六年级下册数学试题-小升初数学典型应用题—21方阵问题(解析版)全国通用
21 方阵问题【精品】
【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例 1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行 22 人，参加体操表演的同学一共有多少人？
解22×22＝484（人）
答：参加体操表演的同学一共有 484 人。
例 2 有一个 3 层中空方阵，最外边一层有 10 人，求全方阵的人数。
解10×10－（10－3×2）×（10－3×2）＝84（人）
答：全方阵 84 人。
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例 3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是 52 人，最内层人数是28 人，这队学生共多少人？
解（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
答：这队学生共 160 人。
例 4 一堆棋子，排列成正方形，多余 4 棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少 9 只棋子，问有棋子多少个？
解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有 40 只。
例 5 有一个三角形树林，顶点上有 1 棵树，以下每排的树都比前一排多 1 棵，最下面一排有 5 棵树。
这个树林一共有多少棵树？
解第一种方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：这个三角形树林一共有 15 棵树。
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小学数学广角专题10.方阵问题_通用版
小学数学广角专题10.方阵问题_通用版夯实基础1.在一个正方形花坛的四周栽树，要求4个顶点各栽1棵，每边只栽10棵，共栽了（）棵树．A.36B.32C.48D.40【答案】A【解析】试题分析：此题可以看做是空心方阵问题，四周点数=每边点数×4﹣4，由此即可解答．解：10×4﹣4=36（棵），答：一共栽了36棵树．故选：A．2.一队学生围成一个正方形，每边站了12人（四个顶点都有人），共有（）名学生．A.44B.48C.52D.40【答案】A【解析】试题分析：因为每个顶点处的人数在每条边上重复相加，所以最外层人数=每边人数×4﹣4，由此即可解答．解：12×4﹣4，=48﹣4，=44（人），答：共有44人．故选：A．3.一个正方形平顶天花板上每边要装20盏彩灯，一共需要（）盏彩灯．A.40B.76C.44D.50【答案】B【解析】试题分析：这个问题可以看做是空心方阵问题：根据四周点数之和=每边点数×4﹣4即可计算所需要的彩灯盏数．解：20×4﹣4=76（盏），答：一共需要76盏灯．故选：B．4.王大伯在正方形鱼塘的四周栽树，每边栽5棵，王大伯最少能栽棵，最多能栽棵．【答案】16，20．【解析】试题分析：要使植树的棵数最少，那么四个顶点都栽树，则植树棵数=每边植树棵数×4﹣4；要使植树的棵数最多，那么四个顶点都不栽，则栽树棵数=每边栽树棵数×4，据此计算即可解答．解：植树的棵数最少是：5×4﹣4=20﹣4=16（棵）植树的棵数最多是：5×4=20（棵）答：王大伯最少能栽16棵，最多能栽20棵．故答案为：16，20．5.在一个正方形操场的四周插上红旗，4个角上也插上红旗，如果每条边上插15面，那么四周一共插了面红旗．【答案】56【解析】试题分析：每一边上都插了15面红旗，那么15×4=60（面），其中四个角的红旗重复加了一次，所以要减去，即可得出红旗的总面数．解：15×4﹣4，=60﹣4，=56（面），答：四周一共插了56面红旗．故答案为：56．6.36个同学围成一个正方形，相邻两人之间的距离相等．每条边上站了人．【答案】10【解析】试题分析：因为围成一个封闭图形，所以间隔数等于总人数36个，因为是正方形，所以每边上有36÷4=9个间隔，则每边上的人数等于间隔数加1即可解答．解：36÷4+1，=9+1，=10（个）．答：每边上站了10人．故答案为：10．7. 一个正方形游泳池的四周要安装护栏，每边安装10根，每个顶点都要安装，一共要安装多少根？【答案】36根【解析】试题分析：每个边上安装10根，一共是4个边，所以是10×4根，但是四个顶点的被计算了2次，所以再减去4就是一共要安装的根数。
小学数学典型应用题解析：21 方阵问题
21 方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝（外边人数）－（内边人数）内边人数＝外边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解 22×22＝484（人）答：参加体操表演的同学一共有484人。
例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解 10*10－（10－3×2）*（10－3×2）＝84（人）答：全方阵84人。
例3 有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？解（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）答：这队学生共160人。
例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）答：棋子有40只。
例5 有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。
小学数学典型应用题16：方阵问题(含解析)
小学数学典型应用题16：方阵问题（含解析）方阵问题【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）。
根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周人数÷4＋1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数＝（每边人数－层数）×层数×4解题思路和方法方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。
那么参加团体操表演的运动员一共有多少人？解：1、要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。
2、一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。
所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。
例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？解法1：1、本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。
2、方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。
知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。
最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。
小学数学《方阵问题》
小学数学《方阵问题》方阵问题[含义]将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
[数量关系](1)方阵每边人数与四周人数的关系:四周人数=(每边人数-1)x4每边人数=四周人数÷4+1(2)方阵总人数的求法:实心方阵:总人数=每边人数x每边人数空心方阵:总人数=(外边人数)-(内边人数)内边人数=外边人数-层数x2(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则:总人数=(每边人数-层数)x层数x4[解题思路和方法]方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?解22x22=484(人)答:参加体操表演的同学一共有484人。
例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解10*10-(10-3x2)*(10-3x2)=84(人)答:全方阵84人。
练习题1.同学们围成一个正方形做游戏，每边站20人，四个顶点都有人，最外圈一共有()人.A. 72B.76C.802.一个8x8的方阵(每列8人，有8列)，如果想增加两行、两列，排成一个10x10的方阵，那么需要增加()人。
A.32B. 36C.40D.443.王大爷在一个正方形鱼池边上植树，每隔4米种一棵，每边等距离植10棵树(四个角上都植有树)，鱼池的一周长()米。
A.160B.156C.164D.1444.四年级同学举行队列表演，共组成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。
最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿红色运动服。
一共要准备()套红色运动服。
A.80B.64C. 36D. 165.若干名学生排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么，原有学生()人.A.902B.136C.240D.3606.一张正方形餐桌配4把椅子，一张圆形餐桌配6把椅子，某饭店买了5张正方形餐桌配把椅子，又买了4张圆形餐桌配-_把椅子，两次一共配了____把椅子。
(模块化思维提升)专题6-方阵问题-小升初数学思维拓展典型应用题专项训练(人教版)
专题6-方阵问题小升初数学思维拓展典型应用题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、方阵问题。
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题．2、数量关系。
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数=（每边人数-1）×4每边人数=四周人数÷4+1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数=每边人数×每边人数空心方阵：总人数=（外边人数）2-（内边人数）2内边人数=外边人数-层数×2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数=（每边人数-层数）×层数×4．【典例一】为庆祝“六一”儿童节，城东小学四年级同学举行队列表演，他们排成2个“77⨯”的方阵。
每个方阵中，外两圈同学穿黄色运动服，其余同学穿红色运动服。
最少需要准备套黄色运动服，套红色运动服。
【答案】80；18。
【分析】每个方阵的最外层一共有4个边，每边有7人，共4层，然后根据总点数=每边点数⨯每边点数求出总方阵的人数和内2层的人数，再进一步解答即可。
【解答】解：（1）7749⨯=（人)(722)(722)--⨯--=⨯33=（人)9⨯=（人)9218-=（人)49940⨯=（人)40280答：最少需要准备80套黄色运动服，18套红色运动服。
故答案为：80；18。
【点评】此题考查了方阵问题中：总点数=每边点数⨯每边点数的灵活应用。
【典例二】运动会上，四年级同学组成了四个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人。
每个方阵最外面一圈的同学穿黄色表演服，其余同学穿红色表演服，这两种颜色的表演服各多少件？【答案】黄色表演服80件，红色表演服64件。
【分析】用6乘6求出每个方队的总人数，然后用64⨯减去4求出最外圈穿黄色表演服的人数；再和每个方队的总人数相减求出穿红色表演服的人数。
最后再用每个方队中红、黄的衣服人数分别乘4，求出4个方队中两种颜色的表演服的件数即可。
44方阵问题(思维拓展专项练习)小升初数学专项培优(通用版含解析)
方阵问题（思维拓展提高卷）六年级下册小升初数学专项培优卷（通用版）一．选择题（共20小题）1．学校体操队表演，需要排成5×5的方阵，则整个方阵的最外层一共有（）名同学。
A．16B．17C．18D．192．学校体育队排成一个方阵表演《中国功夫》，最外层的人数是48人，方阵外层每边有（）人．A．11B．12C．133．元旦节，学校举行诗歌朗诵比赛．五（2）班学生排成一个方阵，最外层每边站7名学生，最外层一共有（）名学生．A．28B．32C．244．在一个正方形场地四周植树，四个顶点各植1棵，这样每边各有24棵树，场地四周共植（）棵树．A．96B．92C．885．在一个正方形场地四周种树，四个角都种一棵，这样每边都种有24棵，四周共种（）棵。
A．92B．96C．1006．边长为5m的正方形花坛，在它四边每隔1m摆一盆花（四个角都摆），一共要摆（）盆。
A．16B．20C．24D．287．王大爷在一个正方形鱼池边上植树，每隔4米种一棵，每边等距离植10棵树（四个角上都植有树），鱼池的一周长（）米。
A．160B．156C．164D．1448．在一个正方形场地四周种树，四个顶点都种1棵树，这样每边都种24棵，四周共种树（）棵。
A．96B．88C．92D．999．在一个正方形场地四周插上红旗，四个点都插了红旗，这样每边可插24面红旗，四周共插红旗（）面。
A．96B．88C．9210．在一个五边形的边上摆放花盆，每边放5盆花，至少可以放（）盆花。
A．15B．20C．25D．3011．一个长方形方阵，每列站8人，这个方阵最外层站（）人。
A．32B．64C．2812．40名学生围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有（）名学生。
A．9B．10C．1113．小明用棋子摆了一个正方形的方阵，最外层共有32枚棋子，摆这个方阵一共用了（）枚棋子。
A．49B．64C．81D．10014．学校健美操队员排成6×6的方阵（每列6人，有6列），如果想增加两行。
六年级下册数学试题 方阵问题专项训练 山东地区 人教新课标()(含答案)-word文档
小升初典型问题分类：方阵问题一、填空题（共3题；共4分）1.同学们做操，排成方形的队伍，无论从前数、从后数，还是从左数、从右数，小红都是第5个，这队伍共有________人？2.，按这个规律，第6个图形共有________个小圆点，第n个图形共有________个小圆点。
3.有一个正方形的池塘，四个角上都栽一棵树，如果每边栽7棵树，四边一共栽________ 棵树．二、应用题（共15题；共75分）4.学校体育队的同学排成一个方阵表演“中国功夫”，最外一层的人数是60人，方阵最外一层每边有多少人?一共有多少人?5.大庆路小学启智楼前摆放了一个方阵花坛．这个花坛的最外层每边各摆放8盆花，最外层共摆了多少盆花？这个方阵花坛共有多少盆花？6.2009年10月1日，为庆祝新中国60华诞，天安门广场举行了盛大的阅兵仪式，共有56个方队通过天安门广场接受祖国和人民的检阅．其中徒步方队12个，每个方队有14行，每行25人．徒步方队一共有多少人？7.全校学生排成5个方阵做操，每个方阵有8行，每行有10人，5个方阵一共有多少人？8.在第五届运动会上，红星小学组成了一个大型方块队，方块队最外边每边30人，共有10层，中间5层的位置由20个同学抬着这次运动会的会徽，这个方块队共由多少个同学组成？9.设计一个团体操表演队形，想排成6层的中空方阵，已知参加表演的有360人，求最外层每边应安排多少人？10.教室里有很多桌子，都整齐地排列着，每列桌子数相等，每排的桌子数相等，小秋的桌从前面数第3张，从后面数第4张，他的左边有3张，右边有1张，小秋的教室一共有多少张？11.共有960名男生站成一个三层的空心方阵，问：中间一层每边有多少人？12.同学们表演团体操表演，排成一个方阵，每行20人，一共排了20行，最外层有多少人，整个方阵一共多少人？13.要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有5盆花，最少需要几盆花？14.战成方队军训最外边站了12人，最外层一共有多少人？参加军训的一共有多少学生？15.同学们用小红花排成了一个四层空心方阵，最外层每边12朵，共有红花多少朵？16.四年级共选49位同学参加校运会开幕式，他们排成一个方阵．这个方阵的最外层一共有多少人？17.涧小举行艺体节队列表演，共4个方队，每个方队排成8行，每行8人，最外圈的同学穿红色运动服，其余同学穿绿色运动服．一共要准备两种颜色的运动服各多少套？（提示：画一个方队点子图帮助理解）18.一群人排成n×n的方阵，最外3层共有120人，求n的数值．答案解析部分一、填空题1.【答案】81【解析】【解答】5+4=9这队伍有9×9=81(人)故答案为：81【分析】因为从左数、右数都是第5个，那么这个方阵共有5+4=9排，每排有9人，用每排的人数乘排数即可求出总人数.2.【答案】19；3n+1【解析】【解答】解：第6个图形：6×3+1=19(个)，第n个图形：n×3+1=3n+1(个)故答案为：19；3n+1【分析】规律：小圆点的个数=图形个数×3+1，按照这样的规律计算或用字母表示这个规律即可.3.【答案】24【解析】【解答】解：7×4﹣4=28﹣4=24（棵）答：四边一共种了24棵．故答案为：24．【分析】四周植树时，如果每个角处都植树，那么正好围成了一个空心方阵，此时四周点数之和=每边点数×4﹣4，由此即可解答．二、应用题4.【答案】60÷4+1=16(人)，16×16=256(人)，答：方阵最外一层每边有16人，一共有256人。
人教版六年级下册小升初典型问题分类：方阵问题数学试卷
人教版六年级下册小升初典型问题分类：方阵问题数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的！一、填空题1 . 庆祝“六一”儿童节的会场上有三种颜色的花．黄花比红花少朵．黄花有朵．蓝花的朵数是红花的倍，蓝花朵．2 . 在一条马路的两边挂彩灯，每两盏彩灯之间都相距4分米，两端都挂彩灯共挂1002盏，这条马路长________3 . 找规律，再接着画3个图形。
（1）____、_____、______。
（2）□○△□○△□○△□○△____、_____、______。
二、解答题4 . 小王在银行存款200元，小李存150元，以后每月小王存10元，小李存20元，几个月后两人存款同样多？5 . 甲筐梨的重量是18千克的，乙筐梨重量的是40千克，甲筐梨的重量是乙筐梨重量的百分之几？6 . 有甲、乙两桶油，用甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给甲桶，这时两桶油都是千克，原来甲桶中有多少千克油？7 . 找规律，画一画，再解决问题。
（1）请画出第4个图形。
（2）第10个图形共有多少个小三角形？第n个图形共有多少个小三角形？8 . 用餐之后，你和外国小伙伴聊起了官渡之战的故事，并玩起了模拟战争的游戏．现在请你用自己的智慧来解决一些战争游戏中的数学问题吧！古代行军，粮草非常关键．士兵一般会随身携带一些干粮，以保证 5-10 天时间的作战需要．1．请你计算 A 和 B，在答题卡上将 A 和 B 处的数字填写出来．2．大规模作战常涉及到大量军粮的消耗，假设你是曹军的粮草官，你供给的粮草需要能支持曹军 2 万名士兵3 个月的作战时间．请问你大约会为官渡之战准备多少干粮？A．22000000kg C．1100000 kg B．2200000kg D．220000 kg3.曹操佯攻延津，吸引袁军兵力，关羽阵斩颜良，从而解了白马之围．已知延津在白马西南方 34.5km处．请问延津是右图中的哪个地点？A.甲地 C．丙地 B．乙地 D．丁地假设你穿越到三国时代担任大军的前锋统领．每天辰时（早上 7 点整）全军准时出发行军，你的任务是率领前锋部队快速前进并建成营地（已知建立营地需要 2 小时），等候大军在天黑前到来会合，入驻营地．4. 今天，全军的行军任务是 48km，天黑时间是酉时（下午 5 点）．为保证全军顺利会合，大军和前锋部队的行军速度分别至少要达到多少？请列式进行汁算．5.第二天，你的前锋部队以 5km/h 的速度行军，大军以 3km/h 的速度行进．你在离出发点10km 的地方发现敌情，立即派出一队士乓往回通报大军，请问这队士兵大约将几点与大军相遇？请列式进行计算．6.第三天，你的前锋部队搭建了一个营地，范围如下图曲线所示．每个小格子的宽度为 100m．请你利用方格估算营地面积，并计算估算的过程．7.官渡之战后曹操组建了威名远震的骑兵部队——虎豹骑．已知骑兵冲锋常用锥形阵．其阵如下图所示．由图可以看到，锥形阵可以被看成一个等腰三角形和—个矩形的组台．假如沿着阵型实线边界，每 4 米布置一个骑兵 3 人小组，军阵的内部区域不站骑兵，请问此图表示的阵中有多少名骑兵？请列式进行计算．8.假如此阵需要增加 420 名骑兵，这些骑兵将放在 AB、CD 两条线段上使它们更长，请问此时军阵所围的区域面积是多少？请列式进行计算．9.军阵的移动可以看成平移和旋转两种运动方式的组合．如图所示，每—格的宽度代表 200 米．有一列军阵向南平移了 0.8千米，向西平移了 0.6 千米，并以 O 点为中心顺时针旋转90°后到达到了如图位置．请在答题卡的方格纸上画出军阵移动前的位置．9 . 木工师傅要把一根 1.4米长的木头平均锯成7段，每锯一次要9分钟，锯完一共需要多少分钟？10 . A港和B港相距662千米，上午9点一艘“名士”号快艇从甲港开往乙港，中午12点另一艘“日立”号快艇从乙港开往甲港，到16点两艇相遇，“名士”号每小时行54千米，“日立”号的速度比“名士”号快多少千米？11 . 2018年10月24日上午9点，总长55公里的港珠澳大桥顺利通车运行啦！大桥开通后,从香港到珠海、澳门陆路车程由3.5小时缩短至约45分钟。
【课后延时】小学数学专项《应用题》经典方阵问题基本知识-4星题(含解析)全国通用版
应用题-经典应用题-方阵问题基本知识-4星题课程目标知识提要方阵问题基本知识•概述在日常生活中，我们常把人或物排成正方形的形状，在数学上我们把研究这样的问题称为方阵问题。
在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵，也叫中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵，也叫中空方阵。
•实心方阵的特点总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数•空心方阵的特点总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数−层数）×层数×4奇数层：总人数=中间层总数×层数偶数层：总人数=（外层+内层）×层数÷2若最外层每边有a人，内部虚方阵每边有b人，则空心方阵共有(a2−b2)人。
•变化规律相邻两边之间相差2；相邻两层之间相差8；每层人（或物）数=每边人（或物）数×4−4 =[每边人（或物）数−1 ] ×4精选例题方阵问题基本知识1. 五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好可以填满丙方阵的空心，那么，五年级参加广播操比赛的一共有人．【答案】260【分析】根据题意，乙方阵加上两个甲方阵的人数128人可以构成实心的丙方阵，且丙方阵每边人数比乙方阵多4人，所以由(b+4)2−b2=128，得到：4×(2×b+4)=128，所以b＝14，因此乙方阵每边人数14人，五年级一共有14×14+8×8=260（人）．2. 有一些人组成2个正方形方阵，2个正方形方阵之间相差97个人，那么这2个正方形方阵一共有人．【答案】4705【分析】假设A方阵有a人，B方阵有b人，那么应该有b2−a2=97，因此(b−a)(b+a)=97，49×49+48×48=4705．3. 有196枚围棋子，摆成一个14×14的正方形．甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完为止，甲比乙多取了枚棋子．【答案】28【分析】196枚围棋子围成的方阵，最外层棋子数为14×4−4=52，相邻两层棋子数相差8，从外向内每一层棋子数为：52、44、36、28、20、12、4．所以甲取走了52+36+20+4=112(枚)棋子，乙取走了44+28+12=84(枚)棋子，甲比乙多取了112−84=28(枚)棋子．4. 东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则多余12名同学，如果把这个正方形扩大，纵横每排各增加一人，则缺少9人．【答案】112【分析】增加的一行一列有12+9=21(人)，那么原来排成的正方形的每条边上有(21−1)÷2=10(人)，东风小学仪仗队有学生10×10+12=112(人)．5. 一个正方形方阵，其中的4行5列的人数总和为250人，那么如果将这个方阵去掉一行一列还剩人．【答案】841【分析】4行5列，包括重复计算的：250＋20＝270人，每行：270÷9＝30人，所以还剩：30×30−30−30＋1＝841人6. 有大小相同的正方形白石和黑石各n个．首先，将黑石不留空隙地摆成一个正方形，然后在其外围摆一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外围摆一圈，最后再用剩下的白石在黑石的外围再摆一圈，正好将所有石子用完（如下图所示）．那么2n=．【答案】144个【分析】如上图所示，记最外层的一圈白石为a个，它里面的一圈黑石为b个，再里边的一圈白石为c个，最中间的黑石组成的正方形再分成外面一圈(d个)和里面的正方形(e个)两部分．注意到a−b=b−c=c−d=8，所以c=d+8,b=d+16,a=d+24．因为黑石的总数=白石的总数，所以b+d+e=a+c,d+16+d+e=d+8+d+24,e=32−16=4×4．最大的正方形的每一边有4+4×2=12（个）石子，所以石子的总数为12×12=144（个）．7. 小虎在19×19的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵．然后再加上45枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵．那么小虎最多用了枚棋子．【答案】285【分析】45=3×3×5，它小于19的最大约数为15，所以不变的边长应为15，另一边最长为19，所以小虎最多用了15×19=285（枚）棋子．8. 在一个实心学生方阵中加入13人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】36【分析】(13－1)÷2＝6（人），所以原来的方阵有6×6＝36（人）．9. 用白、蓝两种颜色的正方形瓷砖铺满一面正方形的墙，共用了324块，最里面一层是蓝色的，第二层是白色，第三层是蓝色……这样下去，最外面一层是什么颜色？整面墙上共有白色瓷砖多少块？【答案】蓝色；144．【分析】324=18×18，共有9层，所以最外层是蓝色的；共有白色瓷砖：12+28+44+ 60=144块．10. 在一个实心学生方阵中加入若干人，原来的方阵变成一个多一行，多一列的方阵；若原来的方阵减少13人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，问后来加入的学生有多少人？【答案】15【分析】(13+1)÷2＝7（人），7×2＋1＝15（人），所以后来加入的学生有15人．11. 在一个实心学生方阵中减少11人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】36【分析】(11+1)÷2＝6（人），所以原来的方阵有6×6＝36（人）．12. 有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片．小高用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形，然后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，之后有用白色纸片拼下去，……，这样重复拼．当小高用黑色纸片拼过5次以后，黑、白纸片正好用完．请问：黑色纸片至少有多少张？【答案】350张．【分析】不妨设每张小纸片的边长为1．从外往内，每次同时“剥开”一层黑纸片和一层白纸片，剥了5次之后，就只剩下中心的一个由白纸片组成的长方形．每次“剥开”的过程，黑纸片比白纸片多8张．由于一共有5层黑纸片，所以一共可以剥除5次，所有被剥除的黑纸片比所有被刹除的白纸片多40张，而总共的黑白纸片数量相同，所有最后剩余的只有白纸片构成的长方形中有40张白纸片．这个长方形的长和宽都是整数，它的长与宽的所有可能是：40×1、20×2、10×4、8×5．由于全部纸片铺成的大长方形的长和宽比被“剥除”五次之后剩下的长方形的长和宽都大20，所以大长方形的面积可以是60×21=1260、40×22=880、30×24=720、28×25= 700，其中最小的面积是700．而黑纸片的张数是这个面积的一半，所以最少有黑纸片350张．13. 如图，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成．现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点都种上（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，且每条边上有10朵花．请问：整个绿地一共要种多少朵花？【答案】162朵．【分析】每个三角形草地里每边都有10朵花，所以每片草地有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55朵花，三片草地共有：55×3=165朵花．但这样算，三角形的连接处都被算了2次，多算1次，所以整个绿地一共种花165−3=162朵．14. 某小学三年级共有学生120人，排成一个三层的空心方阵．这个方阵最外层每边有多少人？如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那应该增加几个人？如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，那么还需要增加几个人？【答案】13；56；24．【分析】一个三层方阵，外层比中层多8人，中层比内层多8人，所以中层有：120÷3=40人，最外层共有40+8=48人，所以，最外层每边48÷4+1=13人；外面加一层需要有48+8=56人；内部加一层需要40−8−8=24人．15. 某校少先队员可以排成一个四层空心方阵，如果最外层每边有20个学生，问这个空心方阵最内层共有多少个学生？这个四层空心方阵共有多少个学生？【答案】52；256【分析】20−2−2−2＝14（人）；14×4−4＝56−4＝52（人）；14−2=12（人），202−122=400−144=256（人）．所以这个空心方阵最内层共有52个学生，这个四层空心方阵共有256个学生．16. 在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似．从外向内一共8层，分别站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学．已知参加表演的六年级同学有126名，那么：（1）最外层有多少人？（2）现在阵列中一共有多少人？（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？（最里层可站1个人）【答案】（1）66人；（2）360人；（3）37人．【分析】（1）六边形阵列中，相邻两层相差6人，所以最外层共有：(126+6)÷=66人．（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360人（3）还需要：18+12+6+1=37人．17. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有12人，共有多少层？1∼4层一共有多少人？【答案】6；64【分析】12÷2＝6（层），2×4＝8（人），8×8＝64（人），所以共有6层，1∼4层一共有64人．18. 120个棋子摆成一个三层空心方阵，最外层每边有多少棋子？【答案】13个【分析】中间层总数为120÷3=40（人），则每边有40÷4+1=11（人），所以最外层每边有11+2=13（人）．19. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边比最内一层多10人，共有多少层？【答案】6【分析】(10÷2)+1＝6（层），所以共有6层．20. 同学们用64盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多少盆花？【答案】44【分析】对于两层方阵，外层比内层多8盆，两层共64盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数是(64+8)÷2=36（盆），从而得出需增加的盆数，36+8=44（盆）．21. 刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了6棵树苗；后来又运来了34棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵．那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？【答案】11或7【分析】若增加了1层，则现在最外层共有40棵树，所以最外层每边共有：(40+4)÷4= 11；若增加了2层，则40=16+24，此时最外层有：(24+4)÷4=7（棵）树．22. 在一个实心学生方阵中加入9人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】16【分析】(9－1)÷2＝4（人），所以原来的方阵有4×4＝16（人）．23. 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求较小方阵有多少人？【答案】36【分析】10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50∼100之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36人．24. 用黑、白两种颜色的正方形瓷砖共256块铺满一面正方形的墙，最外一层是黑色，第二层是白色，第三层是黑色……这样下去，那么整面墙上共有黑色瓷砖多少块？【答案】144．【分析】256=16×16，所以最外层每边16块，从外往里共有8层，所以黑的共有：60+ 44+28+12=144块．25. 一队战士排成一个三层空心方阵多出16人，如果在空心部分再增加一层又缺28人，这队战士共有多少人？【答案】196【分析】16+28=44（人），所以空心部分新增一层每边有44÷4+1=12（人），所以最外层每边有12+2×3=18（人），所以排好的三层共182−122=324−144=180（人），因此这队战士共180+16=196（人）．26. 如图所示，用10枚棋子可以摆出一个正三角形点阵，每边4枚棋子；用9枚棋子可以摆成一个正方形点阵，每边3枚棋子．今有一堆棋子，棋子总数小于100，用这堆棋子既可以摆出一个正三角形点阵，也可以摆出一个正方形点阵，问这堆棋子共有多少枚？【答案】36【分析】100以内的平方数，只有62=36=1+2+3+4+5+6+7+8所以36既可以组成边长为6的方阵，也能组成边长为8的正三角形点阵．27. 有一个240人排成的5层空心方阵，再增加多少人在最内层，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵？【答案】24【分析】240÷4÷5＋5＝12＋5＝17（人），17−2−2−2−2−2＝7（人），(7−1)×4＝24（人），答：再增加24人在内部，就可以使该方阵变成一个6层空心方阵．28. 晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，如图所示，外层每边有14个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？【答案】96【分析】方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个．知道最外面一层每边放14个棋子，就可以求出第二层每边的个数．知道各层每边的个数，就可以求出总数．(14−1)×4=52(个)(14−2−1)×4=44(个)52+44=96(个)一共用了96个棋子．。
小学奥数之方阵问题—例题习题及含答案
方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。