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高一数学必修一函数知识点总结归纳

1.函数的奇偶性

(1)若 f(x) 是偶函数，那么 f(x)=f(-x);

(2)若 f(x) 是奇函数， 0 在其定义域内，则 f(0)=0( 可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式： f(x) ±f( -x)=0 或

(f(x)≠0);

(4) 若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性 ; 偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性 ;

2.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为 [a ，b], 其复合函数f[g(x)] 的定义域由不等式 a≤g(x) ≤b解出即可 ; 若已知 f[g(x)] 的定义域为 [a,b], 求 f(x) 的定义域，相当于 x∈[a,b] 时，求 g(x) 的值域 ( 即

f(x) 的定义域 ); 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定 ; 3.

函数图像 ( 或方程曲线的对称性 )

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心( 对称轴 ) 的对称点仍在图像上 ;

(2)证明图像 C1 与 C2的对称性，即证明 C1 上任意点关于对称中心(对称轴 ) 的对称点仍在 C2上，反之亦然 ;

(3) 曲线 C1：f(x,y)=0, 关于 y=x+a(y=-x+a) 的对称曲线 C2的方程

为 f(y-a,x+a)=0( 或 f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线 C1:f(x,y)=0 关于点 (a,b) 的对称曲线 C2方程为： f(2a-

x,2b-y)=0;

(5) 若函数 y=f(x) 对 x∈R时， f(a+x)=f(a-x) 恒成立，则 y=f(x) 图像

关于直线 x=a 对称 ;

(6)函数 y=f(x-a) 与 y=f(b-x) 的图像关于直线 x=对称 ; 4.

函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)

或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立 , 则 y=f(x) 是周期为 2a 的周期函数;

(2)若 y=f(x) 是偶函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x) 是周期

为 2︱a︱的周期函数 ;

x=a 对称，则f(x)是周

(3) 若 y=f(x) 奇函数，其图像又关于直线

期为 4︱a︱的周期函数 ;

(4)若 y=f(x) 关于点 (a,0),(b,0) 对称，则 f(x) 是周期为 2 的周期函

数 ;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b) 对称，则函数y=f(x)

是周期为 2 的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-

或f(x+a)=，则y=f(x)是f(x)(

周期为 2 的周期函数 ;

5. 方程k=f(x)有解k∈D(D 为f(x)的值域 );

6.a ≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符号由口诀“同正异负”记

忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

8.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A 中元素必须都有象且

唯一 ;(2)B 中元素不一定都有原象，并且 A 中不同元素在 B中可以有

相同的象 ;

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇

偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论： (1) 定义域上的单调函数必有反函数 ;(2) 奇函数的反函数也是奇函数 ;(3) 定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 ;(4) 周期函数不存在反函数 ;(5) 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 ;(5)y=f(x) 与 y=f-1(x) 互为反函数，

设f(x) 的定义域为 A，值域为 B，则有 f[f-- 1(x)]=x(x ∈B),f --

1[f(x)]=x(x ∈A).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合; 二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向 ; 二看对称轴与所给区间的相对位置关系 ;

12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类

参数的范围问题

13.恒成立问题的处理方法： (1) 分离参数法 ;(2) 转化为一元二次方程的根的分布列不等式 ( 组) 求解 ;

一：集合的含义与表示

1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们

能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为

集。

2、集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确

定的：属于或不属于。

(2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复

的。

(3)元素的无序性 : 集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合

3、集合的表示： { }

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c }

b、描述法：

①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x R|x-3>2},{x|x-3>2}

②语言描述法：例： { 不是直角三角形的三角形}

③Venn 图: 画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：

(1)有限集：含有有限个元素的集合

(2)无限集：含有无限个元素的集合

(3)空集：不含任何元素的集合

5、元素与集合的关系：

(1)元素在集合里，则元素属于集合，即： a A

(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即： a￠A

注意：常用数集及其记法：

正整数集 N*或 N+

整数集 Z

有理数集 Q

实数集 R

6、集合间的基本关系

(1). “包含”关系 (1) —子集

定义：如果集合 A的任何一个元素都是集合 B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A 是集合 B 的子集。

一、一次函数定义与定义式：

自变量 x 和因变量 y 有如下关系：

y=kx+b

则此时称 y 是 x 的一次函数。

特别地，当 b=0 时， y 是 x 的正比例函数。

即： y=kx(k 为常数， k≠0)

二、一次函数的性质：

1.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 即：

y=kx+b(k 为任意不为零的实数 b 取任何实数 )

2.当 x=0 时， b 为函数在 y 轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1.作法与图形：通过如下 3 个步骤

(1)列表 ;

(2)描点 ;

(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2 点，并连成直线即可。 ( 通常找函数图像与

x轴和 y 轴的交点 )

2. 性质： (1) 在一次函数上的任意一点P(x ，y) ，都满足等式：y=kx+b。(2) 一次函数与 y 轴交点的坐标总是 (0 ，b) ，与 x 轴总是交于(-b/k ，0) 正比例函数的图像总是过原点。

3.k ，b 与函数图像所在象限：

当k>0 时，直线必通过一、三象限， y 随 x 的增大而增大 ;

当k<0 时，直线必通过二、四象限， y 随 x 的增大而减小。

当b>0 时，直线必通过一、二象限 ;

当b=0 时，直线通过原点

当b<0 时，直线必通过三、四象限。

特别地，当 b=O时，直线通过原点 O(0，0) 表示的是正比例函数

的图像。

这时，当 k>0 时，直线只通过一、三象限 ; 当 k<0 时，直线只通

过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点 A(x1，y1);B(x2 ，y2) ，请确定过点 A、B 的一次函数的

表达式。

(1)设一次函数的表达式 ( 也叫解析式 ) 为 y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点 P(x，y) ，都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2 个方程： y1=kx1+b①和 y2=kx2+b②

(3)解这个二元一次方程，得到 k，b 的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间 t 一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt 。

2.当水池抽水速度f 一定，水池中水量g 是抽水时间t 的一次函数。设水池中原有水量 S。g=S-ft 。

六、常用公式：

1. 求函数图像的 k 值： (y1-y2)/(x1-x2)

2.求与 x 轴平行线段的中点： |x1-x2|/2

3.求与 y 轴平行线段的中点： |y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√ (x1 - x2) ’2+(y1 - y2) ’2( 注：根号下 (x1-x2) 与(y1-y2) 的平方和 )

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x 和因变量 y 之间存在如下关系：

y=ax’2+bx+c

则称 y 为 x 的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式： y=ax’2+bx+c(a ， b，c 为常数， a≠0)

顶点式： y=a(x- h) ’2+k[ 抛物线的顶点P(h，k)]

交点式： y=a(x-x ?)(x-x ?)[ 仅限于与 x 轴有交点 A(x?，0) 和 B(x?，0)的抛物线 ]

注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac- b’2)/4ax ?,x ?=(- b±√ b’2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x’2的图像，可

以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV. 抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x=-b/2a 。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴( 即直线 x=0)

2.抛物线有一个顶点 P，坐标为

P(-b/2a ，(4ac- b’2)/4a)

当-b/2a=0 时， P 在 y 轴上 ; 当 =b’2-4ac=0 时， P 在 x 轴上。

3.二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小。

当 a>0 时，抛物线向上开口 ; 当 a<0 时，抛物线向下开口。

|a| 越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。

当 a 与 b 同号时 ( 即 ab>0) ，对称轴在 y 轴左 ;

当 a 与 b 异号时 ( 即 ab<0) ，对称轴在 y 轴右。

5.常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。

抛物线与 y 轴交于 (0 ，c)

6.抛物线与 x 轴交点个数

=b’2-4ac>0 时，抛物线与x 轴有2 个交点。

=b’2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。

=b’2-4ac<0 时，抛物线与 x 轴没有交点。 X 的取值是虚数 (x=- b±√ b’2-4ac 的值的相反数，乘上虚数 i ，整个式子除以 2a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数 ( 以下称函数 )y=ax ’2+bx+c，

当y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程 ( 以下称方程 ) ，

即 ax’2+bx+c=0

此时，函数图像与x 轴有无交点即方程有无实数根。

函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。