2014年全国高中数学联赛试题及标准答案

201４年全国高中数学联赛（B 卷)

一 试

一、填空题(每小题8分,共64分，)

1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 .

2. 已知函数

x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 ． 3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点(纵横坐标均为整数的点）的个数是 .

4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常

数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ,则=+βα

. 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是 .

6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .

7. 正三棱柱

111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin . 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ，z ）的个数是 .

二、解答题(本题满分５６分）

9. （16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ,当10≤≤x 时，1)(≤'x f ,试求a 的最大值．

1０.(20分)已知抛物线

x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．

11．（2０分)证明:方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得 +++=3215

2a a a r r r .

解 答

1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为

]3,3[-.

２. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即

t a at t g )3()(3-+-=.

由3)3(3-≥-+-t a at ,0)1(3)1(2≥----t t at ,0)3)1()(1(≥-+--t at t 及0

1≤-t 知03)1(≤-+-t at

即 3)(2-≥+t t a . （１）

当1,0-=t

时（１)总成立； 对20,102≤+<≤

3≤≤-a . ３. ９800 提示:由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况,设

)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ，交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -,从而在x 轴上方区域内部整点的个数为

99

1(99)99494851k k =-=⨯=∑．

又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.

3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则

,3q d =+ （1）

2)43(3q d =+, （2）

（1)代入(2）得961292++=+d d d

，求得9,6==q d ． 从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立,即β

α+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.

从而

βαα+-=-=9log 3,69log ,

求得 3,33==βα，333+=+βα.

5． 41- 提示:令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ，)(y g 在3(,+)2

-∞上是递增的. 当10<

211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=,