2001年考研数学二试题及答案

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．） （1）2

13lim

21

-++--→x x x

x x ＝______．

【答案】26

-

【考点】洛必达法则 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一：

21

1312(1)1

lim

lim 2(1)(2)31x x x x x x x x x x x →→--+-=?+--+-++111lim 22

x x →=-+2.6=- 方法二：使用洛必达法则计算

21

31lim

2

x x x

x x →--++-1

2121

321lim 1++-

--

=→x x x x 623221221-=--=.

（2）设函数)(x f y =由方程1)cos(2-=-+e xy e y

x 所确定，则曲线)(x f y =在点)1,0(处

的法线方程为______． 【答案】022=+-y x

【考点】隐函数的导数、平面曲线的法线 【难易度】★★ 【详解】解析：在等式2cos()1x y

e

xy e +-=-两边对x 求导,得

2(2')sin()(')0,x y e y xy y xy +?++?+=

将1,0==y x 代入上式,得'(0) 2.y =-故所求法线方程为1

1,2

y x -=

即 x ?2y +2=0. （3）

x x x x d cos )sin (22π2

π23?

-+＝_______．

【答案】

8

π 【考点】定积分的换元法 【难易度】★★

【详解】解析：由题干可知，积分区间是对称区间，利用被积函数的奇偶性可以简化计算. 在区间[,]22

ππ

-

上,32cos x x 是奇函数,22sin cos x x 是偶函数, 故

()()3

2

2

3

2

2

2

2

2222

2

2

1sin cos cos sin cos sin 24x x xdx x x x x dx xdx π

π

π

πππ

--

-+=+=??? 22

1(1cos 4)8x dx π

π-=-?.8π=

（4）过点)0,21(

且满足关系式11in arcs 2

=-+

'x

y

x y 的曲线方程为______． 【答案】1

arcsin 2

y x x =-

【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一: 原方程2

'arcsin 11y y x x +

=-可改写为()'

arcsin 1,y x =

两边直接积分,得arcsin y x x C =+ 又由1()0,2y =解得1.2

C =- 故所求曲线方程为：1arcsin .2

y x x =- 方法二:

将原方程写成一阶线性方程的标准形式

211

'.arcsin 1arcsin y y x

x x

+

=

-解得

221

1

1arcsin 1arcsin ln arcsin ln arcsin 1arcsin 1arcsin 1(),arcsin dx

dx x x x x

x x y e C e dx x e C e dx x C x x

-

---???

?=+????????

=+????

=+?

?

又由1()0,2y =解得1.2

C =- 故曲线方程为：1arcsin .2

y x x =-

（5）设方程????

??????-=????????????

?

???

?

??

?????????211111111321x x x a a a 有无穷多个解，则a ＝______．

【答案】2-

【考点】非齐次线性方程组解的判定 【难易度】★★ 【详解】解析：方法一:

利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有

2

11

111211

1011311201112a a

A a a a a a a a -????

????=→--???

?????---+????

()()()

()1

120113,0

01222a

a a a a a -??

?

?→--????-++??

可见,只有当a =?2 时才有秩()()23,r A r A ==<对应方程组有无穷多个解. 方法二:

当系数矩阵的行列式不为零时,方程组有唯一解,因此满足题设条件的a 一定使系数行列式

为零,即有211

1

1(2)(1)0,11a a a a a

=+-=解得2-=a 或1=a .

由于答案有两个,应将其带回原方程进行检验.显然,当1=a 时,原方程无解,因此只能是

2-=a .

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．） （1）设???>≤=,

1||,0,

1||,1)(x x x f 则)]}([{x f f f 等于（ ） （A ）0．

（B ）1．

（C ）??

?>≤.

1||,0,1||,1x x

（D ）??

?>≤.

1||,1,1||,0x x

【答案】B 【考点】复合函数 【难易度】★

【详解】本题涉及到的主要知识点：

复合函数中，内层函数的值域是包含于外层函数的定义域。

解析：由题易知1)(≤x f ，所以1)]([=x f f ，1)1()]}([{==f x f f f ，选B.

（2）设当0→x 时，)1ln()cos 1(2

x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n

x x sin 是比

)1(2

-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ ）

（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4．

【答案】B

【考点】无穷小量的比较 【难易度】★★

【详解】解析：由题易知:

3

41021lim 21lim 0sin )1ln()cos 1(lim 14

022020

x x x x x x x x x n x n x n x

（3）曲线2

2)3()1(--=x x y 的拐点个数为（ ） （A ）0． （B ）1．

（C ）2．

（D ）3．

【答案】C

【考点】函数图形的拐点

1

2

10lim lim 01

sin lim 2102002>?>+?==??=-+→→→n n x x x x x e x x n x n x x n x

【难易度】★★ 【详解】解析：

)

2(24)1(4)1(8)3(8)3(4)1(2)3)(1(8)3(2)1(2)1)(3(4)3)(1(4)3(2)1)(3(2)3)(1(22

2222

2-=-+-+-+-='''-+--+-=-+--+--+-=''--+--='x x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x y

由0=''y 得，1=x 或3=x ，带入0≠'''y ，故)(x f 有两个拐点.

（4）已知函数)(x f 在区间)1,1(δδ+-内具有二阶导数，)(x f '严格单调减少，且

1)1()1(='=f f ，则（ ）

（A ）在)1,1(δ-和)1,1(δ+内均有x x f <)(． （B ）在)1,1(δ-和)1,1(δ+内均有x x f >)(．

（C ）在)1,1(δ-内，x x f <)(，在)1,1(δ+内，x x f >)(． （D ）在)1,1(δ-内，()f x x >，在)1,1(δ+内，()f x x <． 【答案】A

【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★

【详解】解析：令x x f x F -=)()(，则1)()(-'='x f x F ， 因为在区间)1,1(δδ+-上，)(x f '严格单调减少，

所以当)1,1(δ-∈x 时，01)1()(=-'>'f x F ，)(x F 单调递增，01)1()1()(=-=≤f F x F ； 当)1,1(δ+∈x 时，01)1()(=-'<'f x F ，)(x F 单调递减，01)1()1()(=-=≤f F x F ； 故在)1,1(δ-和)1,1(δ+内均有0)(

（5）设函数()f x 在定义域内可导，它的图形如下图所示，则其导函数)(x f y '=的图形为（ ）

【答案】D

【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★

【详解】解析：由图可知)(x f 有两个极值点，横坐标分别记作)(,2121x x x x <，故)(x f '在且仅在这两处的值为0，故选D 。其中，当0>x 时，)(x f 先增后减再增，故)(x f '先正再负再正，进一步排除B. 三、（本题满分6分） 求

?

++?1)12(d 2

2

x x

x

【考点】不定积分的第二类换元法 【难易度】★★★

【详解】解析：设tan ,x u =则2

sec ,dx udu = 原式222cos (2tan 1)cos 2sin cos du udu

u u u u =

=++??

2

sin sin 1

d u

u =+?

arctan(sin )u C =+ 2

arctan(

)1x C

x

=++

四、（本题满分7分）

求极限x

t x

x t x

t sin sin )sin sin (lim -→，记此极限为)(x f ，求函数)(x f 的间断点并指出其类型．

【考点】两个重要极限、函数间断点的类型 【难易度】★★★

【详解】解析：=)(x f x

x

x

t x

x x t x

t x

x t x t x

x t e

x

t x t sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin )1sin sin 1(lim )sin sin (

lim =-+=-?-?-→-→

由此表达式知x ＝0及x ＝k π（k ＝±1，±2，…）都是f （x ）的间断点． 由于e e

lim )(lim sin 0

==→→x

x x x x f ，所以x ＝0是f （x ）的可去（或第一类）间断点；而

x ＝k π（k ＝±1，±2，…）均为第二类（或无穷）间断点． 五、（本题满分7分） 设)(x ρρ=是抛物线x y =

上任一点)1)(,(≥x y x M 处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线

上介于点)1,1(A 与M 之间的弧长，计算2

22)d d (d d 3s

s ρρρ-的值．（在直角坐标系下曲率公式为)

)

1(||2

3

2'+"=

y y K

【考点】曲率半径、定积分的几何应用—平面曲线的弧长、由参数方程所确定的函数的导数 【难易度】★★★ 【详解】解析："3

11',,24y y x

x

=

=

抛物线在点(,)M x y 处的曲率半径

3

3

22

21(1')1

()(41)."2

y x x K y ρρ+====+

抛物线上AM 的弧长2

1

1

1()1'1.4x

x

s s x y dx dx x

==

+=+

?

?

故

3

213

(41)4

22

6.1

14d x d dx x ds ds dx x

ρρ?+?===+

22

1616

().211414d d d ds ds dx ds x x

dx x

ρρ=?=?=++

因此()23

222163()314369.214d d x x ds ds x

ρρρ-=?+?-=+

六、（本题满分7分）

设函数)(x f 在),0[+∞上可导，0)0(=f ，且其反函数为)(x g ．若

,e d )(2)

(0

x x f x t t g =?

求)(x f ．

【考点】积分上限的函数及其导数、一阶线性微分方程 【难易度】★★★

【详解】本题涉及到的主要知识点：)())((d )()

(0x f x f g t t g x f '?='??

? ??? 解析：等式两边对x 求导得：x

x e x xe x f x f g 22)())((+='?，

又因为)(x g 是)(x f 的反函数，故x x f g =))((，

所以有x

x xe e x f +='2)(

C xe e dx xe e e dx xe e x f x x x x x x x ++=++=+=??])([)2()(

又因为)(x f 在0=x 处连续，由0)0(1)(lim 0

==+=+→f C x f x 得1-=C

故1)(-+=x

x xe e x f . 七、（本题满分7分）

设函数)(x f ，)(x g 满足)(e 2)(),()(x f x g x g x f x

-='='，且0)0(=f ，2)0(=g ，求

.d ))1()

(1)((

π

2

x x x f x x g ?

+-+

【考点】自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程、定积分的分部积分法 【难易度】★★★★

【详解】解析：因为)(e 2)(),()(x f x g x g x f x

-='='，所以)(e 2)(x f x f x

-=''

其对应的齐次微分方程为0)()(=+''x f x f 特征方程为012

=+r ，i ±=r

所以齐次微分方程的通解为x C x C x f sin cos )(21+=

设非齐次微分方程的特解为x

Ce x f =)(*

，则,)(,)(**x x Ce x f Ce x f ="

='代入微分方程得

1=C ，

所以非齐次微分方程的通解为x

e x C x C x

f ++=sin cos )(21， 又0)0()0(,0)0(='==f

g f ,x

e x C x C x

f ++-='cos sin )(21, 得1,121=-=C C , 故x

e x x x

f ++-=sin cos )(

求积分：

x x f x x f x f x x x x f x x g +=+++=??

????+-+???

?1)

(d )11(d )()(d 11d )1()(1)(00π

π02ππ π

1e 101)0(π1)π(1)(π

0++=

+-+=+=π

f f x x f . 八、（本题满分9分）

设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0)(,(>x y x P 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线

在y 轴上的截距，且L 经过点).0,2

1

( （1）试求曲线L 的方程；

（2）求L 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小． 【考点】齐次微分方程、平面曲线的切线、函数的最大值与最小值 【难易度】★★★

【详解】解析：（1）设曲线L 过点),(y x P 的切线方程为)(x X y y Y -'=-， 令0=X ,得切线在y 轴上的截距y x y Y '-=． 由题设知 y x y y x '-=+2

2

，

令y

u x

=

,则此方程可化为.12

u x u '-=+ 分离变量得

,d 1d 2

x

x

u u -

=+ 积分得C x u u ln ln )1ln(2+-=++，即 .22C y x y =++ 代入条件02

1==

x y

得21=C ，于是得L 的方程2122=++y x y , 即24

1x y -=. （2）曲线L ∶)21

0(412≤≤-=x x y 在点),(y x 处的切线方程为 ),(2)4

1(2

x X x x Y --=-- 即4122++-=x xX Y .

它在x 轴与y 轴上的截距分别为

)41(212+x x 与4

12

+x ． 所围面积,d )41

()4

1(21.

21)(21

0222x x x x x S ?--+= 令0)413)(41(41)41(2)41(241

)(2

222222

=-+=?????

?+-?+?=

'x x x x x x x x x S . 得)(x S 在]2

1,0[内的唯一驻点6

3=

x , 易知6

3

=

x 是最小值点． 由此，所求切线为41

363632++?-=X Y ,即3

133+-=x y .

九、（本题满分7分）

一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例常数0>K ．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其

体积的

8

7

，问雪堆全部融化需要多少小时？ 【考点】导数的物理意义、微分方程初始条件的概念 【难易度】★★★★

【详解】解析：设雪堆在t 时刻的体积3

π3

2r V =

，侧面积22r π，雪堆半径)(t r r =．

由题设知

kS t

V

-=d d ， 所以有,π2d d π222r k t

r r ?-=即.d d k t r -= 积分得C kt r +-=．又由00

r r

t ==，有0r C =，于是kt r r -=0．

又由0

3|8

1

|===t

t V V ，即3030π3

281)3(π32r k r ?=-，得061

r k =，从而).6(60t r r -=

令0=r 得雪堆全部融化所需时间为6=t 小时． 十、（本题满分8分）

设)(x f 在区间)0](,[>-a a a 上具有二阶连续导数，0)0(=f ， （1）写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；

（2）证明在],[a a -上至少存在一点η，使.d )(3

)(3

x x f f a a

a

?

-="η

【考点】泰勒中值定理、介值定理 【难易度】★★★★

【详解】解析：（1）对任意],[a a x -∈，

，

！

2

22)()0(!2)()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ''+'=''+

'+=其中ξ在0与x 之间． （2）令t t f x F x

d )()(0

?

=

，则)(x F 在],[a a -具有三阶连续导数，其二阶麦克劳林展开

式为3

2!

3)(!2)0()0()0()(x F x F x F F x F ξ'''+''+'+= ,3)(!2)0(!3)(!2)0()0(03

232x f x f x f x f x f ξξ''+'=''+'++=

所以，312!3)(!2)0()(a f a f a F ξ''+'=)0(!

3)(!2)0()(123

22a a a f a f a F <<<<-''-'=-ξξξ，

又

，！2

)

()(·3)]()([3)()(d )(213213ξξξξf f a f f a a F a F x x f a

a

''+''=''+''=--=?

-

由于)]()([2

1

21ξξf f ''+''介于)(1ξf ''和)(2ξf ''之间，由介值定理知存在[]a a ,-∈η，使得

)]()([21

)(21ξξηf f f ''+''=''，

则有)(3

d )(3

ηf a x x f a a ''=?-.

十一、（本题满分6分）

已知矩阵????

??????=??????????=011101110,11011001B i A ，

且矩阵X 满足E BXA AXB BXB AXA ++=+，

其中E 是3阶单位阵，求X ． 【考点】矩阵方程、逆矩阵的概念 【难易度】★★★

【详解】解析：由题设的关系式得()(),AX A B BX B A E -+-= 即()().A B X A B E --=

由于行列式111

0110,001A B ---=-≠所以矩阵A B -可逆，

()1

111000

11010001

001110101100112010011010011001001001001A B E --?? ?-=-????→ ? ??

?

-????

? ????→ ? ? ? ??

??

?

第3行加到

第1,2行

第2行加到第1行

所以()1112011,001A B -??

?

-= ? ?

??

故()21X A B -??=-??

125012.001?? ?= ? ???

十二、（本题满分6分）

已知4321,,,αααα是线性方程组0=Ax 的一个基础解系，若211ααβt +=，322ααβt +=，

433ααβt +=，144ααβt +=，讨论实数t 满足什么关系时，4321,,,ββββ也是0=Ax 的

一个基础解系．

【考点】齐次线性方程组的基础解系

【难易度】★★★★ 【详解】

由于1234,,,ββββ均为1234,,,αααα的线性组合，所以1234,,,ββββ均为0Ax =的解.

下面证明1234,,,ββββ线性无关.设112233440k k k k ββββ+++=，即

141122233344()()()()0k tk tk k tk k tk k αααα+++++++=，

由于1234,,,αααα线性无关，因此其系数全为零，即

1412

23340,

0,

0,

k tk tk k tk k tk k +=??+=??

+=??+=?其系数行列式4

100100101000

1

t t t t t =-

可见，当4

10t -≠，即1t ≠±时，上述方程组只有零解12340k k k k ====，因此向量组

1234,,,ββββ线性无关，又因0Ax =的基础解系是4个向量，故1234,,,ββββ也是0Ax =的

一个基础解系.