2023年华东师大版备考 中考数学二轮复习 专题14 二次函数

华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题14 二次函数一、综合题1．（2022九上·青田期中）如图，抛物线y =−x 2+2x +3与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是抛物线上的一个动点.（1）求直线BD 的解析式；（2）当点P 在第一象限时，求四边形BOCP 面积的最大值，并求出此时P 点的坐标；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使△BDP 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2．（2022九上·莲都期中）已知，点M 为二次函数y ＝﹣（x ﹣b ）2+4b+1图象的顶点，直线y ＝mx+5分别交x 轴正半轴，y 轴于点A ，B.（1）判断顶点M 是否在直线y ＝4x+1上，并说明理由.（2）如图1，若二次函数图象也经过点A ，B ，且mx+5＞﹣（y ﹣b ）2+4b+1，根据图象，写出x 的取值范围.（3）如图2，点A 坐标为（5，0），点M 在△AOB 内，若点C （14，y 1），D （34，y 2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小.3．（2022九上·定海期中）设抛物线y=(x−m)(x−n)（m、n是实数）.（1）若m=2，n=1，求二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值；（2）当m=−3，n=1时，已知抛物线y=(x+3)(x−1)与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），将这条抛物线向右平移a（a>0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C 在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，求a的值；（3）当0<m<n<1时，已知二次函数的图象经过(0，p)，(1，q)两点（p，q是实数），求证：0<pq<1 16 .4．（2022九上·南湖期中）如图，二次函数y1=−x2+bx+c的图象与一次函数y2的图象交于点A(a，1)，B(3，4).（1）若y2的解析式为y2=32x−12，求点A的坐标和y1的函数表达式；（2）在（1）的条件下若点P(m，0)是x轴上一点，过点P做直线l垂直x轴于点P，直线l与函数y1，y2交于点M，N，当线段MN=1时，求m的值；（3）若点C(n，1)(n>a)是二次函数y1上的点，且AC=5，请直接写出二次函数y1的对称轴. 5．（2022九上·嘉兴期中）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t 秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA，AB.（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度.6．（2022九上·津南期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A(−1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式及对称轴；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．7．（2022九上·浦江期中）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B （0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN△y轴且MN＝2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2022九上·舟山月考）如图，抛物线y=−x2+mx+n交x轴于点A(−2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且S△AOM=2S△BOC，求点M的坐标．9．（2022九上·新昌期中）已知菱形OABC的边长为5，且点A(3，4)，点E是线段BC的中点，过点A，E的抛物线y=ax2+bx+c与边AB交于点D，（1）求点E 的坐标；（2）连接DE ，将△BDE 沿着DE 翻折.①当点B 的对应点B ′恰好落在线段AC 上时，求点D 的坐标；②连接OB ，BB ′，若△BB ′D 与△BOC 相似，请直接写出此时抛物线二次项系数a = . 10．（2022九上·舟山期中）已知抛物线y =ax 2−3ax −4a 与x 轴交于A 、B 两点（A 左B 右），交y 轴负半轴点C ，P 是第四象限抛物线上一点．（1）若S △ABC =5，求a 的值；（2）若a =1，过点P 作直线垂直于x 轴，交BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）直线AP 交y 轴于点M ，直线BP 交y 轴于点N ，求4OM+ON OC的值． 11．（2022九上·龙港期中）如图，抛物线y ＝−x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，点D 在射线CO 上运动.（1）求该抛物线的表达式和对称轴.（2）过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧），若EF＝2OC，求点E的坐标.（3）记抛物线的顶点关于直线EF的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段EF的长.12．（2022·攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为−1，点M(1，m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0，1).（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：对于y=−x2+2x+3①，令x=0，则y=3，令y=−x2+2x+3=0，解得x=−1或3，故点A、B、C的坐标分别为(−1，0)、(3，0)、(0，3)，∵点D与点C关于x轴对称，故点D(0，−3)，设直线BD的表达式为y=kx+b，则{b=−30=3k+b，解得{k=1b=−3，故直线BD的表达式为y=x−3（2）解：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标，同理可得，直线BC的表达式为y=−x+3，设点P(x，−x2+2x+3)，则点H(x，−x+3)，则四边形BOCP面积=S△OBC+S△PHC+S△PHB=12×OB⋅OC+12×PH×OB=12×3×3+12×3×(−x 2+2x+3+x−3)=−32x2+92x+92，∵−32<0，故四边形BOCP面积存在最大值，当x=32时，四边形BOCP面积最大值为458，此时点P(32，154)；（3）解：存在，理由：①当∠PBD为直角时，如上图所示，此时点P与点C重合，过点P的坐标为(0，3)；②当∠PDB为直角时，由BD的表达式知，直线BD与x轴的倾斜角为45°，当∠PDB为直角时，即PD⊥BD，则直线PD与x轴负半轴的夹角为45°，故设直线PD的表达式为y=−x+t，将点D的坐标代入上式得，−3=0+t，解得t=−3，故直线PD的表达式为y=−x−3②，联立①②并解得：x=3±√332，故点P的坐标为(3+√332，−9+√332)或(3−√332，−9−√332)，综上，点P的坐标为(3+√332，−9+√332)或(3−√332，−9−√332)或(0，3).【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；直角三角形的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）利用y=−x2+2x+3求出B、C的坐标，由点D与点C关于x轴对称可求出D 坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式即可；（2）连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，先求出直线BC解析式为y=−x+3，设点P(x，−x2+2x+3)，则点H(x，−x+3)，则四边形BOCP面积=S△OBC+S△PHC+S△PHB，据此求出关于x关系式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）分两种情况：①当∠PBD为直角时，②当∠PDB为直角时，据此分别求解即可.2．【答案】（1）解：点M在直线y＝4x+1上，理由：∵点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，∴M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，∴点M在直线y＝4x+1上；（2）解：如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，∴B点坐标为（0，5），又B在抛物线上，∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴A （5，0），由图象，得当mx+5＞﹣（x ﹣b ）2+4b+1时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞5；（3）解：把A （5，0）代入y ＝mx+5得，0＝5m+5，解得m ＝﹣1，∴y ＝﹣x+5，∵M （b ，4b+1）在△AOB 内部，∴{0<b <50<4b +1<−b +5， 解得0＜b ＜45， 当点C ，D 关于对称轴对称时，b ＝14+342＝12， ∴0＜b ＜12时，y 1＞y 2， b ＝12时，y 1＝y 2， 12＜b ＜45，y 1＜y 2. 【知识点】一次函数的图象；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c 的性质【解析】【分析】（1）先求出顶点M 的坐标，再代入y ＝4x+1中检验即可；（2）由y ＝mx+5求出B （0，5） ，再将其代入y ＝﹣（x ﹣b ）2+4b+1 中求出b 值，即得y ＝﹣（x ﹣2）2+9， 从而求出A （5，0），由图象可知当x ＜0或x ＞5时，直线y ＝mx+5的图象在y ＝﹣（x ﹣b ）2+4b+1 图象的上方，据此即得结论；（3）由（2）可得y ＝﹣x+5， 由M （b ，4b+1）在△AOB 内部， 可求出0＜b ＜45， 当点C ，D 关于对称轴对称时可求出b ＝12， 从而得出当0＜b ＜12时，y 1＞y 2，当b ＝12时，y 1＝y 2，当12＜b ＜45，y 1＜y 2.3．【答案】（1）解：将m =2，n =1代入y =(x −m)(x −n)，得y =(x −2)(x −1)=x 2−3x +2=(x −32)2−14， 则该二次函数的对称轴是x =32，且当x =32时，有最小值为−14； （2）解：分为两种情况：①如图，当C 在B 的左侧时，B ，C 是线段AD 的三等分点，∴AC =BC =BD ，∵抛物线向右平移a 个单位，∴AC =BD =a ，当y =0时，(x +3)(x −1)=0， 解得x 1=−3，x 2=1，∵点A 在点B 的左侧，∴A(−3，0)，B(1，0)，∴AB =1−(−3)=4，∴AC =BC =2，∴a =2；②同理，当C 在B 的右侧时， ∵AB =1−(−3)=4，∴AB =BC =CD =4，∴a =AB +BC =4+4=8；（3）解：∵y =(x −m)(x −n)图象经过(0，p)，(1，q)两点， ∴p =mn ，q =(1−m)(1−n)， ∴pq =mn(1−m)(1−n)，=(m −m 2)(n −n 2)，=[−(m −12)2+14][−(n −12)2+14]，∵0<m <n <1，结合y =−(x −12)2+14的函数图象， ∴0<−(m −12)2+14≤14，∴0<−(n−12)2+14≤14，∵m<n，∴m、n不能同时等于14，∴0<pq<116.【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）将m=2与n=1代入y=（x-m）（x-n）可得该函数的解析式，进而将解析式配成顶点式，即可得出答案；（2）分为两种情况：①如图，当C在B的左侧时，B，C是线段AD的三等分点，令解析式中的y=0算出对应的自变量的值可得点A、B的坐标，可得AB的长，据此即可求出答案；②当C在B的右侧时，同理可得AB的长，进而即可根据a=AB+BC算出答案；（3）根据函数图象上的点的坐标特征可得p=mn，q=（1-m）（1-n），进而可表示出pq并配方成顶点式的乘积形式，由0<m<n<1，结合y=−(x−12)2+14的函数图象，可得m、n不能同时等于14，据此即可得出答案.4．【答案】（1）解：将A点坐标代入得：1=32a−12，解得：a=1，∴A(1，1)，将A、B点代入二次函数解析式得：{−12+b+c=1−32+3b+c=4，解得：{b=112c=−72，∴二次函数解析式为：y1=−x2+112x−72.（2）解：将x=m代入一次函数和二次函数解析式得：y 1=−m2+112m−72，y2=32m−12，∵线段MN=1，∴|y1−y2|=1，即|−m2+112m−72−32m+12|=1，∴−m2+4m−3=1或−m2+4m−3=−1，解得：m1=2+√2；m2=2−√2；m3=m4=2.（3）对称轴为x=6±√132【知识点】二次函数与一次函数的综合应用【解析】【解答】解：（3）将点B代入二次函数解析式得：4=−9+3b+c，则c=13−3b，∵A(a，1)，C(n，1)(n>a)，在二次函数图象上，得c=13-3b，∴a、n是方程−x2+bx+c=1的两个根，根据韦达定理得，n+a=b，na=1−c=1−(13−3b)=3b−12，∵AC=5，∴n−a=5，∵(n−a)2=(n+a)2−4an，∴25=b2−4(3b−12)=b2−12b+48，解得：b=6±√13，.∴对称轴为直线x=6±√132【分析】（1）将点A（a，1）代入y2的解析式，求出a的值，从而可得点A的坐标，将A、B两点的坐标分别代入y1=-x2+bx+c得出关于字母b、c的方程组，求解可得b、c的值，从而求出y1的解析式；（2）将x=m分别代入两个函数解析式算出y1与y2，根据MN=1可得|y1−y2|=1，求解得出m 的值；（3）将点B代入二次函数y1=-x2+bx+c得c=13-3b，根据二次函数与一元二次方程的关系，结合A、C两点的纵坐标相同可得A、C两点的横坐标是方程-x2+bx+c=1的解，根据一元二次方程根与系数的关系得n+a=b，na=1-c=3b-12，再结合AC=5可得n-a=5，进而利用完全平方公式变形可得关于字母b的方程，求解得b的值，最后根据抛物线的对称轴直线公式即可得出抛物线的解析式. 5．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x=2，，∴c=0，−b2=2则b=−4、c=0，∴抛物线解析式为y=x2−4x（2）解：设点B(a，a2−4a)，∵y=x2−4x=(x−2)2−4，∴点A(2，−4)，则OA2=22+42=20、OB2=a2+(a2−4a)2、AB2=(a−2)2+(a2−4a+4)2，①若OB2=OA2+AB2，则a2+(a2−4a)2=20+(a−2)2+(a2−4a+4)2，解得a=2(舍)或a=5 2，∴B(52，−154)，则直线OB解析式为y=−32x，当x=2时，y=−3，即P(2，−3)，∴t=(−3+4)÷1=1；②若AB2=OA2+OB2，则(a−2)2+(a2−4a+4)2=20+a2+(a2−4a)2，解得a=0(舍)或a=9 2，∴B(92，94)，则直线OB解析式为y=12x，当x=2时，y=1，即P(2，1)，∴t=[1−(−4)]÷1=5；③若OA2=AB2+OB2，则20=(a−2)2+(a2−4a+4)2+a2+(a2−4a)2，整理，得：a3−8a2+21a−18=0，a3−3a2−5a2+15a+6a−18=0，a2(a−3)−5a(a−3)+6(a−3)=0，(a−3)(a2−5a+6)=0，(a−3)2(a−2)=0，则a=3或a=2(舍)，∴B(3，−3)，∴直线OB解析式为y=−x，当x=2时，y=−2，即P(2，−2)，∴t=[−2−(−4)]÷1=2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5（3）解：∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t=1时，如图1，由（2）知∠OAB=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B(52，−154)，∴M(54，−158)；当t=5时，如图2，由（2）知，∠AOB=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B(92，94)、A(2，−4)，∴M(134，−78)；当t =2时，如图3，由（2）知，∠OBA =90°，∴此时Rt △OAB 的外接圆圆心M 是OA 的中点，∵A(2，−4)，∴M(1，−2)；则点M 经过的路径长度为√(54−1)2+(−158+2)2+√(1−134)2+(−2+78)2=√58+9√58=5√54. 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；三角形的外接圆与外心；直角坐标系内两点的距离公式【解析】【分析】（1）将（0，0）代入y=x 2+bx+c 中可得c=0，根据对称轴为直线x=2可得b=-4，据此可得抛物线的解析式；（2）设B （a ，a 2-4a ），根据抛物线的解析式可得A （2，-4），由两点间距离公式表示出OA 2、OB 2、AB 2，然后结合勾股定理求出a 的值，得到点B 的坐标，利用待定系数法求出直线OB 的解析式，令x=2，求出y 的值，得到点 P 的坐标，进而可得t 的值；（3）由题意可得点M 在线段OA 的中垂线上，故当1≤t≤5时，点M 的运动路径是在线段OS 中垂线上的一条线段，当t=1时，Rt△OAB 的外接圆圆心M 是OB 的中点，据此可得点M 的坐标；当t=5时，Rt△OAB 的外接圆圆心M 是AB 的中点，利用中点坐标公式可得点M 的坐标；当t=2时，Rt△OAB 的外接圆圆心M 是OA 的中点，同理可得点M 的坐标，然后结合两点间距离公式可求出点M 经过的路径长度.6．【答案】（1）解：将A(−1，0)，B(4，0)代入y =ax 2+bx −4得{a −b −4=016a +4b −4=0解得{a=1b=−3∴y=x2−3x−4，对称轴为直线x=3 2（2）解：过点P作PH∥y轴交直线AD于H当x=0时，y=−4，∴点C(0，−4)，∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线，∴D(3，−4)，∵A(−1，0)，∴直线AD的函数关系式为：y=−x−1，设P(m，m2−3m−4)，则H(m，−m−1)，∴PH=−m−1−(m2−3m−4)=−m2+2m+3，∴SΔAPD=SΔAPH+SΔDPH=12⋅PH⋅4=2(−m2+2m+3)=−2m2+4m+6，当m=−42×(−2)=1时，SΔAPD最大为8．【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入y=ax2+bx−4求出a、b的值即可；（2）过点P作PH∥y轴交直线AD于H，先求出直线AD的解析式y=−x−1，设P(m，m2−3m−4)，则H(m，−m−1)，再求出SΔAPD=SΔAPH+SΔDPH=12⋅PH⋅4=2(−m2+2m+3)=−2m 2+4m +6，最后利用二次函数的性质求解即可。