最全总结之导数零点不可求

导数问题中虚设零点的三大策略分析

导数问题中虚设零点的三大策略导数在高中数学中可谓“神通广大”，是解决函数单调性、极值、最值、不等式证明等问题的“利器”.因而近几年来与导数有关的数学问题往往成为高考函数压轴题.在面对这些压轴题时，我们经常会碰到导函数具有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的问题. 此时，我们不必正面强求，可以采用将这个零点只设出来而不必求出来，然后谋求一种整体的转换和过渡，再结合其他条件，从而最终获得问题的解决.我们称这种解题方法为“虚设零点”法.下面笔者就一些高考题，来说明导数问题中“虚设零点”法的具体解题方法和策略. 策略1整体代换将超越式化简为普通式如果f′（x）是超越形式（对字母进行了有限次初等超越运算包括无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算的解析式，称为初等超越式，简称超越式），并且f′（x）的零点是存在的，但我们无法求出其零点，这时采用虚设零点法，逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式，然后分析出相应函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果.通过这种形式化的合理代换或推理，谋求一种整体的转换和过渡，从而将超越式化简为普通式，有效破解求解或推理证明中的难点. 例1（2015年全国高考新课标Ⅰ卷文21）设函数f（x）=e2x-alnx. （1）讨论f（x）的导函数f′（x）的零点的个数；（2）证明：当a>0时，f（x）≥2a+aln2a. 解（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2e2x-ax（x>0）.由f′（x）=0，得2xe2x=a.令g（x）=2xe2x，g′（x）=（4x+2）e2x>0（x>0），从而g（x）在（0，+∞）单调递增，所以g（x）>g（0）=0.

数学高考导数难题导数零点问题导数整理

f '(x) = (x - a)(2ln x ■ 1 - a )，但这时会发现 f' (x) = 0 的解除了 x = a 外还有 2In x ■ 1 - ◎ =0 的 x x 解，显然无法用特殊值猜出。 a 令 h(x) = 21 n x 1 ，注意到 h(1) = 1 -a ：： 0 , h(a) = 2In a 0 , x 故f '(x) = 0在(1, a)及(1, 3e )至少还有一个零点，又h(x)在(0, +^)内单调递增，所以函数h(x) 在(1,3e]内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法，记此零点为x 0, 含参导函数零点问题的几种处理方法方法一：直接求出，代入应用对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 (1)因式分解求零点例1讨论函数 f(x) 1 3 1 2 ax -(a )x 2x 1(a ? R)的单调区间 3 2 解析：即求f'(x)的符号问题。由f'(x)二ax 2 -(2a - 1)x 2 = (ax - 1)(x - 2)可以因式分解析： f'(x) = (x -a)e x ? x 2 -( a ? 1)x ? a = (x -a)(e x ? x -1)，只能解出 f '(x)的一个零点为 a , 方法二：猜出特值，证明唯一对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 1 1 例 4 讨论函数 f (x) =(x - a-1)e x x 3 (a 1)x 2 ax ， a ?二 R ，的极值情况其它的零点就是e x x 0的根，不能解。例5(2011高考浙江理科)设函数 f (x) = (x - a)21n x,a ? R (I) 若x =e 为y = f (x)的极值点，求实数a (n) 求实数a 的取值范围，使得对任意的 2 (0,3e],恒有 f(x) — 4e 成立(注：e 为自然对数)，方法三：锁定区间，设而不求对于例5，也可以直接设函数来求， ①当0 ::: x 乞1时，对于任意的实数 a ，恒有f (x)乞0 ::: 4e 2成立②当1 ：：： x 乞3e ，由题意，首先有 f (3e) =(3e - a )2 In(3e)乞4e 2 , 解 3e 2e 乞a 乞3e ---------- n ( , I 3e) 3e 且 h(3e) =2In(3 e) 1 a 3e -2I n(3e) 1 2e I n(3e) 3e = 2(I n3e- 1 3；I )>0 。

数学高考导数难题导数零点问题导数整理2017

含参导函数零点问题的几种处理方法方法一：直接求出，代入应用对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。 1）因式分解求零点（1123)?Rx?1(?(a?)x)f(x?a?2ax 例1 讨论函数的单调区间232)?2?1)(x?1)x?2?(axf'(x)?ax?(2a)(xf'可以因式分的符号问题。由解析：即求方法二：猜出特值，证明唯一对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。 112x3ax1)x??x(a?f(x)?(x?a?1)e?R?a，讨论函数，的极值情况例4 23x2x)1e?x?a?(x?a)(?(x?a)ex?(a?1)x?f'(x)?a)f'(x其它的零点就的一个零点为,解析：，只能解出x0?1?e?x的根，不能解。是 2Ra?x?a)ln x,f(x)?(例5（2011高考浙江理科）设函数a?ex)xy?f(的极值点，求实数（Ⅰ）若为2exf()?4ea],3e(0,x?为自然对数），（Ⅱ）求实数恒有的取值范围，使得对任意的成立（注：方法三：锁定区间，设而不求对于例5，也可以直接设函数来求，2e)?0?4f(xa e1?1?x?30?x 有实时，对于任意的数题,恒有意，首②当先①当，由立成a e22e22,?e?a） 4e ln(3e)f(3e)?(3)1???a)(2ln xf'(x)?(x?e?e?3?a3，但这时解得由 x)e3ln(ln(3e)a??12ln x ax?0?'(x)f=0外还有会发现的解除了的解，显然无法用特殊值猜出。 xa??(x)2ln x?1h h(1)?1?a?0h(a)?2ln a?0，，令，注意到x2e?3e ln(3e)1a)f02(ln3e?h(3e)?2ln(3e?2ln(3e)?1?)?1?且。= e33e)e3ln(3f'(x)?0(1,a)h(x)h(x)(1,3e]内，及（13e在）至少还有一个零点，又在故+∞）内单调递增，所以函数0在（，x1?x?a。，则有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法，记此零点为从 00x?(x,a)(0,x))x?x(0,)x f x)0f()x f0f,x)f'(x f a?(a??)'('(f在时，；当而，当时，，即；当时， 000?2e?x(1,3)xa(ef?)(x4)a(??,恒成立，只要内单调递增，在对内单调递增。所以要使内单调递减，在0,． 22?f(x)?(x?a)ln x?4e,(1)?000成立。?22f(3e)?(3e?a)ln(3e)?4e,(2)??a2320??2ln x?1?)h(xx f1a?2ln x?xe ln4xx?4，注意到函1）得，又（，知3）将（3）代入（0000000x0231p x?exx ln2x ln x?x在（1.+ +∞)。再由（)内单调递增，故数3）以及函数内单调递增，可得在[1,+∞02e2e2e?a?3e??a?3e3e3e??e13p a?。所以的取值范围为）解得，综上，a。由（2ln(3e)ln(3e)ln(3e23ea??3?。

导数与函数零点问题解题方法归纳

导函数零点问题一．方法综述导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略类型一察“言”观“色”，“猜”出零点【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()() 2 1e x f x x ax =++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()() 2 1e 1x g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围. 【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得；（2）依题意可得()()2 1e x g x m x =+'-，当0m …函数在定义域上单调递增，不满足条件；当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m >， 01m <<三种情况讨论可得. 【解析】（1）因为()() 2 1x f x x ax e =++，所以()()221e x f x x a x a ??=+++??'+，即()()()11e x f x a x x =++'+. 由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-. ①当0a =时，()()2 1e 0x f x x =+'…，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-，由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-；所以()f x 在()() ,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()() 1,1a -+-为减函数.

利用导数解决函数零点问题

利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。一定要用零点判定定理确定零点个数 ④综上所述送1分. )(x f ' )(x f

(三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2 --=存在唯一的极大值点0x ,且202 2)(--<

函数与导数压轴题中零点问题

导数压轴题零点问题练习题一、解答题 1．（2020·省高三考试）设函数()()2 1f x x bx b R =-+∈，()()() ,0,0f x x F x f x x ?>? =? ->??. （1）如果()10f =，求()F x 的解析式；（2）若()f x 为偶函数，且()()g x f x kx =-有零点，数k 的取值围. 【答案】（1）()2221,0 21,0 x x x F x x x x ?-+>=?-+-=?-+-

导数中的零点问题(学生版)

专题2.3导数中的零点问题解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。一、能直接分离参数的零点题目此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+=，若关于x 的方程2()()2g x f x e x =-只有一个实数根，求a 的值。注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x ==-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。所以21a e e =+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可例3.已知函数2()ln 2f x x x b x =++--在区间1[,]e e 上有两个不同零点，求实数b 的取值范围。

利用导数解决函数零点问题

1 利用导数解决函数零点问题(第二轮大题) 这是一类利用导数解决函数零点的问题,解决这类问题的一般步骤是:转化为所构造函数的零点问题(1)求导分解定义域(2)导数为零列表去,(先在草稿纸进行)(3)含参可能要分类 (4)一对草图定大局(零点判定定理水上水下，找端点与极值点函数值符号) 目标:确保1分,争取2分,突破3分. (一)课前测试 1.(2015年全国Ⅰ卷,21)设函数x a e x f x ln )(2-=. (1)讨论)(x f 的导函数)(x f '零点的个数; (二)典型例题 2.(2017年全国Ⅰ卷,21)已知函数 e a ae x f x x -+=)2()(2(2)若0>a 且)(x f 有两个零点,求a 的取值范围. 注： ①求导分解定义域，这1分必拿， )0)(2(1 )(2>-= 'x a xe x x f x ②草稿纸上令0)(='x f ，构造函数)0(2)(>-=x a xe x g x ，重复上面步骤， 042)(22>+='x x xe e x g ， )(x g 在),0(+∞递增 ③草图 a g -=)0(， +∞→+∞→)(x g x 时。一定要用零点判定定理确定零点个数 )(x f ' )(x f

2 (三)强化巩固 3.(2017年全国Ⅱ卷,21)(2)证明:x x x x x f ln )(2--=存在唯一的极大值点0x ,且2022)(--<

数学高考导数难题导数零点问题导数

含参导函数零点问题的几种处理方法方法一：直接求出，代入应用对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。（1）因式分解求零点例1 讨论函数)(12)2 1(31)(23R a x x a ax x f ∈+++-=的单调区间解析：即求)('x f 的符号问题。由)2)(1(2)12()('2--=++-=x ax x a ax x f 可以因式分方法二：猜出特值，证明唯一对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。例4 讨论函数ax x a x e a x x f x ++-+ --=23)1(2131)1()(，R a ∈，的极值情况解析：)1)(()1()()('2-+-=++-+-=x e a x a x a x e a x x f x x ，只能解出)('x f 的一个零点为a ,其它的零点就是01=-+x e x 的根，不能解。例5（2011高考浙江理科）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2 （Ⅰ）若e x =为)(x f y =的极值点，求实数a （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的],3,0(e x ∈恒有24)(e x f ≤成立（注：e 为自然对数），方法三：锁定区间，设而不求对于例5，也可以直接设函数来求， ①当10≤=a a h ，且(3)2ln(3)12ln(3)13a h e e e e =+- ≥+- =2(ln 30e f 。故0)('=x f 在),1(a 及（1，3e ）至少还有一个零点，又()h x 在（0，+∞）内单调递增，所以函数()h x 在]3,1(e 内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法，记此零点为0x ，则a x <<01。从而，当0(0,)x x ∈时，'()0f x f ；当0(,)x x a ∈时，'()f x a f ；当(,)x a ∈+∞时，'()0f x f ，即()f x 在0(0,)x 内单调递增，在0,()x a 内单调递减，在(,)a +∞内单调递增。所以要使2()4f x e ≤对](1,3x e ∈恒成立，只要 2200022()()ln 4,(1)(3)(3)ln(3)4,(2)f x x a x e f e e a e e ?=-≤??=-≤??成立。