六年级下册数学试题-小升初能力训练：数论综合——余数问题(解析版)全国通用
第05讲 数论综合——余数问题【一】了解“除法算式——a b qr b r ÷=> ()” 及应用1：一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是 .1010989108=910898÷=⇒∴÷=∴⨯+=最小的两位数是两位数一位数余数 求最大值一位数最大是，余数最大是 两位数 两位数2：用某自然数a 去除1707，得到商是37，余数是r ，求a 和r.17073717073717073746546461707463755375424545451707453742424645542a r a r a ra a r a a r a a r r =+⎧÷=⇒⎨>⎩÷==⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩+=<=⎧∴=⇒÷=⇒⎨=⎩==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩综上：或3：523除以一个数得到的商是10，并且除数与余数的差是5，求除数与余数.带 余 除 法52310523105555523(5)105231152310(5)x x x x x x ÷=÷=+∴÷+=∴÷=∴=++法一： 法二：除数余数 除数余数余数与除数的差是 余数与除数的差是 若设余数为，则除数为 若给余数加上 除数 =52311=48=43434348x ∴÷=∴ 除数，余数 余数是，除数是4：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是 .484848484841532448794848415794798324A B A B A B A B A B A B x A x B x x x A =+⎧÷=⇒=+÷=⇒⎨+++=⎩=⎧+∴⎨=⎩++++===⨯+=法一： 法二： 若设为，则为 则5：某个除法算式的被除数、除数、商与余数之和为115，如果被除数和除数都扩大为原来的2倍，得到的除法算式中被除数、除数、商与余数之和为223，那么原来的算式中商是 .11522222222311522237A B CD A B C D A B C D A B C D C ÷=⇒+++=÷=⇒+++=∴=⨯-=22222(22)22222a b q r a bq r a bq ra b bq r b q r a b q r a b q r÷=⇒=+⇒=+÷=+÷=∴÷=⇒÷=证明：6：某个整数除36，商和余数相等，那么这个整数可能是 .3636(1)136=8111735b c c bc c c b b b cb ÷=⇒=+=++>是的因数，但是枚举：、、、7：在大于2015的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有多少个？5758575756201558=3443355635122a c c c a c c c c c =+=⎧÷=⇒⎨<⎩÷⇒∴=-+= 的最大值是 的最小值是 个数（个）【二】余数性质（余数特征+余数可加可减可乘性+余数周期性）251425281253393999100001000100109999(91)99999a b c d e abcde a b c d ea b c d abcde a ⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩=⨯+⨯+⨯+⨯+++++=⨯+⨯+⨯+⨯+=⨯被和整除：末位尾系被和整除：末位被和整除：末位被、整除：各位数字和是、的倍数和系被整除：两位一段，求和 证明： [弃9法 整特征]除0000100999999711131110001001()10000100010010()bc dea bc abcde ab cde ab cde ab abc a bc de a bd c de e +⨯+=⨯+⨯+⎧⎨⎩=⨯+=⨯+-=⨯+⨯+++⨯+⨯+ 被、和整除：三位一段，奇数段偶段和差系被整除：奇位和偶位和 证明： [()(999)910019911999910019911(]a a b b c c d e c a d e a b c d a c m e a mc e b c nf b nc f a b mc e nc f m n d b ++-+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⨯++⨯-+⨯++⨯-+⎪=⨯+⨯+⨯+⨯+⎩÷==+⎧⎧⇒⎨⎨÷==+⎩⎩+=+++=+ 对于（1） 余数可加可减可乘2)()()()()()()()()()()()1192329c e f a b ce f a b mc e nc f m n c e f a b ce f a b mc e nc f mnc mcf nec ef a b ce f ++⇒+÷+⇒-=+-+=-+-⇒-÷-⇒⨯=+⨯+=+++⇒⨯÷⨯⇒÷÷ （2） （3） 余数可加 举性余数可减性余数可乘性例259753295⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷⎧⎧⎪⎨⎨⎪÷⎩⎩⎩或者（一）余数特征+余数可加可减可乘性的“基础练习”1：将假分数5051525354557⨯⨯⨯⨯⨯化成带分数后，真分数部分是多少？5051525354557505152535455123456(24)(35)681561166(mod 7)⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯⨯⨯=⨯⨯≡⨯⨯≡只要计算除以的余数即可（二）余数特征+余数可加可减可乘性的“拓展练习”71310010100101010110101100101001010110101101010110ABCDABCDABCD BCD DAB B C D D A B A B C D ABC DAB CDA BCD CDA ABC C D A A B C A B C D A B ⎧=+=+++++⎪=+++⎪⎨=+=+++++⎪⎪=+++⎩-=++证明：判断能被和整除奇段和 偶段和 奇偶10110110101109191919191()91713713C D A B C D B A D C B A D C ABCDABCDABCD +----=-+-=-+-=⨯∴ 能被和整除1：（1）求20172017201720172017个除以9的余数. （2）求20146666个除以7的余数.201712017201720172017201711120171(mod 9)≡≡≡个个 20146666666666100120146335466666666666660302(mod 7)=⨯÷=∴≡≡-≡≡≡个2：求1020162017201620162016个除以7的余数.9201620163603603602016201620167020162016201670201720162016201620172016000(mod 7)1428577110000001000000711000712017201600020172016(mod 7)20÷∴÷⇒≡⨯+=∴÷∴÷⇒≡个10个个个个172016201710000201620177110000742016701404=⨯+÷÷÷∴=⨯+=余数可乘，余数3：求15!除以17的余数.15!4!(56)(71113)(89)(10121415)243010017225210015!7131541415916021069654636181(mod 7)15!(29)(36)(413)(57)(815)(1012)(1114)171=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⇒≡⨯⨯⨯⨯⨯≡⨯⨯≡⨯⨯≡⨯≡⨯≡≡=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯法一：法二：每个括号内两数之积都是除以 余 15!171∴÷ 的(2)!1(mod )p p p ⇔-≡延伸说明：上一题的（2）是威尔逊原理内容： 是质数（三）余数周期性的“基础练习”1：兔子数列：1、1、2、3、5、8、13、……，第2017项除以5的余数.5112303314044320224101123033020201720100172÷=兔子数列每一项除以的余数如下：周期是， ，即余2：分别求出23456789103333333333、 、 、 、 、 、 、 、 、 除以7的余数.发现规律，并求出1003除以7的余数. 并试求231001+3+3+3++3除以7的余数.234567891010043333333333326451326461006164334(mod 7)⇒÷=⇒≡≡、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是若为01231002+2+2+2++2除以7呢？61016165(132645)1613262116162(mod 7)⇒÷=⇒≡+++++⨯++++≡⨯+≡周期是 原式3：今天是周四，100010天之后将是周几？234567891010004101010101010101010103264513264610006166410104(mod 7)⇒÷=⇒≡≡⇒、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 周期是周一（四）余数周期性的“拓展练习” 1：求3332除以31的余数.33133333231535334812228(mod 31)n ∴÷=⇒≡≡≡研究除以的余数容易发现周期是只要考虑除以的余数，容易发现周期是42：求332的末位数字.33133481333(mod10)÷=⇒≡≡寻找末位就是相当于除以10的余数周期现象：1、3、9、7、1、3、9、7、……，周期是4(1)(2)(3)x Nx N x N x x 以下是固定值，是变量对于，其个位数字是4个一循环 对于，其个位数字是10个一循环 对于，其个位数字是20个一循环3：求123420132014123420132014+++++除以10所得的余数是多少？12341920201234192014765636901636567490944,201420100141001004(14765636901636)=463463++++++++++++++++++++++++=÷=⨯++++++++++++++除以10的余数就是相当于寻找其个位数字，底数指数都是变化的，即周期为先计算的个位数字：为“”其个位数字是即个整周期还多出14个个位数字即为“”的个3位数字是 ，即答案就是34：求2007200720072007200712342006++++计算结果的个位数字是多少？200732007320073200720072007200720073333311(mod10)22(mod10)20072007(mod10)1234200612342006(mod10)≡≡≡+++++≡+++++首先，按规律，底数不变指数变化，其个位数字的周期是每4个一循环 即 、 、 得到： 然后，按规律，底数变化指数不变，其个位数字的周期是每10个一循环 33333333333333331234105(mod10)1234200652001234561(mod10)+++++≡+++++≡⨯++++++≡ 又因为， 所以，【一】化余数为整除（余数相同） （一）余数已知1：某个整数除41，余数是5，那么这个整数可能是几？ 415(415)03603636181296b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、、、2：某个整数除31，余数是7，那么这个整数可能是几？ 317(317)024********b bbb b ÷⇒-÷⇒÷⇒=是的因数，、、同 余 问 题3：某个整数除67、151得到的余数都是11，那么这个整数可能是几？(6711)05606711(15111)01400561408415111(15167)0840(56,140,84)28112814b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩=>∴=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、4：某个额整数除229、337得到的余数都是13，这个整数最大是几？最小是几？ (22913)021*******(33713)0324033713(337229)01080216324108(216,324,108)1081310818b b b b b b b b b b b b -÷÷⎧⎧÷⎧⎪⎪⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨÷⎩⎪⎪-÷÷⎩⎩⇒⇒=>∴是、、的公因数是最大公因数的因数，且最大为，最小为（二）余数未知1：某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数可能是几？ 41(4111)030030302153105611b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、、2：某个大于1的整数除89、71得到的余数相同，那么这个整数可能是几？89(8971)01801818293671b rb bb b br÷⎧⇒-÷⇒÷⇒=⎨÷⎩是的因数，、、、、3：某个大于1的整数除17、53、113得到的余数相同，那么这个整数可能是几？ 17(5317)036053(11317)0960369660113(11353)0600(36,96,60)12122634b r b bb r b b b b b r b b b ÷-÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷-÷÷⎩⎩⎩=∴=是、、的公因数是最大公因数的因数、、、、【二】化余数为整除（余数不同） （一）余数已知1：某个整数除47余5，除65余2，那么这个整数可能是几？ 475(475)04204263652(652)0630(42,63)215217b bbb b b bbb b ÷-÷÷⎧⎧⎧⇒⇒⇒⇒⎨⎨⎨÷-÷÷⎩⎩⎩=>∴=是、的公因数是最大公因数的因数，且、2：（拓展）用一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是多少？ 13（二）余数未知1：某个整数除29、56的余数分别是a 、3a +，这个数可能是几？ 2929(5329)0240245635333324128462924529125298524,12,8()56248561285680294129654(),6()56405662b aba bbb ba baa b b b b b b b ÷÷⎧⎧⇒⇒-÷⇒÷⇒⎨⎨÷+÷⎩⎩+≥⇒>∴=÷÷÷⎧⎧⎧===⎨⎨⎨÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧==⎨⎨÷÷⎩⎩是的因数、、、、验证：舍去舍去舍去综上2412b =，、2：某个整数除47、121、232的余数分别是a 、2a +、5a +，这个数可能是几？4747(11947)07201212119(22747)018002325227(227119)0108072180108(72,180,108)36536181296473636b a b a b b b a b a b b b a b a b b b b b b b ÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪÷+⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪÷+÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⇒⇒=>∴=÷=是、、的公因数是最大公因数的因数，且、、、、验证：114718114712111213613,181211813,12121121(),2323616232181623212447924765912194(),612161()23297232643618b b b b b ÷÷⎧⎧⎧⎪⎪⎪÷=÷=÷⎨⎨⎨⎪⎪⎪÷÷÷⎩⎩⎩÷÷⎧⎧⎪⎪=÷=÷⎨⎨⎪⎪÷÷⎩⎩=舍去舍去舍去综上，、3：一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ，求这个自然数的和a 的值.429+54248482(848791)0570791279127912(1000791)0209050050010002(1000848)0152057209152(57,209,15b a ba b a b b b a ba b a b b b a b a b a b b b b ÷÷÷-÷÷⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪÷⇒÷⇒÷⇒-÷⇒÷⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪÷÷÷-÷÷⎩⎩⎩⎩⎩⇒⇒是、、的公因数是最大公因数的因数2)19519571911192091912152196196b b b b a =>∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩==，且验证：综上，，4：已知60、154、200被某数除所得的余数分别是1a -、2a 、31a -，求这个自然数的值. 22222333361(3721154)03567060161154154154(61154)2001201(9394201)09193020135679193(3567,9193)b a b b b a b a b a b a b a b ab a b a b b b a b b ⎧⎛÷⇒-÷⇒÷÷-÷⎪ ⎧⎧ ÷⎪⎪⎪⎝÷⇒÷⇒⎨⎨⎨⎛⨯÷⎪⎪⎪÷-÷⇒-÷⇒÷ ⎩⎩⎪ ÷⎝⎩⇒⇒=是、的公因数是最大公因数的因数29296029229154299200292629b b b ∴=÷⎧⎪=÷⎨⎪÷⎩=验证：综上，5：（拓展）糖果254粒，饼干210块，水果186个. 某幼儿园人数超过40人，平均分给学生，余下糖果、饼干、水果比是1:3:2，求共有多少人？没人每种各分多少个？5082(508186)032202541862210321031862(440210)02300(254186)3322230(322,230)4640223254202210201862b ab b b a b a b a b a b a b b b a b b b b b ⎧÷⎧⇒-÷⇒÷÷⎧⎨⎪÷⎪⎪⎩÷⇒⎨⎨÷⎧⎪⎪÷⇒-÷⇒÷⎨⎩⎪+÷⎩⎩⇒⇒=<∴=÷=÷÷是、的公因数是最大公因数的因数，且、验证：254231()23210233018623223b b ÷⎧⎧⎪⎪=÷⎨⎨⎪⎪÷⎩⎩=舍去，综上，6：有一个整数，用它除70、110、160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？121233111221233370110(70110160)()340502900290160707070121101333531718316011b r b r b r r r bb b b rbr b b r b r b r b r b r r r b b b b r b r b ÷⎧⎪÷⇒++÷++⇒÷⇒÷⇒⎨⎪÷⎩÷≤÷≥+⎧⎧⎪⎪÷⇒≥+⇒≥+++⇒≥⇒≥⇒≥⎨⎨⎪⎪÷≥+⎩⎩∴=是的因数现在讨论的就是范围对来说，其中,290,2,145,5,58,10,29581105815229b b =÷==对于， ，不成立综上，【三】同余方程 1：（铺垫）（1）解同余方程：45(mod11)x ≡45(mod11)41151(45)110451144(mod11)5115245(mod11)4511(mod11)416(mod11)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x x x x ≡÷⎧⇒-÷⇒-=⇒=⇒≡⎨÷⎩≡≡+≡=∴≡ 转化： 试除：(mod )(,)1(mod )(mod )()()0()()()()(,)1(mod )ac bc m c m a b m ac m x pac bc m ac bc m x y c a b m x y bc m y p c a b m x y c m m a b a b m a m b m a b a b m m m ≡=≡÷=⎧≡⇒-÷=-⇒-=-⎨÷=⎩-=-=-≡÷÷--=证明：若，当 时，有开始：对“”，有对“”，若，为的因数若想让“”，即让“的余数等于的余数”，即“化为分数相减为整数”同时，确实为整数，得证.（2）解同余方程：729(mod13)x x ≡+729(mod13)7131(729)130(29)135913()(59)130592677(mod13)2729(mod13)59(mod13)59132(mod13)5x x x r x x x rx x x x xx x x x x ≡+÷⎧⇒--÷⎨+÷⎩-=⨯⎧⇒-÷⇒⎨-=⇒=⇒≡⎩-≡≡≡+⨯ 转化： 试除： 35(mod13)(5,13)17(mod13)x ≡=∴≡2：用枚举法检验的方法，找出有那些整数x 满足：35(mod 7)x ≡，用一个同余式来表示结果.135(mod 7)411184(mod 7)235(mod 7)357(mod 7)312(mod 7)(4,7)14(mod 7)x x x x x x x ≡=≡≡≡+≡=∴≡ ，枚举得到、、、，表示为3：求解同余方程：3843(1)(mod13)x x +≡+. 8343(1)(mod13)83433(mod13)83334(mod13)5334313(mod13)58(mod13)58x x x x x x x x x +≡++≡+-≡-≡-+⨯≡≡+第一步：化简 第二步：（试除法） 134(mod13)XX 5383(mod13)560(mod13)1524(mod13)(5,13)112(mod13)211(mod13)(XX ) 5x x x x x x ⨯⨯≡⨯≡≡=∴≡≡⨯ （法） 法888(mod13)21113(mod13)4064(mod13)224(mod13)12(mod13)12(mod13)x x x x x ≡⨯≡+≡≡≡≡5：（拓展）老师选了一个两位数，然后讲这个数乘23，并且加上79，发现正好是111的倍数，你能猜出老师选的是什么数吗？23790(mod111)2311179(mod111)2332(mod111)235325(mod111)115160(mod111)x x x x x x +≡≡-≡⨯≡⨯≡设这个两位数为，得到 4160(mod111)40(mod111)40.x x ≡≡ 即这个两位数是一：余同加余，差同减差，和同加和 1：小强家有很多巧克力:。
小升初专练-数论问题-带余除法通用版(含答案)
小升初专练-数论问题-带余除法【知识点归纳】如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法．一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r．当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．【常考题型】例1：所有被4除余1的两位数的和为（ ）A、1200B、1208C、1210D、1224E、1229分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：13+17+21+…+97=（13+97）×22÷2=110×11=1210．答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．故选：C．点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．例2：一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是（）页．分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x ＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．解：设页数为x，①320＜x＜400；②270＜x＜360；③由①②得：320＜x＜360，满足上述条件的只有n=18．320＜18×18=324＜360．故答案为：324．点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．【解题思路】对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法．一．选择题1．有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。
数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案
数论问题之余数问题:余数问题练习题含答案1.数11 1(2007个1),被13除余多少分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7.2.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11 (2)2123 6分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 .3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.6.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)2123 6分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.7.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .8.(第十三届迎春杯决赛) 已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .分析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2 2 3 717=51 28=68 21=84 17,因此所求的两位数51或68或84.9.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.10.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.第二页：练习题含答案11 20题第三页：练习题含答案21 28题11.除以99,余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.12.求下列各式的余数:(1)2461 135 6047 11(2)19992000 7分析:(1)5;(2)1999 7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000 3 余2 可以得到42000除以7 的余数是2,故19992000 7的余数是2 .13.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313 7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240 2=238(个) ,313 7=306(个) ,(238,306)=34(人) .14.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.15.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.16.除以99的余数是______.分析:所求余数与19 100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.17.19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是______.分析:法1:从简单情况入手找规律,发现1994 15余14,19941994 15余4,199419941994 15余9,1994199419941994 15余14,......,发现余数3个一循环,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4;法2:我们利用最后一个例题的结论可以发现199419941994能被3整除,那么19941994199400 0能被15整除,1994 3=664...2,19941994 1994(1994个1994)除以15的余数是4.18.a b c 是自然数,分别除以11的余数是2,7,9.那么(a+b+c) (a-b) (b-c)除以11的余数是多少分析:(a+b+c) 11的余数是7;(a b) 11的余数是1l+2 7=6;(b c) 11的余数是11+7 9=9.所求余数与7 6 9 11的余数相同,是4.19.盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个？分析与解答:如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.2 8 10 122 4 5 62 5 3故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.20.自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.分析与解答:设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c 不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.21.求123456789101112 199200除以9的余数是________;解答:一位数个位数字之和是1+2+3+ ..9=45二位数数字之和是1 10+1+2+3+ .9 (10-19)2 10+1+2+3+ .9 (20-29)9 10+1+2+3+ .9 (90-99) 余90,9余0,11余2故二位数总和为(1+2 ..+9) 10+1+2 ..+9=495100 199与1 99的区别在于百位多了100个1,共100所以原数数字值和为45+495+495+100+2=1137,除以9余3. 22: 222 22除以13所得的余数是_____.2000个分析与解答:因为222222=2111111 =21111001=211171113所以222222能被13整除. 又因为2000=6333+2 222 2=222 200+22 2000个19982213=1 9所以要求的余数是9.求除以9,11,99,101,999,1001,13和91的余数分别是多少;解答:23: 除以9的余数是0,11: 一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5. 2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5 2007.5 2007 3(mod11),所以除以11的余数是399: 能被9整除,被11除余3的数最小是36,所以除以99余36200720072007能被7,13,37整除.999=27 37 1001=7 11 13 91=7 1313: 0(mod13) 除以13余091: 0(mod91) 除以91余0所以除以13,91,999的余数都是0.1001: 除以11余3,除以7,13余0,满足次条件的最小数是1092,1092除以1001余91.所以除以1001的余数是91.101: 我们发现9999=101 99,所以=0000+2007= 10000+2007= 9999++2007 +2007(mod101)同样道理+2007 +2007 2(mod101)以此类推2007 2007(mod101)=6824、今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物最少几何解答:此数除以3余2,除以5余3,除以7余2,满足条件最小数是2325、(23+105k)2)一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________;解答:满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4, 69-a=13b.a最小等于4.满足条件的最小数是381.设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390.(1732)26、今天周一,天之后是星期________;这个数的个位数字是________;天之后是星期________;解答:只要求出7的余数就可以知道天后是星期几. 52007(mod7),56 1(mod7)2007 3(mod6), 52007 53 6(mod7) s所以天之后是星期日2007的个位数字是720072的个位数字是920073的个位数字是320074的个位数字是120075的个位数字是127、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三位数为192,498,804.设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)这个四位数是194628、甲,乙,丙三个数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.A是________;解答:如果A除丙所得的余数是1份的话,那么A除乙所得余数就是2份,A除甲所得的余数就是4份.把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A的倍数;同理乙-2丙也同样没有余数,是A的倍数.939 2-603=1275,939-393 2=153A是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A可能是1,3,17,51再实验得到A为17,余数分别为8,4,2.。
小升初数学专项解析+习题-数论篇-通用版
小升初重点中学真题之数论篇数论篇一1 （人大附中考题）有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。
2 （101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
3（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。
4 (人大附中考题)下列数不是八进制数的是( )A、125B、126C、127D、128预测1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？预测2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。
2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？预测3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______．数论篇二1 （清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.2 （三帆中学考题）140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。
2002除以这个自然数的余数是 .3 （人大附中考题）某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.4 （101中学考题）一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
5 （实验中学考题）(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除?(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个各位数字之和能被4整除?预测1. 如果1＝1！，1×2＝2！，1×2×3＝3！……1×2×3×……×99×100＝100！那么1！+2！+3！+……+100！的个位数字是多少？预测2．（★★★★）公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前3个数字之和等于后3个数字之和，则称这张车票是幸运的。
小升初必考专题余数问题(讲义)-2020-2021学年数学六年级下册(含答案)全国通用
余数问题定义：在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数性质：性质1：余数小于除数性质2：被除数＝除数×商＋余数除数＝(被除数－余数)÷商；商＝(被除数－余数)÷除数。
性质3：如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除性质4：a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和性质5：a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(mod m)同余性质：性质1：a≡a(mod m)，(反身性)性质2：若a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)，(对称性)。
性质3：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)，(传递性)。
性质4：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a±c≡b±d(mod m)，(可加减性)。
性质5：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)(可乘性)。
性质6：若a≡b(mod m)，那么an≡bn(mod m)，(其中n为自然数)。
性质7：若ac≡bc(mod m)，(c，m)＝1，那么a≡b(mod m)，(记号(c，m)表示c与m的最大公约数)。
例1被3除余2，被4除余3，被5除余4的最小的数是( )测试题1．一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；例7有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，三个余数的和为25。
这三个余数中最大的一个是多少？例6算式7＋7×7＋…＋1990777...7⨯⨯⨯个计算结果的末两位数字是多少?例5求14389除以7的余数。
例4有一串数：1、3、8、22、60、164、448，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的2倍。
六年级下册数学试题-小升初专项训练 数论 人教版(含答案)
六年级下册数学试题-小升初专项训练数论一、单选题1.4是24和56的（）A. 因数B. 公因数C. 最大公因数2.A=2×3×7，B=2×5×3，那么A和B的最大公因数是（）A. 2B. 35C. 63.B=2×3×5，这个数有（）个约数．A. 3B. 5C. 8D. 94.某数分别被2、3、5除，都余1，那么这个数最小是（）A. 11B. 16C. 315.一个两位数是由3个不同的质数相乘得到的，它的因数共有（）个．A. 8B. 6C. 5D. 36.1234567891011121314…20052006是（）位数．A. 6913B. 6914C. 6915D. 69177.米平均分成（）份，每份是米．A. 18B. 54C. 6二、判断题8.两个数的公因数的个数是有限的．9.互质的两个数没有最大公因数．10.三个连续自然数的和一定是3的倍数．11.m+m用m²表示。
12.270和213对于除数19同余．三、填空题13.在教室里，淘气量了一下，课桌长约有6个手掌宽，他的手掌约10________，我们知道了课桌长约60________。
他的1拃长约14________，铅笔长有一拃半，铅笔长约________厘米14.求出下面每组数的最大公因数．40和8________ 42和70________ 39和65________15.自行车越野赛全程220千米，被分为20个路段，其中一部分路段长14千米，其余路段长9千米，则长为9千米的路段有________ 个．16.把1，2，7，8，9，10，12，13，14，15填入图中的小圆内，使每个大圆圈上的六个数的和是60．________ ．17.著名的数学家斯蒂芬•巴纳赫于1945年8月31日去世，他在世时的某年的年龄恰好是该年份的算术平方根（该年的年份是他该年年龄的平方数）．则他出生的年份是________ ，他去世时的年龄是________ ．18.某校2001年的学生人数是个完全平方数，2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是一个完全平方数．该校2002年的学生人数是________ ．19.求下列式子的值．成人票：8元/人；儿童票：4元/人________四、计算题20.用竖式计算。
【全国通用】六年级下册数学试题-数论.余数问题(ABC级)(解析版)
一、带余除法的定义及性质1、 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
2、 余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．二、三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2. 余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3知识框架余数问题－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
小学奥数题库《数论》余数问题中国剩余定理2星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-中国剩余定理-2星题课程目标知识提要中国剩余定理•概述中国剩余定理即我们常说的“物不知数”，是利用同余式组来求解的一类问题。
A、一个数分别除以两个数余数相同的时候，将原数减去这个余数之后可以整除那两个数B、上述情况下的余数虽有不同，但与各自对应的除数的差相同，将原数加上这个差之后便可以整除C、其他情况下，凑出相同余数之后，运用第一种情况的方法．精选例题中国剩余定理1. 5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少人．【答案】59．【分析】分析题意知，这个班的人数除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，凑缺相同，这个班人数为[3、4、5、6]−1=59（人）．2. 一个数，除以11余7，除以13余9，除以19余15，问满足条件的最小自然数是．【答案】2713．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺4能被整除，这样得[11、13、19]−4=2713．3. 一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，问满足条件的最小自然数为．【答案】43．【分析】根据总结，我们发现两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成都余8，所以[5、7]=35，所以这个数就是35+8=43．4. 一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为．【答案】323．【分析】根据总结，我们发现三个数中两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8，这样我们可以把余数都处理成都余8，所以[5、7、9]=315，所以这个数就是315+8=323．5. 一个大于100的数，除以9余3，除以11余1，问满足条件的最小自然数为．【答案】111．【分析】据题意，我们发现两个数的除数与余数的和都是9+3=11+1=12，这样我们可以把余数都处理成都余12，所以[9、11]=99，所以这个数就是99+12=111．6. 一个大于2000数，除以11余5，除以13余3，除以17余16，问满足条件的最小自然数为．【答案】2447．【分析】根据题意，我们发现三个算式中两个数的除数与余数的和都是11+5=13+3= 16，这样我们可以把余数都处理成都余16，所以[11、13、17]=2431，所以这个数就是2431+16=2447．7. 有一堆水果糖，如果按8块一份来分，最后剩下2块；如果按9块一份来分，最后剩3块；如果按10块一份来分，最后剩下4块．这堆糖至少有块．【答案】354【分析】这堆水果糖的总数被8除余2，被9除余3，被10除余4，如果增加6块就刚好是8、9、10的公倍数，又8、、9、10的最小公倍数是360．所以这堆水果糖至少有360−6=354(块)．8. 某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是．【答案】41【分析】这个自然数除以2、4、5都余1，[2,4,5]=20，所以这个数应满足1+20n，同时除以3余2，所以最小是41．9. 有一筐苹果，甲班分，每人3个还剩11个；乙班分，每人4个还剩10个；丙班分，每人5个还剩12个．那么这筐苹果至少个．【答案】62【分析】设有x个苹果．因为11除以3余2，所以x除以3余2；因为10除以4余2，所以x除以4余2；因为12除以5余2，所以x除以5余2．又因为x大于12，x=[3,4,5]+2=60+2=62（个）．10. 一个自然数能被11整除，除以13余12；除以15余13；这个数最小为．【答案】1078．【分析】n除以15余13：最小为13，通式为13+15k1；n除以13余12：k1最小为6，则有13+15×6=103，通式为103+[15,13]k2=103+ 195k2．n除以11余0：k2最小为5，则有103+195×5=1078．11. 一个大于3的数，除以7余4，除以9余6，除以11余8，问满足条件的最小自然数是．【答案】690．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺3能被整除，这样得[7、9、11]−3=690．12. 一个大于2的数，除以3余1，除以5余3，除以7余5，问满足条件的最小自然数是．【答案】103．【分析】我们发现两个算式除数与余数的差都相等，所以把他们都处理成都缺2能被整除，这样得[3、5、7]−2=103．13. 小明心里想了一个正整数．并且求出了它分别被14和21除后所得的余数，已知这两个余数的和是33，则该整数被42除的余数是．【答案】41【分析】该整数除以14的余数不大于13，除以21余数不大于20，所以这两个余数的和不大于33，而由题有这两个余数的和恰好是33，所以该整数除以14余数是13，除以21余数是20．这个数加上1就是14和21的倍数，而[14,21]=42，所以这个数可以表示成42k−1的形式，被42除的余数是41．14. 智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级人数应该是人．【答案】127【分析】根据条件，该数除以3余1，除以5余2，除以7余1，逐级满足法，令该数为a，则a÷3⋯⋯1 ①a÷5⋯⋯2 ②a÷7⋯⋯1 ③符合条件①的有1，4，7，10，13，16，⋯．同时满足①、②的最小值为7，以后a=7+15m均满足①、②；现在来看(7+15m)除以7余1，则15m除以7余1，则m最小取1，符合，最小的符合的数为a=22．以后每隔[3,5,7]=105即符合．由于该年级有100多名学生，为22+105= 127．15. 某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是．【答案】62【分析】由题可知，此数是一个2的倍数，并且除以3、4、5都余2的数，这样的数最小是2，因为这个数是两位数，2+[3、4、5]=62.16. 某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是．【答案】998【分析】观察到11−8＝13−10＝3，因此除以11余8，除以13余10的最小自然数为11×13−3＝140,设某数为a，则a＝143m−3m为非零自然数，只需143m−3除以17余12，而143÷17＝8⋯7,只需(7m−3)÷17＝n⋯12,即7m−15是17的倍数所以，m＝7，所以a＝143×7−3＝998.17. —个自然数被3除余2，被5除余4，并且这个数大于100且小于125，那么这个数是．【答案】104或119【分析】被3除余2，被5除余4，求出3和5的最小公倍数15，估算15的哪一个倍数大于100小于125，经计算可知，105和120介于100到125之间，再用105和120分别减1即可，这个自然数是104或119．18. 我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．”用现代语言表述就是：“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”请将满足条件的最小的自然数写在这里．【答案】157【分析】（解法一）先考虑除以5余2，除以7余3，除以9余4；用剩余定理得5×7×5+5×9×1+7×9×4=472[5,7,9]=315，故472±315k都符合除以5余2，除以7余3，除以9余4最小是472−315=157，且也符合除以2余1．（解法二）除以2余1的数有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，⋯；除以5余2的数有：2，7，12，17⋯；除以7余3的数有：3，10，17⋯；所以满足“用2除余1，用5除余2，用7除余3”的数的形式为[2,5,7]n+17=70n+17（n为自然数）此时只需要找一个最小的n，满足除以9余4即可．当n=2时，满足除以9余4，所以满足条件的最小的自然数为70⋯2+17=15719. 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为．【答案】323【分析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5+3=7+1=8这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而[5,7,9]=315所以这个数最小为315+8=323.20. 红星小学组织学生划船．若乘坐大船，除1条船坐6人外，其余每船均坐17人；若乘小船，则除1条船坐2人外，其余每船均坐10人．如果学生的人数超过100、不到200，那么学生共有人．【答案】142【分析】除1条船坐6人外，其余每船均坐17人，说明总人数可以表示成17m+6的形式；除1条船坐2人外，其余每船均坐10人，说明总人数可以表示成10n+2的形式；那么有17m+6=10n+2，化简得17m+4=10n，经分析m的个位只能是8．又学生的人数超过100、不到200，所以m=8，学生的人数是17×8+6=142．21. 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的自然数最小为．【答案】148【分析】观察发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是5＋3＝7＋1＝8,这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以满足前两个条件的自然数为a＝35m＋8,下一步只需要a除以9余4，35÷9＝3⋯8,只需8＋8m除以9余4，只需8m除以9余5，最小的m＝4，因此满足所有条件的最小自然数为8＋35×4＝148.22. 有一个自然数用7除余3，用9除余4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数写在这里．【答案】31，94【分析】除以7余3的数有：3，10，17，24，31⋯；除以9余4的数有：4，13，22，31⋯；所以满足“除以7余3，除以9余4”的数的形式为[7,9]n+31=63n+31（n为自然数）按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数为31，94．23. 在1到100这100个数中，被2，3，5除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有个．【答案】6【分析】根据余数不能比除数大．一个数除以2，余数只能是1．而要求余数彼此不等，所以，这些数除以3，余数只能是2．满足以上两个条件的数为6的倍数少1．有：5、11、17、23、29、35、41、47、53、59、65、71、77、83、89、95．再满足被5除有余数，且余数不为1和2，（个位不能为5、1、7）．符合条件的数只有：23、29、53、59、83、89，共6个数．24. 一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最小的奇数．【答案】1523．【分析】本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，符合条件的最小偶数是368，只要将368加上3×5×7×11就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368+3×5×7×11=1523．25. 有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，除以7余6，则这个数最小是．【答案】419．【分析】分析题意知，这个数加1就能被2,3,4,5,6,7整除，所以这个数为[2、3、4、5、6、7]−1=420−1=419．26. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数．【答案】23．【分析】由中国剩余定理得这个数为23．27. （1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？【答案】（1）3；（2）31【分析】（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3．（2）这个自然数加上4以后是5和7的公倍数，所以最小是31．28. 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩四，七七数之剩三，问物几何？【答案】59【分析】70×2+21×4+15×3=269；269−105−105=59；29. 小朋友们做游戏，若7人分成一组，则最后余下5人；若9人分成一组，则最后余下5人；若11人分成一组，则最后余下5人．那么一起做游戏的小朋友至少有人．【答案】698【分析】分析题意知，小朋友的人数是7，9，11的公倍数减5，所以做游戏的小朋友的人至少有[7、9、11]+5=698（人）30. 有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有本．【答案】670．【分析】由题意知，这批数的总数除以24余22，除以28余26，除以32余30，[24、28、32]=672，所以这批书的数量为672k−2，又因为这批图书总数在1000本以内，所以k=1，这本书为670．31. 已知自然数A除以11余5，除以9余7，除以13余3，这个数最小是多少？【答案】1303【分析】本题属于“物不知数”问题，可以运用中国剩余定理，但需要先要找出11与9的公倍数中除以13余1的数、11与13的公倍数中除以9余1的数以及9与13的公倍数中除以11余1的数．比较麻烦．实际上，观察可知11+5=9+7=13+3=16,也就是说这个数减去16后是11、9、13的公倍数，那么这个数最小就是11、9、13的最小公倍数加上16，为11×9×13+16=1303.32. 有一个自然数，用它分别去除61、90、130都有余数，3个余数的和是26，这3个余数中最大的一个是多少？【答案】11【分析】．简答：61、90和130的和减去26得到255，255的约数中验证得满足条件的只有17，所以这个自然数是17，所以余数中最大的是130除以17的余数1133. —个盒子中装有棒棒糖100多个，如果每次取5个最后剩4个，如果每次取4个最后剩3个，如果每次取3个最后剩2个．那么如果每次取12个，最后剩多少个？【答案】11【分析】简答：除以5余4，除以4余3，除以3余2的数最小是59，满足上述条件的100以上的数是59加上若干个60，如119、179等，这些数除以12余11．34. （1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3，⋯，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，⋯，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？【答案】（1）23；（2）165【分析】（1）采用逐步满足条件法．满足条件第二个条件的数位1、12、23、⋯发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23．（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39，不断加63，直到满足限制条件，最后得到165．35. 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．（使用中国剩余定理求解）【答案】1102【分析】70+21×2+15×3=70+42+45=157，157+105n在1000到1200之间．可以先写成52+105n，105×10+1050，1050+52=1102．36. 已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两个两位数．【答案】77和78【分析】两个连续的两位数除以5的余数之和是5，则可以判断出第一个数除以5余2．除以6的余数之和是5，则可以判断出第一个数除以6余2或余5．除以7的余数之和是1，则可以判断出第一个数除以7余0．满足第一、三两个条件的数有7、42、77，再考虑第二个条件，只有77满足．因此这两个数为77和78．37. 一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？【答案】999【分析】这是一道余同的问题．满足条件的数可以表示为[4,6]×n+3，其中n为自然数．要求满足条件的最大三位数，应令n为83，即[4,6]×83+3=999．38. 一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？【答案】140．【分析】分析题意，我们发现这两个算式除数与余数的差都等于11−8=13−10=3，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除，所以[11、13]=143，所以这个数是143−3=140．39. 被2，3，5除余1且不等于1的最小整数是几？【答案】31【分析】除1以外，被2除余1的所有整数是：3,5,7,9,11,⋯,27,29,31,33,⋯被3除余1的所有整数是：4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,⋯被5除余1的所有整数是：6,11,16,21,26,31,36,⋯上面三列数中，第一个同时出现的数是31，所以31是同时满足被2，3，5除均余1且不等于1的最小数．40. 有5000多根牙签，可按6种规格分成小包．如果10根一包，那么最后还剩9根．如果9根一包，那么最后还剩8根．第三、四、五、六种的规格是，分别以8，7，6，5根为一包，那么最后也分别剩7，6，5，4根．原来一共有牙签多少根？【答案】5039【分析】设这包牙签有n根，那么加上1根后为n+1根此时有n+1根牙签即可以分成10根一包，又可以分成9根一包，还可以分成8、7、6、5根一包．所以，n+1是10、9、8、7、6、5的倍数，即它们的公倍数．[10,9,8,7,6,51=23×32×5×7=2520，即n+1是2520的倍数，在满足题下只能是2520×2=5040，所以n=5039．即原来一共有牙签5039根．41. 炒饭老师非常喜欢吃炒饭．有一天，炒饭老师给自己炒了一桶的炒饭．他算了一下，如果他每天吃3碗，最后剩下2碗；如果每天吃4碗，最后剩下2碗；如果每天吃5碗，最后剩下2碗．问炒饭老师炒了至少多少碗炒饭？【答案】62【分析】炒饭老师炒的饭的碗数减去2是3，4，5的公倍数，所以老师炒的饭的最小值为[3,4,5]+2=60+2=62（碗）．42. 被3，5除余2的最小两位数是几？【答案】2【分析】被5除余2的所有整数是：2,7,12,17,22,27,32,37⋯被3除余2的所有整数是：2,5,8,11,14,17⋯所以，被3，5除余2的最小两位数是2．43. 韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五．那么这队兵有多少人？【答案】473【分析】先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3的数．44. 刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？【答案】467【分析】兔子数除以3余2，除以5余2，除以7余5．所有满足前两个条件的数为2+ [3,5]×n，其中n为自然数，即2、17、32、47、⋯其中47同时满足第三个条件．所有满足条件的数为47+[3,5,7]×m，其中m为自然数．m取4时满足条件，为467．45. 一个两位数分别除以7、8、9，所得的余数的和为20．问：这个两位数是多少？【答案】62【分析】余数的和为20，则这个两位数除以7、8、9的余数分别为6、7、7或6、6、8或5、7、8．其中只有6、6、8的情况存在满足条件的两位数为62．46. 有一个自然数，用它去除25，38，43所得到的3个余数之和是18，那么这个自然数是多少？【答案】11【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}25 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\38 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\43 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 25 + 38 + 43 - 18 = 88$ 为x的倍数；②88=2×2×2×11③枚举验证⇒x=11．47. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数．【答案】53．【分析】分析题目，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的“中国剩余定理”：3、5的公倍数 3、7的公倍数 5、7的公倍数15 21 3530 42 7045 63 10560 84 140… … …找出除以7余4的 除以5余3 除以3余2．可以找出分别是：60 63 35可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内．所以答案为：158−105=53．48. （1）一个三位数除以6余2，除以8余2，那么这个三位数最小是多少？（2）—个数除以3余2，除以5余4，除以7余6，那么这个数最小是多少？（3）—个数除以6余2，除以11余1，那么这个数最小是多少？【答案】（1）122；（2）104；（3）5649. 有一个整数，用它去除63，90，130所得到的3个余数之和是25，那么这3个余数中最大的一个是多少？【答案】20【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}63 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\90 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\130 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 63 + 90 + 130 - 25 =258$ 为x的倍数；②258=2×3×43③枚举验证⇒x=43．所以 $\left\{ \begin{gathered}63 \div 43 \cdots 20 \hfill \\90 \div 43 \cdots 4 \hfill \\130 \div 43 \cdots 1 \hfill \\\end{gathered} \right.$，显然这3个余数中最大的一个是20．50. 一个自然数除以7余3，除以27余5，这个自然数最小是多少？【答案】59【分析】除以27余5的数有5、32、59、⋯，其中除以7余3的最小的数是59．51. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问这个数是多少？【答案】53【分析】如果用剩余定理相信大家会做了，接下来看逐步满足法．第一个条件，除以3余2，最小是2；先记下2．第二个条件，除以5余3，原来已经有了2，要保持满足第一个条件不变，那么在2的基础上增加3的倍数，这样除以3余2不会变．2+3n的形式．这个数要满足第二个条件，除以5余3．在2+3n中，2已经余2了，3n需要余1，所以n=2即可．这样满足前两个条件的最小的数是8．第三个条件，除以7余4.8+3×5n的形式．3×5n=15n除以7要余4−1=3，15除以7余1，所以n最小是3，这个数是8+45=53满足题意．52. 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？【答案】5【分析】方法一：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23，⋯；它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，⋯；除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，⋯；它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，⋯；一个数除以12的余数是唯一的．上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5．方法二：一个数，除以3余2，除以4余1，可以理解为除以3余3+2，除以4余4+1，所以这个数减去5后，既能被3整除，又能被4整除，设这个数为a，则a=12m+5，（m为自然数）所以这个数除以12余5．53. （1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？（2）—个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？【答案】（1）17；437（2）106；216【分析】（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,10]+17=437．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4即可被11和10整除，[11,10]=110，因此这个数最小为110−4=106．第二小的是110×2−4=216．54. 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．（使用逐步满足法）【答案】1102【分析】方法1（比较法）：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，⋯；被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，⋯；被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是105×10+52=1102.方法2（逐步满足的比较法）：先列出除以3余1的数：1，4，7，10，13，16，⋯；再列出除以5余2的数：2，7，12，17，22，27，⋯；这两列数中，首先出现的公共数是7．3与5的最小公倍数是15．两个条件合并成一个就是7+15×整数，列出这一串数是7，22，37，52，⋯；再列出除以7余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；就得出符合题目条件的最小数是52．事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52．那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102.方法3（逐步满足法）：设这个自然数为a，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余3×2+1，被5除与5+2，所以满足前面两个条件的a=15m+7（m为自然数），只需15m+7除以7余3，即15m除以7余3，而15÷7=2⋯⋯1，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为3×15+7=52，那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102.55. 今有物不知其数，三三数之剩一，四四数之剩三，五五数之剩二，问物几何？【答案】7【分析】40×1+45×3+36×2=247，3×4×5=60，247÷60=4⋯⋯7，最少是7．56. 今有一堆石子，三个三个数余2个，五个五个数余2个，七个七个数余4个，这堆石子最少有多少个？【答案】32【分析】70×2+21×2+15×4=242；244−105−105=32；57. 有一个正整数除以7、8、9的余数分别为1、5、4，求这个数至少是多少？【答案】85【分析】除以7余1的数至少是1，为满足这一特点每次要加7，加了4个7后首次满足除以8余5；然后每次加56，加了一个后满足除以9余4，此时这个数是85．58. 一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【答案】172【分析】法一：仔细分析可以发现3×2+1=5+2=7，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于[3,5,11]=165，所以这个数最小是165+7=172．法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数．59. 一个自然数除以8、9、11后分别余2、7、3，而所得的三个商的和是622，这个数是多少？【答案】1906．【分析】设这个数为x．x除以8余2：最小为2，通式为2+8k1；x除以9余7：k1最小为4，则有2+8×4=34，通式为34+[8,9]k2=34+72k2．x除以11余3：k2最小为4，则有34+72×4=322．则x=322+[8,9,11]n=322+792n．322+792n−28+322+792n−79+322+792n−311=622 40+99n+35+88n+29+72n=622259n=518n=2x=322+792×2=1906．60. 有一个整数，用它去除53，89，127所得到的3个余数之和是23，那么这个整数是多少？【答案】41【分析】设这个数为x，由题意可得：① $\left\{\begin{gathered}53 \div x = a \cdots {r_1} \hfill \\89 \div x = b \cdots {r_2} \hfill \\127 \div x = c \cdots {r_3} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow 53 + 89 + 127 - 23 =246$ 为x的倍数；②246=2×3×41③枚举验证⇒x=41．61. 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小的自然数？【答案】148．【分析】设这个数为n．n除以5余3：最小为3，通式为3+5k1；n除以6余4：k1最小为5，则有3+5×5=28，通式为28+[5,6]k2=28+30k2．n除以7余1：k2最小为4，则有n=28+30×4=148．62. 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．【答案】2430，2431，2432．【分析】设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为n+1，n+2．依题意可知：15∣n，17∣(n+1)，19∣(n+2)，根据整除的性质对这三个算式进行变换：15∣n 17∣(n +1)19∣(n +2)→→→15∣2n 17∣(2n +2)19∣(2n +4)→→→15∣(2n −15)17∣(2n −15)19∣(2n −15)}⇒[15,17,19]∣(2n −15)从上面可以发现 2n −15 应为 15、17、19 的公倍数．由于 [15,17,19]=4845，所以 2n −15=4845(2k −1)（因为 2n −15 是奇数），可得 n =4845k −2415．当 k =1 时 n =2430，n +1=2431，n +2=2432，所以其中的一组自然数为 2430、2431、2432．63. 有一个数，除以 3 余数是 2，除以 4 余数是 1．问这个数除以 12 余数是几？【答案】 5【分析】 满足条件的最小值是 5，那么所有满足条件的数肯定具有 [3,4]k +5=12k +5 的形 式，除以 12 —定是余 5 的．64. （1）一个三位数除以 8 余 3，除以 12 也余 3．这个三位数最小是多少？（2）—个三位数除以 6 余 1，除以 10 余 5．这个三位数最小是多少？【答案】 （1）123；（2）115【分析】 （1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为 [8,12]×n +3，其中 n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令 n 为 5，即 [8,12]×5+3=123．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为 [6,10]×n −5，其中 n 为自然数．要求满足条件的最小三位数，应令 n 为 4，即 [6,10]×4−5=115．65. 一个布袋中装有 5000 多个小球，如果 10 个一包，最后还剩 9 个，如果 9 个一包，最后还剩 8 个 ⋯⋯ 如果 5 个一包，最后还剩 4 个，那么如果 13 个一包，最后还剩多少个？【答案】 8 个【分析】 简答：布袋中的小球数除以 10 余 9，除以 9 余 8，除以 8 余 7⋅⋯，除以 5 余 4，[5,6,7,8,9,10]=[5,7,8,9]=5×7×8×9=2520，所以，布袋中球数是 2520−1+2520=5039，5039÷13 余 8．66. （1）—个三位数除以 4 余 2，除以 6 余 2，那么这个三位数最小是多少？（2）—个三位数除以 3 余 1，除以 4 余 2，除以 6 余 4，那么这个三位数最小是多少？（3）—个数除以 9 余 2，除以 12 余 5，那么这个数最小是多少？【答案】 （1）110；（2）106；（3）29【分析】 简答：（1）[4,6]=12，14+12×8=110；（2）按“差同”计算；（3）按“差同”计算．67. 一个数被5除余3，被7除余4，被9除余5，这个数最小是几？【答案】158【分析】7和9的公倍数9和5的公倍数5和7的公倍数6345351269070135105180140225175210245280⋯⋯⋯在7和9的公倍数中，除以5余1的最小数是126；在5和9的公倍数中，除以7余1的最小数是225；在5和7的公倍数中，除以9余1的最小数是280；那么126×3+225×4+280×5=2678．[5,7,9]=315．所以，最小的数为2678−315×8=158．68. 一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．【答案】1102【分析】方法1：先列出除以3余1的数：1，4，7，10，13，16，⋯；再列出除以5余2的数：2，7，12，17，22，27，⋯；这两列数中，首先出现的公共数是7．3与5的最小公倍数是15．两个条件合并成一个就是7+15×整数，列出这一串数是7，22，37，52，⋯；再列出除以7余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；就得出符合题目条件的最小数是52．事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52．那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102．方法2：我们先找出被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，⋯；被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，⋯；被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，⋯；三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是105×10+52=1102．方法3：设这个自然数为a，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余3×2+1，被5除与5+2，所以满足前面两个条件的a=15m+7（m为自然数），只需15m+7除以7余3，即15m除以7余3，而15÷7=2⋯1，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为3×15+7=52，那么这个数在1000和1200之间，应该是105×10+52=1102．69. 一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数：【答案】368．【分析】将3、5、7、11这4个数3个3个分别计算公倍数，如表：5、7、11公倍数3、7、11公倍数3、5、11公倍数3、5、7公倍数3852311651057704623302101155693495315……………………除3余2的最小数是770除5余3的最小值是693除7余4的最小值是165 3、5、7公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以210×5=1050被11除余5，由此可知770+693+165+1050=2678是符合条件的一个值，又3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以2678−1155×2=368是符合条件的最小值．70. 有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？【答案】20【分析】设这个除数为M，设它除63，90，130所得的余数依次为a，b，c，商依次为A，B，C．63÷M=A⋯⋯aa+b+c=25，则(63+90+130)−(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283−25=258=(A+B+C)×M.所以M是258的约数．258=2×3×43显然当除数M为2、3、6时，3个余数的和最大为3×(2−1)=3,3×(3−1)=6,3×(6−1)=15所以均不满足．而当除数M为43×2，43×3，43×2×3时，它除63的余数均是63，所以也不满足．那么除数M只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足．显然这3个余数中最大的为20．71. 有一个整数，用它分别去除157、234和324，得到的三个余数之和是100，这个整数是多少？。
六年级下册数学试题-小升初综合测试题一(原卷+解析卷)全国通用
小升初综合测试题一一、填空题（每题5分，共40分）1. 计算：13.142-3.142=_______________。
2. 某公司因业务发展需要，今年员工总数比去年增加了10%，由于物价上涨，员工的平均工资比去年增加了10%，则该公司今年支付员工的工资总额比去年增加了____________%。
3. 如图，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体，这个物体的表面积是_____________。
4. 如图，在△ABC 中，△AEO 的面积是1，△ABO 的面积是2，△BOD 的面积是3，则四边形DCEO 的面积是_______________。
5. 已知2012被一些正整数去除，得到的余数为10，则这样的正整数共有____________个。
6. 已知随机变量X 的分布列如下表： X1 2 3 4 P a b 0.2 0.15 数学期望为2.1，求a,b7. 有一组连续的三个正整数，从小到大依次排列，第一个数是5的倍数；第二个数是7的倍数；第三个数是9的倍数；则这组数中最小的正整数为_______________。
8. 有一列数：，，，，，，，，，，14233241132231122111……，按照此规律排下去，则65是数列中第___________个数。
二、填空题（每题7分，共56分）9. 定义新运算*：a*b=ab-a-b ，若（3*x ）*3=11，则x=_____________。
10. 随机抛两枚立方体骰子，点数之差（大减小）大于2的概率为_____________。
11. 小明把1，3，5，7，……，这些奇数依次加起来，由于漏加了一个奇数，得到的和数为2012，则小明漏掉的奇数为______________。
12. 甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事，已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事，那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有___________个。
六年级下册数学试题-小升初重点考点讲练—余数问题：中国剩余定理(无答案PDF)人版教
大科学家爱因斯坦曾经做过一道数学题：在你面前有一条长长的阶梯，如果你每步跨2级，最后剩下1级；如果你每步跨3级，最后剩下2级；如果你每步跨5级，最后剩下4级；如果你每步跨6级，最后剩下5级；这条电梯最少有______级。
【举一反三】大科学家爱因斯坦曾经做过一道数学题：在你面前有一条长长的阶梯，如果你每步跨2级，最后剩下1级；如果你每步跨3级，最后剩下1级；如果你每步跨5级，最后剩下1级；如果你每步跨6级，最后剩下1级；这条电梯最少有______级。
有连续的三个自然数a、a＋1、a＋2，它们恰好分别为9、8、7的倍数。
求这三个自然数中最小的数至少是多少？三个连续自然数从小到大依次分别为13、15、17的倍数，求三数和最小为______。
一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余4，那么满足条件的最小自然数为______。
一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得三个商的和为758，这个数是______。
【本讲重要内容回顾】拿到一个“物不知数”问题上来3招：1．看是不是“去同余、补同缺”问题；2．看是不是“去同余、补同缺”在跟咱们躲猫猫；3．实在不行，动用中国剩余定理之逐级满足法，找到一个线头，你就找到了整个春天。
测试题1．★★有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本。
那么这批图书共有( )本。
A．760B．670C．540D．9602．★★★三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是( )。
A．160B．586C．483D．1623．★★★有三个连续的自然数，其中，最小的能被9整除，中间的能被11整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是( )？A．648；649；650B．630；631；632C．639；640；641D．621；622；6234．★★★一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，符合条件的数有( )个。
六年级下册数学试题-小升初数论真题解析及练习 人教版
1数论杂题整体概况十一：数论的题考的不是很难，不过比较灵活。
更多的时候是把数论融入到应用题中来考察。
知识框架数论又叫数的整除理论，专门研究整数及其性质．数论模块按照一个数被另一个数除是否有余数来划分，可以分为整除和余数两大类．五年级主要考察整除类问题和简单余数问题。
具体内容如下：1、整除性和试除法2、因数倍数及应用3、质数合数和分解质因数4、公因数和公倍数及应用5、最值和数字拆分6、余数定理和周期7、数论中的计数问题8、完全平方数和位置原理9、数论综合和数字迷例题精讲【例 1】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？（十一分班真题）【练习】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【例 2】某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是。
因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。
而1993000÷2520=790余2200。
于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。
所以最后三位数字依次是3、2、0。
□□【练习】在六位数1111中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?【例 3】七位数175□62□的末位数字是的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。
讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。
则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。
要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。
则有b-a=8，或者a-b=3。
①当b-a=8时，b可取9、8； ②当a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。
所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。