上→加，下→减的原则写出平移后的抛物线的解析式，并写出顶点坐标．本题考查了二次函数的平移变换，二次函数平移后二次项系数不变，熟练掌握平称原则是关键；注意左右与上下平移的不同，二次函数的顶点式为：y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标为(ℎ,k)．15.答案：5+√41解析：解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP，∵∠MON=90°，MN=5，∴Rt△MON中，OE=12又∵∠MQP=90°，MN=10，PN=4，NE=5，∴Rt△PNE中，PE=√PN2+NE2=√42+52=√41，又∵OP≤PE+OE=5+√41，∴OP的最大值为5+√41，即点P到原点O距离的最大值是5+√41，故答案为：5+√41．取MN的中点E，连接OE，PE，OP，根据勾股定理和矩形的性质解答即可．此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．16.答案：内切解析：试题分析：由两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为2cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．∵两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为2cm，又∵5−3=2，∴两圆的位置关系是：内切．故答案为：内切．17.答案：−7解析：解：由题意得：m−3=7，n=3，解得m=10，n=3，∴n−m=3−10=−7．故答案为：−7．根据n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，可得m、n的值，再代入所求式子计算即可．此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握对角线条数的计算公式．18.答案：254解析：解：∵AD//BC，∴∠ADB=∠FBD，由折叠的性质可知，∠FDB=∠ADB，∴∠FDB=∠FBD，∴FB=FD，在Rt△DFC中，DF2=CF2+CD2，即BF2=(8−BF)2+62，，解得，BF=254．故答案为：254根据矩形的性质得到AD//BC，得到∠ADB=∠FBD，根据翻转变换的性质得到∠FDB=∠ADB，证明FB=FD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．−(π−3)19.答案：解：(1)原式=4+1−2×12=5−1−π+3=7−π；(2)6(a−b)2+3(a−b)=3(a−b)[2(a−b)+1]=3(a−b)(2a−2b+1)．解析：(1)直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案；(2)直接提取公因式3(a−b)，进而分解因式得出答案．此题主要考查了实数运算以及提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．20.答案：垂直解析：解：(1)根据作图痕迹可知：MN是AD的垂直平分线，所以AC和MN的位置关系是垂直，故答案为垂直；(2)AB=3，BC=5，∵MN是AC的垂直平分线，∴EA=EC∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+EC+BE=AB+BC=3+5=8；答：△ABE的周长为8．(3)∵AE=AB，∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°∵AE=CE∴∠C=∠CAE=30°，∴∠BAC=90°．答：∠BAC的度数为90°．(1)根据作图痕迹可得AC和MN的位置关系是垂直；(2)根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，AB=3，BC=5时，即可求△ABE的周长；(3)根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，根据AE=AB，∠B=60°得三角形ABE是等边三角形，进而可求∠BAC的度数．本题考查了作图−基本作图，勾股定理，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．21.答案：解：(1)∵Rt△ABD中，cot∠ADB=ADAB，∴43=AD12，则AD=16，∴BD=√AB2+AD2=√122+162=20，∵AD//BC，∴∠DBC=∠ADB，∴cos∠DBC=cos∠ADB=ADBD =1620=45；(2)在Rt△BCD中，cos∠DBC=BDBC ，即45=20BC，解得：BC=25，∵AD//BC，∴DEBE =ADBC=1625，∴DEBD =1641，∴DE=1641×BD=1641×20=32041．解析：(1)根据cot∠ADB=43，可求出AD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD，继而可得出∠DBC的余弦值；(2)在Rt△BDC中，由(1)的答案可求出BC的长度，再由平行线分线段成比例的知识可求出DE的长．本题考查了梯形、勾股定理及平行线分线段成比例的知识，解答本题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，能正确表示角的三角函数．22.答案：解：在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，则AC=CM=12(海里)，∴BC=AC−AB=12−4=8(海里)，直角△BCN中，CN=BC⋅tan∠CBN=√3BC=8√3(海里)，∴MN=CN−CM=8√3−12(海里)．答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离是8√3−12海里．解析：在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的长，则BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函数求得AN，根据MN=CN−CM即可求解．23.答案：②①解析：解：选择的条件是②，结论是①．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠EAF=90°，DO=OB，在Rt△DAB和Rt△EAF中，{AE=ADEF=DB，∴Rt△DAB≌Rt△EAF(HL)，∴∠ADB=∠AEF，∵∠DFO=∠EFA，∴∠DOF=∠EAF=90°，即EO⊥BD，∵DO=BO，∴EO是线段BD的垂直平分线，∴BE =DE ．故答案为：②；①．利用HL 证明△DAB≌△EAF ，再证得EO 是线段BD 的垂直平分线，即可证明结论．此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明△DAB≌△EAF 解答．24.答案：解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点，且对称轴为x =−2，∴c =0，OA =4，又△AOB 的面积为2，∴BC =1，即顶点B 的坐标为(−2,−1)，∴−b 2a =−2，−b 24a =−1，解得a =14，b =1， ∴抛物线的解析式为y =14x 2+x ；(2)∵BC =1，AC =2，∴tan∠BAC =12，设P 点坐标为(x,14x 2+x)，如图1，当点P 在y 轴右侧，PM =14x 2+x −(−2)=14x 2+x +2，MN =x ，∴tan∠MPN =MN PM =x 14x 2+x+2=12，即x 2−4x +8=0，此方程无解；如图2，当点P 在y 轴左侧，此时PM =14x 2+x +2，MN =−x ，∴tan∠MPN =MNPM =−x 14x 2+x+2=12， 即x 2+12x +8=0，解得x 1=−6+2√7，x 2=−6−2√7，则y 1=10−4√7，y 2=10+4√7，∴点P 坐标为(−6+2√7,10−4√7)或(−6−2√7,10+4√7)；(3)①如图3，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，则PD =x +2，DC =14x 2+x ，由(2)知PM =14x 2+x +2，在Rt △PCD 中，PC 2=(x +2)2+(14x 2+x)2=116x 4+12x 3+2x 2+4x +4=PM 2，∴PM =PC ；②由①知，PM =PC ，∴PQ+PC的最小值为PQ+PM的最小值，当Q、P、M三点共线时，PQ+PM有最小值为4．∴PQ+PC的最小值为4．解析：(1)根据抛物线y=ax2+bx+c经过原点，且对称轴为x=−2，可得c=0，OA=4，再由△AOB 的面积为2，可得BC=1，即得到顶点B的坐标，即可求得抛物线解析式；(2)设P点坐标为(x,14x2+x)，分点P在y轴右侧或y轴左侧两种情形进行讨论，即可求得点P的坐标；(3)①过点P作PD⊥BC于点D，在Rt△PCD中，应用勾股定理可求得PC2，与(2)中PM2比较可得PM= PC；②当Q、P、M三点共线时，PQ+PM有最小值为4.即PQ+PC的最小值为4．本题是中考压轴题，涉及知识点多，难度大，主要考查了二次函数图象和性质，顶点和对称轴，相似三角形判定和性质，线段和的最小值问题等，分类讨论和方程思想是本题解题关键．25.答案：(1)证明：如图1中，∵△APC，△PBD都是等边三角形，∴∠APC=∠DPB=60°，PA=PC，PD=PB，∴∠APD=∠CPD，在△APD和△CPB中，{PA=PC∠APD=∠CPB PD=PB，∴△APD≌△CPB(SAS)，∴AD=BC．(2)解：如图1中，设AD交PC于点J．∵△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠AJP=∠CJQ，∴∠AQJ=∠APJ=60°，∴∠DQB=∠AQC=60°．(3)解：如图2中，结论不变，理由如下：设AD交PC于点J．∵△APC，△PBD都是等边三角形，∴∠APC=∠DPB=60°，PA=PC，PD=PB，∴∠APD=∠CPD，在△APD和△CPB中，{PA=PC∠APD=∠CPB PD=PB，∴△APD≌△CPB(SAS)，∴AD=BC，∠PAD=∠PCB，∵∠AJP=∠CJQ，∴∠AQJ=∠APJ=60°，∴∠DQB=∠AQC=60°．解析：(1)如图1中，证明△APD≌△CPB(SAS)，可得结论．(2)设AD交PC于点J.由△APD≌△CPB，推出∠PAD=∠PCB，利用“8字型”的性质即可解决问题．(3)结论不变，证明方法类似(1)(2)．本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
2021年崇明区一模考试试卷
崇明县 2021 学年第一学期教学质量调研测试卷九年级英语（满分150 分，考试时间100 分钟）考生注意：本卷有 VII 大题，共 99 小题。
试题均采用连续编号，所有答案务必按照规定在答题纸上完成，做在试卷上不给分。
Part 1 Listening（第一部分听力）I.Listening Comprehension（听力理解）:（共30 分）A.Listen and choose the right picture（根据你听到的内容，选出相应的图片）:（共6 分）A B C DE F G1. 2. 3. 4. 5. 6.B.Listen to the dialogue and choose the best answer to the question you hear (根据你听到的对话和问题，选出最恰当的答案）:（共10 分）7. A) Red. B) Green. C) Blue. D) Yellow.8. A) Mary. B) Alice. C) Linda. D) May.9. A) Rainy. B) Cloudy. C) Snowy. D) Sunny.10. A) Tuesday. B) Wednesday. C) Thursday. D) Friday.11. A) 7:00. B) 8:00. C) 8:30. D) 9:00.12.A) She doesn’t want to ask Mr. Jones. B) She doesn’t want to work for Mr. Jones.C)Mr. Jones has bought many radios. D) Mr. Jones might fix the radio.13.A) By bus. B) By car. C) By plane. D) By train.14.A) Teacher and parent. B) Husband and wife.C)Doctor and patient. D) Father and daughter.15.A) In a library. B) In a bank. C) In a restaurant. D) In a hospital.16.A) Go skating. B) Go swimming. C) Play volleyball. D) Play basketball.C.Listen to the passage and tell whether the following statements are true or false（判断下列句子是否符合你听到的短文内容，符合的用“T”表示，不符合的用“F”表示）: （共7分）17.J.K. Rowling wrote her first story when she was only five years old.18.She worked as a secretary before she studied French at university.19.J.K. Rowling once worked as an English teacher in Portugal.20.J.K. Rowling got married when she was living in Portugal.21.She returned to Britain and went to live in Edinburgh in 1995.22.She went to write in a café(咖啡馆) because she had a job there.23.This story is mainly about the life of a famous writer, J.K. Rowling.D.Listen to the passage and complete the following sentences（听短文，完成下列句子。
〖汇总3套试卷〗上海市崇明县2021年中考数学模拟卷
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，若∠C ＝65°，则∠P 的度数为( )A ．65°B ．130°C ．50°D ．100°【答案】C 【解析】试题分析：∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵∠AOB=2∠C=130°，则∠P=360°﹣（90°+90°+130°）=50°．故选C ．考点：切线的性质．2．下列各式中，互为相反数的是（ ）A ．2(3)-和23-B ．2(3)-和23C ．3(2)-和32-D ．3|2|-和32- 【答案】A【解析】根据乘方的法则进行计算，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】解：A. 2(3)-=9，23-=-9，故2(3)-和23-互为相反数，故正确； B. 2(3)-=9，23=9，故2(3)-和23不是互为相反数，故错误；C. 3(2)-=-8，32-=-8，故3(2)-和32-不是互为相反数，故错误；D. 3|2|-=8，32-=8故3|2|-和32-不是互为相反数，故错误.故选A.【点睛】本题考查了有理数的乘方和相反数的定义，关键是掌握有理数乘方的运算法则．3．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．3π+B ．3πC ．23π-D ．223π-【答案】D 【解析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，AD=3BD=3，∴△ABC的面积为12BC•AD=1232⨯⨯=3，S扇形BAC=2602360π⨯=23π，∴莱洛三角形的面积S=3×23π﹣2×3=2π﹣23，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．4．在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A．（32，0）B．（2，0）C．（52，0）D．（3，0）【答案】C【解析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出C的对应点．【详解】解：过点B作BD⊥x轴于点D，∵∠ACO+∠BCD＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，∴∠OAC＝∠BCD，在△ACO与△BCD中，OAC BCDAOC BDC AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACO≌△BCD（AAS）∴OC＝BD，OA＝CD，∵A（0，2），C（1，0）∴OD＝3，BD＝1，∴B（3，1），∴设反比例函数的解析式为y＝kx，将B（3，1）代入y＝kx，∴k＝3，∴y＝3x，∴把y＝2代入y＝3x，∴x＝32，当顶点A恰好落在该双曲线上时，此时点A移动了32个单位长度，∴C也移动了32个单位长度，此时点C的对应点C′的坐标为（52，0）故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．5．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长（ ）A ．16cmB ．13cm C ．12cm D ．1cm【答案】D【解析】过O 作直线OE ⊥AB ，交CD 于F ，由CD//AB 可得△OAB ∽△OCD ，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD 的值即可.【详解】过O 作直线OE ⊥AB ，交CD 于F ，∵AB//CD ，∴OF ⊥CD ，OE=12，OF=2，∴△OAB ∽△OCD ，∵OE 、OF 分别是△OAB 和△OCD 的高，∴OF CD OE AB =，即2126CD =， 解得：CD=1.故选D.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.6．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n 、m 的大矩形，则图中阴影部分的周长是（ ）A ．6（m ﹣n ）B ．3（m+n ）C ．4nD ．4m【解析】解：设小长方形的宽为a，长为b，则有b=n-3a，阴影部分的周长：2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m．故选D．7．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为( )A．6 B．8C．10 D．12【答案】D【解析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF AB==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1．GF GD【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF AB==2，GF GD∴AF=2GF=4，∴AG=2．∵AD∥BC，DG=CG，∴AG DG==1，GE CG∴AG=GE∴AE=2AG=1．故选：D．本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键．8．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（ ）A ．参加本次植树活动共有30人B ．每人植树量的众数是4棵C ．每人植树量的中位数是5棵D ．每人植树量的平均数是5棵【答案】D 【解析】试题解析：A 、∵4+10+8+6+2=30（人），∴参加本次植树活动共有30人，结论A 正确；B 、∵10＞8＞6＞4＞2，∴每人植树量的众数是4棵，结论B 正确；C 、∵共有30个数，第15、16个数为5，∴每人植树量的中位数是5棵，结论C 正确；D 、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D 不正确．故选D ．考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．9．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．a b 0+>B ．ab<0C ．a>bD ．b a 0->【答案】C【解析】根据各点在数轴上位置即可得出结论．【详解】由图可知，b<a<0，A. ∵b<a<0，∴a+b<0，故本选项错误；B. ∵b<a<0，∴ab>0，故本选项错误；C. ∵b<a<0，∴a>b ，故本选项正确；D. ∵b<a<0，∴b−a<0，故本选项错误.故选C.10．为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5cm ～174.5cm 之间的人数有（ ）A ．12B ．48C ．72D ．96【答案】C 【解析】解:根据图形，身高在169.5cm ～174.5cm 之间的人数的百分比为：12100%=24%6+10+16+12+6⨯， ∴该校男生的身高在169.5cm ～174.5cm 之间的人数有300×24%＝72(人)．故选C ．二、填空题（本题包括8个小题）11．已知点A(2,0),B(0,2),C(-1,m)在同一条直线上,则m 的值为___________.【答案】3【解析】设过点A （2，0）和点B （0，2）的直线的解析式为：y kx b =+，则202k b b +=⎧⎨=⎩，解得：12k b =-⎧⎨=⎩ ， ∴直线AB 的解析式为：2y x =-+，∵点C （-1，m ）在直线AB 上，∴(1)2m --+=，即3m =.故答案为3.点睛：在平面直角坐标系中，已知三点共线和其中两点的坐标，求第3点坐标中待定字母的值时，通常先由已知两点的坐标求出过这两点的直线的解析式，在将第3点的坐标代入所求解析式中，即可求得待定字母的值.12．因式分解：3x 3﹣12x=_____．【答案】3x （x+2）（x ﹣2）【解析】先提公因式3x ，然后利用平方差公式进行分解即可．【详解】3x 3﹣12x=3x （x 2﹣4）=3x （x+2）（x ﹣2），故答案为3x （x+2）（x ﹣2）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．13．不等式组32132x x x ->⎧⎪⎨≤⎪⎩的解是____. 【答案】16x <≤【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】32132x x x ＞①②-⎧⎪⎨≤⎪⎩ 解不等式①，得x ＞1，解不等式②，得x≤1，所以不等式组的解集是1＜x≤1，故答案是：1＜x≤1．【点睛】考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．14．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是__________．【答案】【解析】根据概率的公式进行计算即可.【详解】从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是.故答案为：.【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.15．已知一个正六边形的边心距为3，则它的半径为______ ．【答案】2【解析】试题分析：设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得OA．解：如图所示,在Rt△AOG中,OG=3,∠AOG=30°，∴OA=OG÷cos 30°=3÷3=2；故答案为2.点睛：本题主要考查正多边形和圆的关系. 解题的关键在于利用正多边形的半径、边心距构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解.16．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中, 点A和点F的坐标分别为（3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________．【答案】（1，0）；（﹣5，﹣2）.【解析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点．【详解】∵正方形ABCD和正方形OEFG中A和点F的坐标分别为（3，2），（-1，-1），∴E（-1，0）、G（0，-1）、D（5，2）、B（3，0）、C（5，0），（1）当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，位似中心就是EC与AG的交点，设AG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），∴231k bb=+⎧⎨-=⎩，解得11bk=-⎧⎨=⎩．∴此函数的解析式为y=x-1，与EC的交点坐标是（1，0）；（2）当A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点时，位似中心就是AE 与CG 的交点，设AE 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故此一次函数的解析式为1122y x =+…①， 同理，设CG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），501k b b +=⎧⎨=-⎩，解得151k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故此直线的解析式为115y x =-…② 联立①②得1122115y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得52x y =-⎧⎨=-⎩，故AE 与CG 的交点坐标是（-5，-2）． 故答案为：（1，0）、（-5，-2）．17．如图，点A 为函数y ＝9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1x(x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为______.【答案】6.【解析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：S △AOD =92, S △BOE =12，再证明△BOE ∽△AOD ，由性质得OB 与OA 的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论．【详解】如图，分别作BE ⊥x 轴，AD ⊥x 轴，垂足分别为点E 、D ，∴BE ∥AD ，∴△BOE ∽△AOD ， ∴22BOE AOD S OB S OA =， ∵OA=AC，∴OD=DC ，∴S △AOD =S △ADC =12S △AOC ， ∵点A 为函数y=9x （x ＞0）的图象上一点， ∴S △AOD =92， 同理得：S △BOE =12， ∴112992BOE AOD S S ==， ∴13OB OA =， ∴23AB OA =， ∴23ABCAOC SS =， ∴2963ABC S ⨯==， 故答案为6.18．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则列出的方程组为_____．【答案】2753x y x y +=⎧⎨=⎩【解析】根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．【详解】根据图示可得2753x yx y+=⎧⎨=⎩，故答案是：2753x yx y+=⎧⎨=⎩．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．三、解答题（本题包括8个小题）19．解不等式组：3(1)72323x xxx x--<⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来.【答案】x≥3 5【解析】分析：分别求解两个不等式，然后按照不等式的确定方法求解出不等式组的解集，然后表示在数轴上即可.详解：()3172323x xxx x⎧--<⎪⎨--≤⎪⎩①②，由①得，x＞﹣2；由②得，x≥35，故此不等式组的解集为：x≥35．在数轴上表示为：．点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？【答案】（1）答案见解析；（2）1 4【解析】分析：（1）直接列举出所有可能的结果即可.（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．详解：（1）学生小红计划选修两门课程，她所有可能的选法有：A 书法、B 阅读；A 书法、C 足球；A 书法、D 器乐；B 阅读，C 足球；B 阅读，D 器乐；C 足球，D 器乐.共有6种等可能的结果数；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率41.164== 点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．21．已知m 是关于x 的方程2450x x -=+的一个根，则228m m +=__【答案】10【解析】利用一元二次方程的解的定义得到245m m +=，再把228m m + 变形为()224m m +，然后利用整体代入的方法计算 ．【详解】解：m 是关于x 的方程2450x x +-=的一个根，2450m m ∴+-=，245m m ∴+=，()2228242510m m m m ∴+=+=⨯=．故答案为 10 ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 ． 22．矩形AOBC 中，OB=4，OA=1．分别以OB ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F 是BC 边上一个动点（不与B ，C 重合），过点F 的反比例函数y=k x（k ＞0）的图象与边AC 交于点E 。
2021年上海市16区中考数学一模考点分类汇编专题12二次函数基本概念(逐题详解版)
2021年上海市16区中考数学一模汇编专题12二次函数基本概念一、单选题1．（2021·上海九年级一模）抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()2,3-2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）关于抛物线2y x x ，下列说法中，正确的是（ ）A ．经过坐标原点B ．顶点是坐标原点C ．有最高点D ．对称轴是直线1x =3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）A ．-1B ．3C ．4D ．04．（2021·上海黄浦区·九年级一模）抛物线243y x x =-+-不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（ ） A ．点A 、B 、CB ．点A 、BC ．点A 、CD ．点B 、C6．（2021·上海静安区·九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位7．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（ ）．A ．0ac <B ．抛物线的对称轴为直线1x =C ．0a b c -+=D ．点()12,y -和()22,y 在拋物线上，则12y y >8．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()2y a x m k =++的图像如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）A ．0m <，0k <B ．0m <，0k >C ．0m >，0k <D ．0m >，0k >9．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，那么根据图象，下列判断正确的是（ ）A ．0a <B ．0b >C ．0ab >D ．0c10．（2021·上海闵行区·九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．223y x x=-- B ．22(1)y x x =--+ C ．21129y x x =+ D ．2y ax bx c =++11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）将抛物线22y x = 向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（ ）A ．221y x =-B ．221y x =+C ．2 21() y x =+D ．2 21() y x =-12．（2021·上海虹口区·九年级一模）下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．212y x =- B ．y =C ．22y x =-D ．()222y x x =--13．（2021·上海嘉定区·九年级一模）抛物线223y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()0,3-D ．()0,314．（2021·上海宝山区·九年级一模）若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（ ） A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =++D ．2(1)2y x =+-15．（2021·上海崇明区·九年级一模）抛物线()2y a x k k =-+的顶点总在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．直线y x =上D ．直线y x=-上16．（2021·上海普陀区·九年级一模）在下列对抛物线2(1)y x =--的描述中，正确的是（ ）A ．开口向上B ．顶点在x 轴上C ．对称轴是直线1x =-D ．与y 轴的交点是(0,1)17．（2021·上海松江区·九年级一模）将抛物线y=2x 2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（ ） A ．y=2x 2+3 B ．y=2x 2﹣3 C ．y=2（x+3）2 D ．y=2（x ﹣3）2二、填空题18．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知抛物线22y x x c =-+经过点()11,A y -和()22,By ，比较1y 与2y的大小：1y _____________2y （选择“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．19．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知抛物线2yx ，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点()2,2A ，那么平移后的抛物线的表达式是______．20．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知抛物线()211y a x =-+的开口向上，那么a 的取值范围是______．21．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如果抛物线()232y x b x c =+++的顶点为(),b c ，那么该抛物线的顶点坐标是________．22．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果将二次函数的图像平移，有一个点既在平移前的函数图像上又在平移后的函数图像上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线1C ：2(1)1y x =--向右平移得到新抛物线2C ，如果“平衡点”为(3，3)，那么新抛物线2C 的表达式为______．23．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果(2，1y )、(3，2y )是抛物线()21y x =+上两点，那么1y ______2y ．（填“>”或“<”）24．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如果抛物线()24y m x m =++经过原点，那么该抛物线的开口方向______．（填“向上”或“向下”）25．（2021·上海静安区·九年级一模）抛物线236y x =-的顶点坐标为____．26．（2021·上海静安区·九年级一模）二次函数223y x x =-图像的开口方向是____．27．（2021·上海宝山区·九年级一模）如果抛物线()21y m x m =++（m 是常数）的顶点坐标在第二象限，那么它的开口方向______．28．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如果二次函数2)1?( y x =-的图像上有两点1(2,)y 和2(4,)y ，那么1y _____2y （填“>”、“=”或“<”）29．（2021·上海虹口区·九年级一模）沿着x 轴正方向看，抛物线22y x =-在y 轴左侧的部分是______的（填“上升”或“下降”）．30．（2021·上海虹口区·九年级一模）如果抛物线l 经过点()2,0A -和()5,0B ，那么该抛物线的对称轴是直线________．31．（2021·上海虹口区·九年级一模）如果抛物线2y x a =-经过点()2,0，那么a 的值是______．32．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点1,0A ，那么()1f -=________0．（填“>”“<”或“=”)33．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果抛物线()22y x m k =++-的顶点在x 轴上，那么常数k 为______．34．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =，那么2a b+______0.（从＜，＝，＞中选择）35．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()213y x =+-的图像与y 轴的交点坐标为______． 36．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如果抛物线()221y a x =-的开口向下，那么实数a 的取值范围是______．37．（2021·上海普陀区·九年级一模）二次函数224y x x =+图像的顶点坐标为__________．38．（2021·上海杨浦区·九年级一模）抛物线y ＝x 2﹣4x +3与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，则△ABC 的面积＝__．39．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知，二次函数()2f x ax bx c =++的部分对应值如下表，则()3f -=________．40．（2021·上海金山区·九年级一模）抛物线22y x =-沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是______．（填“上升”或“下降”）41．（2021·上海九年级一模）二次函数22y x x m =++图像上的最低点的横坐标为_________________．42．（2021·上海崇明区·九年级一模）如果将抛物线()21y x =-先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为________．43．（2021·上海闵行区·九年级一模）将抛物线22y x x =+向下平移1个单位，那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为_________．44．（2021·上海闵行区·九年级一模）抛物线23y x x =--在对称轴的右侧部分是___________的（填“上升”或“下降”）．45．（2021·上海松江区·九年级一模）已知点()12,A y ，()23,B y 在抛物线22y x x c =-+（c 为常数）上，则1y ____2y （填“>”、“=”或“<”）46．（2021·上海奉贤区·九年级一模）当两条曲线关于某直线l 对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l 的对称曲线，如果抛物线21:2C y x x =-与抛物线2C 关于直线1x =-的对称曲线，那么抛物线2C 的表达式为_______________________．47．（2021·上海普陀区·九年级一模）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(1,0)A ，那么(1)f -__________0．（填“>”、“<”或“=”）48．（2021·上海普陀区·九年级一模）沿着x 轴正方向看，如果抛物线2(2)y a x =-在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 的取值范围是__________．49．（2021·上海杨浦区·九年级一模）一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为21251233y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______m ．2021年上海市16区中考数学一模汇编专题12二次函数基本概念一、单选题1．（2021·上海九年级一模）抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3--C ．()2,3D ．()2,3-【答案】A【分析】根据顶点式解析式的性质解答．【详解】抛物线2(2)3y x =---的顶点坐标是()2,3-，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数顶点式解析式的性质：2()y a x h k =-+中顶点坐标为（h ，k ）．2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）关于抛物线2y x x ，下列说法中，正确的是（ ）A ．经过坐标原点B ．顶点是坐标原点C ．有最高点D ．对称轴是直线1x =【答案】A【分析】本题根据二次函数的性质直接判断即可得出正确结果． 【详解】解：2yx x ，二次项前面的系数大于0，∴抛物线开口向上，有最低点，当x=0时，y=0，∴抛物线经过坐标原点，2y xx 21124x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴抛物线的对称轴为直线12x =，顶点坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，-，综上所述，B 、C 、D 选项均不正确，只有A 选项正确．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础题，熟练掌握二次函数的基本性质，学会化顶点式判断是解决本题的关键．3．（2021·上海黄浦区·九年级一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）A ．-1B ．3C ．4D ．0【答案】D【分析】利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性即可求出结论． 【详解】解：由表格可知：抛物线过（0，3）、（2，3）、（3，0）△抛物线的对称轴为直线x=022+=1，而1312-+= △x=-1对应的纵坐标与x=3对应的纵坐标相等，都是0 △这个被蘸上了墨水的函数值是0，故选D ．【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴是解题关键．4．（2021·上海黄浦区·九年级一模）抛物线243y x x =-+-不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】求出抛物线的图象和x 轴、y 轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：243y x x =-+-＝()221x --+，即抛物线的顶点坐标是（2，1），在第一象限；当y ＝0时，243x x -+-＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3即抛物线与x 轴的交点坐标是（1，0）和（3，0），都在x 轴的正半轴上，当x=0时，y=-3△抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），△a ＝-1＜0，△抛物线的图象的开口向下，大致画出图象如下：即抛物线的图象过第一、三、四象限，不过第二象限，故选：B ．【点睛】本题考查了求函数图象与坐标轴交点坐标和顶点坐标，即求和x 轴交点坐标就要令y=0、求与y 轴的交点坐标就要令x=0，求顶点坐标需要配成顶点式．5．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知点A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么抛物线21y ax bx =++可以经过的点是（ ）A ．点A 、B 、CB ．点A 、BC ．点A 、CD ．点B 、C【答案】C【分析】先把12A ，，()21C ，代入抛物线的解析式，求解抛物线的解析式为：221y x x =-++，再判断B 不在抛物线上，从而可得答案．【详解】解：把12A ，，()21C ，代入抛物线的解析式，124211a b a b ++=⎧∴⎨++=⎩ 即：120a b a b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：1,2a b =-⎧⎨=⎩ ∴ 抛物线为：221,y x x =-++ 当2x =时，44113,y =-++=≠()23B ∴，不在抛物线221y x x =-++上，∴ 抛物线21y ax bx =++可以经过的点是,.A C 故选：.C【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线上点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．6．（2021·上海静安区·九年级一模）将抛物线22(1)3y x =+-平移后与抛物线22y x =重合，那么平移的方法可以是（ ）A ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位【答案】A【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则选出正确选项．【详解】抛物线22(1)3y x =+-要通过平移得到22y x =，需要先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即()22211332y x x =+--+=．故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的平移，解题的关键是掌握抛物线的平移方法．7．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分，那么下列说法中不正确的是（ ）．A ．0ac <B ．抛物线的对称轴为直线1x =C ．0a b c -+=D ．点()12,y -和()22,y 在拋物线上，则12y y >【答案】B【分析】根据图象分别求出a 、c 的符号，即可判断A ；根据抛物线与x 轴的两个交点可判断出该抛物线的对称轴不是x =1，即可判断B ；把x =-1代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断C ；将x =-2与x =2带入二次函数，可得出y 1与y 2的值，即可判断D ．【详解】解：△二次函数的图象开口向上，△a ＞0，△二次函数的图象交y 轴的负半轴于一点，△c ＜0，△ac ＜0 选项A 正确；△由图像可看出，抛物线与x 轴的交点一个为x=-1，另一个在x=2和x=3中间，不关于x=1对称， △抛物线的对称轴不是x=1 选项B 错误；把x=-1代入y=ax 2+bx+c 得：y=a -b+c ，由图像可知，x=-1时y=0，△a -b+c=0 选项C 正确；把x=-2和x=2代入y=ax 2+bx+c 中，由图像可知，y 1＞0，y 2＜0，△y 1＞y 2 选项D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键时熟练运用抛物线的图像判断系数a 、b 、c 之间的关系，同时注意特殊点与对称轴之间的关系，属于中等题型．8．（2021·上海嘉定区·九年级一模）二次函数()2y a x m k =++的图像如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）A ．0m <，0k <B ．0m <，0k >C ．0m >，0k <D ．0m >，0k >【答案】A 【分析】根据函数图象的位置及顶点坐标所在的象限确定答案．【详解】由函数图象知：二次函数的图象顶点在第四象限，△顶点坐标为（-m ，k ），△-m>0，k<0，△m<0，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数图象，根据函数图象与各项系数之间的关系．9．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，那么根据图象，下列判断正确的是（ ）A ．0a <B ．0b >C ．0ab >D ．0c【答案】D 【分析】根据开口方向可判断a 的正负；根据对称轴的位置可判断b 的正负；进而得出ab 的正负；将(0,0)O 代入二次函数可得出c 的值即可． 【详解】解：抛物线开口向上，0a ∴>，故A 选项错误；抛物线对称轴在y 轴的右侧，02b a ∴->，0b ∴<，故B 选项错误； 0ab ∴<，故C 选项错误；二次函数2y ax bx c =++图象经过点(0,0)O ，0c ∴=，故D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据性质判断,,a b c 的正负是解题的关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．223y x x =--B ．22(1)y x x =--+C ．21129y x x =+D ．2y ax bx c =++【答案】C【分析】函数解析式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的函数是二次函数，根据定义解答．【详解】A 、223y x x=--中含有分式，故不是二次函数； B 、22(1)y x x =--+=2x -1，不符合定义，故不是二次函数；C 、21129y x x =+符合定义，故是二次函数；D 、2y ax bx c =++中a 不确定不等于0，故不是二次函数；故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的定义，熟记定义是解题的关键．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）将抛物线22y x = 向左平移1个单位后得到的抛物线表达式是（ ）A ．221y x =-B ．221y x =+C ．2 21() y x =+D ．2 21() y x =-【答案】C 【分析】根据抛物线平移的规律“上加下减，左加右减”即可选择．【详解】原抛物线向左平移1个单位后得：22(1)y x =+．故选C ．【点睛】本题考查抛物线平移与抛物线解析式的变化规律．掌握其规律“上加下减，左加右减”是解答本题的关键．12．（2021·上海虹口区·九年级一模）下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．212y x =-B ．y =C ．22y x =-D ．()222y x x =-- 【答案】C【分析】形如y=ax 2+bx+c （a≠0），a ，b ，c 是常数的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 为常数项，x 为自变量，y 为因变量，据此解题．【详解】A ．212y x =-右边不是整式，不是二次函数，故A 错误；B ． y =B 错误；C ．22y x =-是二次函数，故C 正确；D ．()222242444y x x x x x x =-+=-=--+-是一次函数，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．（2021·上海嘉定区·九年级一模）抛物线223y x =-的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()0,3-D ．()0,3 【答案】C【分析】直接由抛物线解析式即可求得答案．【详解】解：△抛物线为223y x =-，△抛物线顶点坐标为(0，-3)，故选:C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在2()y a x h k =-+ 中，顶点坐标为(h ，k)，对称轴为x=h ．14．（2021·上海宝山区·九年级一模）若将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线（ ）A ．2(1)2y x =-+B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =++D ．2(1)2y x =+- 【答案】A【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，就得到抛物线：()212y x =-+。
2020-2021学年上海市崇明区九年级(上)期末数学试卷(一模)
2020-2021学年上海市崇明区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知线段a、b、c、d的长度满足等式ab＝cd，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（）A．B．C．D．2．（4分）已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（）A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD3．（4分）已知和都是单位向量，那么下列结论中正确的是（）A．＝B．+＝2C．﹣＝0D．||+||＝24．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠A的正弦值为（）A．B．C．D．5．（4分）抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点总在（）A．第一象限B．第二象限C．直线y＝x上D．直线y＝﹣x上6．（4分）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．无法确定二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知，则＝．8．（4分）已知线段AB＝6cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么线段AC的长为．9．（4分）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比为．10．（4分）计算：2（﹣2）+3（2+）＝．11．（4分）如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度i＝1：3，那么这段斜坡的铅垂高度为米．12．（4分）已知锐角△ABC中，AB＝5，BC＝7，sin B＝，那么∠C＝度．13．（4分）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为．14．（4分）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为．15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P 的坐标为（1，y），点A的坐标为（﹣1，0），那么点B的坐标为．16．（4分）如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为厘米．17．（4分）我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，则AC2＝AB•AD，所以四边形ABCD是闪亮四边形，AC是闪亮对角线，AB、AD是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形ABCD中，AC是闪亮对角线，AD、CD是对应的闪亮边，且∠ABC＝90°，∠D＝60°，AB＝4，BC＝2，那么线段AD的长为．18．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E ⊥AC时，则线段AA′的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan60°+﹣sin245°．20．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝4，AC＝8．（1）求线段AE的长；（2）设＝，＝．①请直接写出向量关于、的分解式，＝；②联结BE，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．[可以不写作法，但必须写出结论]21．（10分）如图，已知⊙O的半径为，在⊙O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在线段AB的延长线上，且OC＝AB．（1）求线段BC的长；（2）求∠BOC的正弦值．22．（10分）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30°方向上．（1）B、P两处间的距离为海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它[填“能”或“不能”]到达Q 处；（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？23．（12分）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：．24．（12分）如图，已知对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（1，0）．（1）求点B的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P，对称轴与线段BC的交点为Q，将线段PQ绕点Q，按顺时针方向旋转120°，请判断旋转后点P的对应点P′是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x轴上是否存在点M，使△MOC与△BCP相似？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标【不必书写求解过程】．25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD．（1）求证：△ADP∼△EDQ；（2）设AP＝x，BQ＝y．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结PQ，交线段ED于点F．当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长．2020-2021学年上海市崇明区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知线段a、b、c、d的长度满足等式ab＝cd，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．【解答】解：A、＝⇒ad＝bc，符合题意；B、＝⇒ab＝cd，不符合题意；C、＝⇒ab＝cd，不符合题意；D、＝⇒ab＝cd，不符合题意．故选：A．【点评】考查了比例线段，掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．2．（4分）已知点G是△ABC的重心，如果联结AG，并延长AG交边BC于点D，那么下列说法中错误的是（）A．BD＝CD B．AG＝GD C．AG＝2GD D．BC＝2BD【分析】根据三角形重心的定义可判断AD为BC边上的中线，则可对A、D选项进行判断；根据三角形重心的性质可对B、C选项进行判断．【解答】解：如图，∵点G是△ABC的重心，∴AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，BC＝2BD，所以A、D选项的说法正确；∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GD，所以B选项的说法错误，C选项的说法正确．故选：B．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．3．（4分）已知和都是单位向量，那么下列结论中正确的是（）A．＝B．+＝2C．﹣＝0D．||+||＝2【分析】根据平面向量的性质进行一一分析判断．【解答】解：A、向量与方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．B、当向量与方向相反时，+＝，故本选项不符合题意．C、当向量与方向相同时，﹣＝，故本选项不符合题意．D、由题意知，||+||＝2，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．4．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，BC＝6，那么∠A的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，理解锐角三角函数的意义和勾股定理是解决问题的关键．5．（4分）抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点总在（）A．第一象限B．第二象限C．直线y＝x上D．直线y＝﹣x上【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可求出顶点坐标，再确定顶点所在的直线解析式．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点坐标为（k，k），∴顶点坐标满足直线y＝x，故顶点总在直线y＝x上，故选：C．【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标的求法以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（4分）如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．无法确定【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得∠AOC 的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数．【解答】解：设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，因为正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，所以OA＝OC，即＝，在直角△AOC中，sin∠AOC＝＝，∴∠AOC＝45°，∴∠AOB＝90°，则正多边形边数是：＝4．故选：B．【点评】本题考查正多边形和圆，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的性质．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知，则＝．【分析】根据题意，设x＝5k，y＝3k，代入即可求得的值．【解答】解：由题意，设x＝5k，y＝3k，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的基本性质，是基础题．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．8．（4分）已知线段AB＝6cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么线段AC的长为（3﹣3）cm．【分析】根据黄金分割的概念得到AC＝AB，把AB＝6cm代入计算即可．【解答】解：∵线段AB＝6cm，点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×6＝（3﹣3）cm，故答案为：（3﹣3）cm．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．9．（4分）如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比为1：16．【分析】根据对应高的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比，∴两三角形的相似比为1：4，∴两三角形的面积比为1：16．故答案为：1：16．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应高的比等于相似比．10．（4分）计算：2（﹣2）+3（2+）＝8﹣．【分析】利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．【解答】解：原式＝2﹣4+6+3＝8﹣．故答案是：8﹣．【点评】本题主要考查了平面向量的计算，注意：实数的运算法则同样应用于平面向量的计算．11．（4分）如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度i＝1：3，那么这段斜坡的铅垂高度为4米．【分析】直接利用坡度的定义进行解答即可．【解答】解：∵斜坡的坡度i＝＝1：3，水平宽度为12米，∴铅垂高度＝×水平宽度＝×12＝4（米），故答案为：4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．12．（4分）已知锐角△ABC中，AB＝5，BC＝7，sin B＝，那么∠C＝45度．【分析】过A作AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，解直角三角形求出AD和BD，求出CD＝AD＝4，再求出答案即可．【解答】解：过A作AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，∵sin B＝＝，AB＝5，∴AD＝4，由勾股定理得：BD＝＝＝3，∵BC＝7，∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝4，∴AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝45°，故答案为：45．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解直角三角形和勾股定理等知识点，能求出AD的长度是解此题的关键．13．（4分）函数y＝2x2+4x﹣5的图象与y轴的交点的坐标为（0，﹣5）．【分析】根据题目中的函数解析式，令x＝0，求出相应的y的值，即可解答本题．【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣5，∴当x＝0时，y＝﹣5，故答案为：（0，﹣5）．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道抛物线与y轴的交点，横坐标为0．14．（4分）如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+2）2+1，即y＝（x+1）2+1．故答案为y＝（x+1）2+1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．15．（4分）如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的弧与x轴交于A、B两点，已知点P 的坐标为（1，y），点A的坐标为（﹣1，0），那么点B的坐标为（3，0）．【分析】利用垂径定理，根据P点坐标，求出C点坐标，从而求出B点坐标．【解答】解：∵P点坐标为（1，y），∴C点坐标为（1，0），∵AC＝1﹣（﹣1）＝2，∴BC＝AC＝2，∴OB＝2+1＝3，∴B（3，0）．故答案为：（3，0）．【点评】本题考查了垂径定理和坐标与图形，知道AC＝BC是解题的关键步骤．16．（4分）如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为3厘米．【分析】根据两圆位置关系是内切，则圆心距＝两圆半径之差，外切，则圆心距＝两圆半径之和，列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设大圆半径为x厘米，小圆的半径为y厘米，∵两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，∴，解得x＝3，∴大圆半径为3厘米，故答案为3．【点评】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径之差，外切时，r+R＝d．17．（4分）我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，则AC2＝AB•AD，所以四边形ABCD是闪亮四边形，AC是闪亮对角线，AB、AD是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形ABCD中，AC是闪亮对角线，AD、CD是对应的闪亮边，且∠ABC＝90°，∠D＝60°，AB＝4，BC＝2，那么线段AD的长为2．【分析】如图，作CH⊥AD于H．想办法证明△ACD是等边三角形，即可解决问题．【解答】解，如图，作CH⊥AD于H．∵AC2＝DA•DC时∵DH＝CD•cos∠D，CH＝CD•sin∠D，AH＝AD﹣CD•cos∠D，∴AC2＝AH2+CH2＝（AD﹣CD•cos∠D）2+（CD•sin∠D）2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠D＝AD2+CD2﹣AD•CD，∵AC2＝AD•CD，∴AD2﹣2AD•CD+CD2＝0，∴（AD﹣CD）2＝0，∴AD＝CD，∵∠D＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△ACD是等边三角形，属于中考常考题型．18．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．点D为线段AB的中点，点E在边AC上，连接DE，沿直线DE将△ADE折叠得到△A′DE．连接AA′，当A′E ⊥AC时，则线段AA′的长为2．【分析】画出相应的图形，结合图形通过作高构造直角三角形，求出AM＝BM＝4，进而求出AC，再利用相似三角形的性质和判定求出AE，根据对称在Rt△AEF中求出AF即可．【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M，在Rt△ABM中，∠B＝45°，AB＝4，∴AM＝BM＝AB•sin∠B＝4，在Rt△ACM中，AM＝4，∠C＝60°，∴AC＝＝＝，又∵A′E⊥AC，∴∠A′EC＝90°，由折叠得∠AED＝∠A′ED＝（180°﹣90°）＝45°，AA′⊥DE，∵∠AED＝45°＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴＝，∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝AB＝2，∴＝，∴AE＝2，在Rt△AEF中，AF＝EF＝AE•sin∠AED＝2×＝，∴AA′＝2AF＝2，故答案为：2．【点评】本题考查轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握轴对称、相似三角形的性质以及解直角三角形是解决问题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：tan60°+﹣sin245°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．【解答】解：原式＝+﹣（）2＝++1﹣＝2+．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝4，AC＝8．（1）求线段AE的长；（2）设＝，＝．①请直接写出向量关于、的分解式，＝﹣+；②联结BE，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．[可以不写作法，但必须写出结论]【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）①利用三角形法则求出，再根据AE＝AC，求解即可．②利用平行四边形法则画出图形即可．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴AE＝．（2）①∵＝+，∴＝﹣+，∵AE＝AC，∴＝﹣+．故答案为：﹣+．②向量分别在、方向上的分向量分别为，：如图所示：【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，已知⊙O的半径为，在⊙O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在线段AB的延长线上，且OC＝AB．（1）求线段BC的长；（2）求∠BOC的正弦值．【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，根据已知条件可得∠C＝30°，进而可得结论；（2）过点B作BE⊥OC于点E，根据锐角三角函数定义即可求出结果．【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴AB＝OC＝2，OD＝BD＝1，∴∠C＝30°，∴CD＝，∴BC＝﹣1；（2）如图，过点B作BE⊥OC于点E，∵∠C＝30°，∴BE＝BC，∴sin∠BOC＝＝＝＝．【点评】本题考查了垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是掌握垂径定理，解直角三角形．22．（10分）为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理．如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P处的值守人员报告；在P处南偏东30°方向上，距离P处14海里的Q处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A处测得监测点P在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B处，此时测得监测点P在其北偏东30°方向上．（1）B、P两处间的距离为14海里；如果联结图中的B、Q两点，那么△BPQ是等边三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它能[填“能”或“不能”]到达Q处；（2）如果监测点P处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）先由题意得AB＝14（海里），∠P AB＝30°，∠ABP＝120°，再由三角形内角和定理得∠APB＝30°＝∠P AB，则PB＝AB＝14（海里），然后证△BPQ是等边三角形，进而得A、B、Q三点共线，即可得出结论（2）过点P作PH⊥AB于H，由（1）得∠PBH＝60°，再求出PH＝7，然后由7＞12即可得出结论．【解答】解：（1）如图1所示：由题意得：AB＝28×＝14（海里），∠P AB＝90°﹣60°＝30°，∠ABP＝90°+30°＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠P AB﹣∠ABP＝30°，∴∠APB＝∠P AB，∴PB＝AB＝14（海里），∵BC∥PD，∴∠BPD＝∠PBC＝30°，∴∠BPQ＝∠BPD+∠QPD＝30°+30°＝60°，∵PQ＝PB＝14，∴△BPQ是等边三角形，∴∠PBQ＝60°，∴∠PBQ+∠ABP＝60°+120°＝180°，∴A、B、Q三点共线，∴如果海监船保持原航向继续航行，那么它到达Q处，故答案为：14，等边，能；（2）过点P作PH⊥AB于H，如图2所示：由（1）得：∠PBH＝60°，在Rt△BHP中，PH＝sin60°×PB＝×14＝7，∵7＞12，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握锐角三角函数的概念和等边三角形的判定与性质是解题的关键．23．（12分）已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且∠AED＝∠ABC，联结BE、CD相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠ACD；（2）如果ED＝EC，求证：．【分析】（1）根据已知条件证明△ADE∽△ACB，可得＝，根据∠A＝∠A，证明△ADC∽△AEB，即可得结论；（2）根据已知条件证明△EDF∽△EBD，可得＝＝，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△AEB，∴∠ABE＝∠ACD；（2）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDC＝∠EBD，∵∠DEF＝∠DEB，∴△EDF∽△EBD，∴＝＝，（）2＝•，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．（12分）如图，已知对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（1，0）．（1）求点B的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P，对称轴与线段BC的交点为Q，将线段PQ绕点Q，按顺时针方向旋转120°，请判断旋转后点P的对应点P′是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x轴上是否存在点M，使△MOC与△BCP相似？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M的坐标【不必书写求解过程】．【分析】（1）构建方程组求解即可．（2）如图1中，过点P′作P′H⊥PQ于H．求出点P′的坐标，即可判断．（3）首先证明∠PCB＝90°，由PC：BC＝1：3，推出OM：OC＝1：3或OC：OM＝1：3，推出OM＝1或9，由此即可解决问题．【解答】解：（1）由题意，，解得，∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，∴B（﹣3，0）．（2）如图1中，过点P′作P′H⊥PQ于H．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点P（﹣1，4），∵B（﹣3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为y＝x+3，∵PQ∥y轴，∴Q（﹣1，2），∴PQ＝2，在Rt△P′QH中，∠P′HQ＝90°，∠P′QH＝180°﹣120°＝60°，P′Q＝PQ＝2，∴PH＝P′Q•sin60°＝，PH＝P′Q•cos60°＝1，∴P′（﹣1，1），当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2﹣2（﹣1）+3＝1，∴点P′在抛物线上．（3）存在．如图2中，连接PB，PC．∵B（﹣3，0），P（﹣1，4），C（0，3），∴BC＝3，PC＝，PB＝2，∴PB2＝PC2+CB2，∴∠PCB＝90°，PC：BC＝：3＝1：3，当MO：OC＝1：3或OC：MO＝1：3时，△COM与△BCP相似，∴OM＝1或9，∴满足条件的点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（9，0）或（﹣9，0）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．25．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E，点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD．（1）求证：△ADP∼△EDQ；（2）设AP＝x，BQ＝y．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结PQ，交线段ED于点F．当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长．【分析】（1）证∠A＝∠DEQ，∠EDQ＝∠ADP，即可得出△ADP∽△EDQ；（2）证△EDB∽△ACB，求出ED＝，EB＝，由（1）得：△ADP∽△EDQ，得＝，解得：EQ＝x，进而得出结论；（3）证tan∠QPD＝＝＝＝tan B，得∠QPD＝∠B，再证△PDF∽△BDQ，得△PDF为等腰三角形时，△BDQ也为等腰三角形，再分三种情况：①若DQ＝BQ，②BQ＝BD，③DQ＝DB，分别求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵ED⊥AB，∴∠EDB＝90°，∴∠DEQ+∠B＝90°，∴∠A＝∠DEQ，又∵PD⊥QD，∴∠PDQ＝90°，∴∠EDQ+∠PDE＝∠ADP+∠PDE＝90°，∴∠EDQ＝∠ADP，∴△ADP∽△EDQ；（2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵点D为斜边AB的中点，∴AD＝BD＝AB＝5，∵∠EDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△EDB∽△ACB，∴＝＝，即＝＝，解得：ED＝，EB＝，由（1）得：△ADP∽△EDQ，∴＝，即＝＝，解得：EQ＝x，∴BQ＝BE﹣EQ＝﹣x，即y＝﹣x，∵AP≥0，∴x≥0，∵BQ≥0，∴﹣x≥0，∴x≤，∴y＝﹣x（0≤x≤）；（3）解：由（1）得：△ADP∼△EDQ，∴＝＝，∵PD⊥QD，∴∠PDQ＝90°，∴tan∠QPD＝＝＝＝tan B，∴∠QPD＝∠B，又∵∠PDQ＝∠BDE＝90°，∴∠PDF＝∠BDQ，∴△PDF∽△BDQ，∴△PDF为等腰三角形时，△BDQ也为等腰三角形，①若DQ＝BQ，过Q作QG⊥BD于G，如图所示：则DG＝BG＝BD＝，∵cos B＝＝＝＝，∴＝，解得：x＝，即AP＝；②若BQ＝BD，则﹣x＝5，解得：x＝，即AP＝；③若DQ＝DB，则∠B＝∠DQB，∵∠B+∠DQB+∠BDQ＝2∠B+∠BDQ＜180°，此种情况舍去；综上所述，当△PDF为等腰三角形时，线段AP的长为或．【点评】本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．。