高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2_3幂函数命题与探究新人教A版
人教A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课件PPT
x2
[0,),
且x 1
x2, 则
方法技巧: 分子有理化
( f (x1) f (x2) x1 x2
x1 x1
x2 x2
, x1
x2
0,
x1
x1
x2
x2 )( x1 x2 ) x1 x2 0, f (x1) f (x2).
所以幂函数 f (x)
人教A版高中数学必修1第二章2.3幂函 数课件 PPT【 精品】
其中 x 为自变量， 为常数.
说明:
（1）幂函数的定义域不固定，它与 的取值
有关；
（2）幂函数的解析式必须是y x的形式，其
特征可归纳为①指数为常数， ②底数为自变量， ③ 的系数为1，④只有１项
你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
幂函数与指数函数的对比
名称
式子
常数ɑ 自变量x 因变量y
指数函数: y= ɑx 底数
(1)如果张红购买了每千克1w千克,那么她需要支付P
= ______ w 元
P 是w 的函数
y=x
(2)如果正方形的边长为ɑ,那么正方形的面积S = _ɑ_²__
S是 ɑ 的函数
y=x2
(3)如果立方体的边长为ɑ,那么立方体的体积V = ɑ_³___
V是ɑ的函数
y=x3
(4)如果一1 个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边
上增
［0，+∞） 上增
在(0，+∞)上减
公共点 (1,1)
(-2,4)
(-1,1)
-4
-2
(-2,-1/2) (-1,-1)
y x3 y x2
4
(2,4)
yx
3
1
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数教案 新人教A版必修1(2021年最新整理)
高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数教案新人教A版必修1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数教案新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数教案新人教A版必修1的全部内容。
2。
3幂函数1。
知识与技能(1)理解幂函数的概念,会画幂函数的图象;（2)结合几个幂函数的图象,了解幂函数图象的变化情况和简单性质.2.过程与方法（1）类比研究一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质.引导学生通过观察、归纳、抽象,概括幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.能运用幂函数的概念解决简单的问题；(2）使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.3.情感、态度与价值观(1)通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应用,激发学生的学习兴趣；(2）进一步渗透数形结合与类比的思想方法;(3）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质。
难点：从幂函数的图象中概括其性质.重难点的突破：以学生熟知的函数y=x,y=x2,y=,y=x3,y=为切入点,类比指数函数及对数函数的概念得出幂函数的概念.通过学生自主作图，并观察五个具体的幂函数的图象，经小组讨论并结合多媒体的直观演示,师生共同总结出函数y=xα的图象特征.“幂”的由来数学史上很早就借用“幂”字,起先用于表示面、面积,后来扩充为表示平方或立方。
度高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数课件新人教A版必修1
x
题型三 幂函数的性质
【例 3】 比较下列各组数中两个数的大小.
(1)( 2 )0.5 与( 1 )0.5; (2)(- 2 )-1 与(- 3 )-1;
5
3
3
5
解:(1)因为幂函数 y=x0.5 在(0,+∞)上是单调递增的,
又 2 > 1 ,所以( 2 )0.5>( 1 )0.5.
53
5
3
(2)因为幂函数 y=x-1 在(-∞,0)上是单调递减的,
(3)1.1-0.1 和 1.2-0.1;
2
(4)4. 15
,3.
8
2 3
和(-1.9)
3 5
.
解:(3)幂函数 y=x-0.1 在(0,+∞)上为减函数, 因为 0<1.1<1.2,所以 1.1-0.1>1.2-0.1.
(4)因为
2
4. 15
2
> 15
=1,0<3.
8
2 3
<
1
2 3
=1,(-1.9)
即时训练 1-1:已知 y=(m2+2m-2) xm2 1 +2n-3 是定义域为 R 的幂函数,求 m,n 的值.
解:由题意得
m2 m2 2n
2m 1 0, 3 0,
2
1,
解得
m n
3, 3. 2
【备用例 1】 幂函数 y=f(x)经过点(3, 3 ),则 f(x)是( )
(A)偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 (B)偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 (C)奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 (D)非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数
人教A版数学必修一幂函数的图象、性质与应用
跟踪 训练
栏 目 链 接
题型二利用幂函数的性质比较大小 例2比较下列各组中两个数的大小：
栏 目 链 接
栏 目 链 接
点评：比较两个幂的大小的关键是搞清楚底数与指数是否相
同，若底数相同，利用指数函数的性质比较大小；若指数相同，利 栏
用幂函数的性质比较大小；若底数指数均不同，考虑利用中间值来
目 链
栏
目
解析：作直线x＝t(t>1)，它与各幂函数图象相交，交点在第按从小到大的顺序排列．
自测 自评
栏 目 链 接
自测 自评
2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0， 函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是( )
A．幂函数B．对数函数
栏 目 链 接
题型一幂函数概念的理解应用 例1
栏 目 链 接
点评：幂函数y＝xα(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的
底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为 栏
幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验
目 链
根，以免增根．
接
跟踪 训练
栏 目 链 接
栏
目
C．指数函数D．余弦函数 解析：本题考查幂的运算性质f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y).
答案：C
链 接
自测 自评
3．函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数且函数f(x)为偶函数， 求m的值．
栏
解析：∵f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，∴m2－3m＋3＝1，目链 即m2－3m＋2＝0，∴m＝1或m＝2.当m＝1，f(x)＝x3为奇函数，不 接 符合题意；当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，符合题意，∴m＝2.
高中数学 第二章 基本初等函数(ⅰ)2.3 幂函数课件 a必修1a高一必修1数学课件
幂函数的概念(gàiniàn)
[例 1] 已知幂函数 y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函 数的解析式，并指出定义域．
[解] ∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3 为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1. 当 m＝2 时，m2－2m－3＝－3，则 y＝x－3，且有 x≠0； 当 m＝－1 时，m2－2m－3＝0，则 y＝x0，且有 x≠0. 故所求幂函数的解析式为 y＝x－3，定义域为{x|x≠0}或 y＝x0， 定义域为{x|x≠0}．
2021/12/8
第六页，共十八页。
判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y ＝xα(α 为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的 形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量； (3)系数为 1.
2021/12/8
第七页，共十八页。
[活学活用] 1．下列函数中不是幂函数的是( A．y＝ x C．y＝22x
2021/12/8
第十三页，共十八页。
[一题多变] 1．[变设问]本例条件不变，试判断 f(x)的奇偶性．
解：由本例知，f(x)＝x－2，则 f(－x)＝(－x)－2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
2．[变条件]本例中点 P 变为8，12， (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)判断函数 f(x)的单调性，
(1)25
0.5 与13
0.5；(2)－23－1
与－35－1；(3)23
3 4
与34
2 3
.
[解] (1)∵幂函数 y＝x0.5 在(0，＋∞)上是单调递 增的，
又25
>
13，∴25
0.5 >
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数课件新人教A版必修1
解析:由幂函数的图象特征知,c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.
答案:A
第十一页，共28页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
第十二页，共28页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
第十三页，共28页。
3
5
2 -1
∴ -3
> -
3 -1
5
(3)∵函数 y1=
1
2
.
1
2
3
1
1
4
2
2
在定义域内为减函数,且 > ,∴
3
1
4
2
又函数 y2= 在[0,+∞)上是增函数,且 > ,
∴
∴
3
4
3
4
1
2
1
2
>
>
1
2
1
2
1
2
3
4
.
.
第十七页，共28页。
1
2
>
1
2
3
4
.
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
1
④y=(x-1)3 的底数是 x-1 而不是 x,故不是幂函数;⑥y=x2+ 是两个幂
函数和的形式,也不是幂函数.很明显 页，共28页。
1
2.函数
5
xiànɡ)大致是(
2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数课件新人教A版必修1
(A)2
(B)1
(C) 1 2
(D)0
解析:(1)因为函数 f(x)=ax2a+1+b+1 是幂函数,
所以
a b
1, 1
0,
即
a b
1, 1,
所以 a+b=0,故选 D.
(2)(2018·福建龙岩期中)若函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且图象与坐
标轴无交点,则f(x)( )
.
24
解析:(2)因为幂函数 f(x)=xa 的图象过点( 1 , 1 ), 24
所以( 1 )a= 1 ,解得 a=2, 24
所以 loga8=log28=3. 答案:(2)3
题型二 幂函数的图象 [例 2] (1)与下列幂函数对应的图象序号正确的一组是( )
a.y=x5;b.y=
x
4 3
;c.y=
(A)是偶函数
(B)是奇函数
(C)是单调递减函数 (D)在定义域内有最小值
解析:(2)幂函数f(x)=(m2-m-1)xm的图象与坐标轴无交点,可得m2-m1=1,且m≤0,解得m=-1,则函数f(x)=x-1,所以函数是奇函数,在定义 域上不是减函数,且无最值,故选B.
易错警示
(1)幂函数解析式的结构特征:①解析式是单项式;②幂指数为常数, 底数为自变量,系数为1. (2)幂函数y=xα的图象与坐标轴无交点,则α≤0,而不是α<0.
3
2
(4)4. 15
,3.
8
2 3
和(-1.9)
3 5
.
2
2
解:(4)因为幂函数 y= x 5 在(0,+∞)上为增函数,且 4.1>1,所以 4.15 >1,
高中数学第二章基本初等函数§2.1.1指数(第1—2课时)教案新人教A版必修1
第二课时
提问： 1．习初中时的整数指数幂，运算性质？
an a a a a, a0 1 (a 0) ,0 0无意义
an
1 an
(a 0)
a m a n a m n ; (a m )n a mn
(an )m a mn, (ab) n a nb n
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数 . 2．观察以下式子，并总结出规律：
三．学法与教具 1 ．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 2．教具：多媒体
四、教学设想：
第一课时
一、复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若
x2 a ，则 x 叫做 a 的平方根 . 同理，若 x3 a ，则 x 叫做 a
的立方根 .
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念， 目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模
型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展
.
4. 教材对幂函数的内容做了削减， 仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数， 并且安排的顺序向后调
整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担
.
5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象
思考： a n n ( n a ) n 是否成立，举例说明 .
课堂练习： 1. 求出下列各式的值
(1) 7 ( 2)7
(2) 3 (3a 3)3 ( a 1)
4
(3) (3a
3)4
2．若 a2 2a 1 a 1,求 a的取值范围 .
3．计算 3 ( 8)3 4 (3 2)4 3 (2 3)3
三．归纳小结：
即： a n
1
m
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.3幂函数课件新人教A版必修14
幂函数的图象及应用
(1)如图，图中曲线是幂函数 y＝xα在第一象限的大致图 象，已知 α 取－2，－12，12，2 四个值，则相应于曲线 C1，C2， C3，C4 的 α 的值依次为( )
A．－2，－12，12，2 C．－12，－2，2，12
B．2，12，－12，－2 D．2，12，－2，－12
(2)已知幂函数 f(x)＝xα 的图象过点 P2，14，试画出 f(x)的图象 并指出该函数的定义域与单调区间．
下列函数为幂函数的是( )
A．y＝2x3
B．y＝2x2－1
C．y＝1x
D．y＝x32
解析：选 C.y＝2x3 中，x3 的系数不等于 1，故 A 不是幂函数；y
＝2x2－1 不是 xα的形式
数；y＝x32＝3x－2 中 x－2 的系数不等于 1，故 D 不是幂函数．
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
奇偶性 _奇___
__偶__
_奇___
_非__奇___ _非__偶___
_奇___
单调性
_增___
x∈[0，＋∞)， _增___ x∈(－∞，0]， _减___
_增___
x∈(0，＋ _增___ ∞)，_减___
x∈(－∞， 0)，_减___
公共点
都经过点__(1_，__1_)__
2．比较下列各组数的大小： (1)3－52和 3.1－52； (2)－8－78和－1978； (3)4.125，3.8－23和(－1.9)35.
解：(1)函数 y＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，又 3＜3.1，所以 3－52 ＞3.1－52. (2)－8－78＝－1878，函数 y＝x78在(0，＋∞)上为增函数，又18＞19， 则1878＞1978，从而－8－78＜－1978. (3)4.125＞125＝1；0＜3.8－23＜1－32＝1；(－1.9)35＜0， 所以(－1.9)35＜3.8－23＜4.125.
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数教学设计 新人教A版必修1(2021年整理)
浙江省金华市高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数教学设计新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省金华市高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数教学设计新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为浙江省金华市高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数教学设计新人教A版必修1的全部内容。
§2。
3幂函数一、 教学目标：⑴ 通过实例,了解幂函数的概念;结合函数x y =，2x y =， 3x y =, 21x y =,1-=x y 的图像，了解幂函数的图象和性质它们的变化情况。
⑵ 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法,来研究幂函数的图象和性质．并能进行简单的应用． 二、教学重难点：重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律． 三、教具：多媒体四、学法指导：数形结合,从特殊到一般 五、教学过程： 环节 教学内容设计设计意图创设情境阅读教材P 77的具体实例(1）～（5)，思考下列问题:1．以上问题中的函数有什么共同特征?答案：1．（1）都是函数（2）都是以自变量为底的幂(3）指数是常数（4）自变量前的系数是12．上述问题中涉及到的函数,都是形如αx y =的函数，其中x 是自变量，是α常数．生：独立思考完成引例．师：引导学生分析归纳概括得出结论．师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．组织探究材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如αxy=的函数称为幂函数，其中x为自变量，α为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．画出下列函数的图象：（1)xy=；（2）21xy=；(3）2xy=；（4）1-=xy；(5）3xy=．［解] 错误!列表（略）○2图象师：说明:幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数,引导学生注意辨析．生：利用所学知识和方法尝试画出五个具体幂函数的图象，观察图象，体会幂函数的变化规律．师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同分析，强调画图象易犯的错误．环节教学内容设计设计意图作业回馈1．已知幂函数)(xfy=的图象过点)2,2(，试求出这个函数的解析式．2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时,其流量速率v与管道半径r的四次方成正比．（1)写出函数解析式；（2)若气体在半径为3cm的管道中,流量速率为400cm3/s,求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；（3）已知(2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率．幂函数性质的初步应用探究与发现类比探索这五个幂函数的性质，利用描点法（有条件的利用几何画板）探索一般幂函数αxy=的图象随α的变化规律．规律:1。
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2.3 幂函数
问题探究
问题 如何理解分数指数幂n
m a 的意义? 探究:分数指数幂n
m a 不可理解为
n
m
个a 相乘,它是根式的一种新的写法.规定n
m a =n m a (a>0,m 、n 都是正整数,n>1), n
m a
-=
n
m
n
m a
a
1
1=
(a>0,m 、n 都是正整数,n>1),
在这样的规定下,根式与分数指数幂表示相同意义的量,它们只是形式上的不同而已.0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义,负数的分数指数幂是否有意义,应视m 、n 的具体数而定. 典题精讲 例1:若(a+12
1)-<(3-2a 2
1)
-
,则a 的取值范围是___________.
思路解析:
因为函数y=2
1x 在[0,+∞)上单调，所以y=2
12-在[0,+∞)上单调减，所以⎪⎩
⎪
⎨⎧>->+->+.023,01,231a a a a
解得
32<a<23. 答案:( 32,2
3
)
例2:已知0<a<1,试比较a a
,(a a )a
,)
(a a a
的大小.
思路分析:
利用幂函数和指数函数的性质求解.
解:为比较a a 与(a a )a 的大小,将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f(x)=x a
(0<a<1)在区间[0，+∞)上是增函数，因此只需比较底数a 与a a
的大小.
由于指数函数y=a z
(0<a<1)是减函数,且a<1,所以a<a a
从而a a
<(a a )a
.
比较a a 与(a a )a 的大小,也可将它们看成底数相同(都是a a
)的两个幂,于是可以利用指数函数y=b x (b=a a ,0<b<1)是减函数,由a<1,得到a a <(a a )a
.
由于a<a a
,函数y=a z
(0<a<1)是减函数,因此a a
>(a a
).综上,得)
(a a a
< a a <(a a )a
.
例3:图2-3-2中曲线是幂函数y=x α
在第一象限的图象,已知α取±2,±2
1
四个值,则对应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的指数α依次为( )
图2-3-2
A.-2,-
21,21,2 B.2, 21,-21
,-2 C.- 21,-2,2, 21 D.2, 21,-2,- 2
1
思路解析:
要确定一个幂函数y=x α在坐标系内的分布特征,就要弄清幂函数y=x α
随着α值的改变图象
的变化规律.随着α的变大,幂函数y=x α
的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出,直线x=1右侧的图象,由低向高依次为C 1,C 2,C 3,C 4,所以α依次为2, 21,-2
1
,-2,故选择答案B. 答案:B
例4:画函数y=1+x -3的草图,并求出其单调区间.
思路分析:
此函数的作图有两个途径,一是根据描点的方法作图,二是利用坐标系的平移来作图.一般说来,作草图时,利用坐标平移较为方便.
解:由y=1+x -3,得y-1=x -3,∴y=)3(--x +1. 此函数的图象可由下列变换而得到:
先作函数y=x 的图象,作其关于y 轴的对称图象,即y=x -的图象,将所得图象向右平移3个单位,向上平移1个单位,即为y=1+x -3的图象(如图2-3-3所示).
图2-3-3
例5:若幂函数f(x)=3
22--m m x (m ∈Z )的图象与坐标轴没有公共点,且关于y 轴对称,求f(x)
的表达式. 思路分析:
要求幂函数y=3
22--m m x
(m ∈Z )的解析式,也就是求整数m,考虑到该幂函数的图象特征:1°
与坐标轴无公共点,2°关于y 轴对称,可
知指数m 2-2m-3≤0且m 2
-2m-3为偶数(m ∈Z ),容易解得m 的值,进而得到f(x). 解:由题意知,幂函数f(x)= 3
22
--m m
x (m ∈Z )在第一象限内递减(或无增减性),且为偶函数,
∴m 2
-2m-3≤0,且m 2
-2m-3为偶数,m ∈Z .
由⎩⎨⎧∈≤--,
,0322Z m m m 得m=0,1,2,-1,3. 又m 2
-2m-3=0为偶数, ∴m=-1或1或3.
当m=-1或3时,f(x)=x 0
(x ≠0);
当m=1时,f(x)=x -4
(x ≠0).。