历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形

(2019全国2卷文)8.若x 1=

4π,x 2=4

3π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=

A .2

B .

3

2 C .1

D .

12

答案:A

(2019全国2卷文)11.已知a ∈(0,

π

2),2sin2α=cos2α+1,则sin α=

A .15

B

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

C

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

D 答案:B

(2019全国2卷文)15.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b sin A +a cos B =0,则B =___________. 答案:4

(2019全国1卷文)15.函数3π

()sin(2)3cos 2

f x x x =+-的最小值为___________. 答案:-4

(2019全国1卷文)7.tan255°=( )

A .-2

B .-

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

C .2

D .答案:D

(2019全国1卷文)11.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知

C c B b A a sin 4sin sin =- ,4

1cos -

=A ,则b

c =( )

A .6

B .5

C .4

D .3

答案:A

(2019全国3卷理)

18.(12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin

sin 2

A C

a b A +=. (1)求B ;

(2)若△ABC 为锐角三角形,且1c =,求△ABC 面积的取值范围.

(1)由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2

A C

A B A +=. 因为sin 0A ≠,所以sin

sin 2

A C

B +=. 由180A B

C ++=?,可得sin cos 22A C B +=,故cos 2sin cos 222

B B B

=.

因为cos 02

B ≠,故1

sin =22B ,因此60B =?.

(2)由题设及(1)知△ABC 的面积ABC S ?.

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

由正弦定理得sin sin(120)1

sin sin 2

c A c C a C C ?-=

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

==+. 由于△ABC 为锐角三角形,故090A ?<

由(1)知120A C +=?,所以3090C ?<

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

a <

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

(2019全国2卷理)15.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π

6,2,3

b a

c B ===

,则ABC △的面积为_________. 答案:

36

(2019全国2卷理)9.下列函数中,以2

π为周期且在区间(

4

π,

2

π)单调递增的是

A .f (x )=│cos2x │

B .f (x )=│sin2x │

C .f (x )=cos│x │

D .f (x )=sin │x │

答案:A

(2019全国2卷理)10.已知α∈(0,

2

π),2sin2α=cos2α+1,则sin α=

A .

15

B .

5

C .

3

D .

5

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

答案:B

(2019全国1卷理)17.ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设

22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-.

(1)求A ;

(2

2b c +=,求sin C .

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

【答案】(1)3

A π

=;(2)sin C =

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

【解析】 【分析】

(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:222b c a bc +-=,从而可整理出cos A ,根据()0,A π∈可求得结果;(2)利用正弦定理可得

sin 2sin A B C +=,利用

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程,结合同角三角函

数关系解方程可求得结果.

【详解】(1)()2

222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即:222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得:222b c a bc +-=

2221cos 22

b c a A bc +-∴==

()0,πA ∈

3

A

π

(2)

22a b c +=sin 2sin A B C +=

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+,3

A π

=

1

cos sin 2sin 222

C C C ++=

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

整理可得:3sin C C -

=

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

2

2

sin cos 1C C += (()

2

23sin 31sin C C

∴=-

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

解得:sin C =

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

sin 2sin 2sin 02B C A C ==-

>所以sin 4

C >

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

,故sin C = (2)法二:

22a b c +=sin 2sin A B C +=

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+,3

A π

=

1

cos sin 2sin 222

C C C ++=

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

整理可得:3sin C C -=

,即3sin 6C C C π?

?

-=-

= ??

?

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

sin 62C π??∴-= ??

? 由2(0,

),(,)3662C C ππππ∈-∈-,所以,6446

C C ππππ-==+

sin sin(

)4

6

C π

π

=+

=

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系.

(2019全国1卷理)11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:

①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间(

2

π

,π)单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④

C. ①④

D. ①③

【答案】C 【解析】

【分析】

化简函数()sin sin f x x x =+,研究它的性质从而得出正确答案. 【详解】

()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数,故①

正确.当

2x π

π<<时,()2sin f x x =,

它在区间,2π??

π ???

单调递减,故②错误.当0x π≤≤时,

()2sin f x x =,它有两个零点:0,π;当0x π-≤<时,

()()sin sin 2sin f x x x x =--=-,它有一个零点:π-,故()f x 在[],-ππ有3个零点:

0-π,,π,故③错误.当[]()

2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时,()2sin f x x =;当

[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时,()sin sin 0f x x x =-=,又()f x 为偶函数,

()f x ∴的最大值为2,故④正确.综上所述,①④ 正确,故选C .

(2018全国3卷文)11.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若ABC ?的面积

为222

4

a b c +-,则C =( )

A .

2π B .3π C .4π D .6

π 【答案】C 【解析】2221sin 24ABC

a b c S ab C ?+-==

,而222

cos 2a b c C ab

+-= 故1

2cos 1sin cos 242ab C ab C ab C =

=,4

C π

∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理

(2018全国3卷文)6.函数()2tan 1tan x

f x x

=

+的最小正周期为( )

A .

4π B .2

π

C .π

D .2π 【答案】C

【解析】()()2222tan tan cos 1sin cos sin 2221tan 1tan cos x x x f x x x x x k x x x ππ???

====≠+ ?++??,22

T π

π=

=(定义域并没有影响到周期) (2018全国3卷文)4.若1

sin 3

α=,则cos2α=( )

A .

89 B .79 C .79- D .89

- 【答案】B

【解析】27

cos212sin 9

αα=-=

(2018全国2卷理)15. 已知,

,则

__________.

【答案】

【解析】分析:先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果. 详解:因为,

所以,

因此

点睛:三角函数求值的三种类型

(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;

②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.

(3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.(2018全国2卷理)10. 若在是减函数,则的最大值是

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析:先确定三角函数单调减区间,再根据集合包含关系确定的最大值

详解:因为,

所以由得

因此,从而的最大值为,选A.

点睛:函数的性质:

(1). (2)周期(3)由求对称轴,(4)由

求增区间;

由求减区间.

(2018全国2卷理)6. 在中,,,,则

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析:先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.

详解:因为

所以,选A.

点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.

(2018全国I 卷理)17.(12分)

在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=,45A ∠=,2AB =,5BD =. (1)求cos ADB ∠;

(2)若22DC =,求BC

解:(1)在ABD △中,由正弦定理得

sin sin BD AB

A ADB

=

∠∠. 由题设知,

52

sin 45sin ADB

=

?∠,所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知,90ADB ∠

=. (2)由题设及(1)知,2

cos sin 5

BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中,由余弦定理得

2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-???∠

225825225

=+-???

25=.

所以5BC =.

(2018全国I 卷理)16.已知函数()2sin sin2f x x x =+,则()f x 的最小值是_____________.

(2018全国I 卷文)16.(5分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知bsinC+csinB=4asinBsinC ,b 2+c 2﹣a 2=8,则△ABC 的面积为 .

【解答】解:△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . bsinC+csinB=4asinBsinC ,

利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC ,

由于sinBsinC≠0,

所以sinA=,

则A=

由于b2+c2﹣a2=8,

则:,

①当A=时,,

解得:bc=,

所以:.

②当A=时,,

解得:bc=﹣(不合题意),舍去.

故:.

故答案为:

(2018全国I卷文)11.(5分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,则|a﹣b|=()

A.B.C.D.1

【解答】解:∵角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,

终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,

∴cos2α=2cos2α﹣1=,解得cos2α=,

∴|cosα|=,∴|sinα|==,

|tanα|=||=|a﹣b|===.

故选:B.

(2018全国I卷文)已知函数f(x)=2cos2x﹣sin2x+2,则()

A .f (x )的最小正周期为π,最大值为3

B .f (x )的最小正周期为π,最大值为4

C.f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D .f (x )的最小正周期为2π,最大值为4

【解答】解:函数f (x )=2cos2x ﹣sin2x+2, =2cos2x ﹣sin2x+2sin2x+2cos2x , =4cos2x+sin2x ,

=3cos2x+1, =,

=

, 故函数的最小正周期为π, 函数的最大值为, 故选:B .

1(2017全国I 卷9题)已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ??=+ ??

?,则下面结论正确的是

()

A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度,得到曲线2C

B .把1

C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度,得到曲线2C

C .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π

6

个单位长度,得到曲线2C

D .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π

12

个单位长度,得到曲线2C 【答案】D

【解析】1:cos C y x =,22π:sin 23?

?=+ ??

?C y x

首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名,可将1:cos C y x =用诱导公式处理.

πππcos cos sin 222???

?==+-=+ ? ????

?y x x x .横坐标变换需将1=ω变成2=ω,

即112

πππsin sin 2sin 2224??????=+????????

?→=+=+ ? ? ??????

?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233???

???→=+=+ ? ????

?y x x .

注意ω的系数,在右平移需将2=ω提到括号外面,这时π4+

x 平移至π

3

+x , 根据“左加右减”原则,“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12,即再向左平移π

12

2 (2017全国I 卷17题)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC

△的面积为2

3sin a A

(1)求sin sin B C ;

(2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC △的周长.

【解析】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用.

(1)∵ABC △面积2

3sin a S A

=.且1sin 2S bc A =

21

sin 3sin 2

a bc A A = ∴22

3sin 2

a bc A =

∵由正弦定理得22

3sin sin sin sin 2A B C A =,

由sin 0A ≠得2

sin sin 3B C =.

(2)由(1)得2sin sin 3B C =,1

cos cos 6

B C =

∵πA B C ++=

∴()()1

cos cos πcos sin sinC cos cos 2

A B C B C B B C =--=-+=-=

又∵()0πA ∈,

∴60A =?,sin A =

1cos 2A =

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①

由正弦定理得sin sin a b B A =

?,sin sin a c C A

=? ∴2

2sin sin 8sin a bc B C A

=?= ②

由①②得

b c +=

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

∴3a b c ++=+ABC △周长为3

3. (2017·新课标全国Ⅱ卷理17)17.(12分)

ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2

sin()8sin 2

B A

C +=. (1)求cos B

(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

【命题意图】本题考查三角恒等变形,解三角形.

【试题分析】在第(Ⅰ)中,利用三角形内角和定理可知A C B π+=-,将

2

sin 8)sin(2

B C A =+转化为角B 的方程,思维方向有两个:①利用降幂公式化简2sin 2B ,

结合22sin cos 1B B +=求出cos B ;②利用二倍角公式,化简2

sin 8sin 2B B =,两边约去2sin B ,求得2tan B

,进而求得B cos .在第(Ⅱ)中,利用(Ⅰ)中结论,利用勾股定理和

面积公式求出a c ac +、,从而求出b . (Ⅰ) 【基本解法1】

由题设及2

sin

8sin ,2

B

B C B A ==++π,故 sin 4-cosB B =(1)

上式两边平方,整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 17

1(舍去),= 【基本解法2】

由题设及2sin

8sin ,2B B C B A ==++π,所以2sin 82cos 2sin 22B B B =,又02

sin ≠B ,所以4

12tan =B ,17152

tan 12tan 1cos 2

2

=+-=

B B

B (Ⅱ)由158cosB sin B 1717==得,故14

a sin 217

ABC S c B ac ?==

又17

=22

ABC S ac ?=,则

由余弦定理及a 6c +=得

2222

b 2cos a 2(1cosB)

1715362(1)

217

4

a c ac B

ac =+-=-+=-??+=(+c )

所以b=2

【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点,命题大多放在解答题的第一题,主要利用三角形的内角和定理,正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题,解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”,另外要注意2

2

,,a c ac a c ++三者的关系,这样的题目小而活,备受老师和学生的欢迎.

4 (2017全国卷3理)17.(12分)

ABC ?的内角A ,

B ,

C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 0A A =,a =,2b =. (1)求c ;

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

(2)设D 为BC 边上一点,且AD AC ⊥,求ABD △的面积.

【解析】(1)由

sin 0A A +=得π2sin 03A ?

?+= ??

?,

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

即()π

π3A k k +=∈Z ,又()0,πA ∈,

∴ππ3A +=,得2π3

A =.

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-?.又∵1

2,cos 2

a b A ===-代入并整理

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

得()2

125c +=,故4c =.

(2)∵

2,4AC BC AB ===,

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

. ∵AC AD ⊥,即ACD △为直角三角形, 则cos AC CD C =?,得

CD =

由勾股定理

AD =

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

又2π3A =

,则2πππ326DAB ∠=-=, 1π

sin 26

ABD

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

S AD AB =??=△

5 (2017全国卷文1)14 已知π(0)2

a ∈,,tan α=2,则π

cos ()4α-=__________。

【答案】

10

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

(法一) 0,2πα??

∈ ???

,sin tan 22sin 2cos cos ααααα=?=?=,

又22sin cos 1

αα+=,解得sin α=,cos α=,

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

cos (cos sin )4210πααα??∴-=+= ??

?. (法二))sin cos (2

2

)4cos(ααπ

α+=

-

21cos sin cos 42πααα?

?∴-=+ ??

?.又 tan 2

α=

222

sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα∴=

==++,29cos 410

πα??∴-= ???,

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

由0,2πα??∈ ???知444πππα-<-<,cos 04πα??∴-> ???,故cos 410πα??-= ??

?

6.(2017全国卷2 文) 3.函数π

()sin(2)3

f x x =+的最小正周期为 A.4π B.2π C. π D.π2

【答案】C 【解析】由题意22

T π

π=

=,故选C. 【考点】正弦函数周期

【名师点睛】函数sin()(A 0,0)y A x B ω?ω=++>>的性质 (1)max min =+y A B y A B =-,. (2)周期2.T π

ω

=

(3)由 π

π()2x k k ω?+=+∈Z 求对称轴 (4)由ππ

2π2π()

22

k x k k ω?-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由

π3π2π2π()22

k x k k ω?+≤+≤+∈Z 求减区间;

7(2017

全国卷

2

文)13.函数

()2cos sin f x x x =+的最大值

为 .

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

8(2017全国卷2文)16.ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若

2cos cos cos bc B a C c A =+,则B =

【答案】

3

π

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

9(2017全国卷3文) 4.已知4

sin cos 3

αα-=

,则sin 2α=( ) A .79

-

B .29

-

C .

29

D .

79

【答案】A

历年全国卷高考数学真题汇编(教师版)

10 (2017全国卷3文)6.函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x ?6

π

)的最大值为( )

A .65

B .1

C .35

D .15

相关文档
  • 全国卷高考数学真题

  • 高考数学真题全国卷

  • 高考数学全国卷真题

  • 高考数学专题汇编

  • 历年高考数学真题汇编

  • 高考数学全国卷理科

相关推荐: