概率论中几种具有可加性的分布及其关系

概率论中几种具有可加性

的分布及其关系

Prepared on 22 November 2020

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

A b s t r a c t (1)

K e y w o r d s (1)

引言 (1)

1几种常见的具有可加性的分布 (1)

二项分布 (2)

泊松分布（Possion分布） (3)

正态分布 (4)

伽玛分布 (6)

柯西分布 (7)

卡方分布 (7)

2具有可加性的概率分布间的关系 (8)

二项分布的泊松近似 (8)

二项分布的正态近似 (9)

正态分布与泊松分布间的关系 (10)

正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11)

3小结 (12)

参考文献 (12)

致谢 (13)

概率论中几种具有可加性的分布及其关系

摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论.

关键词概率分布可加性相互独立特征函数

SeveralKindsofProbabilityDstributionanditsRelationshipwithAdd

itive

'scentrallimittheorem,andsoon,hascarriedonthedifferentlevelsofdiscussion.

KeyWords probabilitydistributionadditivitypropertymutualindependencecharacteristicfunction

引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等.

1几种常见的具有可加性的分布

在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]：

①离散场合的卷积公式设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是

n k a k P k ,1,0,)(⋅⋅⋅===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ⋅⋅⋅===ξ则ξζϑ+=的概率分布列可表示为

②连续场合的卷积公式设连续型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的密度函数分别是

)(),(y f x f ξζ，则它们的和ξζϑ+=的密度函数如下 其证明如下：

ξζϑ+=的分布函数是dxdy y f x f z f z F z

y x )()()()(ξζϑξζ⎰⎰≤+=

≤+=

其中)(x F ζ为ζ的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到ξζϑ+=的密度函数：

.)()()(dx x z f x f f f z f -⋅=⋅=⎰

+∞

∞

-ξζξζϑ即证.

在概率分布可加性的证明中，除了卷积公式，我们常用的证明方法还有利用随机变量的特征函数.

下面我们来讨论一下这几种具有可加性的分布及其可加性证明的过程中卷积公式和特征函数的应用. 二项分布

二项分布),(p n B 的概念

如果记ζ为n 次伯努利试验中成功（记为事件A ）的次数，则ζ的可能取值为0，1，2，……，n.记p 为事件A 发生的概率，则,)(p A p =(p A ),1p -=记为.q 即.1p q -=

因n 次伯努利试验的基本结果可以记作=（w 1,w 2，…n ），w i 或为A 或为A ,这样的w 共有2n 个，这2n 个样本点w 组成了样本空间Ω.

下求ζ的分布列，即求事件{ζk =}的概率.若某个样本点=（w 1,w 2，…n ）∈{k =ζ}，意味着w 1,w 2，…n 中有k 个A ，k n -个A ，由独立性即可得:P (ζ).)1(k n k p p --=

而事件{ζ=k }中这样的w 共有⎪⎭

⎫

⎝⎛n k 个，所以ζ的分布列为

)(k P =ζ=⎪⎭

⎫ ⎝⎛n k p k

（1-p ）k n -，.,1,0n k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

此分布即称为二项分布，记作),(~p n B ζ.且我们易验证其和恒为.1.也就是

k

n k n

k n k p p -=-⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑)1(0=[]n p p )1(-+1=. n=1时，二项分布),(p n B 称为两点分布，有时也称之为10-分布. 二项分布的图像具有以下特点：

①二项分布的图像形状取决于n 和p 的大小，随着p 的增加，分布图高峰逐渐右移. ②当5.0=p 时，图像是对称的. 二项分布的可加性

定理设),,(~),,(~p m B p n B ξζ而且ξζ,相互独立，记,ξζϑ+=则有

).,(~p m n B +ϑ

证明因,ξζϑ+=所以易知ϑ可以取m n +⋅⋅⋅2,1,0等1++m n 个值.根据卷积公式

)1(，事件{

}k =ϑ的概率可以表示为 又因.0⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∑m n k m i k k

i n i 所以

也就是说，).,(~p m n B +ϑ即证！ 泊松分布(Possion 分布)