习题九及答案

习题九 概率波

院系： 班 级:_____________ 姓 名:___________ 学 号:________________ 一 选择题

1.在氢原子的L 壳层中，电子可能具有的量子数(n ，l ，m l ，m s )是 ［ B ］ (A) (1，0，0，21-

)． (B) (2，1，-1，21)． (C) (2，0，1，21-)． (D) (3，1，-1，2

1

-)．

2. 已知粒子处于宽度为a 的一维无限深势阱中运动的波函数为 ［ D ］ a

x

n a x n π=

sin 2)(ψ ，n = 1, 2, 3, … 则当n = 1时，在x 1 = a /4 →x 2 = 3a /4区间找到粒子的概率为 (A) 0.091． (B) 0.182． (C) 1． (D) 0.818．

3. 氢原子中处于3d 量子态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为［ D ］

(A) (3，0，1，21-)． (B) (1，1，1，2

1

-)． (C) (2，1，2，21)． (D) (3，2，0，21)．

4．下列四组量子数：

（1）n = 3，l = 2，0l m =，1/2s m =； （2）n = 3，l = 3，1l m =，1/2s m =； （3）n = 3，l = 1，1l m =-，1/2s m =-； （4）n = 3，l = 0，0l m =，1/2s m =-。

其中可以描述原子中电子状态的 [ C ]

（Ａ）只有（１）和（３）；

（Ｂ）只有（２）和（４）；

（Ｃ）只有（１）、（３）和（４）； （Ｄ）只有（２）、（３）和（４）。

5．根据玻尔的理论，氢原子在n =5轨道上的角动量与在第一激发态的轨道角动量之比为 [ A ]

（Ａ）5/2； （Ｂ）5/3； （Ｃ）5/4； （Ｄ）５。

6．将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将[ D ]

（Ａ）增大D 2倍；

（Ｂ）增大2D 倍；

（Ｃ）增大D 倍；

（Ｄ）不变。

解：不变。波函数是概率函数，其模的平方描述粒子t 时刻在空间某点出现的概率。而概率是相对值，任意两点1和2之间的概率比值为：22112

2

2

2

D D ψψψψ=

可见，各点振幅同时增大D 倍时概率分布不变。

二 填空题

1.主量子数n = 4的量子态中，角量子数l 的可能取值为__ 0，1，2，3_；磁量子数m l 的可能取值为0，±1，±2，±3___．

2．在主量子数n =2，自旋磁量子数2

1

=s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是____4__． 3．处于基态的氢原子被能量为12.09eV 的光子激发时，其电子的轨道半径为基态轨道半径的 9 倍。

三 计算题

1.能量为15 eV 的光子，被处于基态的氢原子吸收，使氢原子电离发射一个光电子，求此光电子的德布罗意波长． (电子的质量m e =9.11×10-31

kg ，普朗克常量h =6.63×10-34

J ·s ，1 eV =1.60×10-19

J) 解：远离核的光电子动能为

4.16.13152

1

2=-==

v e K m E eV 则 ==e

K

m E 2v 7.0×105 m/s 光电子的德布罗意波长为 ===

v

e m h p h λ 1.04×10-9 m =10.4 ?

2.粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： )/sin(/2)(a x n a x n π=

ψ (0

若粒子处于n =1的状态，（1）它在 0－a /4区间内的概率是多少？[提示： C x x x x +-=?

2sin )4/1(2

1

d sin 2

] （2）求发现粒子的概率为最大的位置． 解： x a

x a x P d sin 2d d 22

π=

=ψ

(1)粒子位于0 – a /4内的概率为：

x a

x

a P a d sin 24

/0

2?

π=

)d(sin 24

/0

2a

x

a x a a a πππ=?

4

/02

1

]2sin 41[2

a a x a x

πππ-=)]4

2sin(414[221a

a a a π-ππ= =0.091 (2) 当 1)/2cos(-=πa x 时， 2

)(x ψ有最大值．在0≤x ≤a 范围内可得 π=πa x /2 ∴ a x 2

1

=

． 3．设有一电子在宽为0.20 nm 的一维无限深的方势阱中。 （1）计算电子在最低能级的能量；

（2）当电子处于第一激发态（2n =）时，在势阱中何处出现的概率最小，其值为多少？ 答案：（1）9.43eV ；（2）在0,,2

a

x a =（即0 0.10nm 0.20nm x =，，）处概率最小，其值均为零。

解：（1）一维无限深势阱中粒子的可能能量2

2

2

8n h E n ma

=，式中a 为势阱宽度。 当量子数1n =时，粒子处于基态，能量最低。因此，电子在最低能级的能量为

2

181 1.5110J 9.43eV 8h E ma

-==?=

（2）粒子在无限深方势阱中的波函数为：2(),1,2,...n n x x n a a

πψ== 当它处于第一激发态（2n =）时，波函数：22(),0x x x a a a

πψ=≤≤ 相应的概率密度函数：2

222()sin ,0x x x a a a

π

ψ=

≤≤ 令

(

)2

d ()

0d x x

ψ=， 得 2

822sin cos 0x x a a

a

πππ=。

在0x a ≤≤的范围内讨论可得，当30,,,

,424

a a a x a =时，函数2

()x ψ取得极值。

由

(

)2

d ()

0d x x

ψ>可知，函数在0,,2

a x a =（即0 0.10nm 0.20nm x =，

，）处概率最小，其值均为零，即电子不出

现在这些位置。