实数的连续性.ppt
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实数的连续性
+
ξ − ε < xn < ξ + ε
lim xn = ξ .
n →∞
数学分析选讲
多媒体教学课件
是单调递增(减 数列 如果{x 无上界 数列,如果 注1：设{xn }是单调递增 减)数列 如果 n }无上界 ： 是单调递增 (下界 则 下界)则 下界
lim xn = +∞( −∞ ).
n →∞
是单调递增(减 数列 数列,且有界 注2：设{xn }是单调递增 减)数列 且有界 ： 是单调递增
数学分析选讲
多媒体教学课件
二、单调有界原理 定义3 是任意数列,若对每个自然数 定义 设{xn }是任意数列 若对每个自然数 有 是任意数列 若对每个自然数n,有 xn≤xn+1则称 n }是单调递增数列； 则称{x 是单调递增数列 是单调递增数列； 若对每个自然数n,有xn≥xn+1,则称 n }是单调递增数列 则称{x 是单调递增数列 是单调递增数列. 若对每个自然数 有 则称
S = { xn | n ∈ N }
是有界无限点集,从而至少有一个聚点ξ 由定理 是有界无限点集 从而至少有一个聚点ξ,由定理 中有一 从而至少有一个聚点 由定理6,S中有一 个点列收敛于ξ 即 有一个子列收敛于ξ 个点列收敛于ξ,即{xn}有一个子列收敛于ξ. 有一个子列收敛于
任意ε 首先对任意正整数 首先对任意正整数n,有 ≤ξ<ξ ε 另一方面存在 任意ε>0,首先对任意正整数 有xn≤ξ ξ+ε.另一方面存在 正整数N,使 单调递增， 正整数 使xN>ξ-ε.又{xn }单调递增，因此对任意 ξ ε又 单调递增 因此对任意n>N,有 有 xn ≥xN>ξ-ε.从而对任意 从而对任意n>N, ξ ε 从而对任意 即|xn-ξ|<ε,故 ξ ε故
实数ppt
实数具有封闭性、有序性和连续性。封闭性指实数集中的运算结果仍然属于实数集；有序性指实数可以比较大小，并存在正负无穷大和正负无穷小；连续性指实数在数轴上具有连续不断的点，没有跳跃和间断。
实数的性质
定义与性质
实数与数轴的关系
实数在数轴上有对应的点，数轴上的点可以用实数表示。实数的大小比较也可以通过其在数轴上的位置来判断。
在大数据时代，数据量呈爆炸式增长，实数在大数据处理中扮演着重要角色。例如，在数据挖掘和机器学习中，实数被用来表示特征值和权重；在数据分类和聚类中，实数被用来表示样本之间的距离。
统计与大数据处理
04
实数与数学发展史
埃及数学
01
古埃及人发展了数学概念，如分数、平方根和乘法表，为实数在数学中的使用奠定了基础。
金融数据
金融建模中需要使用各种数学模型和公式，例如，期权定价模型、投资组合理论等。这些模型中涉及到的变量和参数都需要使用实数来表示和计算。
金融建模
金融领域的应用
统计数据
在社会科学、医学、经济学等领域，需要进行大量的数据收集和分析。这些数据通常需要使用实数来表示，例如，家庭收入、身高体重指数等。
大数据处理
实数的表示方法
实数可以用小数或根号的形式表示，如2.5、根号3等。实数也可以在数轴上用点表示。
02
实数的运算
定义加法运算，满足交换律和结合律，存在加法零元。
加法与减法
实数加法
定义为加法的逆运算，满足交换律和结合律，存在减法零元。
实数减法
在度量、比较、变化率等方面具有广泛的应用。
加法与减法的应用
xx年xx月xx日
实数ppt
CATALOGUE
目录
实数的定义实数的运算实数在生活中的应用实数与数学发展史实数的扩展与应用
实数的性质
定义与性质
实数与数轴的关系
实数在数轴上有对应的点，数轴上的点可以用实数表示。实数的大小比较也可以通过其在数轴上的位置来判断。
在大数据时代，数据量呈爆炸式增长，实数在大数据处理中扮演着重要角色。例如，在数据挖掘和机器学习中，实数被用来表示特征值和权重；在数据分类和聚类中，实数被用来表示样本之间的距离。
统计与大数据处理
04
实数与数学发展史
埃及数学
01
古埃及人发展了数学概念，如分数、平方根和乘法表，为实数在数学中的使用奠定了基础。
金融数据
金融建模中需要使用各种数学模型和公式，例如，期权定价模型、投资组合理论等。这些模型中涉及到的变量和参数都需要使用实数来表示和计算。
金融建模
金融领域的应用
统计数据
在社会科学、医学、经济学等领域，需要进行大量的数据收集和分析。这些数据通常需要使用实数来表示，例如，家庭收入、身高体重指数等。
大数据处理
实数的表示方法
实数可以用小数或根号的形式表示，如2.5、根号3等。实数也可以在数轴上用点表示。
02
实数的运算
定义加法运算，满足交换律和结合律，存在加法零元。
加法与减法
实数加法
定义为加法的逆运算，满足交换律和结合律，存在减法零元。
实数减法
在度量、比较、变化率等方面具有广泛的应用。
加法与减法的应用
xx年xx月xx日
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目录
实数的定义实数的运算实数在生活中的应用实数与数学发展史实数的扩展与应用
实数ppt课件
化学
在化学中，实数可以用来 描述化学反应中的反应物 和生成物的比例关系。
在日常生活中的应用
金融与经济
在金融和经济活动中，实 数被广泛应用于财务计算 、成本分析、市场预测等 方面。
计算机科学
在计算机科学中，实数被 用于各种算法和数据结构 的实现，如浮点数运算、 排序算法等。
统计学
在统计学中，实数被用于 描述各种数据的分布特征 和规律，如平均数、中位 数、方差等。
数轴的表示
在数轴上，正实数表示为向右的箭头，负实数表示为向左的箭头，零表示为原点。实数的 序关系可以通过数轴上的位置关系来表示，例如a>b表示a在b的右侧。
数轴的应用
数轴是学习数学的重要工具之一，可以用于比较大小、计算距离、表示不等式等。通过数 轴可以直观地理解实数的性质和运算规则，帮助我们更好地掌握实数的知识。
实数的性质
01 02
实数的四则运算
实数可以进行加、减、乘、除四则运算，运算结果仍然属于实数集合。 实数的加法、减法和乘法满足交换律、结合律和分配律，除法满足除法 的可交换性、可结合性和除法的倒数关系。
实数的序关系
实数集合是有序的，可以比较大小。实数的序关系满足传递性、反对称 性和可比较性，使得实数可以进行大小比较和排序。
实数ppt课件
• 实数简介 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数的应用 • 实数的扩展知识
目录
Part
01
实数简介
实数的定义
实数定义
实数是包括有理数和无理数的所有数的集合，具有连续性和完备性。实数包括有理数和 无理数，有理数包括整数和分数，无理数则无法表示为两个整数的比值。
实数集合
实数集合在数学中常用字母R表示，是一个无限大的集合，包含了所有的有理数和无理数 。实数在数轴上表示为连续的点，具有稠密性。
实数ppt课件
。
方程可以看作是实数之间的一种 约束关系，实数则是满足这种约
束条件的数值解。
通过解方程，我们可以找到实数 之间的特定关系和条件。
实数与不等式的关系
不等式是表达数学大小关系的一种形 式，而实数是这些不等式中的变量。
通过解不等式，我们可以找到实数之 间的特定范围和界限。
不等式可以看作是实数之间的一种限 制关系，实数则是满足这种限制条件 的数值。
02
实数的运算规则
实数的加法运算
定义
实数的加法运算是指将两个或多个实数合并成一 个实数的运算。
规则
实数的加法运算满足交换律和结合律，即 a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
例子
2+3=5，(-1)+(-2)=-3。
实数的减法运算
定义
实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数的运算。
规则
实数的减法运算可以通过加法运算进行转化，即a-b=a+(-b)。
例子
5-3=2，(-1)-(-2)=1。
实数的乘法运算
定义
实数的乘法运算是指将两个或多个实数相乘得到一个实数的运算 。
规则
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba和 (a+b)c=ac+bc。
例子
2×3=6，(-1)×(-2)=2。
03
1欧元=100欧分
时间单位的换算
小时与分钟换算：1 小时=60分钟
天与小时换算：1天 =24小时
小时与秒换算：1小 时=3600秒
其他应用举例
01
02
03
温度换算
摄氏度与华氏度换算，例 如：2摄氏度=3.6华氏度
方程可以看作是实数之间的一种 约束关系，实数则是满足这种约
束条件的数值解。
通过解方程，我们可以找到实数 之间的特定关系和条件。
实数与不等式的关系
不等式是表达数学大小关系的一种形 式，而实数是这些不等式中的变量。
通过解不等式，我们可以找到实数之 间的特定范围和界限。
不等式可以看作是实数之间的一种限 制关系，实数则是满足这种限制条件 的数值。
02
实数的运算规则
实数的加法运算
定义
实数的加法运算是指将两个或多个实数合并成一 个实数的运算。
规则
实数的加法运算满足交换律和结合律，即 a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
例子
2+3=5，(-1)+(-2)=-3。
实数的减法运算
定义
实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数的运算。
规则
实数的减法运算可以通过加法运算进行转化，即a-b=a+(-b)。
例子
5-3=2，(-1)-(-2)=1。
实数的乘法运算
定义
实数的乘法运算是指将两个或多个实数相乘得到一个实数的运算 。
规则
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba和 (a+b)c=ac+bc。
例子
2×3=6，(-1)×(-2)=2。
03
1欧元=100欧分
时间单位的换算
小时与分钟换算：1 小时=60分钟
天与小时换算：1天 =24小时
小时与秒换算：1小 时=3600秒
其他应用举例
01
02
03
温度换算
摄氏度与华氏度换算，例 如：2摄氏度=3.6华氏度
实数教学课件
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04 实数的应用
在数学中的应用
01
02
03
代数运算
实数可用于解决代数方程 、不等式和函数等问题， 如求解一元二次方程、求 函数的极值等。
几何学
实数与几何学紧密相关， 如长度、角度、面积和体 积等都可以用实数表示。
概率论与统计学
在概率论和统计学中，实 数用于描述随机事件发生 的可能性以及数据的分布 和统计分析。
金融与经济
在金融和经济领域，实数被用于描述货币交易、投资回报、成本 和利润等经济活动。
科学实验与工程设计
在科学实验和工程设计中，实数用于测量各种参数、计算结果和评 估设计方案的有效性。
计算机科学
在计算机科学中，实数用于表示数字、编码和算法等，并用于处理 数据和执行计算任务。
05 实数的扩展知识
无理数的定义与性质
无理数
无理数是一些无法表示为两个整数的比的数，如圆周率π、自然对数的底数e等 。无理数在实数中占据了大部分，它们在数学分析和高等数学中有着广泛的应 用。
02 实数的运算
加法运算
总结词
理解加法运算的意义，掌握加法运算的规则和技巧。
详细描述
实数的加法运算是指将两个或多个实数相加，得到一个新的实数。在进行加法运 算时，应遵循实数的加法规则，即同号数相加取相同的符号，异号数相加取绝对 值较大数的符号，并把绝对值相减。
实数集是数学中最基本的概念之一，它具有完备性和连续性 ，是数学分析和高等数学的基础。实数在日常生活中有着广 泛的应用，如长度、重量、时间等计量单位都是用实数来表 示的。
实数的性质
实数的四则运算
实数的连续性
实数的加法、减法、乘法和除法满足 交换律、结合律和分配律，这些性质 使得实数在数学中具有重要的作用。
《实数的概念》课件
实数的除法运算可以通过乘法转换为乘法运算，即a/b=(a*1/数运算的基本性质
详细描述
实数的指数运算满足a^m*a^n=a^(m+n)和(a^m)^n=a^(mn)等基本性质。
03
实数与数轴
数轴的定义
实数轴
一条无限延伸的直线，每个点对应一个实数，实数轴上 的点是连续且稠密的。
在科学研究、工业生产和日常生活中，物理量的测量和计算都发挥着至关重要的作用。实数使 得这些测量和计算具有可靠性和准确性。
金融和统计数据的表示
金融和统计数据涉及到大量的数值计 算和表示，实数在其中扮演着重要的 角色。例如，股票价格、经济增长率 、人口数量等都是以实数表示的。
实数的精确性和可靠性使得金融和统 计数据的表示和分析更加准确，有助 于做出正确的决策和预测。
减法运算
总结词
减法运算的基本性质
详细描述
实数的减法运算可以通过加法转换为加法运算， 即a-b=a+(-b)。
乘法运算
总结词
乘法运算的基本性质
详细描述
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。
除法运算
总结词
除法运算的基本性质
详细描述
定义方式
通常采用代数定义，即通过有理数和无理数来定义实数 。
数轴上的点与实数的关系
对应关系
每个实数都可以在数轴上找到一 个唯一的点与之对应，反之亦然 。
顺序关系
实数在数轴上按照大小关系排列 ，从小到大或从大到小。
数轴上的连续性和稠密性
连续性
实数轴上的点是连续不断的，没有间 断或空隙。
稠密性
在任意两个不同的实数之间，总可以 找到一个新的实数。
详细描述
实数的指数运算满足a^m*a^n=a^(m+n)和(a^m)^n=a^(mn)等基本性质。
03
实数与数轴
数轴的定义
实数轴
一条无限延伸的直线，每个点对应一个实数，实数轴上 的点是连续且稠密的。
在科学研究、工业生产和日常生活中，物理量的测量和计算都发挥着至关重要的作用。实数使 得这些测量和计算具有可靠性和准确性。
金融和统计数据的表示
金融和统计数据涉及到大量的数值计 算和表示，实数在其中扮演着重要的 角色。例如，股票价格、经济增长率 、人口数量等都是以实数表示的。
实数的精确性和可靠性使得金融和统 计数据的表示和分析更加准确，有助 于做出正确的决策和预测。
减法运算
总结词
减法运算的基本性质
详细描述
实数的减法运算可以通过加法转换为加法运算， 即a-b=a+(-b)。
乘法运算
总结词
乘法运算的基本性质
详细描述
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。
除法运算
总结词
除法运算的基本性质
详细描述
定义方式
通常采用代数定义，即通过有理数和无理数来定义实数 。
数轴上的点与实数的关系
对应关系
每个实数都可以在数轴上找到一 个唯一的点与之对应，反之亦然 。
顺序关系
实数在数轴上按照大小关系排列 ，从小到大或从大到小。
数轴上的连续性和稠密性
连续性
实数轴上的点是连续不断的，没有间 断或空隙。
稠密性
在任意两个不同的实数之间，总可以 找到一个新的实数。
实数连续性定理.
数列{an}收敛 0, N 0,使得对m, n N, 有 an am .
例 若数列{an}满足 an = 0.9sin 0.9 0.92 sin 证明数列{an}收敛.
0.9 0.9n sin n 0.9
实数完备性基本定理的等价性
实数基本定理等价性的路线 : 证明按以 下三条路线进行:
例 5 A 和 B 为非空数集, S = A B. 试证明: inf S = min {inf A , inf B }.
证 x S, 有 x A 或 x B, 由inf A 和inf B 分别是 A 和 B 的下界, 有
x inf A 或 x inf B. x min {inf A , inf B }.
例 4 设 A 和 B 是非空数集. 若对x A 和 y B, 都有 x y, 则有sup A inf B. 证 x A 和 y B, 都有 x y, y 是 A 的上界, 而 sup A 是 A 的最小上界
sup A y. 此式又 sup A 是 B 的下界, sup A inf B （B 的最大下界）
减.
例如 和 都是区间套. 但 、 {[ 1 , 1 ]} nn
{[ 0, 1 ]} n
( 1)n
2
{[ 1
, 1 ]}
n
n
和 { ( 0 , 1 ]} n
{[ 1 , 1 1 ]} nn
都不是.
区间套定理 •定理1
若 {[an,bn ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点x ,
确界的直观定义：
若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们 称它为数集S的上确界，记作 supS ；
D2_1实数系的连续性幻灯片PPT
数 (1). 对一切 x S, 都有 x ，即 是S的下界； (2). 对一切 , 存在x0 S，使得 x0 , 即 是S的最大下界，那么称 是S的下确界，记为 inf S
• 确界原理：设S为非空数集，假设S有上界，那么S必有 上确界；假设S有下界，那么S必有下确界。
证： 对任给一实数x都可表为: x=[x]+(x),这里[x]和(x)
m
m
从而得出结论：T在Q内没有上确界。
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内容小结
1. 实数系概念
2. 实数的性质
3. 确界原理 实数的连续性
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作业
P32
1(1), 4, 5, 7
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例如：有理数集Q内有上界的数集未必在Q内有上确界。
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例 设 T { x |x Q 且 x 0 ,x 2 2 } ,证明T在Q内没有
上确界。
证：用反证法。
设T在Q内有上确界，设 s u p T n ( m ,n N 且 m ,n 互 质 ) ,
m
那么显然有1
S 0 { x |x S 且 [ x ]0 }
显然 S 0 不是空集，且对任何 xS但 xS0,有x0,
再考察 S 0 中元素第一位小数，且令最大者为 1 , 并记
S 1 { x |x S 0 且 x 的 第 一 位 小 数 为 1 }
同样 S 1 不是空集，且对任何 xS但 xS1,有 x00.1。
无限不循环小数称为无理数 有理数与无理数构成实数，记为 R
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实数的性质 1. 实数对四那么运算封闭。
2. 实数是有序的，即任意两个实数a,b必只能满足
• 确界原理：设S为非空数集，假设S有上界，那么S必有 上确界；假设S有下界，那么S必有下确界。
证： 对任给一实数x都可表为: x=[x]+(x),这里[x]和(x)
m
m
从而得出结论：T在Q内没有上确界。
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内容小结
1. 实数系概念
2. 实数的性质
3. 确界原理 实数的连续性
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作业
P32
1(1), 4, 5, 7
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例如：有理数集Q内有上界的数集未必在Q内有上确界。
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例 设 T { x |x Q 且 x 0 ,x 2 2 } ,证明T在Q内没有
上确界。
证：用反证法。
设T在Q内有上确界，设 s u p T n ( m ,n N 且 m ,n 互 质 ) ,
m
那么显然有1
S 0 { x |x S 且 [ x ]0 }
显然 S 0 不是空集，且对任何 xS但 xS0,有x0,
再考察 S 0 中元素第一位小数，且令最大者为 1 , 并记
S 1 { x |x S 0 且 x 的 第 一 位 小 数 为 1 }
同样 S 1 不是空集，且对任何 xS但 xS1,有 x00.1。
无限不循环小数称为无理数 有理数与无理数构成实数，记为 R
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实数的性质 1. 实数对四那么运算封闭。
2. 实数是有序的，即任意两个实数a,b必只能满足
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具体方法是：1）. 构造一个具有性质 P 的区间，性 质 P要根据性质 P 来定;
2）. 在具有性质 P 的区间中确定一个长度不超过该区间 长度 1的也具有性质 P 的子区间（通常采用二等分法），
2 然后继续使用上述步骤，可得具有性质 P的区间套. 实 现将具有性质 P 的这个数“套”出来.
二、确界定理
将闭区间 a1，b1 二等分，所得两个闭区间为a1，a12b1与a1
2
b1
，b1
，其中必有一个具有性
质 P，将其记为 a2，b2 .
同样方法，将闭区间 a2，b2 二等分，必有 一个闭区间具有性质 P，将其记为 a3，b3 .二等
用分法无限进行下去，可得区间套 an，bn ，
线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的 长构成的数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一 一个公共点.
注: 一般来说,将闭区间列换成开区间列,区间套 定理不一定成立.
a1 a2
a3
an l bn
b3 b2
b1 x
证： 由条件 1），数列 an 单调增加有上界 b1， 数列 bn 单调减少有下界 a1，即
定理 2. 确界定理 设 E R，若 E 有上
(下)界则数集 E 必存在唯一的上(下)确界.
证 因为 E R，所以 b1 E，又 E 有
下界，设 a1 是 E 的下界，则 a1 b1，不妨设 a1 b1 .这时闭区间 a1，b1 具有如下性质（称为具有性 质P）：
1. 闭区间 a1，b1 左侧没有数集 E 的点； 2. 闭区间 a1，b1 中至少有数集 E 的一个点；
2）
0 ，n0
1，有
n0 n0 1
1 2
1 2
.
即
inf
n
n
1
n
N
1 2
.
例2 证明sup1,2,3,4 4,inf 1,2,3,4 1
证明：(1)k 1,2,3,4, k 4;(2) 0, 4 1,2,3,4,有 4 4 . sup1,2,3,4 4
又(1)k 1,2,3,4,k 1; (2) 0, 11,2,3,4, 有 1 1 . inf 1,2,3,4 1
(1) x E , x ;
(2) 0,x E ,有 : x . 则称是 数集E 的下确界.表为 inf E 定理(可列化) 设 E 是非空集合，则 sup E
(1) x E , x ;
(2) xn E, xn (n )
定理(可列化) 设 E 是非空集合，则 inf E (1) x E , x ;
为了叙述方便，我们把满足闭区间套定理条件
的闭区间序列 an，bn ，称为区间套.
推论(点 l 的特性)若 l 是区间套所确定的点，则
0，N N ，n N，有 an，bn U l， .
注:区间套定理中要求各个区间都是
闭区间，否则结论不一定成立.
例如
开区间序列
1，1 n
.
区间套定理的应用：一般来讲，证明问题需要找 出一个具有某种性质 P 的数，常用区间套定理将这个 数“套”出来.
a1 a2 an bn b2 b1.
依据单调有界数列必有极限，数列 an
收敛，设
lim
n
an
l
.
由条件
2）
lim
n
bn
lim
n
bn an an
lim n
bn an
lim
n
bn
l.
lim
n
an
lim
n
bn
l.
下面我们来证实数 l 属于所有闭区间，即证
k N ，有 l ak ,bk ，或 ak l bk .
一、闭区间套定理
• 定理1.(闭区间套定理) 设有闭区间列 {[an ,bn ]}.
若: 1) a1，b1 a2，b2 an，bn ;
2)
lim
n
bn an
0,
则存在唯一数l 属于所有的闭区间(即 an，bn l), n1
且:
lim an
n
lim
n
bn
l.
• 从图上看,有一列闭线段(两个端点也属于此
第四章 实数的连续性
§4.1 实数的连续性定理 §4.2 闭区间连续函数整体性质的证明
§4.1 实数的连续性定理
极限的理论问题首先是极限的存在问题. 一个 数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关， 而且与数列所在的数集有关.
我们知道有理数列的极限不一定是有理数,但在 实数集内，实数列的极限一定是实数.实数的这个 性质称为实数集的连续性或实数的完备性.因此实 数集的连续性是数学分析的理论基础.下面我们给 出几个等价的描述实数集连续性的定理.这些定理 是数学分析理论的基石.
(2) xn E, xn (n )
例1
证明
sup
n
n
1
n
N
1,
inf
n n
1
n
N
1 2
.
证 1）n N，有 n 1； n1
2） 0 1，由 n 1 ,
n1
可知
n
1
1，所以
n0
1
，有
n0 n0
1
1
.
即
sup
n n
1
n
N
1.
同样 1）n N，有 n 1； n1 2
非空数集 E 有上界,则它有无限多个上界,在这无
限多个上界之中,有一个上界 与数集 E有一种特殊
关系.
定义:设 E 是非空数集.若 R 使
(1) x E , x ; (2) 0,x E ,有 : x .
则称是 数集 E 的上确界.表为 sup E
定义:设 E是非空数集.若 R 使
因为 n k，有 ak an bn bk . 从而
ak
lim
n
an
l
lim
n
bn
bk
即 k N ，l ak，bk .
最后证 l 的唯一性，假设还有一个 l 也属于所有
闭区间，从而 n N ，有 l，l an，bn ，即
l l bn an，
所以
l
l
lim
n
bn
an
0，
故 l l，即 l 是唯一的.
2) 0，由区间套定理的推论可知，N N ，
m N，有 am，bm U ， ，即 x0 E，使 x0 am，bm ，
且每个 an，bn 具有性质 P .
根据区间套定理，存在唯一一个数 属于所有的
闭区间 an，bn ，且
lim
n
an
lim
n
bn
.
1） x E，有 x . 否则，若 x0 E，有 x0 .
则由
lim
n
an
及数列极限保序性可知，m N
，使
am x0 . 这与性质 P 的 1）矛盾.
2）. 在具有性质 P 的区间中确定一个长度不超过该区间 长度 1的也具有性质 P 的子区间（通常采用二等分法），
2 然后继续使用上述步骤，可得具有性质 P的区间套. 实 现将具有性质 P 的这个数“套”出来.
二、确界定理
将闭区间 a1，b1 二等分，所得两个闭区间为a1，a12b1与a1
2
b1
，b1
，其中必有一个具有性
质 P，将其记为 a2，b2 .
同样方法，将闭区间 a2，b2 二等分，必有 一个闭区间具有性质 P，将其记为 a3，b3 .二等
用分法无限进行下去，可得区间套 an，bn ，
线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的 长构成的数列以0为极限.则这一闭线段存在唯一 一个公共点.
注: 一般来说,将闭区间列换成开区间列,区间套 定理不一定成立.
a1 a2
a3
an l bn
b3 b2
b1 x
证： 由条件 1），数列 an 单调增加有上界 b1， 数列 bn 单调减少有下界 a1，即
定理 2. 确界定理 设 E R，若 E 有上
(下)界则数集 E 必存在唯一的上(下)确界.
证 因为 E R，所以 b1 E，又 E 有
下界，设 a1 是 E 的下界，则 a1 b1，不妨设 a1 b1 .这时闭区间 a1，b1 具有如下性质（称为具有性 质P）：
1. 闭区间 a1，b1 左侧没有数集 E 的点； 2. 闭区间 a1，b1 中至少有数集 E 的一个点；
2）
0 ，n0
1，有
n0 n0 1
1 2
1 2
.
即
inf
n
n
1
n
N
1 2
.
例2 证明sup1,2,3,4 4,inf 1,2,3,4 1
证明：(1)k 1,2,3,4, k 4;(2) 0, 4 1,2,3,4,有 4 4 . sup1,2,3,4 4
又(1)k 1,2,3,4,k 1; (2) 0, 11,2,3,4, 有 1 1 . inf 1,2,3,4 1
(1) x E , x ;
(2) 0,x E ,有 : x . 则称是 数集E 的下确界.表为 inf E 定理(可列化) 设 E 是非空集合，则 sup E
(1) x E , x ;
(2) xn E, xn (n )
定理(可列化) 设 E 是非空集合，则 inf E (1) x E , x ;
为了叙述方便，我们把满足闭区间套定理条件
的闭区间序列 an，bn ，称为区间套.
推论(点 l 的特性)若 l 是区间套所确定的点，则
0，N N ，n N，有 an，bn U l， .
注:区间套定理中要求各个区间都是
闭区间，否则结论不一定成立.
例如
开区间序列
1，1 n
.
区间套定理的应用：一般来讲，证明问题需要找 出一个具有某种性质 P 的数，常用区间套定理将这个 数“套”出来.
a1 a2 an bn b2 b1.
依据单调有界数列必有极限，数列 an
收敛，设
lim
n
an
l
.
由条件
2）
lim
n
bn
lim
n
bn an an
lim n
bn an
lim
n
bn
l.
lim
n
an
lim
n
bn
l.
下面我们来证实数 l 属于所有闭区间，即证
k N ，有 l ak ,bk ，或 ak l bk .
一、闭区间套定理
• 定理1.(闭区间套定理) 设有闭区间列 {[an ,bn ]}.
若: 1) a1，b1 a2，b2 an，bn ;
2)
lim
n
bn an
0,
则存在唯一数l 属于所有的闭区间(即 an，bn l), n1
且:
lim an
n
lim
n
bn
l.
• 从图上看,有一列闭线段(两个端点也属于此
第四章 实数的连续性
§4.1 实数的连续性定理 §4.2 闭区间连续函数整体性质的证明
§4.1 实数的连续性定理
极限的理论问题首先是极限的存在问题. 一个 数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关， 而且与数列所在的数集有关.
我们知道有理数列的极限不一定是有理数,但在 实数集内，实数列的极限一定是实数.实数的这个 性质称为实数集的连续性或实数的完备性.因此实 数集的连续性是数学分析的理论基础.下面我们给 出几个等价的描述实数集连续性的定理.这些定理 是数学分析理论的基石.
(2) xn E, xn (n )
例1
证明
sup
n
n
1
n
N
1,
inf
n n
1
n
N
1 2
.
证 1）n N，有 n 1； n1
2） 0 1，由 n 1 ,
n1
可知
n
1
1，所以
n0
1
，有
n0 n0
1
1
.
即
sup
n n
1
n
N
1.
同样 1）n N，有 n 1； n1 2
非空数集 E 有上界,则它有无限多个上界,在这无
限多个上界之中,有一个上界 与数集 E有一种特殊
关系.
定义:设 E 是非空数集.若 R 使
(1) x E , x ; (2) 0,x E ,有 : x .
则称是 数集 E 的上确界.表为 sup E
定义:设 E是非空数集.若 R 使
因为 n k，有 ak an bn bk . 从而
ak
lim
n
an
l
lim
n
bn
bk
即 k N ，l ak，bk .
最后证 l 的唯一性，假设还有一个 l 也属于所有
闭区间，从而 n N ，有 l，l an，bn ，即
l l bn an，
所以
l
l
lim
n
bn
an
0，
故 l l，即 l 是唯一的.
2) 0，由区间套定理的推论可知，N N ，
m N，有 am，bm U ， ，即 x0 E，使 x0 am，bm ，
且每个 an，bn 具有性质 P .
根据区间套定理，存在唯一一个数 属于所有的
闭区间 an，bn ，且
lim
n
an
lim
n
bn
.
1） x E，有 x . 否则，若 x0 E，有 x0 .
则由
lim
n
an
及数列极限保序性可知，m N
，使
am x0 . 这与性质 P 的 1）矛盾.