第14章 图的基本概念

1阶零图N1称为平凡图.平凡图只有一个顶点,没有边

规定顶点集为空集的图为空图,并将空图记为 给每个顶点和每一条边指定一个符号
e2 v1 e4 v4
v3 e3 v5 e5 e1 v2
则称这样的图为标定图,否则称为非标定图
标定图 非标定图 ®
§14.1 图
有关图的一些概念和规定(续)

v2 v1
v2 v1 ® e2 e4 v5 e6
+ -
-
v2 e3 v v 33 e5 v4 v4
§14.1 图
定义14.3 在无向图中,如果关联一对顶点的无向边多于1条,
则称这些边为平行边,平行边的条数称为重数.
在有向图中,如果关联一对顶点的有向边多于1条, 并且这些边的始点与终点相同,则称这些边为平行边.
例14.2 判断下列各非负整数列哪些是可图化的?哪些是可简单化的?
(1) (5,5,4,4,2,1) (2) (5,4,3,2,2) (3) (3,3,3,1) 不可图化 可图化 可图化 不可简单化
不可简单化
不可简单化 n
(4) (d1,d2,…,dn), d1>d2>…>dn≥1且 (5) (4,4,3,3,2,2) 可图化
有关图的一些概念和规定

无向图和有向图统称为图,通常用G表示无向图,D表示有向图,有时
也用G泛指图. V(G), E(G)分别表示G的顶点集和边集.
5阶零图
|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数

顶点数称作图的阶,n个顶点的图称为n阶图 一条边也没的图称为零图. n阶零图记作Nn
平凡图
若两个顶点之间有一条边连接,则称这两个顶点相邻
若两条边中一条边的终点是另一条边的始点,则称这两条边相邻

图(无向的或有向的)中没有边关联的顶点
e1
v1
称为孤立点
v2 e2
v3
v5
e3 e4
®
§14.1 图
有关图的一些概念和规定(续)

设无向图G=<V,E>,∀v∈V,
称 NG(v)={ u| u∈V∧(u,v)∈E∧u≠v } 为 v 的邻域 , 称 NG(v)= NG(v) ∪ {v} 为 v 的闭邻域 ,
A & B={ {1,x},{1,y}, {2,x},{2,y},{3,x},{3,y} }

例: 设A={1,2},B={1,2},则
A×B={ <1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2> }
A & B={ {1,1} , {1,2} , {2,2} } 或 ={ (1,1) , (1,2) , (2,2) }
§14.1 图
定义14.7 设G为n阶无向简单图,若∀v∈V(G) ,均有d(v)=k, 则称G为k-正则图
u1 u5 u8 u4 彼德森图
u2 u6
u7
u3
®
§14.1 图
定义14.8 设G=<V,E>,G’=<V’,E’>为两个图,


如果 V’ V, E’ E, 称G’是G的子图,G是G’的母图,记作G’ G
则它是某个简单图的度序列的充分必要条件是 并且
d
i 1
n
i
为偶数
d
i 1
k
i
k (k 1)
i k 1
min{k , d }
i
n
对于任意的1 k n有成立
例 试判定序列5, 5, 3, 2, 2, 1是否为简单图的度序列 解： 当k=1时 当k=2时 5 ≤ 5 = 1*0+(1+1+1+1+1) 5+5=10 > 9 = 2*1+(2+2+2+1)
含有平行边的图称为多重图,
既不含平行边也不含环的图称为简单图
v2 v3
v2
v3
v1
v4
v1
v4 简单图 ®
多重图
§14.1 图
定义14.4 设G=<V,E>为无向图
∀v∈V,称v作为边的端点的次数之和为v的度数,记作dG(v)
设D=<V,E>为有向图 ∀v∈V,称v作为边的始点的次数之和为v的出度,记为dD-(v)
如果G’是G的子图,且 V’ ⊂ V 或 E’ ⊂ E,则称G’为G的真子图 如果G’是G的子图,且 V’ = V ,则称G’为G的生成子图
v2
v2 v2 v3 e4 e1 v1 e4 e7 v5 e6 G’’ ® e5 v4
e1 v1 e2
e3
e7
e4 e5
v3
e2
v3
v5
e6 G
v4
v5
e6 G’
®
§14.1 图
定义14.1 一个无向图G是一个有序的二元组<V,E>


V是一个非空有穷集,V ,称为顶点集,其元素称为顶点或结点
E是无序积V&V的有穷多重子集,称为边集,其元素称为无向边或边 例 图G如右图所示,其中
V={v1,v2,v3,v4,v5},
E={ (v1,v3) , (v1,v4) , (v2,v4) , (v2,v5) , (v3,v5) } 或 E={ e1 , e2 , e3 , e4 , e5 }
推论 在任何图中,奇度顶点的个数是偶数
®
§14.1 图
设G=<V,E>为一个n阶无向图,V={v1,v2,…,vn},
称d(v1),d(v2),…,d(vn)为G的度数(序)列

对于顶点标定的无向图,它的度数列是唯一的 对于给定的非负整数列 d=(d1,d2,…,dn),
若存在以V={v1,v2,..,vn}为顶点集的n阶无向图G,使得
V={v1,v2,v3,v4,v5},
E={ <v1,v3> , <v1,v4> , <v3,v5> , <v4,v2> , <v5,v2>} 或 E={ e1 , e2 , e3 , e4 , e5 } 边e1可记作 e1=<v1,v4>
e2
v1 e1 v4 e5 e4 v2 ® v3
e3
v5
§14.1 图
®
n (n1) 阶无向完全图的边数为：
m n( n 1) , n1 2
n (n1)阶有向完全图的边数为：
m n( n 1), 2( n 1), n 1
n (n1)阶竞赛图的边数为：
m n( n 1) , n1 2
第十四章 图的基本概念
第十四章
图
图的基本概念
通路与回路
图的连通性 图的矩阵表示 图的运算 知 识 点：图的基本概念、路与回路、连通度、图的矩阵
表示、图的运算 。
教学要求：深刻理解和掌握图的有关概念和表示 。 教学重点：图的基本概念。 学时: 6
§14.1 图
图是用于描述现实世界中离散客体之间关系的有力工具 。 图中点的位置和线的长短形状都是无关紧要的, 重要的是 两点之间是否有连线。
∀v∈V,称v作为边的终点的次数之和为v的入度,记为dD+(v)
称 dD-(v)+dD+(v) 为v的度数,简记作d(v) 图G的最大度 : Δ(G)=max{ d(v)| v∈V (G) }
图G的最小度 : δ(G)=min{ d(v)| v∈V (G) }
类似定义有向图的最大出度、最小出度、最大入度、最小入度
v3 v4 将有向边改成无向边, 得到它的基图
将有向图的各条有向边改成无向边后
所得到的无向图称为这个图的基图 设G=<V,E>为无向图, ek= (vi,vj)∈E

称vi,vj为ek的端点, ek与vi ,vj关联,
若vi≠vj,则称ek与vi ,vj的关联次数为1 若vi=vj, 则称ek与vi ,vj的关联次数为2
EV e1,e } ,v5 } 1={ 3,e 44 1={ v 2,v 3,v e4
v1 G[E1G[V ] 1]
v v 2 2 e1
e2
e4 e4 v5 v5
e 3 e 3
v3 e5 v4 v4
v3
e6
v4
e6
§14.1 图
定理 设非负整数序列d1, d2,…, dn 满足
d1 d2 … dk dk+1 … dn
v2 e4 v3 e2 e2 e5 v4 e4 v2 e2 e5 v4 e2 e3 v5 e1 v4 e5 e4 v2 v1
无向图
v1
e1 v5 e3
v3
v3
e3 v5 e1 e4 e5 v2 ®
有向图
v1
e1 v5 e3
v3
v1
v4
§14.1 图
设A,B为任意的两个集合


A与B的笛卡尔积: A×B={ <a,b>|a∈A , b∈B }
d(vi)=di,则称d是可图化的 特别地若所得到的图是简单图,则称d是可简单化的 例 画出度序列为 4,5,2,3,2 的图
G1 G2
G3
®
§14.1 图
定理14.3 非负整数列d=(d1,d2,…,dn)是可图化的
当且仅当
d
i 1
n
i
为偶数
定理14.4 设G为任意n阶无向简单图,则Δ(G)≤n-1
悬挂边
悬挂点
®
§14.1 图
定理14.1 在任何无向图中,所有顶点的度数之和等于边数的2倍