研究生高等代数试题

浙江大学1999年研究生高等代数试题一．n a a a ,,,21 是n 个不相同的整数，证明1)())(()(21+---=n a x a x a x x f 在有理数域上可约的充分必要条件是)(x f 可表示为一个整数多项式的平方二．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α，且0=ααT，求(1)T n E αα- (2)1)(--T n E αα(其中n E 为n 阶单位阵，的转置为ααT) 三．矩阵n m A ⨯是行满秩)(m A =即秩，证明： (1)存在可逆阵Q ，使得Q E A m )0,(= (2) 存在矩阵mn B ⨯，使得mE AB =四．设n 阶方阵A 满足A A =2，n ααα,,,21 是nP 中n 个线形无关的列向量，设2V 是由n A A A ααα,,,21 生成的子空间，1V 是0=AX 的解空间，证明：21V V P n⊕=(21V V ⊕表示1V 与2V 的直和)五．设B A ,都是n 阶实对称矩阵，且B 正定，则存在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n D S λλ 1及，使得TT SS B SDS A ==, 六．设n 阶矩阵)(ij a A =，满足下列条件：(1)0≤ij a ≤1,j i ,∀ (2)121=+++in i i a a a (i=1,2, ,n)求证：(1)A 的每一个特征值λ，都有1≤λ(2)10=λ为A 的一个特征⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ℜ是实数i n nx x x |1 ，阶正定阵是n A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x 1α，n n y y ℜ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 1β，求证：(1)))(()(2ββααβαA A A T T T ≤等号成立当且仅当βα与线形相关时成立（2）若是正定矩阵，则A ))(()(2ββααβαA A A TTT≤也成立八（1）设B A ,分别为复数矩阵域上的阶方阵阶和l k ，并且B A ,没有公共的特征值，求证XB AX =只有空解（这里k k ij x X ⨯=)(）（2）在nn ⨯ℜ中，变换nn A XA AX X ⨯ℜ∈+A ,: ，A 为一个固定的矩阵，且A 的特征值不为（-A ）的特征值，求证：A 为一个线形变换。

二〇〇〇年攻读硕士研究生入学考试试题一、（20分）()f x 是数域P 上的不可约多项式（1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一个公共复根，证明()|()f x g x ；（2）若c 及1c 都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根，证明1b 也是()f x 的根.二、（10分）计算行列式21000012100000121012n D =.三、（20分）A 是正定阵，C 是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵P 使得11,P AP P CP --同时为对角形；A 是正定阵，B 是实矩阵，而AB 是实对称的，证明：AB 正定的充要条件是B 的特征值全大于0.四、（20分）设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B 与A 可交换的充要条件是B 是21,,,,n E A A A -的线性组合，其中E 为恒等变换.五、（10分）证明：n 阶幂零指数为1n -的矩阵都相似.（若10n A -=，20n A -≠而称A 的幂零指数为1n -） 六、（20分）设,A B 是n 维欧氏空间V 的线性变换。

对任意,V αβ∈，都有((),)(,())A B αβαβ=。

证明：A 的核等于B 的值域的正交补.2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答 一、()f x 是数域P 上的不可约多项式（1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一公共复根，证明：()|()f x g x 。

（2）若c 及1c 都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根，证明：1b 也是()f x 的根。

Proof ：（1）()f x 是数域P 上的不可约多项式，故对于P 上任一多项式()g x 只有以下两种情形：01()|()f x g x , 02 ((),())1f xg x下证不可能是情形二。

（反证法）若不然为情形二，就是((),())1f x g x =则(),()[].()()()()1(*)u x v x P x s t u x f x v x g x ∃∈+=由已知条件，f 与g 有一公共复根（设为α），则()()0f g αα==，将α代入(*)中得到10=的矛盾，故假设不正确，得证！（2）设b 是()f x 的任一根，下证1()0f b =。

证明见《高等代数题解精粹》钱吉林编20P第42题.二、计算行列式210...000121...000........000 (012)n D =Solution:我们已经知道：1111,1(1),1n n n n αβαβαβαβαβαβαβαβαββαβαβ+++++⎧-≠⎪=+-⎨⎪+=⎩+在此结论中令1αβ==，知1n D n =+三、（1）A 是正定矩阵，C 是实对称矩阵，证明：∃可逆矩阵P .s t ,P AP P CP ''同时为对角形Proof: (1)A 正定，∴ ∃可逆矩阵T 使得T AT E '=，此时T CT '还是对称的，∴∃ 正交矩阵M 使得M T CTM ''为对角形，令P TM =，此时P AP E '=P CP '是对角形，得证！ （2）由（1）知P ∃非异s.t 12n P AP E P ABP λλλ'=⎧⎪⎛⎫⎪⎨ ⎪'=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩所以112n P BP λλλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故AB 正定⇔0,1,2,,i i nλ>=得证！！四、设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B A 与可交换的充分必要条件是B 是121,,,,n E A A A -的线性组合，其中E 为恒等变换。

Proof:我们分以下四步来完成证明。

由题意知，A 有n 个互异特征值，故12,,,n ααα∃.s t i i i A αλα=，其中i λ为A 的特征值，且,,,1,2,ij i j i j nλλ≠≠=令11122(,,,).n n T s tT AT λαααλλ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭（2）AB BA =则，1111()()()()T AT T BT T BT T AT ----=，令11,C T AT D T BT --==，C 为对角矩阵，且主对角线上的元素互异，而CD DC =，由结论“与对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵”知12n b D b b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即112n b T BT b b -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，⇒,1,2,,i i i B b i nαα==（3）,1,2,,k ki i i i i i A A k nαλααλα=⇒==（4）欲证B 可由121,,,,n E A A A -线性表出，只须证方程 121123n n B x E x A x A x A -=++++有非零解即可，（0B =显然）设0B ≠将B 作用于i α，1,2,,i n =则121123,1,2,,n i i i i i i n i B b x E x A x A x A i nαααααα-==++++=由（3）知112,1,2,,n i i i n i i i i x x x b i nαλαλαα-++==即112()0,1,2,,n i n i i i x x x b i nλλα-++-==0i α≠∴1120,1,2,,n i n i i x x x b i nλλ-++-==明白写出即为111211112222112n n n n n n n n n x x x b x x x b x x x b λλλλλλ---⎧++=⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩，令1111112222111,,1n n n n n nn x b x b X b A x b λλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AX b =有解，而||0A ≠,0b ≠，10X A b -∴=≠，这说明B 可由121,,,,n E A A A -线性表出！n 矩阵都想似五、证明：n阶幂零指数1（若1200n n AA --=≠而而称A 的幂零指数为1n -）。

Proof:,A ∀若10n A -=，AJ ⇒且12s J J J J ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，010110i i i n nJ ⨯⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ 若还有10n B -=，BJ ⇒且12s J J J J ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，010110i i i n nJ ⨯⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭所以AJ ，B J由相似的传递性知，A B 得证！（注：A 的最小多项式为1()n A f λλ-=从而A 与J 相似）六、设,A B 是n 维欧空间的线性变换，对,V αβ∀∈都有((),)(,())A A αβαβ= 证明：A 的核等于B 的值域的正交补。

Proof:11(0)()0,((),)0(,())0,()(0)()A A V A B B B BV BV A BV ααβαβαβαββα-⊥-⊥∀∈⇒=∴∀∈=⇒=∴⊥∈∴∈∴⊂又11(),(,)0((),)0,(,)00()(0)(0)()BV B V B B A A AV V A A A A BV A A BV ααβγαγαγαγγαγαααα⊥⊥--⊥∀∈⇒⊥∴∀∈⊥∴=⇒=∴∈⊂=⇒=⇒=⇒⊂∴=有又是任意的取二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题一、（12分）设两个多项式()f x 和()g x 不全为零。

求证：对于任意的正整数n ，有((),())((),())n n n f x g x f x g x =。

二、（12分）设12,(0,1,2,)k kkn n S k x x x =+++=；2(,1,2,,)ij i j a S i j n +-==。

计算行列式：111212122212n n n n nna a a a a a a a a三、（12分）设,A B 是n 级矩阵，且A B AB +=。

求证：AB BA =。

四、（12分）设A 是m n ⨯级阵，A 的秩为m ，B 是()n n m ⨯-级矩阵，B 的秩为n m -，且AB η=。

这里n 维列向量η是齐次线性方程组0AX =的解，求证：存在唯一的n m -维列向量ξ，使得B ξη=。

五、（11分）求1123212(,,),(,)V L V L αααββ==的和与交的基与维数。

其中123(1,2,1,2)(3,1,1,1)(1,0,1,1)ααα=--⎧⎪=⎨⎪=--⎩，11(2,5,6,5)(1,2,7,3)ββ=--⎧⎨=--⎩ 六、（20分）用正交线性替换化下面的实二次型为标准型，并写出所用的正交线性替换。