概率论中几种具有可加性的分布及其关系

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1 几种常见的具有可加性的分布 (1)1.1 二项分布 (2)1.2 泊松分布（Possion分布） (3)1.3正态分布 (4)1.4 伽玛分布 (6)1.5 柯西分布 (7)1.6 卡方分布 (7)2 具有可加性的概率分布间的关系 (8)2.1 二项分布的泊松近似 (8)2.2 二项分布的正态近似 (9)2.3 正态分布与泊松分布间的关系 (10)2.4 正态分布与柯西分布、卡方分布及卡方分布与伽玛分布的关系 (11)3 小结 (12)参考文献 (12)致谢 (13)概率论中几种具有可加性的分布及其关系摘要概率论与数理统计中概率分布的可加性是一个十分重要的内容.所谓分布的可加性指的是同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布.结合其特点，这里给出了概率论中几种具有可加性的分布：二项分布，泊松分布，正态分布，柯西分布，卡方分布以及伽玛分布.文章讨论了各类分布的性质及其可加性的证明，这里给出了证明分布可加性的两种方法，即利用卷积公式和随机变量的特征函数.除此之外，文章就可加性分布之间的各种关系，如二项分布的泊松近似，棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理等，进行了不同层次的讨论.关键词概率分布可加性相互独立特征函数Several Kinds of Probability Dstribution and its Relationship withAdditiveAbstract Probability and mathematical statistics in the probability distribution of additivity is a very important content.The distribution of the so-called additivity refers to the distribution of the same kind of independent random variables and distribution are still belong to this kind of bined with its characteristics, here given several has additivity distribution in probability theory: the binomial distribution, poisson distribution and normal distribution and cauchy distribution, chi-squaredistribution and gamma distribution.Article discusses the nature of all kinds of distribution and itsproof of additivity, additive of proof distribution are also given two methods, namely using convolution formula and characteristic function of a random variable. In addition, this paper the relationships between the additive property distribution, such as the binomial distribution of poisson approximation,Di mo - Laplace's central limit theorem, and so on, has carried on the different levels of discussion. Key Words probability distribution additivity property mutual independence characteristic function引言概率论与数理统计是研究大量随机现象的统计规律性的学科，在概率论与数理统计中，有时候我们需要求一些随机变量的和的分布，在这些情形中，有一种求和类型比较特殊，即有限个相互独立且同分布的随机变量的和的分布类型不变，这一求和过程称为概率分布的“可加性”.概率分布中随机变量的可加性是一个相当重要的概念，本文给出了概率论中常见的六种具有可加性的分布，包括二项分布，泊松分布，正态分布，伽玛分布，柯西分布和卡方分布.文章最后讨论了几项分布之间的关系，如二项分布的泊松近似，正态近似等等.1 几种常见的具有可加性的分布在讨论概率分布的可加性之前，我们先来看一下卷积公式和随机变量的特征函数,首先来看卷积公式[1]：①离散场合的卷积公式 设离散型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的分布列分别是n k a k P k ,1,0,)(⋅⋅⋅===ζ和.,,1,0,)(n k b k P k ⋅⋅⋅===ξ则ξζϑ+=的概率分布列可表示为.2,1,0,)()()(0⋅⋅⋅==-====-==∑∑k b a i k P i P k P i k ki i ki ξζϑ②连续场合的卷积公式 设连续型随机变量ξζ,彼此独立，且它们的密度函数分别是)(),(y f x f ξζ，则它们的和ξζϑ+=的密度函数如下.)()()(dx x z f x f f f z f -⋅=⋅=⎰+∞∞-ξζξζϑ )2(其证明如下：ξζϑ+=的分布函数是dxdy y f x f z f z F zy x )()()()(ξζϑξζ⎰⎰≤+=≤+={}dx x f dy y f xz )()(ζξ⎰⎰+∞∞--∞-=.)()(dx x f x z F ζξ-=⎰+∞∞-其中)(x F ζ为ζ的分布函数，对上式两端进行求导，则可得到ξζϑ+=的密度函数： .)()()(dx x z f x f f f z f -⋅=⋅=⎰+∞∞-ξζξζϑ 即证.在概率分布可加性的证明中，除了卷积公式，我们常用的证明方法还有利用随机变量的特征函数.下面我们来讨论一下这几种具有可加性的分布及其可加性证明的过程中卷积公式和特征函数的应用. 1.1 二项分布1.1.1 二项分布),(p n B 的概念如果记ζ为n 次伯努利试验中成功（记为事件A ）的次数，则ζ的可能取值为0，1，2，……，n.记p 为事件A 发生的概率，则,)(p A p =(p A ),1p -=记为.q 即.1p q -=因n 次伯努利试验的基本结果可以记作 ѡ=（w 1,w 2，…ѡn ），w i 或为A 或为A ,这样的w 共有2n 个，这2n 个样本点w 组成了样本空间Ω.下求ζ的分布列，即求事件{ζk =}的概率.若某个样本点 ѡ=（w 1,w 2，…ѡn ）∈{k =ζ}，意味着w 1,w 2，…ѡn 中有k 个A ，k n -个A ，由独立性即可得:P (ζ).)1(k n k p p --=而事件{ζ=k }中这样的w 共有⎪⎭⎫⎝⎛n k 个，所以ζ的分布列为)(k P =ζ=⎪⎭⎫ ⎝⎛n k p k（1-p ）k n -，.,1,0n k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=此分布即称为二项分布，记作),(~p n B ζ.且我们易验证其和恒为.1.也就是kn k nk n k p p -=-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑)1(0=[]n p p )1(-+1=. n=1时，二项分布),(p n B 称为两点分布，有时也称之为10-分布. 二项分布的图像具有以下特点：①二项分布的图像形状取决于n 和p 的大小，随着p 的增加，分布图高峰逐渐右移. ②当5.0=p 时，图像是对称的. 1.1.2 二项分布的可加性定理 1.1.1设),,(~),,(~p m B p n B ξζ而且ξζ,相互独立，记,ξζϑ+=则有).,(~p m n B +ϑ证明 因,ξζϑ+=所以易知ϑ可以取m n +⋅⋅⋅2,1,0等1++m n 个值.根据卷积公式)1(，事件{}k =ϑ的概率可以表示为 )()()(0i k P i P k P ki -====∑=ξζϑi k m i k mi k i n i ki n i p p p p +----=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑)1()1(0.)1(0⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+∑m i k ki n i km n k p p 又因.0⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∑mn k m i k ki n i 所以.,1,0,)1()(m n k p p k P k m n km n k +⋅⋅⋅=-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-++ϑ也就是说，).,(~p m n B +ϑ即证！ 1.2 泊松分布(Possion 分布)与二项分布一样，泊松分布也是一种离散分布，许多随机现象，特别是社会现象与物理学中的一些随机现象都服从于泊松分布.泊松分布可作为描述大量试验中稀有事件出现次数的概率分布的数学模型. 1.2.1 泊松分布的概率分布列泊松分布的概率分布如下所示： 2,1,0,!)(===-k e k k P kλλζ…，其中λ大于0，记作)(~λζP .对于泊松分布而言，它的参数λ即是期望又是它的方差：λλλλλλλλλλ==-==-+∞=---+∞=∑∑e e k eek kE k k k k11)!1(!)(.又因， λλλλλ-+∞=-+∞=∑∑-==e k kek kE k kkk 1022)!1(!)( =[]λλ-+∞=-+-∑e k k kk )!1(1)1(1=∑∑+∞=--+∞=---+-11222)!1()!2(k k k k k e k eλλλλλλ=λλ+2故ζ的方差为22))(()()(ζζζE E Var -==λλλλ=-+22 1.2.2泊松分布的可加性定理 1.2.1 设随机变量)(~),(~2211λζλζP P ，且21,ζζ相互独立，则).(~2121λλζζ++P 证明 此处⋅⋅⋅=====--,2,1,0,!)(,!)(212211k e k k P ek k P k k λλλζλζ根据卷积公式)1(，有 21)!(!)(20121λλλλζζ---=-⋅==+∑e i k ei k P i k ki iik i ki i k i k k e -=+-∑-=210)()!(!!!21λλλλ .,1,0,!)()(2121⋅⋅⋅=+=+-k e k k λλλλ 所以).(~)(2121λλζζ++P 即证！同样我们可以利用特征函数对其进行证明，此处不再赘述. 1.3 正态分布1.3.1 正态分布的定义[6]定义1.3 对于已经给定的两个常数μ和σ>0，定义函数222/)(,21)(σμσμπσ--=x e x p ),(+∞-∞∈x )1( 它含有两个参数μ和σ.显然的，)(,x p σμ取正值.我们称密度函数为)(,x p σμ的分布为正态分布，记作),(2σμN ，它的分布函数记为dt ex F xt ⎰∞---=222)(,21)(σμσμπσ ),(+∞-∞∈x正态分布的密度函数的图像是一条钟形曲线，中间高两边低，而且关于μ=x 对称，在此处)(,x p σμ取最大值.21πσ我们称μ为该正态分布的中心，在μ=x 附近取值的可能性比较大，在σμ±=x 处有拐点.若将μ固定，改变σ的取值，则σ越大，曲线峰顶越低，图像较为平坦；σ越小，曲线封顶越高，图像较为陡峭.因此正态密度函数的尺度由σ确定，故称σ为尺度参数.同样的，将σ固定，而去改变μ的值，会发现图像沿x 轴平移而并不改变形状，也就说明该函数的位置由μ决定，故称其为位置参数.当1,0==σμ时的正态分布称为标准正态分布，记作)1,0(N .它的密度函数记为)(u ϕ，分布函数记为)(u Φ.则有),(,21)(2/2+∞-∞∈=-u e u u πϕ),(,21)(2/2+∞-∞∈=Φ⎰∞--u dt e u utπ1.3.2 一般正态分布的标准化对于正态分布族{},0),,(;),(2>+∞-∞∈=℘σμσμN标准正态分布)1,0(N 只是其中一个成员.其实在应用中很少有随机变量恰好服从标准正态分布，可是一般正态分布均可以利用线性变换转变成标准正态分布.所以一切与正态变量有关的事件的概率均可通过标准正态分布分布求取.定理1.3.1 如果随机变量),(~σμN Y ，则)1,0(~/)(N Y X σμ-=，其中X 为标准正态变量.证明 记Y 与X 的分布函数分别为)(y F Y 和)(x F X ，易知).()()()(x F x Y P x Y P x X P x F Y X σμσμσμ+=+≤=⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤-=≤=因为正态分布函数严格递增而且处处可导，所以如果记Y 和X 的密度函数分别是)(y p Y 和)(x p X ，会有,21)()()(2/2μπσσμσμ-=⋅+=+=e x p x F dx d x p Y Y X 由此即得，).1,0(~N Y X σμ-= 即证. 对于标准正态随机变量),1,0(~N X X 的数学期望为,21)(2/2dx xe X E x ⎰+∞∞--=π 因被积函数2/2)(x xex h -=为奇函数，故上述积分值为0，也就是说.0)(=X E而对于一般正态变量),(~2σμN Y ，如果满足X Y σμ+=，由数学期望的线性性质则可得到.0)(μσμ=⨯+=Y E所以我们可以知道正态分布),(2σμN 的数学期望即为其参数μ. 因为dx e x X E X E X Var x ⎰+∞∞--=-=2/222221))(()()(π⎰+∞∞---=)(212/2x e xd π}{⎰+∞∞--∞+∞--+-=dx e xe x x 2/2/22|21π.1221212/2===⎰+∞∞--πππdx e x 且X Y σμ+=,由方差的性质.)()(2σσμ=+=x Var Y Var也就是说，正态分布的方差即是其另一个参数.2σ 1.3.3 正态分布的可加性定理1.3.2 设随机变量而且X 和Y 彼此独立，且),,(~),,(~222211σμσμN Y N X 则有。