高三复习文科统计概率(概率专项)练习
文科《概率与统计》高考常考题型专题训练
文科《概率与统计》高考常考题型专题训练1．流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：（1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）计算变量x 、y 的相关系数r （计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若[]0.75,1r ∈，则x 、y 相关性很强；若[)0.3,0.75r ∈，则x 、y 相关性一般；若[]0,0.25r ∈，则x 、y 相关性较弱．）57.47≈．参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx====---==--∑∑∑∑，相关系数()()niix x y y r --=∑．1．【解析】（1）由题意得，2345645x ++++==，2222171410175y ++++==，()()()()()()()()()51522222212515001327ˆ 3.221012iii ii x x y y b x x ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，ˆ17 3.2429.8a y bx=-=+⨯=， 故y 关于x 的线性回归方程为 3.229.8y x =-+；（2）()()()()1221132160.9710108330niii n niii i x x y y r x x y y ===----===≈-⨯-⋅-∑∑∑，0r ∴<，说明x 、y 负相关，又[]0.75,1r ∈，说明x 、y 相关性很强．因此，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．2．为推进中小学体育评价体系改革，某调研员从一中学4000名学生中按照男女学生比例采用分层抽样的方法，从中随机抽取了400名学生进行某项体育测试（满分100分），记录他们的成绩，将记录的数据分成7组：(]30,40，(]40,50，(]50,60，(]60,70，(]70,80，(]80,90，(]90,100，并整理得到如图频率分布直方图.（1）根据该频率分布直方图，估计样本数据的中位数及4000名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（精确到0.01）；（2）已知样本中有三分之二的男生分数高于60分，且分数高于60分的男女人数相等，试估计该校男生和女生人数的比例；（3）若测试成绩2x x s <-（其中x 是成绩的平均值，s 是标准差），则认为该生测试成绩不达标，试估计该中学测试成绩不达标人数. 参考公式：()221ni i i s x x p ==-∑（i p 是第i 组的频率）2 1.4≈11710.8≈.2．【解析】（1）前4组的频率和为0.050.10.10.20.45+++=，故中位数为0.055707071.670.033+=+≈ 4000名学生的平均成绩为：0.05350.1450.1550.2650.3750.2850.059569⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由频率分布直方图得样本中高于60分的人数占总人数的0.75， 又因为分数高于60分的男女人数相等，故高于60分的男生、女生人数均为4000.750.5150⨯⨯=人， 又因为样本中有三分之二的男生分数高于60分， 所以样本中共有男生的21502253÷=人，女生175人， 又因为样本是按照男女学生比例采用分层抽样的方法得到， 故该校男生和女生人数的比例为225:1759:7=； （3）()()()2222135690.0545690.1ni i i s x x p ==-=-⨯+-⨯∑()255690.1+-⨯()()2265690.275690.3+-⨯+-⨯()()2285690.295690.05234+-⨯+-⨯=所以234211715.12s ==⨯≈，26915.12238.76x s -=-⨯=故测试成绩2x x s <-占比为0.050.8760.0438⨯=， 该中学测试成绩不达标人数约为0.0438*******⨯≈.3．为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[)0,2，[)2,4，[)4,6，[)6,8，[)8,10，[]10,12六组，得到如下频率分布直方图.（1）若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若从答对题数在[)2,6内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[)2,4内的概率. 3．【解析】（1）因为答对题数的平均数约为()10.02530.02550.037570.12590.1875110.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯27.9⨯=.所以这40人的成绩的平均分约为7.91079⨯=.（2）答对题数在[)2,4内的学生有0.0252402⨯⨯=人，记为A ，B ；答对题数在[)4,6内的学生有0.03752403⨯⨯=人，记为c ，d ，e .从答对题数在[)2,6内的学生中随机抽取2人的情况有(),A B ，(),A c ，(),A d ，(),A e ，(),B c ，(),B d ，(),B e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种，恰有1人答对题数在[)2,4内的情况有(),A c ，(),A d ，(),A e ，(),B c ，(),B d ，(),B e ，共6种， 故所求概率63105P ==. 4．某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x ，（1020x ≤≤，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y 元.（1）求商店日利润y 关于需求量x 的函数表达式； （2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替. ①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[]580760，内的概率. 4．【解析】（1）商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为：()()50143014,1420501014,1014x x y x x x ⎧⨯+⨯-≤≤⎪=⎨-⨯-≤<⎪⎩化简得：30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[)10,12的频率是20.080.16⨯=；海鲜需求量在区间[)12,14的频率是20.120.24⨯=； 海鲜需求量在区间[)14,16的频率是20.150.30⨯=； 海鲜需求量在区间[)16,18的频率是20.100.20⨯=； 海鲜需求量在区间[]18,20的频率是20.050.10⨯=； 这5050天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：()()()(116014100.16136014100.24153020140.301730⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+)()20140.20193020140.1083.2153.621915885698.8⨯⨯+⨯+⨯⨯=++++=（元）②由于14x =时，30142806014140700⨯+=⨯-=显然30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩在区间[]10,20上单调递增， 58060140y x ==-，得12x =； 76030280y x ==+，得16x =；日利润y 在区间[]580,760内的概率即求海鲜需求量x 在区间[]12,16的频率：0.240.300.54+=5． 2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办数学趣味知识竞赛活动，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[]40,100，分数在[)80,90，[)90,100分别获二等奖和一等奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图．（1）填写下面的22⨯列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？ 文科生 理科生 合计 获奖 5 不获奖（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从参赛学生中，通过分层抽样的方法从这些获奖人中随机抽取4人，再从这4人中任意选取2人，求2人均获二等奖的概率． 临界值表：参考格式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．5．【解析】（1）补全22⨯列联表如下表．()2220051153545254.167 3.84150150401606K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯．所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”． （2）由已知可得，分数在[)80,90获二等奖的参赛学生中抽取3人， 分数在[]90,100获一等奖的参赛学生中抽取1人． 记二等奖的3人分别为a ，b ，c ，一等奖的1人为A ， 事件E 为“从这4人中抽取2人且这2人均是二等奖”．从这4人中随机抽取2人的基本事件为(),a b ，(),a b ，(),a A ，(),b c ，(),b A ，(),c A ，，共6种，其中2人均是二等奖的情况有(),a b ，(),a b ，(),b c 共3种， 由古典概型的概率计算公式得()3162P E ==．故2人均获二等奖的概率为12． 7．为增强学生法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50人，统计他们的竞赛成绩，并得到如表所示的频数分布表.（Ⅰ）求频数分布表中的m 的值，并估计这50名学生竞赛成绩的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）将成绩在[]70,100内定义为“合格”，成绩在[)0,70内定义为“不合格”.请将列联表补充完整.试问：是否有95%的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关？说明你的理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，在该50人中，按“合格与否”进行分层抽样，随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.7．【解析】（Ⅰ）50(5151512)3m =-+++=.设成绩的中位数为x ，则515151(70)505002x ++-⨯=，解得17373.33x =+≈. （Ⅱ）补全2×2列联表如下所示：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++250(1261418)26243020⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4.327 3.841≈>， 所以有95%的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关. （Ⅲ）分层抽样的比例为515010=，故抽取的5人中成绩合格的有130310⨯=（人），分别记为a ，b ，c ；成绩不合格的有120210⨯=（人），分别记为m ，n . 从5人中随机抽取2人的基本事件有ab ，ac ，bc ，am ，an ，bm ，bn ，cm ，cn ，mn ，共10种，2人都合格的基本事件有ab ，ac ，bc ，共3种， 所以恰好2人都合格的概率30.310P ==. 9．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为M ，当85M ≥时，产品为一级品；当7585M ≤<时，产品为二级品；当7075M ≤<时，产品为三级品.现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（1）从A 配方生产的产品中按等级分层抽样抽取5件产品，再从这5件产品中任取3件，求恰好取到1件二级品的频率；（2）若这种新产品的利润率y 与质量指标M 满足如下条件：22,85,5,7585,,7075,t M y t M t M ≥⎧⎪=≤<⎨⎪≤<⎩，其中10,7t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，请分别计算两种配方生产的产品的平均利润率，如果从长期来看，你认为投资哪种配方的产品平均利润率较大?9．【解析】（1）由题知，按分层抽样抽取的5件产品中有2件为二级品，记为a ，b ，有3件为一级品，记为x ，y ，z ，从5件产品中任取3件共有10种取法，枚举如下：(,,)a b x ，(,,)a b y ，(,,)a b z ，(,,)a x y ，(,,)a x z ，(,,)a y z ，(,,)b x y ，(,,)b x z ，(,,)b y z ，(,,)x y z其中恰好取到1件二级品共有6种取法，所以恰好取到1件二级品的概率为63105=. （2）由题知A 配方生产的产品平均利润率22(1030)5(4020)()20.6100t tE A t t +⨯++==+，B 配方生产的产品平均利润率2225(1015)5(3040)() 1.30.7100t t tE B t t ++⨯++⨯==+，所以2()()0.70.10.1(71)E A E B t t t t -=-=-， 因为107t <<，所以()()E A E B <，所以投资B 配方的产品平均利润率较大. 10．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率． 10．【解析】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是0.081008⨯=和0.1210012⨯=， 则应从第1组中抽取582812⨯=+个零件，记为A ，B ；应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e ．从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种． 故所求概率63105P ==． 11．搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子，洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X 依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A 和B 两个厂生产，从B 厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示．（1）依据图表，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这两件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率；（2）若A 厂生产搪瓷水杯的等级系数的平均值为6，在电商平台上A 厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B 厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件．设L =产品等级系数的平均值产品零售价，若以L 的值越大，产品越具可购买性为判断标准，根据以上数据，哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由． 11．【解析】（1）设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ，则从中抽取2件的基本事件为(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种，其中两件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ， 共3种，所以概率为31155=． （2）A 厂的产品更具可购买性，理由如下：将频率视为概率，可得B 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为3946566373834.830X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，即B 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值等于4.8，因为A 厂生产搪瓷水杯的等级系数的平均值等于6，价格为36元/件， 所以61366A L ==． 因为B 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值等于4.8，价格为30元/件， 所以 4.80.1630B L ==． 因为10.166>，故A 厂生产的搪瓷水杯更具可购买性． 12．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分组，绘制频率分布直方图如图所示，并经进一步检测，发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的小白鼠有110只.（1）求a 值；（2）求200只小白鼠该项指标值的平均数；（3）填写下面的22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关？参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.12．【解析】（1）由各频率之和为1，可得：0.0025200.0062520200.025200.0075201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.00875a =.（2）200只小白鼠某项指标值的平均数0.002520100.0062520300.0087520x =⨯⨯+⨯⨯+⨯500.02520700.0075209061.5⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（3）由频率分布直方图，200只小白鼠某项指标值的数据分布为：在[)0,20内有0.00252020010⨯⨯=个；[)20,40内有0.006252020025⨯⨯=个；[)40,60内有0.008752020035⨯⨯=个；[)60,80内有0.025********⨯⨯=个； []80,100内有0.00752020030⨯⨯=个；由已知，小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中指标值不小于60的有110只，故有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570=＋＋只，所以指标值小于60没有抗体的小白鼠有20，同理，指标值不小于60没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：由()2220010002200 4.945 3.8411604070130K ⨯-=≈>⨯⨯⨯ 所以有95%的把握认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.13．党的十九大提出，要推进绿色发展，倡导简约适度、绿色低碳的生活方式.天然气作为一种清洁高效能源，不仅可以优化能源结构，缓解供需矛盾，而且对于改善环境、提高人民生活质量和实现可持续发展都起到十分重要的作用.某研究小组为了研究燃气灶烧水如何节省燃气的问题设计了一个实验，并获得了燃气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如图）.xyω()2101ii x x =-∑()2101ii ωω=-∑()()101iii x x yy =--∑()()101iii y y ωω=--∑1.4720.6 0.782.35 0.8119.3-16.2表中21i i x ω=，101110i i ωω==∑.（1）根据散点图判断，y a bx =+与2dy c x=+哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？（不必说明理由）并求出y 关于x 的回归方程；（2）若旋转的弧度数x 与单位时间内煤气输出量t 成正比，那么x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？ 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，()33,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii v v u u u u β==--=-∑∑，v u αβ=-.13．【解析】（1）2dy c x =+更适宜. 令21xω=，则y c d ω=+. 由公式可得：()()()101102116.2200.81iii ii y y d ωωωω==--===-∑∑， 20.3200.785c y d ω=-=-⨯=，所以所求回归方程为2205y x =+. （2）设t kx =，则煤气用量2202020552520k kS yt kx kx kx k x x x⎛⎫==+=+≥⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当205kkx x=时取“=”，即2x =时，煤气用量最小. 14．加班，系指除法定或者国家规定的工作时间外，即正常工作日延长工作时间或者双休日以及国家法定假期期间延长工作时间.有的工作人员在正常工作日不能积极主动工作，致使有的工作任务要到正常工作日延长工作时间完成，这不能称为“加班”，只有建立合理的考核方案，才能调动广大工作人员的积极性.某劳动组织对“工作时间”的评价标准如下表： 每天的工作时间(单位：小时) [)6,8 [)8,10 [)10,12 []12,14评价级别良好普通加班 严重加班超重加班2019年5月1日，该劳动组织从某单位某个月中随机抽取10天“工作时间”的统计数据绘制出的频率分布直方图如下：（1）若严重加班的天数是普通加班天数的2倍，求m ，n 的值；（2）在（1）条件下，若从这10天中评价级别是“良好”或“普通加班”的天数里随机抽取2天，求“这2天的‘工作时间’属于同一评价级别”的概率.14．【解析】（1）依题意1 322151210 m n nnmm⎧⨯+⨯==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩.（2）由（1）可知这10天中评价级别是“良好”有1210210⨯⨯=天，设为,a b；评价级别是“普通加班”有1210210⨯⨯=天，设为,c d.从中抽取2天，所有可能为,,,,,ab ac ad bc bd cd共6种，其中这2天的“工作时间”属于同一评价级别的为,ab cd共2种，所以“这2天的‘工作时间’属于同一评价级别”的概率为21 63 =.15．搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品.曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆.某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个广生产，从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示：（1）依据上表，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率；（2）下图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图，根据图表，利用评分均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况，并说明理由.15．【解析】（1）设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ，则从中抽取2件的基本事件为(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种，其中2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的基本事件为(),a b ，(),a c ，(),b c ，共3种， 所以31155P ==. （2）因为()467895 6.8B x =++++÷=，所以B 厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.8，标准差为()()()()()2222214 6.86 6.87 6.88 6.89 6.8 1.725S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦， 所以B 厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1.72，因为()56 6.5785 6.5A x =++++÷=，所以A 厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.5，()()()()()2222215 6.56 6.5 6.5 6.57 6.58 6.515S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦ 所以A 厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1，综上，B 厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高；A 厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定.16．新型冠状病毒疫情发生后，口罩的需求量大增，某口罩工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取80名工人，将他们随机分成两组，每组40人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式. 第一种生产方式40名工人完成同一生产任务所用时间(单位：min )如表68 72 85 77 83 82 90 83 89 84 88 87 76 91 79 90 87 91 86 92 88 87 81 76 95 94 63 87 85 71 96637485929987827569第二种生产方式40名工人完成同一生产任务所用时间(单位：min )如饼图所示：（1）填写第一种生产方式完成任务所用时间的频数分布表并作出频率分布直方图； 生产时间 [)60,70[)70,80[)80,90[)90,100频数（2）试从饼图中估计第二种生产方式的平均数；（3）根据频率分布图和饼图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由.16．【解析】（1）根据第一种生产方式40名工人完成同一生产任务所用时间的表格数据，可得：生产时间 [)60,70[)70,80[)80,90[)90,100频数481810则所用时间的频数分布表并作出频率分布直方图：（2）根据平均数的计算公式，试从饼图中估计第二种生产方式的平均数为：⨯+⨯+⨯+⨯=650.25750.5850.2950.0575.5min（3）从频率分布直方图中估计第一种生产方式的平均数为：⨯+⨯+⨯+⨯=650.1750.2850.45950.2583.5min从平均数的角度发现：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.18．某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据图中抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求当学生获得的等级成绩的平均分大于90分时，高三学生的考前心理稳定，整体过关，请问该校高三年级目前学生的考前心理稳定情况是否整体过关？（3）以每个学生的心理都培养成为健康状态为目标，学校决定对成绩等级为E的16名学生（其中男生4人，女生12人）进行特殊的一对一帮扶培训，从按分层抽样抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率.18．【解析】（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B，故可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩等级为B 的人数约有1480044825⨯=. （2）这100名学生成绩的平均分为()1321005690780370260100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 91.3=（分）， 因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关.（3）按分层抽样抽取的4人中有1名男生，3名女生，记男生为a ，3名女生分别为1b ，2b ，3b .从中抽取2人的所有情况为1ab ，2ab ，3ab ，12b b ，13b b ，23b b ，共6种情况，其中恰好抽到1名男生的有1ab ，2ab ，3ab ，共3种情况，故所求概率12P =. 19．2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专项规定.某小区采取一系列措施，宣传垃圾分类的知识与意义，并采购分类垃圾箱.为了了解垃圾分类的效果，该小区物业随机抽取了200位居民进行问卷调查，每位居民对小区采取的措施给出“满意”或“不满意”的评价.根据调查结果统计并做出年龄分布条形图和持不满意态度的居民的结构比例图，如图，在这200份问卷中，持满意态度的频率是0.65.（1）完成下面的22⨯列联表，并判断能否有95﹪的把握认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异满意 不满意 总计 51岁及以上的居民 50岁及以下的居民 总计200（2）按“51岁及以上”和“50岁及以下”的年龄段采取分层抽样的方法从中随机抽取5份，再从这5份调查问卷中随机抽取2份进行电话家访，求电话家访的两位居民恰好一位年龄在51岁及以上，另一位年龄在50岁及以下的概率.20()P K k ≥0.050 0.025 0.010 0.005 0.001附表及参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19．【解析】（1）在这200份问卷中，持满意态度的频数为2000.65130⨯=，持不满意态度和频数为20013070-=，∴22⨯列联表如下：∴222()200(45358535) 4.487 3.841()()()()8012013070n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯. 故有95﹪的把握认为“51岁及以上”和“50岁及以下”的居民对该小区采取的措施的评价有差异. （2）利用分层抽样的特点可知：“51岁以上”居民抽到2份记为：12,a a ； “50岁以下”居民抽到3份记为：123,,b b b .∴基本事件共有：121112132122(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a b a b a b a b 2312(,),(,),a b b b1323(,),(,)b b b b ，共有10个. 满足条件的事件有：11121321(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b 2223(,),(,)a b a b ，共有6个.∴求得电话家访的两位居民恰好一位年龄在“51岁以上”，另一位年龄在“50岁以下” 的概率为：63()105P A ==. 20．为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康，2019年6月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入，作出散点如下：根据盯关性分析，发现其家庭人均月纯收入y 与时间代码x 之间具有较强的线性相关关系（记2019年1月、2月……分别为1x =，2x =，…，依此类推），由此估计该家庭2020年能实现小康生活．但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月的人均月纯收入只有2019年12月的预估值的23． （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）求该家庭2020年3月份的人均月纯收入；（3）如果以该家庭3月份人均月纯收入为基数，以后每月增长率为8%，问该家庭2020年底能否实现小康生活？ 参考数据：619310i ii x y==∑，68610x y =，101.08 2.16≈参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．20．【解析】（1）依题意得：123456 3.56x +++++==，686104106 3.56x y y x⋅===⨯，62191ii x==∑，619310i i i x y ==∑，所以616222169310861040916 3.56i ii i i x y x yb x x==--===-⨯-∑∑， 41040 3.5270a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为40270y x =+.（2）令12x =，得2019年12月该家庭人均月纯收入预估值为4012270750⨯+=元故，2020年3月份该家庭的人均月纯收入为27505003⨯=元． （3）每月的增长率为8%，设从3月开始到12月的纯收入之和为10S ， 则()()91050050010.08...50010.08S =+⨯+++⨯+，()105001 1.0872501 1.08⎡⎤⨯-⎣⎦==-，1210100082508000S S =+=>，故到2020年底能如期实现小康．21．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？21．【解析】 (1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075. ------------- 3分 (2)月平均用电量的众数是2202402+＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内， 设中位数为a ，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户， 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．-- 12分22．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数： 温度x （单位：C ） 21 23 24 27 29 32 死亡数y （单位：株） 61120275777经计算：611266i i x x ===∑，611336i i y y ===∑，61()()557i i i x x y y =--=∑，621()84i i x x =-=∑，621()3930ii y y =-=∑，621()23.6ˆ64i i y y=-=∑，8.0653167e ≈，其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i =.（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程^^^y b x a =+（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程0.23030.06ˆxye =，且相关指数为20.9522R =.(i)试与（1）中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好；（ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35C 时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）. 附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，，(,)n n u v ，其回归直线ˆˆv u αβ∧=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()niii ni i u u v v u u β∧==--=-∑∑，a v u β∧∧=-；相关指数为：22121()1()niii niii v v R v v ∧==-=--∑∑.22．【解析】（1）利用回归方程的公式，求得线性回归方程为：ˆy =6.6x −139.4；（2）（i ）()()6221621236.641110.06020.93983930ˆi i i i ii y y R y y ==-=-=-≈-=-∑∑，因为0.9398＜0.9522，所以回归方程0.2303ˆ0.06x y e =比线性回归方程ˆy =6.6x −138.6拟合效果更好；（ii ）当温度35x C =时，。
概率大题训练总结(高考经典概率问题文科)
1〔本小题总分值12分〕某赛季，甲、乙两名篮球运发动都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下列图的茎叶图表示〔1〕求甲、乙两名运发动得分的中位数；2〕你认为哪位运发动的成绩更稳定3〕如果从甲、乙两位运发动的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．〔参考数据：9282102226210292466，724262321222112236〕2在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按从左到右各长方形的高的比为题：5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)，2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答以下问本次活动共有多少件作品参加评比哪组上交的作品数量最多共有多少件经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高3向量a1,2，b x,y．〔1〕假设x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子〔六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6〕先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；〔2〕假设实数x,y 1,6，求满足ab0的概率．4某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命〔单位：小时〕进行了统计，统计结果如下表所示：[500，[900，[1100，[1300，[1500，[1700，[1900，分组900)1100)1300)1500)1700)1900))频数4812120822319316542频率〔1〕将各组的频率填入表中；〔2〕根据上述统计结果，计算灯管使用寿命缺乏〔3〕该公司某办公室新安装了这种型号的灯管1500小时的频率；2支，假设将上述频率作为概率，试求恰有1支灯管的使用寿命缺乏1500小时的概率．5为研究气候的变化趋势，某市气象部门统计了共100个星期中每个星期气温的最高温度和最低温度，如下表：〔1〕假设第六、七、八组的频数t、m、n为递减的等差数列，且第一组与第八组气温〔℃〕频数频率的频数相同，求出x、t、m、n的值；[5,1]x0．03[0,4]8〔2〕假设从第一组和第八组的所有星期[5,9]12中随机抽取两个星期，分别记它们的平均[10,14]22温度为x，y，求事件“|xy|5〞的概率．[15,19]25[20,24]t[25,29]m[30,34]n合计10016某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后 ,随机地在各班抽取局部学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5频率所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为,此分数段的人数为5人.(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人(2)在抽取的所有学生中,任取一名学生,分数708090 100110120210求分数不小于90分的概率.7某班50名学生在一次百米中，成全部介于13秒与18秒之，将果按如下方式分成五：每一13,14)；第二14,15)，⋯⋯，第五17,18．右是按上述分方频率组距法得到的率分布直方.〔I〕假设成大于或等于 14秒且小于16秒良好，求班在次百米中成良好的人数；O131415161718秒〔II〕m、n表示班某两位同学的百米19题图成，且m,n13,14)17,18，求事件“mn1〞的概率.8一人盒子中装有4卡片，每卡上写有1个数字，数字分是0，1、2、3。
高考文科数学概率与统计题型归纳与训练
高考文科数学概率与统计题型归纳与训练高考文科数学概率与统计题型归纳与训练近年来，随着高考评价重点的转变，我国高考数学概率与统计所占的比重越来越大，也极大地影响了学生的试题解答，特别是对文科类学生而言。
因此，归纳与训练概率与统计的题型对提升高考成绩非常有效。
一、高考概率与统计试题类型1、概率题：（1）概率概念题：要求判断某事件的可能性大小、求概率大小、比较概率大小，以及用中文描述概率大小等概念性问题。
（2）条件概率及贝叶斯公式：求两事件同时发生的条件概率，用贝叶斯公式求解概率问题。
（3）随机变量和概率分布：讨论正态分布、泊松分布等随机变量的概率分布。
2、统计学题：（1）数据的勘误析：把调查所得原始数据准确地归类编单，以便找出这些数据中蕴含的结论。
（2）图表分析：分析调查对象之间的关系，从折线图、饼形图、柱形图等图表中获取相应的数据。
二、概率与统计的训练方法1、理论思考训练：多看有关概率、统计的权威论文和教材，把基本概念牢牢掌握，把常见的概率公式及统计公式及推导式脱口而出。
2、示范练习：对常考的知识点补充示范练习，可以通过复现例题和大量习题来熟悉该知识点，从而深入理解，提高解题能力。
3、联系模拟考试：利用模拟考试把学过的知识点和技巧联系起来，在试题中能够驾轻就熟地掌握各试题技巧，大大提升实力。
4、强化记忆：记忆知识点、公式要选择相应的方法，通过反复记忆和熟习，把重点内容融会贯通，熟练记忆几个重点的式子和结论有助于考试的取得好成绩。
总之，学习概率与统计，除了要用心去理解之外，还需要不断的训练，把一些重点的知识点、公式强化记忆，加深理解，才能在考试中取得较好的成绩。
高三文科数学概率统计练习题
统计概率1．x 是[4,4]-上的一个随机数，则使x 满足220x x +-<的概率为A ．12B ．38C ．58D ．02．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4。
把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字之和能被5整除的概率为 A ．116B ．14C ．38D ．123．若以连续掷两次骰子（各面分别标有1~6点的正方体）分别得到的点数m n 、 作为点P 的坐标，则点P 落在区域040x y x y -≥⎧⎨+-<⎩内的概率为A ．1936B ．1736C ．512D ．1184．从2004名学生中选取50名组成参观图，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样法从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率 A ．不全相等 B ．均不相等C ．都相等且为251002D ．都相等且为1405．在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这正方形的面积介于236cm 与281cm 之间的概率为 A ．14B ．13C ．427D ．4156．如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A '，连结AA '，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为A ．12B ．23C 3D ．14污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；150时空气质量为轻微污染。
该城市2006年空气质量达到良或优的概率为 A ．35B ．1180C ．119D ．568．有一笔统计资料，共有11个数据如下（不完全以大小排列）：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为 A ．6B 6C ．66D ．6.59．对于一组数据 (1,2,3,,)i x i n =L ，如果将它们改变为(1,2,3,,)i x c i n +=L ，其中0c ≠，则下面结论中正确的是 A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化10．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a 、b 的值分别为A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,78D ．27,8311．采用简单随机抽样，从含有10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，这个总体中的个体x 前3次没有被抽到，第4次被抽到的概率是12．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为ˆ2504yx =+，当施化肥量为50kg 时，预计小麦产量为 13．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有 人。
高中数学：概率统计专题
高三文科数学：概率与统计专题一、选择题：1．为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量单位：kg分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1,x2,…,x n的平均数B．x1,x2,…,x n的标准差C．x1,x2,…,x n的最大值D．x1,x2,…,x n的中位数2．有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A．13B．12C．23D．343、在一组样本数据x1,y1,x2,y2,…,x n,y n n≥2,x1,x2,…,x n不全相等的散点图中,若所有样本点x i,y i i=1,2,…,n都在直线y=错误!x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为A－1 B0 C错误! D14.如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则3个数构成一组勾股数的概率为A103 B15C110D1205．如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,学科&网则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π46.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是二、填空题：7、从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是_______;8、将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为_____.9．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,制作了对照表： 由表中数据得回归直线方程错误!＝错误!x ＋错误!中的错误!＝－2,预测当气温为－4 ℃时,用电量约为________度． 三、解答题10.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售;如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理;Ⅰ若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y 单位：元关于当天需求量n 单位：枝,n ∈N 的函数解析式;Ⅱ花店记录了100天玫瑰花的日需求量单位：枝,整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数102016161513101假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润单位：元的平均数；气温℃ 18 13 10 －1 用电量度243438642若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率;11. 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表：质量指标值75,85 85,95 95,105 105,115 115,125 分组频数 6 26 38 22 8 I在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：II估计这种产品质量指标值的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；III根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定12. 某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y单位：千元的数据如下表：年份2009201020112012201320142015年份代号t1234567人均纯收入y1求y关于t的线性回归方程；2利用1中的回归方程,分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：错误!＝错误!,错误!＝错误!－错误!错误!.13．某省会城市地铁将于2017年6月开始运营,为此召开了一个价格听证会,拟定价格后又进行了一次调查,随机抽查了50人,他们的收入与态度如下：1若以区间的中点值为该区间内的人均月收入,求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少结果保留2位小数；2由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．附：K2＝错误!14．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸单位：cm ．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s==≈,18.439≈,161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅．1求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小若||0.25r <,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．2一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．ⅰ从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查ⅱ在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．精确到附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑,0.09≈．。
高考文科统计概率习题（含答案）汇编
160/3120/3100/360/340/380/320/3频率/组距pm2.5(毫克/立方米)0.1050.1000.0950.0900.0850.0800.0750.0700.0650概率统计习题（文）概率统计习题（文） 1．某中学为了了解学生的课外阅读情况，某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图1的条形图表示。
根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为均每人的课外阅读时间为Ａ．0.67（小时）（小时） Ｂ．0.97（小时）（小时） Ｃ．1.07（小时）（小时） Ｄ．1.57（小时） 2.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．31 B ．21 C ．32D ．43 3．近年来，随着以煤炭为主的能源．近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车保有量急消耗大幅攀升、机动车保有量急 剧增加，我国许多大城市灰霾现剧增加，我国许多大城市灰霾现 象频发，造成灰霾天气的“元凶” 之一是空气中的pm2.5（直径小（直径小于等于2.5微米的颗粒物）微米的颗粒物）..右图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5” 24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有立方米为达标，那么该市当月有 天“pm2.5”含量不达标．”含量不达标．4．对某校400名学生的体重（单位：kg ）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg 以上的人数为（ ）A ． 300B ． 100C ． 60D ． 205．高三某班学生每周用于数学学习的时间x (单位：小时)与数学成绩y (单位：分)之间有如下数据：之间有如下数据：x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59根据统计资料，该班学生每周用于数学学习的时间的中位数是该班学生每周用于数学学习的时间的中位数是▲ ; 根据上表可得回归方程的斜率为3.53，截距为13.5,若某同学每周用于数学学习的时间为18 小时，则可预测该生数学成绩生数学成绩是 ▲ 分（结果保留整数）. 6．记集合{}22(,)|16A x y x y =+£和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-£³³表示的平面区域分别为12,W W ，若在区域1W 内任取一点(,)M x y ，则点M 落在区域2W 内的第12题图题图24小时平均浓度小时平均浓度 (毫克/立方米)0.060 0.0560.0400.034 0组距频率体重（kg ）45 50 55 60 65 70 0.010（第4题图）概率为概率为（ ）A ．12pB ．1pC ．14D ．24p p- 7．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ）A ．ˆ 1.234y x =+B ．ˆ 1.235y x =+C ．ˆ 1.230.08y x =+D ．ˆ0.08 1.23y x =+8.（本小题满分13分）分） 2012年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。
文科数学专题概率与统计(学案)高考二轮复习资料含答案
文科数学专题概率与统计(学案)高考二轮复习资料含答案1．以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关计算与推断．2．本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计分析或求概率的综合练习．3．以客观题形式考查古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算．4．与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型．一、统计与统计案例1.抽样方法三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围总体中的个体数较简单随机抽样抽样过程中将总体均分成几部分，每个个体被系统抽样抽取的概率部分抽取相等将总体分成几层，分层分层抽样进行抽取2.统计图表(1)在频率分布直方图中：频率①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝；②各小矩形面积之和等于1；③中位数组距左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值．(2)茎叶图当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，从总体中逐个抽取少在起始部分抽样时采按事先确定的规则在各用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样时采用简单总体由差异明显的随机抽样或系统抽样几部分组成即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．3．样本的数字特征(1)众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．(2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．(3)平均数与方差－1样本数据的平均数x＝(x1＋x2＋?＋xn)．n1－2－2－22方差s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋?＋(xn－x)]．n注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定．4．变量间的相关关系(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关．如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近，我们说变量x和y具有线性相关关系．(2)用最小二乘法求回归直线的方程^^^设线性回归方程为y＝bx＋a，则?^?b＝－?? ?x－x??^－^－?a＝y－bxni＝1nii＝1－－? ?xi－x??yi－y?＝－－?xiyi－nxyi＝1nn22i－nx?x2－i＝1.－－注意：回归直线一定经过样本的中心点(x，y)，据此性质可以解决有关的计算问题．5．回归分析n? ?xi－x??yi－y?i＝1－－r＝n，叫做相关系数．? ?xi－x?2? ?yi－y?2i＝1i＝1－n－相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越高，|r|越接近于0，相关程度越低．6．独立性检验假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为x1 x2 总计2y1 a c a＋c 2y2 b d b＋d 总计a＋b c＋d a＋b＋c＋d ?a＋b＋c ＋d??ad－bc?则K＝，?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?若K3.841，则有95%的把握说两个事件有关；若K6.635，则有99%的把握说两个事件有关；若K2.706，则没有充分理由认为两个事件有关. 7.随机事件的概率随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0. 8．古典概型①计算一次试验中基本事件的总数n；②求事件A包含的基本事件的个数m；③利用公式P(A)＝计算．9．一般地，如果事件A、B 互斥，那么事件A＋B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．－10．对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和A不会同时发生，但一定有一个发生，因此有222mnP(A)＝1－P(A)．11．互斥事件与对立事件的关系－对立必互斥，互斥未必对立．12．几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝考点一几何概型例1．【2021课标1，】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是d的测度. D的测度1 41C．2A．Bπ 8πD．4B．【变式探究】(2021・江苏卷)记函数f(x)＝6＋x－x的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．5 93－?－2?52由6＋x－x≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为＝.5－?－4?9【变式探究】从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，?，xn，y1，y2，?，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n2m2nB.mC.4mn2m D.nCmπ4m4m由题意知，＝，故π＝，即圆周率π的近似值为.n4nn考点二古典概型例2．(2021・全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )。
高三复习文科统计概率(概率专项完整版)练习学生版
高三复习文科统计概率（概率专项）必须掌握知识点：○1随机事件的定义；正确理解概率的定义，能理解频率与概率的联系与区别.解析：判断事件是否随机抓住不能确保发生或不发生的事件，通常未发生的不是自然科学规律的事件为随机事件，而已发生、自然科学规律、公式以及定理等确定的事件为必然事件，违背自然科学的未发生的为不可能事件；事件发生的概率通俗讲就是事件发生的可能性大小，故可能发生也可能不发生，如天气预报有雨却没下雨，某人说某事99%的概率发生却没发生等并不表示天气预报有误也不表示某人说法错误；频率是统计得来，随着试验次数不同而浮动，概率可看着是对频率的固定值估计，是一个定值，但试验次数无限增加时，频率无限趋近该事件的概率.○2掌握对立事件与互斥事件的区别与联系.解析：对立事件与互斥事件都不能同时发生，而互斥事件可以同时不发生，对立事件却必然有事件发生，故对立事件是互斥事件充分不必要条件；互斥事件与对立事件经常作为间接求解使用.○3掌握古典概型和几何概型.解析：古典概型成立的特征需两个条件，条件一是试验的结果是有限的（如抛一枚硬币出现正面、方面两种情况），条件二是试验的所有结果发生可能性相同（如抛一枚硬币出现正面、反面的概率一样），解答古典概型题计算方式为()AP A事件发生的事件总数试验所有可能发生的事件总数；几何概型其实就是一个“量比”的问题，事件发生的概率与试验“器具”的量有关，且为其“量比”（如长度比、面积比、事件比、空间比、数轴比等，典型的如等公交车、过交通岗、设靶、数轴取数、抛黄豆以等）.○4独立性检验解析：独立性检验是经常出现在大题当中，固定的考试模式以及固定的求解步骤对考生来说没有难度，需要注意的是几种求问法：（1）是否有不低于99.5%的把握认为吸烟与患肺炎相关；（2）是否能在犯错误的概率不超过0.5%前提下，认为吸烟与患肺炎有关；（3）若低于95%的把握，则认为吸烟与患肺炎无关，反之亦然，从上表统计数据是否能判断吸烟与患肺炎有关，请注明你的结论。
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高三复习文科统计概率（概率专项）练习必须掌握知识点：○1随机事件的定义；正确理解概率的定义，能理解频率与概率的联系与区别.解析：判断事件是否随机抓住不能确保发生或不发生的事件，通常未发生的不是自然科学规律的事件为随机事件，而已发生、自然科学规律、公式以及定理等确定的事件为必然事件，违背自然科学的未发生的为不可能事件；事件发生的概率通俗讲就是事件发生的可能性大小，故可能发生也可能不发生，如天气预报有雨却没下雨，某人说某事99%的概率发生缺没发生等并不表示天气预报有误也不表示某人说法错误；频率是统计得来，随着试验次数不同而浮动，概率可看着是对频率的固定值估计，是一个定值，但试验次数无限增加时，频率无限趋近该事件的概率.○2掌握对立事件与互斥事件的区别与联系.解析：对立事件与互斥事件都不能同时发生，而互斥事件可以同时不发生，对立事件却必然有事件发生，故对立事件是互斥事件充分不必要条件；互斥事件与对立事件经常作为间接求解使用.○3掌握古典概型和几何概型.解析：古典概型成立的特征需两个条件，条件一是试验的结果是有限的（如抛一枚硬币出现正面、方面两种情况），条件二是试验的所有结果发生可能性相同（如抛一枚硬币出现正面、反面的概率一样），解答古典概型题计算方式为()AP A事件发生的事件总数试验所有可能发生的事件总数；几何概型其实就是一个“量比”的问题，事件发生的概率与试验“器具”的量有关，且为其“量比”（如长度比、面积比、事件比、空间比、数轴比等，典型的如等公交车、过交通岗、设靶、数轴取数、抛黄豆以等）.○4独立性检验解析：独立性检验是经常出现在大题当中，固定的考试模式以及固定的求解步骤对考生来说没有难度，需要注意的是几种求问法：（1）是否有不低于99.5%的把握认为吸烟与患肺炎相关；（2）是否能在犯错误的概率不超过0.5%前提下，认为吸烟与患肺炎有关；（3）若低于95%的把握，则认为吸烟与患肺炎无关，反之亦然，从上表统计数据是否能判断吸烟与患肺炎有关，请注明你的结论。
三种问法第（1）与第（2）种实质是一个问题，第三种问题关键在于求出2K后要会查表。
○5与统计结合考查解析：统计与概率在大题里面通常是一起出现，大多数情况下，统计的结果正确与否决定了概率计算的正确与否，所以学好概率之前学好统计相关知识是基础，特别是频率分布直方图、频数分布表等.○6在文科概率题解答中，通常要求用列举法、图表法以及树状图等解答，但是在选择填空中很多类型的题可以简单学一些计算原理（特别是相乘原理），以提高解答速度.考点题型讲解题型1：概念考查例1 判断下列叙述对错，并说明理由：○1在土地上随机丢一颗水生种子，“一年后种子发芽”为随机事件○2沈阳一中学教师与泰国拳王进行一场拳击比赛，“泰国拳王输掉比赛”为不可能事件○3抛十次硬币，“正面朝上的次数”是随机的○4随着抛硬币试验次数的增加，“正面朝上”的频率一定越来越接近12○5某事件发生的频率大于此事件发生的概率○6频率是随机的，在试验前不能确定○7若一件事情发生的可能性为十万分之一，则此事的发生为不可能事件○8任何事件发生的概率都是在（0，1）之间○9概率是随机的，在试验前不能确定○10天气预报说今日有雨，但到晚上凌晨以后也没有下雨，则说明天气预报出现错误○11人们常说“不怕一万就怕万一”旨在说明事情的不可预料性，类似于随机事件○12某件事若不是必然事件，则必是不可能事件解析：○1（对）凡是不能确保发生或不发生的事件，则应为随机事件○2（错）应为随机事件，因为谁也不可能事先知道比赛结果（除非黑哨，开玩笑）○3（对）一次试验中某事件发生的频数是随机的○4（错）概率是估算值，是一个定值，假设开始频率等于概率，而随着试验的增加“正面朝上”的频数不一定增加（或减小），从而频率不一定增加（或减小），故此说法不对○5（错）在一次试验中频率可能比概率大也可能比其小○6（错）频率本身是一个统计结果，实验前频率大小不可肯定，但是同样可估其值（概率），所以频率不可叙述其随机性○7（错）不可能事件的是不可能发生的，哪怕百万分之一的可能发生也不行○8（错）不可能事件发生的概率为零，必然事件发生的概率为1○9（错）概率是对某事件发生的估算值，是一个定值，不是随机的○10（错）天气预报有雨只能说明今日下雨的概率大于不下雨的概率，但并不是必然事件 ○11（对）凡事只要没发生就可能出现奇迹（高考也有奇迹，但是得努力）○12（错）目前我们学过的事件有不可能事件，必然事件，随机事件，而不可能事件和必然事件并不是对立事件题型2：对立事件与互斥事件例2 （概念理解）若事件A 与事件B 为互斥事件，事件C 与事件D 为对立事件，则下列关系式正确的是（ ） ○1()()1P A P B +=○2()()1P A P B +≤○3()()1P C P D +≤○4()1()P C P D =-解析：○2○4对，○1○3错，正确理解互斥事件与对立事件的概念，互斥事件不能同时发生但可以都不发生，而对立事件不能同时发生但必须有一个发生。
例3 （关系）对立事件是互斥事件充分不必要条件，反之，互斥事件是对立事件的必要不充分条件。
例4 （运用）同时抛两颗骰子，两颗骰子出现点数不同的概率是多少（用列举法）？解析：文科解题通常要求用列举法，发现要列觉出点数不同的情况太多，麻烦，但是分析此题可以发现，两颗骰子要么点数相同，要么不同，相同与不相同刚好为对立事件，所以我们可以用求其对立事件的方法来求两颗骰子点数不同的概率，这样就好列举多了。
解：同时抛两颗骰子出现点数相同的情况有()()()()()()112233445566，、，、，、，、，、，，而所有的情况共有36种，骰子点数相同的概率为636，故骰子不相同的概率为651366-=. 练习1 一前一后抛两颗骰子，两颗骰子的点数之和大于3的概率是多少？练习2 有重量及外观形状相同的红球3个，白球2个，将它们放在同一个袋子里面，从袋子里面不放回地抽取两个球，抽取的球至少有一个红球的概率是多少？若有放回地抽取两个球，抽取的球至少有一个红球的概率是多少？题型3：考查古典概型例5 （公式考查）请问下列抽奖方式中甲、乙中奖率是否相同，且分别求出甲乙的中奖概率？ （1）有5张彩票，中奖彩票一张，甲先抽两张，乙再抽两张； （2）有5张彩票，中奖彩票一张，甲先抽一张，乙再抽一张；（3）有5张彩票，中奖彩票一张，甲先抽一张，且乙在得知甲没中奖的情况下也抽一张； （4）有5张彩票，中奖彩票一张，甲先抽两张，且乙在得知甲没中奖的情况下抽一张；（5）有5张彩票，中奖彩票一张，甲先抽三张，乙再抽一张； （6）有5张彩票，中奖彩票一张，甲先抽一张，乙再抽三张.解析：典型的古典概率题型公式考查，古典概率题型解题在于正确理解事件发生的等可能性.解：（1）公平；在事先不知道那张彩票为中奖彩票的情况下，甲、乙中奖的概率均为25. （2）公平；在事先不知道那张彩票为中奖彩票的情况下，甲、乙中奖的概率均为15.（3）不公平；在事先不知道那张彩票为中奖彩票的情况下甲抽一张中奖的概率为15，而乙在抽取时已经知道甲没中奖，所以只剩下4张彩票而其中一张为中奖彩票，故乙的中奖概率为14.（4）不公平；在事先不知道那张彩票为中奖彩票的情况下甲抽一张中奖的概率为25，而乙在抽取时已经知道甲没中奖，所以只剩下3张彩票而其中一张为中奖彩票，故乙的中奖概率为13.（5）不公平；在事先不知道那张彩票为中奖彩票的情况下甲抽3张中奖的概率为35，而乙抽一张中奖的概率为15. （6）不公平；在事先不知道那张彩票为中奖彩票的情况下甲抽一张中奖的概率为15，而乙抽3张中奖的概率为35. 例6 （综合运用考查）现有3名男生，2名女生（1）抽一名学生去打扫卫生，男生甲被抽到的概率； （2）抽两名学生去打扫卫生，男生甲被抽到的概率；（3）抽两名学生去打扫卫生，被抽到的学生为一名男生，一名女生的概率； （4）抽两名学生去打扫卫生，被抽到的学生至多有一名男生的概率； （5）抽两名学生去打扫卫生，被抽到的学生至少有一名男生的概率； （6）抽两名学生去打扫卫生，被抽到的学生恰有一名男生的概率.解析：文科在做概率时，要抓住一点，就是必须要保证列举的基本事件没有遗漏，事件发生所包含的基本事件没有遗漏，量少可以依次列举，量多可以用树状图、列表等方法.解：（1）()15P A =（每个人被抽到的概率相等，列举略） （2）()42105P A ==（列举略）（3）()63105P A ==（列举略）（4）()3711010P A =-=（对立事件，列举略）（5）()1911010P A =-=（对立事件，列举略）（6）()63105P A ==（其实和第三问为同一个问题） 例7 （综合运用考查）已知{}{}123123A B ==，，，，，，则()1a b a A b B -≥∈∈，的概率为多少？ 解析：概率结合其他知识点的综合运用以及对立事件考查.解：此题采用求对立事件间接求解的方法，设()1a b a A b B -≥∈∈，发生为事件A ，由题意选取的a b 、共有()()()()()()()()()111212212223313233，、，、，、，、，、，、，、，、，9种，而满足1a b -<的情况有()()()112233，、，、，3种，故()32193P A =-=. 练习1 已知小洪同学的QQ 密码后2位均由0至9之间的数组成，小洪同学在忘记密码的情况下只需一次就试对密码的概率是多少？练习2 已知一个箱子里面有三个篮球，其中有一个球为次品，体育老师一次取一个蓝球，问（1）体育老师第一次就取到次品篮球的概率是多少？（2）体育老师第二次取到次品球的概率是多少？（3）体育老师第三次才取到次品球的概率是多少？题型4：考查几何概型例8 （面积类型）有如图几何图形，图中A 、B 两个圆的圆心连线过C 圆的圆心且大小相等，则在图中随机取一点，此点来自阴影部分的概率是多少？（例8）解析：典型的面积类型几何概型，直接求出面积比即可.解：设此点来自阴影部分为事件A ，大圆半径为2r ，则小圆半径为r ，()2221(2)2r P A r ππ⨯== 例9 （时间类型1）已知经过某公交站236路公交车每15分钟一班，小洪同学已经在此公交站等了3分钟，现有一辆公交车进站，刚好是小洪要乘的236路公交车的概率是多少？ 解析：典型的时间类型几何概型，直接求出时间比即可. 解：设刚好是小洪要乘的236路公交车为事件A ，()31155P A == 例10 （时间类型2）已知某十字路口交通灯红灯为27秒，黄灯3秒，绿灯30秒，请问小洪同学到达十字路口即能过马路的概率是多少？解析：典型的时间类型几何概型，直接求出时间比即可. 解：设小洪同学到达十字路口即能过马路为事件A ，()301302732P A ==++例11 （长度类型）已知某段长16米的输电线有三处出现绝缘层老化，三处绝缘老化分别长2.2米、1.9米、3.9米，维修员用检测笔第一次检测即能发现绝缘层老化的线路的概率是多少？ 解析：典型的长度类型几何概型，求出长度比即可.解：设维修员用检测笔第一次检测即能发现绝缘层老化的线路为事件A ，则有() 2.2 1.9 3.91162P A ++==例12 （数轴类型）已知[]1a ∈，8，则函数2()5f x x ax =-+的图象对称轴在区间[]13，之间的概率是多少？ 解析：将数值类型取值范围类比到数轴长度，以求长度比解题. 解：函数2()5f x x ax =-+的对称轴为02a x =，要使[]132a在，之间，则需[]26a 在，之间，从数轴上可以得到[]26，的数轴长占[]18，的数抽长的47，故函数2()5f x x ax =-+的图象对称轴在区间[]13，之间的概率为47.练习1 有已装满5L 水的大水杯，小洪同学发现其水杯中有一只虫子，受惊之下小洪同学将杯子里的水杯倒了2L ，问：虫子没被倒掉的概率是多少？练习2 20平米的小型游泳池的池底有一个半径为40厘米的铁球，小洪同学不小心失足掉到池里刚好碰到铁球的概率是多少？题型5：与统计结合考查例13 某班在期中测试中数学成绩统计如下表：（1）若60～80分数段人数占班上总人数的百分之三十，且该班男生比女生多9名，求x y 、. （2）若从115分以上的学生抽取两人，这两人均为女生的概率是多少？解析：本题第一问要求用统计知识解出x y 、，且第二问的解答必须是第一问正确的情况下才能得到正确答案. 解：（1）设班级总人数为N ，()87/0.350N =+= 则2x y += ○1，又该班男生比女生多9名，则有 ()()489433772190x y x y +++++-+++++=⇒-= ○2 由联立解得1x y ==（2）由（1）得115分以上男生有4名，女生两名，设四名男生分别为1234A A A A 、、、，两名女生分别为12B B 、， 随机抽两名，共有()()()()()()()()()()12131411122324212212A A A A A A A B A B A A A A A B A B B B 15种，其中两人均为女生只有一种，故被抽取的两人均为女生的概率为115. 题型6：独立性检验例14 某班学生进行了一项关于“学习效率提高是否与服用补脑液有关”的调查，随机抽取20名学生进行调查得到如下联表：表1.1：公式： ()()()()22()()a b c d ad bc K a b a c b c c d +++-=++++.（1）能否在犯错误率不超过0.01的前提下认为学习效率提高与服用补脑液有关.解析：计算2K ，得出值，若得到2K 的值大于6.635，则认为在犯错误率不超过0.01的前提下认为学习效率提高与服用补脑液有关.解：2220(31025) 1.111 6.635515812K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，故不能在犯错误率不超过0.01的前提下认为学习效率提高与服用补脑液有关.巩固练习1.。