湖北省武汉市三校联合2022-2023学年九年级上学期9月学情监测数学试题
湖北省武汉市三校联考九年级(上)期末数学试卷
湖北省武汉市三校联考九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；故选：D．根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一判断即可．此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握其概念是解决此题的关键．2.如图所示，从上面看该几何体的形状图为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：根据能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，从上面看到的是矩形，且有看不见的轮廓线，因此选项C中的图形符合题意；故选：C．根据三视图画法，能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，进而得出答案．本题考查简单几何体的三视图，理解看不见的轮廓线用虚线表示的意义是正确判断的前提．3. 有两把不同的钥匙和三把锁，其中两把钥匙分别能打开两把锁，且不能打开第三把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 16【答案】B【解析】解：三把锁分别用A 、B 、C 表示，A 、B 对应的钥匙分别用a 、b 表示 画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的结果数为2，所以随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率=26=13； 故选：B ．三把锁分别用A 、B 、C 表示，A 、B 对应的钥匙分别用a 、b 表示，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的结果数，然后根据概率公式计算．本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P(A)=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．4. 若关于x 的方程(k −1)x 2+4x +1=0有两不相等实数根，则k 的取值范围是( )A. k ≤5B. k <5C. k ≤5且k ≠1D. k <5且k ≠1【答案】D【解析】解：∵关于x 的方程(k −1)x 2+4x +1=0有两个不相等的实数根， ∴{k −1≠0△=42−4(k −1)>0， 解得：k <5且k ≠1． 故选：D ．据二次项系数非零及根的判别式Δ>0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ>0，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．5. 如图，在⊙O 中，弦AC//半径OB ，∠BOC =48°，则∠OAB 的度数为( )A. 24°B. 30°C. 60°D. 90°【答案】A【解析】解：∵AC//OB ， ∴∠OBA =∠BAC ，∵∠BAC =12∠BOC =12×48°=24°， ∴∠OBA =24°， ∵OA =OB ， ∴∠OAB =24°． 故选：A ．利用平行线的性质得∠OBA =∠BAC ，再利用圆周角定理得到∠BAC =12∠BOC =24°，从而得到∠OAB 的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6. 竖直向上的小球离地面的高度ℎ(米)与时间t(秒)的关系函数关系式为ℎ=−2t 2+mt +258，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第( )秒离地面最高． A. 37B. 47C. 34D. 43【答案】A【解析】解：∵ℎ=−2t 2+mt +258，小球经过74秒落地， ∴t =74时，ℎ=0， ∴0=−2×(−74)2+74m +258，解得：m=127，当t=−b2a =−1272×(−2)=37时，h最大，故选：A．先根据题意得出方程，求得m的值，再求得二次函数的对称轴，则问题得解．本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确列式得出m的值是解题的关键．7.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，连接DE、EF，若DE//BC，EF//AB，则下列结论错误的是()A. AEEC =BFFCB. ADBF =ABBCC. EFAB =DEBCD. CECF =EABF【答案】C【解析】解：A.∵EF//AB，∴AEEC =BFFC，故本选项正确；B.∵DE//BC，∴ADAB =DEBC，∵EF//AB，DE//BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF，∴ADAB =BFBC，∴ADBF =ABBC，故本选项正确；C.∵EF//AB，∴EFAB =CFBC，∵CF和DE的大小关系不能确定，∴EFAB ≠DEBC，故本选项错误；D.∵EF//AB，∴CEEA =CFBF，∴CECF =EABF，故本选项正确．综上，结论错误的是：C．故选：C．利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行判断即可．本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，正确应用平行线分线段成比例定理是解题的关键．8.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别为(0,5)、(5,0)，∠ACB=90°，AC=2BC，函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为()A. 754B. 758C. 252D. 25【答案】A【解析】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵A、C的坐标分别是(0,5)、(5、0)，∴OA=OC=5，在Rt△AOC中，AC=√52+52=5√2，又∵AC=2BC，∴BC=5√22，又∵∠ACB=90°，∴∠OAC=∠OCA=45°=∠BCD=∠CBD，∴CD=BD=√22BC=√22×5√22=52，∴OD =5+52=152，∴B(152,52)，将点B 的坐标代入y =kx 得：k =754，故选：A ．过B 点作BD ⊥x 轴于D ，如图，先判断△OAC 为等腰直角三角形得到AC =√2OC =5√2，∠ACO =45°，再判断△BCD 为等腰直角三角形得到CD =BD =√22BC ，则可计算出CD =BD =52，所以B(152,52 )，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k 的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y =kx (k 为常数，k ≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k ，即xy =k.也考查了反比例函数的性质．9. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 为AB 的中点，AC =3，cosA =13，将△DAC 沿着CD 折叠后，点A 落在点E 处，则BE 的长为( )A. 4√2B. 4C. 7D. 3√2【答案】C【解析】解：连接AE 交CD 于F ，∵∠ACB =90°，AC =3，cos∠CAB =13， ∴AB =3AC =9，由勾股定理得，BC =√92−32=6√2， ∵∠ACB =90°，点D 为AB 的中点， ∴CD =AD =BD =12 AB =92，∵S△ABC=12AC⋅BC=12×3×6√2=9√2，∵点D为AB的中点，∴S△ACD=12S△ABC=9√22，由翻转变换的性质可知，S四边形ACED =2S△ACD=2×9√22=9√2，且∠AFD=∠EFD=90°，AF=EF，∴AE⊥CD，∴S四边形ACED =12×CD×AE=9√2，即12×92⋅AE=9√2，∴AE=4√2，∴AF=12AE=2√2，Rt△ADF中，由勾股定理得，DF=√AD2−AF2=72，∵AF=FE，AD=DB，∴DF是△ABE的中位线，∴BE=2DF=7，故选：C．连接AE交CD于F，由已知得AB=9，BC=6√2，D为AB的中点，可得CD=AD=BD=1 2AB=92，由S△ABC=12AC⋅BC=12×3×6√2=9√2，且点D为AB的中点，可得S△ACD=9√22，从而可求出S四边形ACED=9√2，AE=4√2，AF=2√2，再由由勾股定理得，DF=√AD2−AF2=72，根据DF是△ABE的中位线，解可得到答案．本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及解直角三角形、对角线垂直的四边形面积、勾股定理等知识，解题的关键是由S△ACD求出S四边形ACED，从而求出AE的长度．10.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②b2−4ac<0；③当y>0时，x的取值范围是−1<x<3；④当x>0时，y随x增大而增大；⑤若t为任意实数，则有a+b≥at2+bt，其中结论正确的个数是()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，∴−b=1，2a∴b=−2a，∴2a+b=0，故①正确；∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，∴抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故②错误；∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，∴当y>0时，x的取值范围是−1<x<3，故③正确；当0<x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时y随x的增大而减小，故④错误；由图象知：抛物线的顶点横坐标为1，纵坐标大于3，即抛物线的最大值一定大于3，∴若t为任意实数，当x=t时则有a+b≥at2+bt，故⑤正确；故选：B．根据二次函数的图象及性质即可判断．本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.一副三角尺按如图的位置摆放(顶点B、C、D在一条直线上).将三角尺CDE绕着点C按逆时针方向旋转n°后(0<n<360)，ED⊥AB，那么n的值是______．【答案】15或195【解析】解：如图1中，当DE⊥BA交BA的延长线于J，设CE交AB于O．在Rt△EOJ中，∠EOJ=90°−∠E=60°，∵∠EOJ=∠BAC+∠AOC，∴∠AOC=60°−45°=15°．如图2中，当ED⊥AB交AB的延长线J．在四边形AJDC中，∠ACD=360°−∠A−∠J−∠CDJ=105°，∴旋转角=105°+90°=195°，故答案为15或195．分两种情形分别画出图形求解即可．本题考查旋转变换、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．12.抛物线y=ax2−2ax−3与x轴交于两点，分别是(x1,0)，(x2,0)，则x1+x2=______．【答案】2【解析】解：由韦达定理得： x 1+x 2=−−2a a=2，故答案为2．用韦达定理求解即可．本题考查的是抛物线与x 轴的交点，要求学生熟练运用韦达定理．13. 在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =4，D 为直线AB 上的一点，若AD =2，则tan∠BDC 的值为______ ． 【答案】√32或√34【解析】解：作CE ⊥AB 于点E ， ∵∠ACB =90°，∠BAC =30°，BC =4， ∴AB =2BC =8，∠B =60°， ∴BE =12BC =2，CE =2√3，①如图1，点D 在AB 边上时，∵AD =2，BE =2，AB =8， ∴DE =AB −BE −AD =4， ∴在Rt △DCE 中， tan∠BDC =CEDE =2√34=√32； ②如图2，点D 在BA 延长线上时，DE =AE +AD =AB −BE +AD =8−2+2=8， 在Rt △DCE 中， tan∠BDC =CEDE =2√38=√34． 综上所述：tan∠BDC 的值为√32或√34．故答案为：√32或√34．作CE ⊥AB 于点E ，根据∠C =90°，∠A =30°，BC =4，可得AB =8，∠B =60°，BE =12BC=2，CE=2√3，分两种情况画图：①如图1，点D在AB边上时，②如图2，点D在BA延长线上时，进而可求tan∠BDC的值．本题考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是分两种情况画图解答．14.如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画BE⏜，CE⏜.若AB=1，则阴影部分图形的周长为______(结果保留π)．【答案】65π+1【解析】解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴BE⏜=CE⏜=108°180∘⋅π·AB=35π，∴C阴影=BE⏜+CE⏜+BC=65π+1．故答案为：65π+1．由五边形ABCDE可得出，AB=BC=CD=DE=EA=1、∠A=∠D=108°，利用弧长公式可求出BE⏜、CE⏜的长度，再根据周长的定义，即可求出阴影部分图形的周长．本题考查了正多边形和圆、弧长公式以及周长的定义，利用弧长公式求出BE⏜、CE⏜的长度是解题的关键．15.如图，已知，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数y=kx(k>0)的图象与AC边交于点E，将△CEF沿E对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k 的值为______．【答案】218【解析】解：如图，过点E作EM⊥x轴于点M，∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的D点处，∴∠EDF=∠C=90°，EC=ED，CF=DF，∴∠MDE+∠FDB=90°，而EM⊥OB，∴∠MDE+∠MED=90°，∴∠MED=∠FDB，∴Rt△MED∽Rt△BDF；又∵EC=AC−AE=4−k3，CF=BC−BF=3−k4，∴ED=4−k3，DF=3−k4，∴EDDF =4−k33−k4=43；∵EM：DB=ED：DF=4：3，而EM=3，∴DB=94，在Rt△DBF中，DF2=DB2+BF2，即(3−k4)2=(94)2+(k4)2，解得k=218，故答案为218．证明Rt△MED∽Rt△BDF，则EDDF =4−k33−k4=43，而EM：DB=ED：DF=4：3，求出DB，在Rt△DBF中，利用勾股定理即可求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到图形折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，综合性强，难度适中．16.如图，已知平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=12，BC=5，P为AB上任意一点(可以与A、B重合)，延长PD到F，使得DF=PD，以PF、PC为边作平行四边形PCEF，则PE长度的最小值______．【答案】5√3【解析】解：过C作CH⊥AB于H，则∠CHB=90°，在Rt△CBH中，∵∠B=60°，BC=5，∴sin∠B=CHBC ，即CH5=√32，∴CH=5√32，当PE⊥DC，且垂足G为DC的中点时，如图，此时PE的长最小，∴PE=2PG=2CH=5√3，当点P运动到点A时，PE最小为3√21，故答案为：5√3．当PE⊥DC，且垂足G为DC的中点时，PE长度的最小，进而解答即可．考查了平行四边形的性质，关键是根据三角函数、点到直线的距离及垂线段最短解答，三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪个人先下棋，规则如下：三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，他们同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合，落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或者反面向上的两人先下棋；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，则不能确定其中两人先下棋．(1)请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图；(2)求出一个回合能确定两人下棋的概率．【答案】解：(1)根据题意画图如下：(2)一共有8种等可能的结果，一个回合能确定两人下棋的有6种，则一个回合能确定两人下棋的概率是68=34．【解析】(1)此题需两步完成，可根据题意画树状图求得所有可能出现的结果；(2)根据树状图求得一个回合能确定两人下棋的情况，再根据概率公式求解即可．此题考查了树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.在下面16x8的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，△ABC是格点三角形(顶点在网格交点处)，请你画出：(1)△ABC的中心对称图形，A点为对称中心；(2)△ABC关于点P的位似△A′B′C′，且位似比为1：2；(3)以A、B、C、D为顶点的所有格点平行四边形ABCD的顶点D．【答案】解：(1)如图所示：△AED为所求作的三角形；(2)如图所示：△A′B′C′为所求作的三角形；(3)如图所示：D1，D2，D3为所求作的点．【解析】【试题解析】(1)由A为对称中心，故A点不动，连接BA并延长，使AD=AB，连接CA并延长，使AE=AC，连接ED，三角形AED为三角形ABC关于A中心对称的图形，如图所示；(2)连接AP并延长，使A′P=2AP，连接BP并延长，使B′P=2BP，连接CP并延长，使C′P=2CP，连接A′B′，A′C′，B′C′，△A′B′C′为所求作的三角形；(3)满足题意的D点有3个，分别是以AB为对角线作出的平行四边形ACBD1，以AC为对角线的平行四边形ABCD2，以BC为对角线的平行四边形ABD3C，如图所示．此题考查了作图−位似变换及旋转变换，以及平行四边形的判定与性质，其中画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形，同时第三问满足题意的点D的位置有3处，注意找全．19.已知关于x的一元二次方程x2−2√2x+m=0有两个不相等的实数根．(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，若方程的实数根为x1，x2，求代数式x 12+x 22−x1⋅x2的值．【答案】解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴△=(2√2)2−4m>0，解得m<2，∴最大整数m=1；(2)当m=1时，方程为x2−2√2x+1=0，由根与系数关系，得x1+x2=2√2，x1x2=1，∴x 12+x 22−x1⋅x2=(x1+x2)2−3x1x2=(2√2)2−3×1=5．【解析】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，由方程根的情况求得m的取值范围是解题的关键．(1)由方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，可得到关于m的不等式，可求得m的最大整数值；(2)利用根与系数的关系可分别求得x1+x2和x1x2的值，代入计算即可．20.如图，在圆O中，AB为直径，EF为弦，连接AF，BE交于点P，且EF2=PF⋅AF．(1)求证：F为弧BE的中点；(2)若tan∠BEF=3，求cos∠ABE的值．4【答案】(1)证明：连接AE，∵EF2=PF⋅AF，∴EFAF =PFEF，∵∠AFE=∠EFP，∴△AFE∽△EFP，∴∠EAF=∠BEF，∴EF⏜=BF⏜，∴F为弧BE的中点；(2)解：连接BF、OF，OF交BE于点Q，∵AB是直径，∴∠AFB=90°∵tan∠BEF=34，∴tan∠BAF=BFAF =34，设BF=3m，则AF=4m，根据勾股定理AB=5m，∴OB=OF=52m，∵BF⏜=EF⏜，∴OF⊥BE，EQ=BQ，EF=BF=3m，∵tan∠BEF=34，∴FQEQ =34，∴FQEF =35，∴BQ=EQ=125m，在Rt△BOQ中，cos∠ABE=BQOB =125m52m=2425．【解析】(1)连接AE，证得△AFE∽△EFP，得出∠EAF=∠BEF，根据圆周角定理即可证得结论；(2)连接BF、OF，根据圆周角定理即可证得BFAF =34，设BF=3m，则AF=4m，根据勾股定理AB =5m ，则OB =OF =52m ，根据圆心角、弧、弦的关系得到OF ⊥BE ，EQ =BQ ，EF =BF =3m ，由tan∠BEF =34，可知FQEQ =34，FQEF =35，则求得BQ =EQ =125m ，然后在Rt △BOQ 中，解直角三角形即可求得cos∠ABE 的值．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．21. 小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．(1)求该超市销售这种水果，每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系式；(2)一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w(元)最大是多少？(3)为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a 元利润(a ≤2.5)给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x(元/千克)的增大而增大，求a 的取值范围． 【答案】解：(1)由题意，可得y =300−50(x −10)=−50x +800(2)∵−50x +800≥250 ∴x ≤11w =(x −8)y =(x −8)(−50x +800)=−50x 2+1200x −6400=−50(x −12)2+800∵−50<0，∴当x ≤12时，w 随x 的增大而增大， ∴当x =11时，w 最大值=750元，答：当售价为11元/千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润w 最大为750元． (3)设扣除捐赠后的日销售利润为S 元，∴S =(x −8−a)(−50x +800)=−50x 2+(1200+50a)x −6400−800a ， ∵当x ≤13时，S 随x 的增大而增大， ∴−1200+50a 2×(−50)≥13，∴a ≥2，∴2≤a ≤2.5，即a 的取值范围为2≤a ≤2.5．【解析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．(1)依据题意易得出每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系式y =−50x +800(2)根据销售利润=销售量×(售价−进价)，列出平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．(3)设扣除捐赠后的日销售利润为S 元，则得S =(x −8−a)(−50x +800)，利用对称轴的位置即可求a 的取值范围．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．22. 如图，双曲线y 1=k1x 与直线y 2=k 2x +b 相交于A(1,m +2)，B(4,m −1)，点P 是x 轴上一动点． (1)求双曲线y 1=k 1x 与直线y 2=k 2x +b 的解析式；(2)当y 1>y 2时，直接写出x 的取值范围； (3)当△PAB 是等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】解：(1)将点A 、B 的坐标代入y 1=k 1x 得：{m +2=k11m −1=k 14，解得：{k 1=4m =2，双曲线的表达式为：y 1=4x ，点A 、B 的坐标分别为：(1,4)、(4,1)，将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：{k 2=−1b =5，故直线y2的表达式为：y2=−x+5；(2)从函数图象可以看出，当y1>y2时，0<x<1或x>4，故x的取值范围为：0<x<1或x>4；(3)设点P(a,0)，而点A、B的坐标分别为：(1,4)、(4,1)，则PA2=(a−1)2+42，AB2=18，PB2=(a−4)2+12，①当PA=PB时，(a−1)2+42=(a−4)2+12，解得：a=0，∴P1(0,0)；②当PA=AB时，(a−1)2+42=18，解得：a1=√2+1,a2=−√2+1，∴P2(√2+1,0),P3(−√2+1,0)；③当PA=AB时，(a−4)2+12=18，解得：a3=√17+4,a4=−√17+4，∴P4(√17+4,0),P5(−√17+4,0)；综上所述，P1(0,0)，P2(√2+1,0),P3(−√2+1,0),P4(√17+4,0),P5(−√17+4,0)．求出k1和m值，得到点A、B的坐标，将点A、【解析】(1)将点A、B的坐标代入y1=k1xB的坐标代入一次函数表达式，即可求解；(2)观察函数图象即可求解；(3)分PA=PB、PA=AB、PA=AB三种情况，利用等腰三角形的性质即可求解．本题考查了反比例函数的图象的性质以及等腰三角形的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．23.问题：如图(1)，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图(1)证明上述结论．【类比引申】如图(2)，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______关系时，仍有EF= BE+FD．【探究应用】如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40(√3−1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据：√2=1.41，√3=1.73)【答案】∠BAD=2∠EAF【解析】【发现证明】证明：如图(1)，∵△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，∴∠GAF=∠FAE，在△GAF和△FAE中，{AG=AE∠GAF=∠FAE AF=AF，∴△AFG≌△AFE(SAS)，∴GF=EF，又∵DG=BE，∴GF=BE+DF，∴BE+DF=EF；【类比引申】∠BAD=2∠EAF．理由如下：如图(2)，延长CB至M，使BM=DF，连接AM，∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，∴∠D=∠ABM，在△ABM和△ADF中，{AB=AD∠ABM=∠D BM=DF，∴△ABM≌△ADF(SAS)，∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，∵∠BAD=2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，在△FAE和△MAE中，{AE=AE∠FAE=∠MAE AF=AM，∴△FAE≌△MAE(SAS)，∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，即EF=BE+DF．故答案是：∠BAD=2∠EAF．【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，∴∠BAE=60°．又∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=80米．根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，又∵∠ADF=120°，∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上．易得，△ADG≌△ABE，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，又∵AH=80×√32=40√3，HF=HD+DF=40+40(√3−1)=40√3故∠HAF=45°，∴∠DAF=∠HAF−∠HAD=45°−30°=15°从而∠EAF=∠EAD−∠DAF=90°−15°=75°又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF∴根据上述推论有：EF=BE+DF=80+40(√3−1)≈109(米)，即这条道路EF的长约为109米．【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．【类比引申】延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ，证△ADF≌△ABM ，证△FAE≌△MAE ，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE 是等边三角形，则BE =AB =80米．把△ABE 绕点A 逆时针旋转150°至△ADG ，只要再证明∠BAD =2∠EAF 即可得出EF =BE +FD ．此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明∠BAD =2∠EAF.此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．24. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y =−12x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值； ②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)根据题意得A(−4,0)，C(0,2)，∵抛物线y =−12x 2+bx +c 经过A ，C 两点，∴{0=−12×16−4b +c 2=c， ∴b =−32，c =2，∴y =−12x 2−32x +2；(2)①如图1，令y=0，∴−12x2−32x+2=0，∴x1=−4，x2=1，∴B(1,0)，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N，∴DM//BN，∴△DME∽△BNE，∴S1：S2=DE：BE=DM：BN，设D(a,−12a2−32a+2)，∴M(a,12a+2)，∵B(1.0)，∴N(1,52)，∴S1：S2=DM：BN=(−12a2−2a)：52=−15(a+2)2+45；∴当a=−2时，S1：S2的最大值是45；②∵A(−4,0)，B(1,0)，C(0,2)，∴AC=2√5，BC=√5，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P(−32,0)，∴PA=PC=PB=52，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan(2∠BAC)=43，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，情况一：如图2，当∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=12，即RC：DR=12，令D(a,−12a2−32a+2)，∴DR=−a，RC=−12a2−32a，∴(−12a2−32a)：(−a)=1：2，∴a1=0(舍去)，a2=−2，∴x D=−2，情况二：当∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=43，设FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC=3k：FG=1：2，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=3√5k∴RC=2√55k，RG=4√55k，DR=DG−RG=11√55k，∴DR：RC=(11√55k)：(2√55k)=(−a)：(−12a2−32a)，∴a1=0(舍去)，a2=−2911，综上所述：点D的横坐标为−2或−2911．【解析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．(1)根据题意得到A(−4,0)，C(0,2)代入y=−12x2+bx+c，于是得到结论；(2)①如图1，令y=0，解方程得到x1=−4，x2=1，求得B(1,0)，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交AC于N，根据相似三角形△DME∽△BNE的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P(−32,0)，得到PA=PC=PB=52，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图2，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二：∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．。
2023-2024学年湖北省初中多校联考九年级上学期月考数学试题
2023-2024学年湖北省初中多校联考九年级上学期月考数学试题1.下列方程是一元二次方程的是（）A．B．C．D．（a、b、c为常数）2.方程的解是（）A．B．C．，D．，3.把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A．y =﹣2（x +1）2 +2B．y =﹣2（x +1）2﹣2C．y =﹣2（x﹣1）2 +2D．y =﹣2（x﹣1）2﹣24.已知抛物线y＝－(x－1)2＋4，下列说法错误的是（）A．开口方向向下B．形状与y＝x 2相同C．顶点(－1，4) D．对称轴是直线x＝15.设A（，），B（，），C（3，）是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．6.关于的一元二次方程的常数项是0，则的值A．1 B．1或2 C．2 D．7.中，于F，于为的中点，若的度数为（）A．B．C．D．8.二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9.计算：_______．10.若一元二次方程．的一个根为，则____________．11.若是方程的根，，则的值为____________．12.若抛物线y=x2﹣kx+k﹣1的顶点在坐标轴上，则k=_____．13.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，则点的坐标为_________．14.如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(－3,－6)，点B(1,－2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为___________.15.某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为__________．16.如图，在矩形中，，，E是上一个动点，过点E作于F，连接，取中点M，连接，则线段的最小值为____________．17.解方程：（1）（2）18.已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22＝8﹣3x1x2，求m的值．19.八年级全体同学参加了学校捐款活动，随机抽取了部分同学捐款的情况统计图如图所示（1）本次共抽查学生人，并将条形统计图补充完整；（2）捐款金额的众数是，中位数是；（3）在八年级600名学生中，捐款20元及以上的学生估计有人.20.如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东方向上．(1)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．(2)求M点与小岛P的距离．21.如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？22.如图，O为矩形的对角线的中点，过O作分别交，于点E，F．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求菱形的面积．23.某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．(1)根据图象求出y与x之间的函数关系式；(2)请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？(3)若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围．24.已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点在点左侧，点的坐标为，．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．。
2022-2023学年湖北省武汉市九年级上学期数学月考试题及答案
2022-2023学年湖北省武汉市九年级上学期数学月考试题及答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 将方程2316x x +=化成一元二次方程的一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ）A. 3，1 B. 3，6C. 3，1- D. 3，6-【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．【详解】解：2316x x +=，即23610x x -+=，∴二次项的系数和一次项系数分别是3，6-，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：20ax bx c ++=（a ，b ，c 是常数且0a ≠）特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中2ax 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2. 下列是一组logo 设计的图案（不考虑颜色），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．的3. 下列成语所描述事件属于不可能事件的是（）A. 水落石出B. 水涨船高C. 水滴石穿D. 水中捞月【答案】D【解析】【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可【详解】解：A、水落石出是必然事件，不符合题意；B、水涨船高是必然事件，不符合题意；C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；D、水中捞月是不可能事件，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．4. 已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】根据点与圆的位置关系“当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内”，由此可求解．【详解】解：由题意得：3＜4，∴点P在圆内；【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．5. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A. ()216x += B. ()229x += C. ()216x -= D.()229x -=【答案】C 【解析】【分析】根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：由原方程移项，得225x x -=，方程的两边同时加上一次项系数2-的一半的平方1，得2216x x -+=()216x ∴-=．故选：C ．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6. 将二次函数y ＝22x 向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（ ）A. 22(5)3y x =+-B. 22(5)3y x =++C. 22(5)3y x =--D. 22(5)3y x =-+【答案】B 【解析】【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将二次函数y ＝22x 向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为22(5)3y x =++，【点睛】本题考查了是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7. 从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（ ）A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，123451345623567345784567956789共有20种等可能结果，其中和为偶数的有8种，则其和为偶数的概率为820=25故选B【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线：()2240y ax ax a =-+>．若()11,A y -，()20,B y ，()34,C y 为抛物线上三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A. 123y y y <<B. 231y y y <<C. 213y y y <<D. 321y y y <<【答案】C 【解析】【分析】由于123y y y ，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再由对称性得C 点关于对称轴的对称点C '的坐标，再根据抛物线开口向上，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小，便可得出123y y y ，，的大小关系．【详解】∵抛物线()2240y ax ax a =-+>，∴对称轴为直线1x =，∵()34,C y ，∴C 点关于1x =的对称点()32,C y '-，∵0a >，∴在直线1x =的左边y 随x 的增大而减小，∵()11,A y -，()20,B y ，()32,C y '-，210-<-<，∴213y y y <<，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键掌握二次函数图象的性质．9. 设m ，n 是一元二次方程240x x +-=的两个实数根，则22m n --的值为（ ）A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得出24m m =-，根据一元二次方程根与系数的关系可得1m n +=-，整体代入，即可求解．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程240x x +-=的两个实数根，∴240m m +-=，1m n +=-，即24m m=-∴22m n --()()422213m n m n =---=-+=--=，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．10. 如图是由3个边长为2的正方形组成的物件，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A ，B ，C 三点恰好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）B. C. D. 4【答案】A 【解析】【分析】作,AB BC 的垂直平分线交于点D ，连接,BD CD ，设AB 的垂直平分线交网格线于点,E F ，连接AC ， 根据作图可得D 是过,,A B C 三点的圆的圆心，网格可得45BAC ∠=︒则=90BDC ∠︒，得出BDC 是等腰直角三角形，进而勾股定理求得BC ，即可求解．【详解】解：如图所示，作,AB BC 的垂直平分线交于点D ，连接,BD CD ，设AB 的垂直平分线交网格线于点,E F ，连接AC ，根据作图可得D 是过,,A B C 三点的圆的圆心，根据网格可得45BAC ∠=︒∴=90BDC ∠︒又∵DB DC=∴BDC 是等腰直角三角形，∵ 小正方形的边长为2，∴BC ==，∴DB BC ==故选：A ．【点睛】本题考查了确定圆的条件，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11. 在平面直角坐标系中，点()2,5P -关于原点对称的点的坐标是_________．【答案】(2,5)-【解析】【分析】根据平面直角坐标系内的点关于原点对称的规律即可求解．【详解】解：点()2,5P -关于原点对称点的坐标为(2,5)-，故答案为：(2,5)-．【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．12. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示正方形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为_________．【答案】49【解析】【分析】根据题意得：图中每个小z 正方形的面积都相等，共有9个正方形，阴影部分有4个，根据概率即可求解．【详解】解：依题意，飞镖落在阴影区域的概率为49故答案为：49．【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式求概率是解题的关键．13. 如图，在ABC 中，75CAB ∠=︒，将ABC 绕点A 按逆时针旋转到AB C ''△的位置，连接CC '，此时CC AB '∥，则旋转角BAB ∠'的度数为______．的的【答案】30︒##30度【解析】【分析】由平行线的性质可求得C CA '∠的度数，然后由旋转的性质得到AC AC '=，然后依据等腰三角形的性质可知AC C '∠的度数，依据三角形的内角和定理可求得CAC '∠的度数，从而得到BAB ∠'的度数．【详解】解：∵CC AB '∥75C CA CAB '∴∠=∠=︒，由旋转的性质可知，ACAC '=，75ACC AC C ''∴∠=∠=︒，180757530CAC '∴∠=︒-︒-︒=︒，30BAB '∴∠=︒．故答案为：30︒．【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，证出75C CA ∠='︒以及AC AC '=是解题的关键．14. 一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是_______平方米．（接缝不计）【答案】5π【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，求得圆锥的底面周长就是圆锥的弧长，利用圆锥的面积计算方法求得圆锥的侧面积即可．【详解】解：圆锥的底面周长2224r πππ==⨯=，∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，∴圆锥的侧面积114 2.5522lr ππ==⨯⨯=．故答案为：5π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长．15. 如图，已知开口向下的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0-，对称轴为直线1x =．下列四个结论：①0abc >；②20a b +=；③函数2y ax bx c =++的最大值为4a -；④若关于x 的方程21ax bx c a ++=+无实数很，则105a -<<．其中正确的是___________（填写序号）．【答案】②③④【解析】【分析】由图像可知，图像开口向下，0a ＜，对称轴为1x =，故12ba-=，故0b ＞，且2b a =-，则20a b += 图像与y 轴的交点为正半轴，则0c ＞，由此可知0abc ＜，故①错误，由图像可知当1x =时，函数取最大值，将1x =，代入2y ax bx c =++，中得：y a b c =++，计算出函数图像与x 轴的另一交点为（3，0），设函数解析式为：()()13y a x x =+-，化简得：223y ax ax a =--，将1x =，代入可得：234y a a a a =--=-，故函数的最大值为4a -， 21ax bx c a ++=+变形为：210ax bx c a ++--=要使方程无实数根，则24(1)0b a c a ---<，将3c a =-，2b a =-，代入得：22040a a +<，因为0a ＜，则2040a +>，则15a >-，综上所述105a -<<，结合以上结论可判断正确的项．【详解】解：由图像可知，图像开口向下，0a ＜，对称轴为1x =，∴12ba-=，∴0b ＞，且2b a =-，则20a b +=故②正确，∵图像与y 轴的交点为正半轴，∴0c ＞，则0abc ＜，故①错误，由图像可知当x=1时，函数取最大值，将1x =，代入2y ax bx c =++中得：y a b c =++，由图像可知函数与x 轴交点为10-（，），对称轴为将1x =，故函数图像与x 轴的另一交点为（3，0），设函数解析式为： ()()13y a x x =+-，故化简得：223y ax ax a =--，将x=1，代入可得：234y a a a a =--=-，故函数的最大值为4a -，故③正确，21ax bx c a ++=+变形为：210ax bx c a ++--=要使方程无实数根，则24(1)0b a c a ---<，将3c a =-，2b a =-，代入得：22040a a +<，因为a ＜0，则2040a +>，则15a >-，综上所述105a -<<，故④正确，故答案为：②③④．【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．16. 如图，ABC 内接于O ，AB 为O 的直径，I 为ABC 的内心，连接OI AI BI ，，．若1OI BI OI ⊥=，，则AB 的长为______．【答案】【解析】【分析】延长BI 交O 于M 点，连接MA ，通过中位线定理可求出AM 的长，再通过角的关系可求得45MIA ∠=︒，进而求证直角三角形MAI 为等腰直角三角形，求得MI 的长，MB 的长，利用勾股定理求出AB 的长．【详解】解：延长BI 交O 于M 点，连接MA ，在ABM 中斜边AB 经过圆心O ，90AMB ∴∠=︒，又BI OI AO OB ⊥= ，，∴OI 为AMB 的中位线，1OI =，22AM OI ∴==，在Rt ABC △中，I 为三个角平分线的交点，45IAB IBA ∴∠+∠=︒，即45MIA ∠=︒，Rt MAI ∴ 为等腰直角三角形，2MA MI IB ∴===，根据勾股定理可得，222222420AB MA MB =+=+=，即AB =．故答案为：【点睛】本题考查了三角形中位线，三角形内切圆圆心，直角三角形以及勾股定理，解题的关键是掌握三角形中位线定理，三角形内切圆圆心，直角三角形性质以及勾股定理．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17. 若关于x 的一元二次方程230x bx +-=有一个根是1x =，求b 的值及方程的另一个根．【答案】2b =，3x =-【解析】【分析】方法1：根据一元二次方程的解的定义把1x =代入原方程中求出b 的值，再解原方程求出另一个根即可；方法2：利用根与系数的关系求出方程另一个根，进而求出b 的值即可．【详解】解：方法1：把1x =代入方程230x bx --=得：130b +-=，解得2b =，∴原方程为2230x x +-=，解得：11x =，23x =-．∴b 的值为2b =，方程的另一个根为3x =-．方法2：设方程的一个根为11x =，另一个根为2x ，由根与系数的关系，得：12x x b +=-，123x x =-，即21x b +=-，23x =-，解得2b =．∴b 的值为2b =，方程的另一个根为3x =-．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．18. 如图，将ABC 绕点C 逆时针旋转90︒得到DEC ，点E 落在AB 上，若BC =7DE =，求AE 的长．【答案】3【解析】【分析】由旋转的性质得到7AB DE ==，90BCE ∠=︒，CE BC ==股定理求出BE 的长即可求出AE 的长．【详解】解：由旋转得7AB DE ==，90BCE ∠=︒，CE BC ==∴4BE ===，∴743AE AB BE =-=-=．【点睛】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，熟知旋转前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．19. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．【答案】（1）13（2）12【解析】【分析】（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；（2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．【小问1详解】解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是1.3【小问2详解】列表如下：甲乙丙丁甲甲、乙甲、丙甲、丁乙乙、甲乙、丙乙、丁丙丙、甲丙、乙丙、丁丁丁、甲丁、乙丁、丙所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，所以一定有乙的概率为：61=.122【点睛】本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键．20. 如图，AB BC ⊥，AB BC =，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且BD BE =，AD 交CE 于点F ，点O 在AD 上，O 经过点A ，E ．（1）求证：CE 为O 的切线；（2）若9AF =，3DF =，求O 的半径．【答案】（1）见解析 （2）4【解析】【分析】（1）连接OE ，证明ABD CBE ≌，可得,BAD BCE ADB CEB ∠=∠∠=∠，进而证明90OEA CEB ∠+∠=︒，可得90OEC ∠=︒，即可得证；（2）证明()AAS AEF CDF ≌△△，可得3EF DF ==，设O 的半径为r ，在Rt OEF △中，勾股定理即可求解．【小问1详解】证明：连接OE ，∵AB BC ⊥，∴90ABD CBE ∠=∠=︒，又∵,AB BC BD BE ==，∴ABD CBE ≌，∴,BAD BCE ADB CEB ∠=∠∠=∠，∵90BCE CEB ∠+∠=︒，∴90BAD CEB ∠+∠=︒，又∵OA OE =，∴BDA OEA ∠=∠，∴90OEA CEB ∠+∠=︒，∴90OEC ∠=︒，又∵OE 是O 的半径，∴CE 为O 的切线；【小问2详解】∵AB BC =，BE BD =，∴AE CD=又∵AFE CFD ∠=∠，BAD BCE ∠=∠，∴()AAS AEF CDF ≌△△，∴3EF DF ==，设O 的半径为r ，则9OF AF OA r =-=-，在Rt OEF △中，222OE EF OF +=∴()22239r r +=-解得：4r =∴O 的半径为4【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握是解题的关键．21. 已知四边形ABCD ，用无刻度直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，连接BD ，作ABD △的外接圆O ，再在BC 边上画点M ，使AMD ABD ∠=∠；（2）如图2，在AB 的延长线上画点E ，使DE DA =，再在BC 边上画点N ，使AND BAD ∠=∠．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）作ABD 的外接圆，与BC 交点就是所求点；（2）在AB 延长线上截取DA DE =，在（1）的基础上，可知作AED △外接圆即可，该圆与BC 交点即为所求点N ．【小问1详解】如图①，点M 即为所求．作AD 、AB 的垂直平分线，以交点为圆心，这一点到A 的距离为半径作圆，该圆与BC 交点即为所求点M ．的【小问2详解】如图②，点N 即为所求．在AB 延长线上截取DA DE ，在（1）的基础上，可知作AED △外接圆即可，该圆与BC 交点即为所求点N ．【点睛】本题考查了尺规作图，根据所求，依据同弧所对的圆周角相等，构造三角形的外接圆是解题关键．22. 如图，一座温室实验室的横截面由抛物线和矩形'OAA B 组成，矩形的长是16m ，宽是4m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-116x 2+bx+c 表示，CD 为一排平行于地面的加湿管．（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．（2）若加湿管的长度至少是12m ，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？（3）若在加湿管上方还要再安装一排恒温管(两排管道互相平行)，且恒温管与加湿管相距1.25m ，恒温管的长度至少是多少米？【答案】（1）y=-116x 2+x+4，拱顶到地面的距离为8米（2）至少是2.25米（3）至少是8米【解析】【分析】(1)根据已知条件，用待定系数法求函数解析式，并用二次函数的性质求最值即可；(2)先求出C点横坐标x=2，再代入(1)中解析式求出y=5.75，据此即可求得；(3)先求出y=5.75+1.25=7，再代入解析式解方程，求值即可．【小问1详解】解：将点(0,4)，(16,4)分别代入y=-116x2+bx+c中，得：441616cb c=⎧⎨=-++⎩，解得：14 bc=⎧⎨=⎩，∴y=-116x2+x+4=-116(x-8)2+8，∵1<0 16-，∴当x=8时，y有最大值，最大值为8，∴抛物线的函数关系式为y=-116x2+x+4，拱顶到地面的距离为8米；【小问2详解】解：由题意得：C点横坐标为16÷2-12÷2=2，将x=2代入y=-116x2+x+4中，解得：y=5.75，8-5.75=2.25(米)，∴加湿管与拱顶的距离至少是2.25米；【小问3详解】解：5.75+1.25=7(米)，由题意得：y≤7，当-116x2+x+4=7时，解得：x1=4，x2=12，∴12-4=8，∴恒温管的长度至少是8米．【点睛】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．23. 问题背景：如图1，在ABC 与ADE V 中，若AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形；尝试运用：如图2，在ABC 中，90ABC ∠=︒，将线段AC 绕点C 顺时针旋转90︒至CD ，DE AB ∥，连接BE ，CE ，45BCE ∠=︒．若2AB =，4DE =，求BE 的长；拓展创新：如图3，在ABC 中，90ABC ∠=︒，将线段AC 绕点C 顺时针旋转90︒至CD ，DE AB ∥，连接BE ，CE ，45BCE ∠=︒，ACB DCE ∠=∠．直接写出BEAB的值．【答案】问题背景：AEC ADB △≌△，理由解析，尝试运用：BE =；拓展创新：BEAB=【解析】【分析】问题背景：先证明EAC DAB ∠=∠，然后根据SAS 证明AEC ADB △≌△，尝试运用：证明ACB CDF ≌，得出CEF △是等腰直角三角形，进而在Rt BEF △中，勾股定理，即可求解．拓展创新：证明ACB CDF ≌，得出CEF △是等腰直角三角形，证明ED EC =，进而在Rt BEF △中，勾股定理，即可求解．【详解】问题背景：AEC ADB △≌△，理由如下，∵BAC DAE ∠=∠∴EAC DAB ∠=∠，又∵AB AC =，AD AE =，∴AEC ADB △≌△；尝试运用：延长DE 交BC 于点F ，∵AB DE ∥，90ABC ∠=︒∴90DFC ∠=︒，∴A B C D FC ∠=∠，∵=90ACD ∠︒，∴90ACB DCF ∠+∠=︒,∵90A ACB ∠+∠=︒，∴A DCF ∠=∠∵AC CD =，∴ACB CDF ≌，∴,AB CF BC DF ==,90CFD ABC ∠=∠=︒又∵45BCD ∠=︒,∴CEF △是等腰直角三角形∴2CF EF AB ===,4BF BC CF DF EF DE =-=-==在Rt BEF △中，BE ===；拓展创新：延长DE 交BC 于点F ，同法可得ACB CDF ≌，∴,AB CF BC DF ==,90CFD ABC ∠=∠=︒又∵45BCD ∠=︒,∴CEF △是等腰直角三角形则45FEC ∠=︒又∵45BCE ∠=︒，=90ACD ∠︒，ACB DCE∠=∠∴22.5ACB DCE ∠=∠=︒∵FEC ECD EDC∠=∠+∠∴4522.5EDC ECD ∠=︒-∠=︒ECD=∠∴CE DE ===在Rt BEF △中，BE ===∴BE AB ==【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．24. 已知二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点(),0A m ，()3,0B ，交y 轴于点C ．（1）若1m =-时．①求二次函数的解析式；②如图1，若点()2,0H -，()2,2F --，点()21P P x -<<在抛物线上，将HPF 绕点H 逆时针旋转90︒至HQO △，当HOQ ∠最小时，求点P 的横坐标；（2）如图2，经过点B 的直线12y x n =+与二次函数的图象交于点P ，直线PO 交线段BC 于点D ，若PD PB =，求a 的值．【答案】（1）①223y x x =-++2（2）32a =-【解析】【分析】（1）①将()1,0A -，()3,0B ，代入解析式即可得到答案；②根据旋转可得HOQ PFH ∠=∠，当HFP ∠最小时HOQ ∠最小，则当FP 与抛物线相切时，HFP ∠最小，观察图象可得P 点在x 轴上方，进而设直线PF 的解析式为()22y k x =+-，根据直线PF 与抛物线只有一个交点，得出k 的值，进而联立抛物线与直线解析式，求得交点的横坐标，即可求解．（2）先求得()0,3C ，设BP 交y 轴于点E ，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，根据解析式得出30,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线PB 的解析式为1322y x =-，由已知PD PB =得出ODF EBF ∠=∠，进而得出直线PD 的解析式为2y x =，求得点P 的坐标，然后待定系数法求二次函数的解析式，即可求解．【小问1详解】解：①∵23y ax bx =++的图像与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，∴309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴223y x x =-++；②解：如图所示，依题意，HOQ PFH ∠=∠，∴当HFP ∠最小时HOQ ∠最小，则当FP 与抛物线相切时，HFP ∠最小，观察图象可得P点x 轴上方，∵()2,2F --，设直线PF 的解析式为()22y k x =+-联立223y x x =-++，则22322x x kx k -++=+-即()22250x k x k +-+-=∵直线PF 与抛物线只有一个交点，∴()()22424250b ac k k ∆=-=---=解得：6k =-6k =(()223622y x x y x ⎧=-++⎪⎨=-+-⎪⎩或()()223622y x x y x ⎧=-++⎪⎨=+-⎪⎩解得：2x =-或2x =-∵()21P P x -<<，∴P2-；【小问2详解】解：∵23y ax bx =++与y 轴交于点C ，当0x =时，3y =∴()0,3C ，如图所示，设BP 交y 轴于点E ，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，∵经过点B 的直线12y x n =+与二次函数的图象交于点P ，∴1032n =⨯+在解得：32n =-，∴直线BP 的解析式为1322y x =-，30,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴32OE =，∴1tan 2OE OBE OB ∠==∵PD PB=∴PDB PBD ∠=∠，∵3OC OB ==∴45FDB OCB FBD ∠=∠=∠=︒∴ODF EBF∠=∠∴1tan tan 2OF ODF OBE DF =∠=∠=即2DF OF =，设(),2D d d ，直线PD 的解析式为1y k x=∴12d k d=解得：12k =∴直线PD 的解析式为2y x =，联立21322y x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩解得：12x y =-⎧⎨=-⎩∴()1,2P --将()1,2P --，()3,0B ，()0,3C 代入23y ax bx =++∴29303a b c a b c c -+=-⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：32723 abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴32 a=-．【点睛】本题考查了解直角三角形，二次函数的总和运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。
光谷实验2023-2024学年度上学期9月考九年级数学试题
光谷实验中学2023－2024学年度九年级上学期9月月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．x 2－2y ＝0B ．＋x ＝2C ．x 2＋2x ＝x 2＋1D ．2－x 2＝02．方程x 2－x －2＝0的根的情况是（）A ．有两个不等实根B ．有两个相等实根C ．无实根D ．以上三种情况都有可能3．某厂四月份生产零件60万个，第二季度共生产零件282万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A ．60(1＋x )2＝282B ．60＋60(1＋x )＋60(1＋x 2)＝282C ．60(1＋2x )＝282D ．60＋60(1＋x )＋60(1＋x )2＝2824．二次函数y ＝－3x 2＋2的顶点坐标是（）A ．(2，0)B ．(－2，0)C ．(0，2)D ．(0，－2)5．已知m 、n 是方程x 2＋x －2023＝0两根，则m 2＋2m ＋n 的值（）A ．2023B ．2024C ．2022D ．无法确定6．已知点(−4，y 1)、(−1，y 2)、(2，y 3)都在函数y ＝－x 2＋5的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 27．若x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx −2b ＝0的两个根，且x 12＋x 22＝12，则b 的值为（）A ．2B ．−6C ．2或−6D ．6或−28．已知关于x 的方程(m 2－1)x 2＋(2m －2)x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是（）A ．m ＜1B ．m ≤1C ．m ＜1且m ≠−1D ．m ≠±19．在直角坐标系xOy 中，已知点P (m ，n )，m ，n 满足(m 2＋1＋n 2)(m 2＋3＋n 2)＝8，则OP 的长为（）A ．B ．1C ．5D ．或110．已知关于的一元二次方程x 2＋cx ＋a ＝0的两个整数根恰好比方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根都大1，则a ＋b ＋c 的值为（）A ．3或－3B ．－3或29C ．3或－29D ．3或29二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．若x ＝2是方程x 2－6x ＋m ＋2＝0的一个根，则方程的另一个根是______________．12．若y ＝（a －3）x |a |－1＋5x 是二次函数，则a ＝________．13．某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出小分支．14．关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋4＝0有两个相等的实数根，则m 的值为．15．下列说法：①若一元二次方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是a （a ≠0），则代数式a ＋b 的值是－1；②若b 2＞6ac ，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0一定有两个不相等的实数根；③若b ＝a ＋2c ，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0一定有两个不相等的实数根；④已知两实数m ，n 满足m 2＋3m －9＝0，n 2＋3n －9＝0，且m ≠n ，则＋的值为－3．其中正确的有（只需填序号）．16．如图，在平面直角坐标系中，Q 是直线y ＝－x ＋2上的一个动点，将Q 绕点P （1，0）顺时针旋转90°，得到点Q '，连接OQ '，则OQ '的最小值为__________．三、解答题（共72分）17．用你喜欢的方法解下列一元二次方程（1）（2x －1）2－4＝0（2）2x 2－4x －7＝018．关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－m ＝0有两个实数根．22xm n n m12（1）求实数m 的取值范围；（2）设该方程的两个实数根分别为x 1，x 2，若＋，求m 的值．19．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？20．如图，△ABC 的顶点均为格点，AC 与网格线交于点D ．仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）如图1，画出△ABC 的角平分线CE ；（2）如图1，平移AB 至DN ，使点A 的对应点为点D ；（3）如图2，在AB 上找一点G ，使DG ＋CG 最小；（4）如图3，AB 与网格线交于点E ，过点E 作EQ ⊥AC 于Q ．21．若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和，则这个函数称为另两个函数的“生成函数”．现有关于x 的两个二次函数y 1，y 2，且y 1＝a （x －m ）2＋4（m ＞0），y 1，y 2的“生成函数”为：y ＝x 2＋4x ＋14；当x ＝m 时，y 2＝15；二次函数y 2的图象的顶点在y 轴上．（1）求m 的值；（2）求二次函数y 1，y 2的解析式．11x 21x22．如图，在矩形ABCD中，AB＝a，AD＝b(a＞b)．（1）若a，b为方程x2－mx＋m－1＝0的两根，且BDm的值；（2）在（1）的条件下，P为CD上一点（异于C、D两点），P在什么位置时，△APB是直角三角形？（3）P为直线上的一动点（异于C、D两点），当a，b满足什么条件时，使△APB为直角三角形的P点有且只有一个？请直接写出a，b满足的数量关系．23．如图，△ABC中，AB＝AC，∠DAE的边AD、AE分别交直线BC于点D、E（D在E的左边），∠BAC＝2∠DAE＝α；（1）如图1，若α＝120°，AB＝12，当点D与点B重合时，△ADE的面积为___________；（2）若α＝90°，BC＝12，BD和CE的长度分别是方程x2−7x＋m＝0的两根，请在图2中画出图形并求△ADE面积；（3）如图3，若α＝60°，D、E分别在点C的两侧，CD＝3，CE＝4，直接写出BD的长____________．图1图2图2备用图3ADBC24．如图，抛物线y1＝ax2经过点A（－2，m）、B（1，2），直线AB交x轴于点C．（1）直线AB的解析式为__________________，点C的坐标是____________；（2）直线AB上有点M，点M是否存在某个位置使MA＋MC＝？若存在，请求出M的坐标，若不存在，请说理由；（3）平面内有抛物线y2，且抛物线y2向上平移4个单位可与抛物线y1重合，在抛物线y2上有一动点N，△ABN的面积为S，若点N符合条件的位置有且只有3个，求S的值．。
2022-2023学年湖北省武汉市江夏区光谷实验中学九年级(上)适应性数学试卷(9月份)
2022-2023学年湖北省武汉市江夏区光谷实验中学九年级（上）适应性数学试卷（9月份）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．将一元二次方程3x 2+1＝6x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）A ．3，1B ．3，6C ．﹣3，6D ．3，﹣62．下列函数是二次函数的是（ ）A ．y =2x 2B ．y ＝ax 2+bx +cC ．y ＝x （x ﹣3）D ．y ＝2x （x +3）﹣2x 2 3．抛物线y ＝﹣（x +2）2的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（﹣2，0）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）4．下列方程有两个相等的实数根的是（ ）A ．x 2﹣2x +1＝0B ．x 2﹣3x +2＝0C ．x 2﹣2x +3＝0D ．x 2﹣9＝05．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ）A ．x 2﹣2x ＝5B ．x 2﹣4x ＝5C ．x 2+8x ＝5D ．x 2+2x ＝5 6．将二次函数y =13x 2的图象向右平移1个单位，所得图象的解析式为（ ）A ．y =13(x −1)2B ．y =13(x +1)2C ．y =13x 2+1D ．y =13x 2−1 7．已知点（﹣4，y 1）、（﹣1，y 2）、（53，y 3）都在函数y ＝﹣x 2+5的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 28．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．5000（1+2x ）＝7500B ．5000×2（1+x ）＝7500C ．5000（1+x ）2＝7500D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2＝75009．若a ，b 为一元二次方程x 2﹣7x ﹣1＝0的两个实数根，则a 3+3ab +8b ﹣42a 值是（ ）A ．﹣52B ．﹣46C ．60D ．6610．如图，点E 是边长为8的正方形ABCD 的边CD 上一动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 逆时针旋转90°到线段EF ，连接AF ，BF ，AF 交边BC 于点G ，连接EG ，当AF +BF 取最小值时，线段EG 的长为（ ）A ．8√2B ．7C ．9D ．203二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．关于x 的方程x 2a ﹣1+x ＝5是一元二次方程，则a 的值为 ． 12．若二次函数y ＝（a +1）x 2过点（3，18），则a ＝ ．13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给 个人．14．关于x 的方程x 2﹣4x +m +2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为 ．15．下列说法：①若一元二次方程x 2+bx +a ＝0有一个根是a （a ≠0），则代数式a +b 的值是﹣1； ②若b 2＞6ac ，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个不相等的实数根； ③若b ＝a +2c ，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个不相等的实数根； ④已知两实数m ，n 满足m 2+3m ﹣9＝0，n 2+3n ﹣9＝0，且m ≠n ，则m n +n m 的值为﹣3．其中正确的有 （只需填序号）．16．如图，若∠ACE ＝∠AEC ＝∠ADC ＝45°，∠ACD ﹣∠AED ＝60°，DC ＝3，则DE 的长为 ．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：（1）5x2﹣2x﹣1＝0；（2）x2+10x+21＝0．18．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．19．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．（1）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；（2）小明由握手问题想到了另一个数学问题：若某一直线上共有m个点，则由这些点中任意两点所连线段的总数为．20．在8×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC的顶点坐标是A（3，3），B（﹣1，0），C（4，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：（1）△ABC的周长为；（2）作▱ACBE，并写出E点坐标；（3）画△ABC的角平分线BD，交AC于D；（4）P为BC上一点，作P关于BD的对称点Q．21．如图BE⊥CD，AB＝AD，AC＝AE，过A点作AG⊥DE于G，延长GA交BC于F，（1）求证：F为BC中点；（2）若AF＝12.5，AE＝15，求△ADE的面积S△ADE．22．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．（1）已知a＝26，b＝15，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出每条道路的宽x 为多少米？（2）已知a：b＝2：1，x＝2，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米？（3）已知a＝28，b＝14，要在场地上修筑宽为2米的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为常数），使草坪地的总面积为120平方米，则m2+n2＝（直接写出答案）．23．（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，∠BAD＝2∠EAF，请你直接写出BE、DF、EF之间的数量关系：．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD+∠BCD＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，∠BAD＝2∠EAF，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（1）的条件下，若E、F分别在直线BC、直线CD上，若BE＝1，AB ＝4，求出EF的长．24．如图，已知抛物线的顶点M（0，4），与x轴交于A（﹣2，0）、B两点，（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点C（0，2），P为抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于Q（P 在Q上方），再过点P作PR∥x轴交直线BC于点R，若△PQR的面积为2，求P点坐标；（3）如图2，在抛物线上是否存在一点D，使∠MAD＝45°，若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．。
2022-2023学年湖北省武汉第一初级中学九年级(上)质检数学试卷(9月份)
2022-2023学年湖北省武汉第一初级中学九年级（上）质检数学试卷（9月份）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如图美丽的图案，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）若方程（m﹣1）x2+x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m＝1B．m≠0C．m≥1D．m≠13．（3分）一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的二次项系数和常数项分别是（）A．2，1B．2，0C．2，﹣1D．﹣3，﹣14．（3分）用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x+2）2＝3B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣2）2＝5D．（x+2）2＝55．（3分）如图，A，B，C，D四点都在⊙O上，∠BOD＝110°，则∠BCD的度数为（）A．70°B．110°C．125°D．130°6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x＝﹣1或x＝3D．x＝3或x＝﹣37．（3分）将抛物线y＝x2﹣3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝（x﹣3）2﹣1B．y＝（x+3）2﹣5C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）28．（3分）一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意可列方程为（）A．x+x（x+1）＝121B．1+x+x（x+1）＝121C．x+x2＝121D．1+x+x2＝1219．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）A．a＜0B．c＞0C．b2﹣4ac＞0D．b＞010．（3分）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值是．12．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是．13．（3分）已知方程2x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为．14．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使得C'C∥AB，则∠B'AB＝．15．（3分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．16．（3分）下列关于二次函数y＝﹣x2+2kx﹣2k+3（k为常数）的结论：①该函数的图象与x轴总有两个公共点；②无论k为何值，该函数的图象必经过一个定点；③若A（x1，y1），B（x2，y2）为此抛物线图象上两点，当|x1﹣k|＞|x2﹣k|时，y1＜y2；④该函数图象的顶点一定不在直线y＝2的下方．其中正确的结论是．（填写正确结论的序号）三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0；（2）x2+5x﹣6＝0．18．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点（2，3），（﹣1，9）．（1）求a，b的值；（2）该抛物线的开口向，顶点坐标是，当x时，y随x的增大而减小．19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．20．（8分）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD于点E，AD＝4，OE＝3，求CD的长．21．（8分）（1）如图1，正方形网格中，△ABC的顶点均在网格上．①以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．②作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．③△A2B2C2可由△AB1C1绕某点M旋转得到；请直接写出旋转中心M的坐标为．（2）如图2，△ABC的顶点均落在格点上，以BC为直径的半圆与AC相交于点D，若P、Q分别为边AC，BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q．22．（10分）某商店销售一种商品，该商品的进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，部分数据如表：售价x（元/件）55658085周销售量y（件）90704030（1）直接写出y与x之间的函数表达式为；（2）当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？（3）由于某种原因，该商店进价提高了m元/件（m＞0），通过销售记录发现，当销售价格大于76元/件时，每周的利润随售价的增大而减小，请直接写出m的取值范围为．23．（10分）问题背景：如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：BD ＝CE．尝试运用：如图2，在等边△ABC中，P是△BC外的一点，∠APB＝15°，BP＝9，AP＝3，求CP 的长度．拓展创新：如图3，在△ABC中，若AC＝16，∠BAC＝120°，O是BC的中点，点E是△ABC内部一点，OE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转120°得到AF，连接AF，请直接写出当OF的长度最小时，AE的长度为．24．（12分）如图1，抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于A、B两点（A在B左边），y轴负半轴上有一点P（0，﹣4），过点A作AP的垂线与抛物线相交于点Q．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）求点Q的坐标；（3）如图2，若直线y＝kx+2与抛物线交于E、F两点（E在F左边），分别过点E、F且与抛物线只有唯一公共点的两条直线分别交直线y＝﹣3于点M、N两点，若M、N两点的横坐标分别为m、n，且满足m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的k的值为．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．B；2．D；3．C；4．A；5．C；6．C；7．C；8．B；9．D；10．C；二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．﹣3；12．（3，﹣2）；13．；14．15°；15．（4﹣4）；16．①②③④；三、解答题（共8小题，共72分）17．（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）x1＝1，x2＝﹣6．；18．上；（，﹣）；＜；19．；20．8．；21．（0，﹣1）；22．y ＝﹣2x+200；0＜m≤12；23．2；24．0或5。
2024-2025学年湖北省武汉市武昌区三校联考九年级(上)期中数学试卷(含详解)
2024-2025学年湖北省武汉市武昌区三校联考九年级（上）期中数学试卷一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）若关于x的一元二次方程为5x2﹣2x+1＝0，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ）A．5，2B．5，﹣2C．5，1D．﹣5，﹣23．（3分）已知点A（a，b）与点B（﹣2，﹣3）是关于原点O的对称点，则（ ）A．A（2，﹣3）B．A（﹣2，3）C．A（2，3）D．A（﹣2，﹣2）4．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x＝4配方后可变形为（ ）A．（x+2）2＝2B．（x+2）2＝4C．（x+2）2＝6D．（x+2）2＝85．（3分）如图，A、D是⊙O上的两点，A是弧BC的中点，若∠D＝35°，则∠BAC的度数是（ ）A．100°B．110°C．35°D．25°6．（3分）关于x的一元二次方程x2+5x﹣4＝0的根的情况是（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根7．（3分）将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线y＝5x2，则原抛物线解析式为（ ）A．y＝5（x+2）2+3B．y＝5（x+2）2﹣3C．y＝5（x﹣2）2+3D．y＝5（x﹣2）2﹣38．（3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ）A．（1﹣x）2＝50%B．（1+x）2＝50%C．1﹣2x＝50%D．（1﹣x）（1+x）＝50%9．（3分）已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）﹣3（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（ ）A．x1＜m＜n＜x2B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2D．x1＜m＜x2＜n10．（3分）如图，已知在纸上有一点O．按下列尺规作图的步骤进行：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为AB；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交半圆O于点C；③连接OC，以点C为圆心，以OC长为半径作弧，交半圆O于点E，连接AE，CE．下列结论不正确的是（ ）A．四边形AOCE是菱形B．点C是弧EB的中点C．∠AECD．四边形AOCE的面积为二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知方程x2﹣3x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则2x1+2x2的值为 ．12．（3分）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有 个队参赛．13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向的夹角为45°，且OA＝2，若将线段OA绕点O 顺时针旋转75°得到线段OA′，则此时点A'的坐标为 ．14．（3分）如图，AC，BD是⊙O的两条弦，且AC⊥BD，⊙O的半径为2，则AB2+CD2的值为 ．15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°．∠A＝30°，BC＝4，点D为AC边上一动点，将线段BD绕B点顺时针旋转60°，得到线段BE，连CE，则CE的最小值为 ．16．（3分）如图，函数G图象是由y＝x2+2x+2（x≤0）的图象C1和它关于（0，2）成中心对称的图象C2组成．下列说法：①函数G图象关于y轴对称；②当﹣1≤x≤1时，函数G随x的增大而增大；③直线y＝k与G图象有三个交点，则1＜k＜3．且k≠2；④已知不重合的两点A（a，y a），B（b，y b）在函数G的图象上，且a＜0＜b，a+b＝0，若当a≤x≤b时，函数G的最大值和最小值为均为定值．则a的取值范围为．其中正确的命题有 （填序号）．三、解答题（共8小题，共72分）．17．（8分）解方程：3x2+6x﹣4＝0．18．（8分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，且点A，B，E在同一条直线上．（1）求证：DA平分∠BDE；（2）AC与DE交于点O，∠AOE＝95°，求旋转角α的度数．19．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣2，6），B（5，6），C（0，﹣4）．（1）该函数的对称轴为 ，方程ax2+bx+c＝0的解为 ；（2）根据函数图象完成以下问题：①当0≤x≤5时，y的取值范围为 ；②当y＞6时，x的取值范围为 ．20．（8分）如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．（1）求证：AC＝BD；（2）若CD＝12，EF＝4，求⊙O的半径．21．（8分）（1）在9×8的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题．①请在图1中，画出将△ABC绕点D逆时针旋转90°得到的△A′B′C．②若圆O经过A，B，C三点，请在图2中作出圆O的圆心O点．（2）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2﹣1与抛物线y＝﹣2x2+1如图所示．请仅用无刻度的直尺在图3中画出四个顶点在两抛物线图象上的矩形（保留作图痕迹）．22．（10分）综合与实践某校数学小组的同学把“用数学的眼光观察校园”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告，请根据该活动报告完成后面的任务．课题用数学的眼光观察校园调查方式实地查看了解调查对象校门口隔离栏平面图数学眼光各个栏杆上彩色部分的顶端及点A ，B 所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）调查内容相关数据隔离栏AB 长为13米，并且AB 的长被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度CE ＝0.9米．隔离栏顶端G 距栏杆底部距离AG ＝1.6米．任务：（1）如图1，请以点A为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的表达式．（2）如图2，若学校从防护栏的顶点G 处开始向下拉横幅，为了不遮挡防护栏上的彩色栏杆，则横幅最宽为多宽？（3）若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为0.15米，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？23．（10分）（1）如图1，E 为等边△ABC 内一点，CE 平分∠ACB ，D 为BC 边上一点，且DE ＝CD ，连接BE ，取BE 中点P ，连接AP ，PD ，AD ，直接写出AP 与PD 的位置关系，并直接用等式表示AP 与PD 的数量关系；（2）如图2，把图1中的△CDE绕点C顺时针旋转α（60°＜α＜90°），其它条件不变，连接BE，点P为BE 中点，连接AP，PD，AD，试问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若CD＝1，AB＝6，△CDE绕点C顺时针旋转a（0°≤α≤360°），则AP的最大值为 ．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OA＝OC＝3OB．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点G为抛物线上一点，当∠GBA＝∠BCO时，直接写出点G的坐标；（3）如图2若M为线段AB的中点，N为抛物线的顶点，OT经过A，B，C三点．经过圆心T的直线交抛物线于D，E两点，直线ND交x轴于点P，直线NE交x轴于点Q．求MP•MQ的值．2024-2025学年湖北省武汉市武昌区三校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【考点】中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．故选：D．2．【考点】一元二次方程的一般形式．【解答】解：根据题意得：关于x的一元二次方程5x2﹣2x+1＝0的二次项系数为5，一次项系数为﹣2．故选：B．3．【考点】关于原点对称的点的坐标．【解答】解：∵关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反，点A（a，b）与点B（﹣2，﹣3）是关于原点O的对称点，∴a＝2，b＝3，∴A（2，3），故选：C．4．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【解答】解：∵x2+4x＝4，∴x2+4x+4＝4+4，即（x+2）2＝8，故选：D．5．【考点】圆周角定理；三角形内角和定理．【解答】解：∵A是弧BC的中点，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝∠D＝35°，∴∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝110°．故选：B．6．【考点】根的判别式．【解答】解：由题意可知：Δ＝52﹣4×1×（﹣4）＝25+16＝41，∴Δ＞0，∴关于x的一元二次方程x2+5x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故选：B．7．【考点】二次函数图象与几何变换．【解答】解：∵抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线y＝5x2，∴y＝5x2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到原抛物线，∴原抛物线的函数解析式为y＝5（x+2）2+3．故选：A．8．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【解答】解：根据题意得：（1﹣x）2＝50%．故选：A．9．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【解答】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）﹣3＝y′﹣3，即函数y′向下平移3个单位得到函数y，则两个函数的图象如图所示（省略了y轴），从图象看，m＜x1＜x2＜n，故选：B．10．【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；菱形的性质；菱形的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【解答】解：连接BC，OE，设MN交OB于点H，由题意可知，MN为线段OB的垂直平分线，∴OC＝BC，∵OC＝OB，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，由尺规作图可知EC＝OC，∵OC＝OE，∴EC＝OC＝OE，即△COE为等边三角形，∴∠ECO＝60°，∴∠ECO＝∠BOC，∴EC∥AB，∵EC＝OC＝OA，∴四边形AOCE为平行四边形，∵EC＝OC，∴四边形AOCE为菱形，故A选项正确，不符合题意；∵EC＝OC＝BC，∴＝，∴点C是弧EB的中点，故选项B正确，不符合题意；∵EC∥AO，∠A＝60°，∴∠AEC＝120°，∴∠EAB＝∠AEC，故选项C正确，不符合题意；在Rt△COH中，sin60°＝＝＝，∴CH＝r，∴四边形AOCE的面积为AO•CH＝r2，故选项D错误，符合题意．故选：D．二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．【考点】根与系数的关系．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝3，∴2x1+2x2＝2（x1+x2）＝2×3＝6．故答案为：6．12．【考点】一元二次方程的应用．【解答】解：设学校有x个队参赛，根据题意得：（x﹣1）＝28，整理得：x2﹣x﹣56＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去），即学校有8个队参赛，故答案为：8．13．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【解答】解：如图2，将线段OA绕点O沿顺时针方向旋转105°到线段OA′，过点A′作A′B⊥x轴于点B，∴OA′＝OA＝2，∠AOA′＝75°，∴∠A′OB＝70°﹣45°＝30°．在直角△A′OB中，∠OBA′＝90°，∠A′OB＝30°，∴A′B＝OA′＝1，OB＝A′B＝，∴点A′的坐标为（，﹣1）．综上，点A'的坐标为（，﹣1）．故答案为：（，﹣1）．14．【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．【解答】解：作直径AF，连接CF、BF，如图，∵AF为直径，∴∠ACF＝90°，即CF⊥AC，∠ABF＝90°，∵AC⊥BD，∴BD∥CF，∴，∴BF＝CD，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2＝42＝16，∴AB2+CD2＝16．故答案为：16．15．【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【解答】解：取AB的中点F，连接DF，过F点作FH⊥AC于H点，如图，∵∠ACB＝90°．∠A＝30°，∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝60°，∴BF＝AF＝4，∵线段BD绕B点顺时针旋转60°，得到线段BE，∴BD＝BE，∠ABE＝60°，∵∠FBD+∠DBC＝60°，∠DBC+∠CBE＝60°，∴∠FBD＝∠CBE，在△BDF和△BEC中，，∴△BDF≌△BEC（SAS），∴FD＝CE，∵点D为AC边上一动点，∴FD的最小值为FH的长，∵∠A＝30°，∴FH＝AF＝2，∴FD的最小值为2，即CE的最小值为2．故答案为：2．16．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；命题与定理．【解答】解：图象C1：y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，（x≤0），其顶点坐标为（﹣1，1），图象C1和图象C2组成中心对称图形，对称中心为点（0，2），∴图象C2的开口与图象C1方向相反，大小相同，其顶点坐标为（1，3），∴图象，（x＞0），对于函数G，当x＝1时，y＝3，当x＝﹣1时，y＝1，∴函数G图象不关于y轴对称，故①不正确；结合图形，当﹣1≤x≤1时，函数G随x的增大而增大，故②正确；直线y＝k与G图象有三个交点，则1＜k＜3，故③不正确；∵a＜0＜b，a+b＝0，∴A（a，y a）B（b，y b）关于（0，2）对称，当（x+1）2+1＝﹣1时，x＝﹣1，当（x﹣1）2+3＝1时，x＝+1，∵当a≤x≤b时，函数G的最大值和最小值为均为定值，结合图形可知，当﹣1＜a＜0，0＜b＜1时，函数c的最大值和最小值不为定值，不符合题意；当a＜﹣﹣1，时，函数G的最大值和最小值不为定值，不符合题意；∴，此时1≤y≤3，函数G的最大值和最小值均为定值，故④正确；故答案为：②④．三、解答题（共8小题，共72分）．17．【考点】解一元二次方程﹣公式法．【解答】解：a＝3，b＝6，c＝﹣4，∴b2﹣4ac＝62﹣4×3×（﹣4）＝84，x＝＝，∴x1＝，x2＝．18．【考点】旋转的性质．【解答】（1）证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠ADE＝∠B，AD＝AB，∴∠ADB＝∠B，∴∠ADE＝∠ADB，∴DA平分∠BDE．（2）解：如图，AC与DE交于点O，∵∠AOE＝95°，∴∠E＝180°﹣95°﹣∠CAE＝85°﹣∠CAE，由旋转得∠CAE＝∠BAD＝α，∠C＝∠E，∴∠C＝∠E＝85°﹣α，∵∠CAE＝∠C+∠B，且∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝90°﹣α，∴α＝85°﹣α+90°﹣α，∴α＝70°，∴旋转角α的度数是70°．19．【考点】二次函数综合题．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4，则抛物线的对称轴为直线x＝，令y＝x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4或﹣1，故答案为：，则x＝4或﹣1；（2）由抛物线的表达式知，顶点为（，﹣）；①观察函数图象知，当0≤x≤5时，y的取值范围为：﹣≤y＜6；②观察函数图象知，当y＞6时，x的取值范围为x＜﹣2或x＞5，故答案为：﹣≤y＜6；x＜﹣2或x＞5．20．【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．【解答】（1）证明：∵OA＝OB，OE⊥AB于点F，∴AF＝BF，又∵OE是⊙O的半径，OE⊥AB，∴CF＝DF，∴AF﹣CF＝BF﹣DF，∴AC＝BD；（2）解：如图，连接OC，∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦，∴CF＝CD＝6，∠OFC＝90°，∴CO2＝CF2+OF2，设⊙O的半径是r，∴r2＝62+（r﹣4）2，解得r＝，∴⊙O的半径是．21．【考点】二次函数综合题．【解答】解：（1）①连接DA、DB、DC将上述三条线段逆时针旋转90°，连接A′、B、′C′即可；②作矩形ANCM，对角线交点为点R，则R是AB的中点，在AC的左侧作正方形AGHC，作其对角线交于点T，连接TR，则TR为AC的中垂线，取BC的中垂线l交TR于点O，则点O为圆心；（2）过抛物线的顶点B和抛物线和x轴的一个交点A作直线交两条抛物线于点C、E，同理作出直线GH，则四边形CGEH为矩形．22．【考点】二次函数的应用．【解答】解：（1）由题意得，A（0，0），B（13，0），C（4，0.9），又设抛物线为y＝ax2+bx+c，∴．∴．∴抛物线为y＝﹣x2+x．（2）由题意得，栏杆彩色部分的最高点为第六根和第七根栏杆，它们高度一致．由题意得AF＝6，当x＝6时，y＝﹣×62+×6＝1.05．∴横幅最宽为1.6﹣1.05＝0.55（米）．（3）由题意，当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆时，设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，∴它的彩色部分高度为﹣m2+m，则第（m+1）根，它的彩色部分高度为﹣（m+1）2+（m+1）．∴﹣m2+m﹣[﹣（m+1）2+（m+1）]＝0.15．∴m＝9．∴第9根与第10根的高度差为0.15米．由抛物线的对称性可知第3根与第4根的高度差也为0.15米，∴相邻的两根栏杆分别是左起第9根与第10根或第3根与第4根．23．【考点】几何变换综合题．【解答】解：（1）如图1中，延长DP至G，使PG＝PD，连接BG、AG，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠ECD＝∠ECA＝30°，∴DE∥AC，∵PG＝PD，PB＝PE，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BG∥DE∥AC，∴∠ABG＝∠BAC＝∠ACD，BG＝ED＝CD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD（SAS），∴AG＝AD，∠BAG＝∠CAD，∴∠DAG＝∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AP⊥PD，AP＝＝PD．（2）结论成立，理由如下：如图2中，延长DP至G，使PG＝PD，连接BG、AG、EG、BD，由（1）可知∠BGD＝∠EDG，∠CDE＝120°，∴∠BGD+∠CDG＝∠EDG+∠CDG＝360°﹣∠CDE＝240°，∴∠CBG+∠BCD＝120°＝∠ABC+∠ACB，∴∠ABC﹣∠CBG＝∠BCD﹣∠ACB，即∠ABG＝∠ACD，∵PG＝PD，PB＝PE，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BG＝DE＝CD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD（SAS），∴AG＝AD，∠BAG＝∠CAD，∴∠DAG＝∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AP⊥PD，AP＝＝PD；（3）由（2）可知△ADG是等边三角形，AP⊥PD，∴AD＝2PD，AP＝PD，∴AP＝AD，∴当AD有最大值时，AP有最大值，∵CD＝1，AB＝6，∴AD的最大值为7，∴AP的最大值为，故答案为：．24．【考点】二次函数综合题．【解答】解：（1）由B（1，0），则OB＝1，∴OA＝OC＝3OB＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），将A（﹣3，0），C（0，﹣3），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c中，得：，解得：，故该抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵tan∠BCO＝，当∠GBA＝∠BCO时，则有tan∠GBA＝tan∠BCO．则在第二象限取点M（﹣2，1）、第三象限取点M'（﹣2，﹣1），连接BM，BM'交抛物线于点G、G'，此时完全满足题意．设直线BM的解析式为y＝kx+b，代入点M（﹣2，1），B（1，0）可得，解得，则直线BM的解析式为y＝，令＝x2+2x﹣3，解得x＝1或x＝，即交点G坐标为（，），同理可得BM'与抛物线的交点G'坐标为（，），综上，点G坐标为（，），（，）．（3）．理由如下：∵⊙T经过A、B、C三点，∴圆心T在AB与AC的垂直平分线的交点上，∴可得T坐标为（﹣1，﹣1），∵D、E为抛物线上两点，设D（m，﹣m2+2m+3），E（n，﹣n2+2n+3），设经过T（﹣1，﹣1）的直线DE的解析式为y＝k（x+1）﹣1，令k（x+1）﹣1＝x2+2x﹣3，整理得：x2+（2﹣k）x﹣2﹣k＝0，由韦达定理得：m+n＝k﹣2，mn＝﹣2﹣k，又顶点N坐标为（﹣1，﹣4），∵D、N为抛物线与直线DN相交的两个交点，由根据韦达定理，直线DN的解析式可写成：y＝（m+1）x+m﹣3，∵P点为直线DN与x轴相交的交点，令y＝0，此时x P＝，则MP＝，直线EN的解析式可写成：y＝（n+1）x+n﹣3，令y＝0，则x Q＝，同理可得，MQ＝，∴MP•MQ＝＝＝＝＝．。
湖北省武汉市江夏区光谷三中2022-2023学年九年级上学期月考数学试题
湖北省武汉市江夏区光谷三中2022-2023学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、填空题15．抛物线y＝ax2＋bx三、问答题17．解方程：x 2﹣2x +18．已知关于x 的一元二次方程(1)当1m =时，请用配方法求方程的根：(2)若方程没有实数根，求19．如图1，某小区的平面图是一个占地整个小区长宽比例相同的矩形．空地等宽，东西空地等宽．求该小区四周的空地的宽度．四、证明题20．如图，PA PB 、是O 的两条弦，C 是劣弧 AB 的中点，弦CD PA ⊥于E ．(1)求证：AE PE PB =+．(2)连接PC ，AD ，若2PC =，求O 到AD 的距离．五、作图题21．在58⨯的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC 的顶点坐标分别为(0,0)O ，(3,4)A ，(8,4)B ，(5,0)C ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，画出对应线段CD ；（2）在线段AB 上画点E ，使45BCE ︒∠=（保留画图过程的痕迹）；（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点F ，并简要说明画法．（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）求羽毛球落地点N离球网的水平距离（即NC的长）；（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m 的取值范围．七、证明题(2)问题②：如图，P是正方形称，连接EB并延长交直线AP(3)方法归纳：①隐含了什么特殊角；②可以作什么特殊三角形；③构造了什么基本图形．八、问答题24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()21y x m x m =+--交x 轴于A 、B 两点(点A在点B 的左边)，交y 轴负半轴于点C ．(1)如图1，3m =．①直接写出A 、B 、C 三点的坐标；②若抛物线上有一点D ，45ACD ∠=︒，求点D 的坐标；(2)如图2，过点(),2E m 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，连接AP 、AQ ，分别交y 轴于M 、N 两点，求证：OM ON ⋅是一个定值．。
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武汉市三校联合2022-2023学年9月考九年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1．关于x 的一元二次方程3x 2＝2x ﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．3，﹣2，﹣1
B ．3，2，﹣1
C ．﹣3，﹣2，1
D ．3，﹣2，1
2．用配方法解方程2x 2﹣x ﹣1＝0，变形结果正确的是（ ） A ．（x −1
2）2=3
4 B ．（x −14）2=3
4 C ．（x −1
4）2=17
16
D ．（x −1
4）2=9
16
3．一元二次方程x 2﹣2x +1＝0的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
4．关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1
B ．﹣1
C ．1或﹣1
D ．1
2
5．如果抛物线y ＝x 2+2向右平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式为（ ） A ．y ＝（x ﹣1）2+2 B ．y ＝（x +1）2+2
C ．y ＝x 2+3
D ．y ＝x 2+1
6．如图，把一块长为50cm ，宽为40cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为800cm 2，设剪去小正方形的边长为xcm ，则可列方程为（ ）
A ．（50﹣2x ）（40﹣x ）＝800
B ．（50﹣x ）（40﹣x ）＝800
C ．（50﹣x ）（40﹣2x ）＝800
D ．（50﹣2x ）（40﹣2x ）＝800
7．已知二次函数y ＝﹣（x ﹣3）2，那么这个二次函数的图象有（ ） A ．最高点（3，0） B ．最高点（﹣3，0）
C ．最低点（3，0）
D ．最低点（﹣3，0）
8．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式h ＝﹣t 2+24t +1．则下列说法中正确的是（ ）
A ．点火后9s 和点火后13s 的升空高度相同
B ．点火后24s 火箭落于地面
C ．点火后10s 的升空高度为139m
D ．火箭升空的最大高度为145m
9．已知m ，n 是一元二次方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m 2+2m +n 的值等于（ ）
A ．2019
B ．2020
C ．2021
D ．2022
10．二次函数y ＝ax 2+2ax +a ﹣3（a ＞0）与y ＝﹣x +3交于M 、N 两点，P 为线段MN 的中点，若﹣3≤X p ≤﹣2，则a 的取值范围是（ ） A ．1
4≤a ≤12
B ．1
4
＜a ≤12
C ．1
4
≤a ≤13
D ．1
4
＜a ≤13
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．x ＝1是关于的一元二次方程x 2+ax +2b ＝0的解，则2a +4b ＝ ．
12．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为 ．
13．如图，将△ABC 绕顶点C 旋转得到△A ′B ′C ，且点B 刚好落在A ′B ′上．若∠A ＝35°，∠BCA ′＝40°，则∠A ′BA 等于 ．
14．已知函数y ＝（k ﹣3）x 2+2x +1的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 ．
15．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＜0；③4a +b 2＜4ac ；④若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝m （m ≥0）的解为整数，则m 的值有3个，其中正确的是 ．（填写序号）
16．如图，菱形ABCD 中，AB ＝12，∠ABC ＝60°，点E 在AB 边上，且BE ＝2AE ，动点P 在BC 边上，连接PE ，将线段PE 绕点P 顺时针旋转60°至线段PF ，连接AF ，则线段AF 长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分） 17．（本题8分）解方程：2x 2+4x ﹣3＝0．
18．（本题8分）现代互联网技术的广泛应用催生了快递行业的高速发展．据凋查，某家小型“大学生自主创业”
的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的16名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
19．（本题8分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集；
（3）写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c＝k有实数根，求k的取值范围．
20．（本题8分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点上．请用无刻度尺按要求作图：
（1）作△ABC的高AH；
（2）①找一格点D使AD⊥AC且AD＝AC；
②连接CD，在CD上画出一点F，连AF，使AF将四边形ABCD的面积平分．
21．（本题8分）阅读材料：
材料1：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：x1+x2=−b a，
x1•x2=c a．
材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0、n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可将m、n看作是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a、b满足a+b＝3、ab＝2，则可以将a、b看作是方程x2﹣3x+2＝0的两实数根．
根据上述材料解决下面问题：
（1）已知实数m、n满足3m2﹣m﹣2＝03n2﹣n﹣2＝0，求n
m +
m
n
的值．
（2）已知实数a、b、c满足a+b＝c﹣5、ab=
16
5−c，且c＜5，求c的最大值．
22．（本题10分）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）
与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）456
y（件）1000095009000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m ≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
23．（本题10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．
（1）观察猜想：如图1中，△PMN是三角形；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE．判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：将△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请求出△PMN面积的取值范围．
24．（本题12分）如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x ＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。