高中数学组卷数列高考题训练

高中数学组卷数列高考

题训练

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

高中数学组卷——数列高考题训练一．解答题（共15小题）

1．等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[]=0，[]=2．

2．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．

（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；

（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．

3．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）求{b n}的前n项和．

4．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n 项和．

5．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．

6．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，

b2=2，q=d，S10=100．

（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式

（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．

7．S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3

（I）求{a n}的通项公式：

（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．

8．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．

9．已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设b n=（a n+1）

2，求数列{b n}的前n项和T n．

10．已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列

（1）求q的值和{a n}的通项公式；

（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．

11．设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，

4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1．

（1）求a4的值；

（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；

（3）求数列{a n}的通项公式．

12．数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．

（1）求a3的值；

（2）求数列{a n}的前n项和T n；

（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．

13．已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，a n，a m成等比数列．

14．数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．

（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；

（Ⅱ）设b n=3n，求数列{b n}的前n项和S n．

15．设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．

一．解答题（共15小题）

1．等差数列{a n}中，a3+a4=4，a5+a7=6．

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=[a n]，求数列{b n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[]=0，[]=2．

【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，

∵a3+a4=4，a5+a7=6．

∴，

解得：，

∴a n=；

（Ⅱ）∵b n=[a n]，

∴b1=b2=b3=1，

b4=b5=2，

b6=b7=b8=3，

b9=b10=4．

故数列{b n}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．

2．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；

（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．

【解答】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，

∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，

n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；

∵a n=b n+b n+1，

=b n﹣1+b n，

∴a n

﹣1

∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．

∴2d=6，

∴d=3，

∵a1=b1+b2，

∴11=2b1+3，

∴b1=4，

∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；

（Ⅱ）

c n======

==6（n+1）

2n，

∴T n=6[2?2+3?22+…+（n+1）

2n]①，

∴2T n=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）

2n+1]②，

①﹣②可得

﹣T n=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）

2n+1]

=12+6×﹣6（n+1）

2n+1

=（﹣6n）2n+1=﹣3n?2n+2，

∴T n=3n?2n+2．

3．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）求{b n}的前n项和．

【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．

当n=1时，a1b2+b2=b1．

∵b1=1，b2=，

∴a1=2，

又∵{a n}是公差为3的等差数列，

∴a n=3n﹣1，

（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．

即3b n+1=b n．

即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，

∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．

4．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n 项和．

【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，

解得q=2或q=﹣1．

若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，

∴S6==63，∴a1=1．

∴a n=2n﹣1．

（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，

∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．

∴b n

﹣b n=1．

∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．

设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则

T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）

=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n

=2n2．

5．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．

【解答】解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，

当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，

此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，

所以a n=．

（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，

当n＞1时，b n=31﹣n log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，

所以T1=b1=；

当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），

所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），

两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣，

所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，

综上可得T n=﹣．

6．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．

（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式

（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．

【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，

解得，或，

当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；

当时，a n=（2n+79），b n=9?；

（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，

∴c n==，

∴T n=1+3?+5?+7?+9?+…+（2n﹣1）

，

∴T n=1?+3?+5?+7?+…+（2n﹣3）

+（2n﹣1）

，

∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）

=3﹣，

∴T n=6﹣．

7．S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3

（I）求{a n}的通项公式：

（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．

【解答】解：（I）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3

两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）=4a n+1，

即2（a n+1+a n）=a n+12﹣a n2=（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），

∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，

∵a12+2a1=4a1+3，

∴a1=﹣1（舍）或a1=3，

则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，

∴{a n}的通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1：

（Ⅱ）∵a n=2n+1，

∴b n===（﹣），

∴数列{b n}的前n项和T n=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．

8．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．

∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．

解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），

解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；

（2）S n==2n﹣1，

∴b n===﹣，

∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．9．已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设b n=（a n+1）

2，求数列{b n}的前n项和T n．

【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1、公差为d，则a1＞0，

∴a n=a1+（n﹣1）d，a n+1=a1+nd，

令c n=，

则c n==[﹣]，

∴c1+c2+…+c n﹣1+c n=[﹣+﹣+…+﹣]

=[﹣]

=，

又∵数列{}的前n项和为，

∴，

∴a1=1或﹣1（舍），d=2，

∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；

（2）由（1）知b n=（a n+1）

2=（2n﹣1+1）

22n﹣1=n?4n，

∴T n=b1+b2+…+b n=1?41+2?42+…+n?4n，

∴4T n=1?42+2?43+…+（n﹣1）

4n+n?4n+1，

两式相减，得﹣3T n=41+42+…+4n﹣n?4n+1=4n+1﹣，

∴T n=．

10．已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列

（1）求q的值和{a n}的通项公式；

（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．

【解答】解：（1）∵a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，

∴a3=q，a5=q2，a4=2q，

又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，

∴2×3q=2+3q+q2，

即q2﹣3q+2=0，

解得q=2或q=1（舍），

∴a n=；

（2）由（1）知b n===，n∈N*，

记数列{b n}的前n项和为T n，

则T n=1+2?+3?+4?+…+（n﹣1）

+n?，

∴2T n=2+2+3?+4?+5?+…+（n﹣1）

+n?，

两式相减，得T n=3++++…+﹣n?

=3+﹣n?

=3+1﹣﹣n?

=4﹣．

11．设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，

4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1．

（1）求a4的值；

（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；

（3）求数列{a n}的通项公式．

【解答】（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即

，

解得：；

（2）证明：∵4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n（n≥2），

即4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），

+a n=4a n+1．

∵，∴4a n

∵=．

∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列；

（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，

∴．

即，

∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，

∴，即，

∴数列{a n}的通项公式是．

12．数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．

（1）求a3的值；

（2）求数列{a n}的前n项和T n；

（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．

【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．

∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，

解得a2=，

∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．

∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．

两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，

则a n=，n≥2，

当n=1时，a1=1也满足，

∴a n=，n≥1，

则a3=；

（2）∵a n=，n≥1，

∴数列{a n}是公比q=，

则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．

（3）b n=+（1+++…+）a n，

∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，

∴b n=+（1+++…+）a n，

∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n =（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n

=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），

设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，

则f′（x）=﹣．

即f（x）在（1，+∞）上为增函数，

∵f（1）=0，即f（x）＞0，

∵k≥2，且k∈N时，，

∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，

∴ln，，…，

即=lnn，

∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，

即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．

13．已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，a n，a m成等比数列．

【解答】（1）解：∵S n=，n∈N*．

∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=3n﹣2，（*）

当n=1时，a1=S1==1．

因此当n=1时，（*）也成立．

∴数列{a n}的通项公式a n=3n﹣2．

（2）证明：对任意的n＞1，假设都存在m∈N*，使得a1，a n，a m成等比数列．则，

∴（3n﹣2）2=1×（3m﹣2），

化为m=3n2﹣4n+2，

∵n＞1，

∴m=3n2﹣4n+2=＞1，

因此对任意的n＞1，都存在m=3n2﹣4n+2∈N*，使得a1，a n，a m成等比数列．14．数列{a n}满足a1=1，na n+1=（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．

（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；

（Ⅱ）设b n=3n，求数列{b n}的前n项和S n．

【解答】证明（Ⅰ）∵na n+1=（n+1）a n+n（n+1），

∴，

∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∴，

b n=3n=n?3n，

∴3n﹣1+n?3n①

3n+n?3n+1②

①﹣②得3n﹣n?3n+1

∴

【解答】解：（1）∵点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上，

∴，

又等差数列{a n}的公差为d，

∴==2d，

∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，

∴=b8，

∴=4=2d，解得d=2．

又a1=﹣2，∴S n==﹣2n+=n2﹣3n．

（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2x ln2，

∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，

又，令y=0可得x=，

∴，解得a2=2．

∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．

∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，

∴b n=2n．

∴．

∴T n=+…++，

∴2T n=1+++…+，

两式相减得T n=1++…+﹣=﹣=

=．