2019年人教版九年级数学下册《相似三角形应用举例》
相似三角形应用举例
第1课时
1.能应用相似三角形的有关知识解决一些实际问题；
2.了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能 力.
相似三角形的判定
（1）通过平行线.
（2）三边对应成比例.
（3）两边对应成比例且夹角相等 .
（4）两角相等.
根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？ (1) ∠A=120°，AB=7 ，AC=14 ∠A′=120°，A′B′=3，A′C′=6
求河的宽度PQ.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q S
R
b T a
解析：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P, ∴△PQR∽△PST.
PQ：PS=QR:ST，
即PQ：（PQ+QS）=QR：ST， PQ：（PQ+45）=60:90, PQ×90=(PQ+45) ×60， 解得PQ=90.
因此河宽大约为90m.
如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB. 解析：∵∠B=∠C=90°， A ∠ADB=∠EDC， ∴△ABD∽△ECD， AB：EC=BD：DC，
B时
A时
4 则树的高度为_____m.
在应用相似的相关知识解决实际问题时，要
利用平行、垂直等辅助线构造相似三角形，将
实际问题转化为相应的数学模型.
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解．
27.2.2
相似三角形应用举例
第2课时
1、能应用相似三角形的有关知识解决一些实际问题；
2、进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问 题的能力.
基本图形归纳
平行型
A型图
X型图
斜截型
解决实际应用问题的关键是根据题意画出图形，或在图中
找出基本图形，便于解题.
解析：假设观察者从左向右走到点E时，他的眼睛的位置
点F与两棵树的顶端点A、C在一条直线上. ∵AB⊥l，CD⊥ l ， ∴AB∥CD，△AFH∽△CFK， ∴FH：FK=AH：CK， 即 解得FH=8.
当他与左边较低的树的距离小 于8m时，就不能看到右边较高 的树的顶端点C.
为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB， 在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出 AD=35m，DC=35m，DE=30m,那么你能算出池塘的宽AB吗?
(2) AB=4
，BC=6，AC=8
A′B′=12，B′C′=18，A′C′=21 (3) ∠A=70°,∠B=48°, ∠A′=70°, ∠C′=62°
【例1】据史料记载，古希腊数学 家、天文学家泰勒曾利用相似三 角形的原理，在金字塔影子的顶 部立一根木杆，借助太阳光线构 成两个相似三角形，来测量金字 塔的高度.如图，如果木杆EF长 2m，它的影子FD长为3m测得OA为 201m，求金字塔的高度BO. 如何测量OA的 长？
AB=50×120÷60
=100（m）
B
D
C
E
利用相似三角形测量瓶子的内径
学具准备：等长的两根小木棒，橡皮筋，玻璃瓶，刻度尺
过程：两人合作先把两根小木棒用橡皮筋捆好，然后将等
长的两根小木棒的一端放进瓶子里，使两根小木棒抵住瓶
底并紧靠瓶子的边缘，再用刻度尺测出小木棒另两端的距 离．构造相似并计算瓶子内径． 【解析】设点O将两根小木棒都分成了 1/n，如果我们测出线段AB的长度为m，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个
三角形相似，我们就可以求出内径CD的 长度了，即CD=mn．
【规律方法】相似三角形的性质是我们常常用来证明线段
等积式的重要方法，也是我们用来求线段的长度与角度相 等的重要方法． 如图，已知△ACB的边AB、AC上的点D、E，且∠ADE=∠C， 求证：AD·AB=AE·AC． 【解析】 ∵∠ADE=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB（如果一个三角形的两 角与另一个三角形的两个角对应相等，那么 这两个三角形相似） ∴AD︰AC=AE︰AB 即AD·AB=AE·AC．
A B
D
E
C
解析： 因为 ∠ACB＝∠DCE, ∠CAB＝∠CDE=90°,
所以△ABC∽△DEC ，
A
B
D
E
C 答：池塘的宽大致为60米．
1.某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种 了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正 好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的 6 米(不计宣传栏的厚)。 长为___
眼睛在生活中具有非常重要的作用，有它可以欣赏美丽的 大好河山，有它可以辨别是非黑白，有它可以传达你对同 学们的友爱……，但是你有没有想过人眼的视线在相似形
中还有非常重要的作用.
【例】已知左、右并排的两棵大树的高 分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的 距离BD=5m，一个身高1.6m的人沿着正 对这两棵树的一条水平直路l从左向右前 进，当他与左边较低的树的距离小于多 少时，就不能看到右边较高的树的顶端 点C？ 设观察者眼晴的位置（视点） 为F，∠CFK和∠AFH分别是 观察点C、A的仰角，区域Ⅰ 和区域Ⅱ都在观察者看不到 的区域（盲区）之内.
B C D E A
1.（乐山中考）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆 AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所 示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子 BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（ D ）
（A）6米
（B）7米
（C）8.5米
（D）9米
2.（衡阳中考）如图，已知零件的外径为25mm，现用一 个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的 内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10mm，则零件
解析：太阳光是平行光线， 因此∠BAO= ∠ EDF， 又 ∠ AOB=∠DFE=90°， ∴△ABO∽△DEF BO：EF=OA：FD
因此金字塔的高为134m.
【例2】如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸定一
个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线
PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适 当的点T，确定PT与过点Q垂直 PS的直线b的交点R，如果测得 QS=45m，ST=90m，QR=60m. P
O
C′
32cm
20cm
A′
即
解得：A′B′＝18.75(cm)
答：像A′B′的长度为18.75cm.
一、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1.测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度)； 2.测距(不能直接测量的两点间的距离)． 二、测高的方法 测量不能到达顶部的物体的高度,构造相似三角形求解．
三、测距的方法
2米
3米
2.（内江中考）如图，为了测量某棵
树的高度，小明用长为2m的竹竿做测 量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶
端的影子恰好落在地面的同一点.此时，
竹竿与这一点距离相距6m，与树相距 15m，则树的高度为_____m. 7
3.（德州中考）如图，小明在A时测得
某树的影长为2m，B时又测得该树的影 长为8m，若两次日照的光线互相垂直，
的厚度x=
2.5
mm．
3.如图：与小孔O相距32cm处有一枝长30cm燃烧的蜡烛AB， 经小孔，在与小孔相距20cm的屏幕上成像，求像A′B′的 长度.
A
B′ O
C
C′
B
32cm
20cm
A′
【解析】根据题意,得: △ABO∽△A′B′O
A B′
过点O作AB、A′B′的垂线，垂 C 足分别为Ｃ、Ｃ′，则由相似 三角形的对应高之比等于相似 B 比，得
人教版数学九年级下册《相似三角形应用举例》
01 判定三角形相似条件知识点回顾
判定定理：
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2.三边成比例的两个三角形相似。 3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 4.两角分别相等的两个三角形相似。 5.斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
AC
解题关键：构建相似三角形，找临界 点，利用对应边成比例，解决实际问 题。
O l
EF BD
02
练一练
HOMEWORK PRACTICE
1、运用三角形相似的知识，解决实际问题 （例：测量高度、河宽、盲区等不能直接测量长度或高度）。 2、巩固相似三角形所学知识点。 3、通过把实际问题转化为有关相似三角形的数学模型，进一步了解数 学建模的思想。
02 重点
运用三角形相似的知识计算不能直接测 量物体的长度和高度。
03 难点
灵活运用三角形相似的知识解决实际问 题。
01
学习目标
LEARNING OBJECTIVES
1、运用三角形相似的知识，解决实际问题 （例：测量高度、河宽、盲区等不能直接测量长度或高度）。
2、巩固相似三角形所学知识点。 3、通过把实际问题转化为有关相似三角形的数学模型，
H ？201 I2 3 Nhomakorabea构建数学模型(△BOA≌△HIA)
01 情景引入（河宽问题）
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T， 确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R．已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ．
人教版九年级数学下册 相似三角形应用举例课件
即
_P_Q_P__Q_Q_S____QS_TR__，_P_Q_P_Q_4_5
60 90
PS ST
即
x 60
． x 45 90
P__Q___9_0____(_P_Q____4_5_)___6_0 解得PQ _9_0_m___
再解x的方程可求出河 答：河宽大约为9_0___ m。
1、如图，测得BD=120m， DC=60m,EC=50m, 求河宽 AB.
的影长为90米，
1.8 h 解得：h=5（4 米） 3 90 答：高楼的高度是54米。
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河
对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，
使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接
知 识 点 二
着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当 的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b 的交R．如果测得QS = 45 m，ST = 90m， QR = 60 m，P求河的宽度PQ．
相似三角形应用举例
• 进一步巩固三角形相似的知识。 • 能够运用三角形相似的知识，解 决不能
直接测量物体的长度和高 度（如测量金 字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些 实际问题．
相似三角形的判断方法
1.定义
4.判定定理二(边角边)
2.定理(平行法) 5.判定定理三(角角)
3.判定定理一(边边边)
解： ADB EDC, ABC ECD 900 ABD∽ECD
AB BD 即 AB 120 EC CD 50 60 AB 100m 答：河宽AB=100m。
2、如图，为了测量水塘边A、B两点之间
的距离，在可以看到的A、B的点E处，取
AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB，
2019秋人教版九年级数学下册课件：第27章 第10课时 相似三角形的应用(二)
解：如答图27-10-1，过点C作CE⊥AB于点E，
则四边形BDCE为矩形.
∴BD=CE=9.6 m，BE=CD=2 m.
，即_9A_.E_6=_11_._2.
解得AE=8（m）.所以AB=AE+BE=8+2=10（m）.
答：旗杆的高度为10 m.
知识点2：运用“相似三角形对应高的比等于相似比” 解决实际问题 【例2】如图27-10-3，小强自制了一个小孔成像装置， 其中纸筒的长度为15 cm，他准备了一支长为20 cm的 蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，则蜡烛应放在距离 纸筒多远的地方？
举一反三
1. 如图27-10-2，要测量旗杆高CD，在B处立标杆AB= 2.5 m，人在F处. 眼睛E、标杆顶A、旗杆顶C在一条直 线上. 已知BD=3.6 m，FB=2.2 m，EF=1.5 m， 求旗杆 的高度.
解：如答图27-10-3，过点E作EH∥FD分别交AB,CD于点G,H.
∵EF∥AB∥CD，
解：设正方形DEFG的边长为x cm.
依题意，得在△ABC中,—BDCE=A—AHM， ∵BC=12 cm，AH=8 cm，
DE=DG=MH，AM=（8-x） cm,
代入上式,
得1—x2=
_8_－__x_ 8
.
解得x=4.8.
答：正方形DEFG的边长是4.8 cm.
【B组】 3. 如图27-10-7，两棵树AB,CD的高分别是6 m,9 m， 它们根部的距离AC=6 m，小强从点G处出发，沿着正对 这两棵树的方向前进，小强的眼睛与地面的距离为1.6 m，当小强与树AB的距离小于多少时，他就看不见树顶 D？
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下册
第二十七章 相 似
下册相似三角形应用举例-新人教版九级数学全一册课件
下册 相似三角形应用举例-新人教版九级数 学全一 册课件
4.【例 2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定 一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC， 然后再选点 E，使 EC⊥BC，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D， 此时测得 BD＝150 米，DC＝60 米，EC＝50 米，求两岸间的 距离 AB.
下册 相似三角形应用举例-新人教版九级数 学全一 册课件
下册 相似三角形应用举例-新人教版九级数 学全一 册课件
解：∵AB⊥BC，CE⊥BC， ∴△ABD∽△ECD， ∴AB∶CE＝BD∶CD， 即 AB∶50＝150∶60，
∴AB＝125. 答：两岸间的距离 AB 为 125 米． 小结：构造相似三角形，用可测线段的长度求解实际生活中 不好(或不可)测量线段的长度.
下册 相似三角形应用举例-新人教版九级数 学全一 册课件
下册 相似三角形应用举例-新人教版九级数 学全一 册课件
解：如图，设 EH 与 CD 交于点 G.
∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB， ∴△CGE∽△AHE，∴ACHG＝EEHG，
即CDA－HEF＝FDF＋DBD， ∴3－AH1.6＝2＋215，
(1)证明：由题意得∠EFB＝∠DFC，∠EBF＝∠DCF＝90°， ∴△BEF∽△CDF. (2)解：∵由(1)知，△BEF∽△CDF，
∴CBDE＝BCFF，即17300＝260C－FCF， 解得 CF＝169，即 CF 的长是 169 cm.
小结：注意物理模型中的事实，如入射角等于反射角.
变式练习
对点训练
1.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得
27.2.3 相似三角形应用举例 人教版数学九年级下册课时2课件(29张)
A．一种 C．三种
B．两种 D．四种
对接中考
对接中考
2.(2020·上海中考)《九章算术》中记载了一种测量井深的 方法．如图所示，在井口 B 处立一根垂直于井口的木杆 BD， 从木杆的顶端 D 观察井水水岸 C，视线 DC 与井口的直径 AB 交于点 E，如果测得 AB =1.6米，BD =1米，BE =0.2米， 那么井深 AC 为 7 米．
课堂导入
怎样测量河宽呢？
新知探究
知识点1：利用相似三角形测量宽度
例5 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个
目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS
与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的 点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b P
由题意知 CP =40 cm，PQ =8 cm， ∴ CQ =CP - PQ =32 cm.
NQ MP
本题源自《教材帮》
随堂练习
NQ MP
本题源自《教材帮》
课堂小结
X型 利 用 相 似 测 量 宽 度
A型
对接中考
1.(2020·玉林中考)一个三角形木架三边长分别是 75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长 为 60 cm 和 120 cm 的两根木条．要求以其中一根为一边，从另 一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有( )
本题源自《教材帮》
跟踪训练
本题源自《教材帮》
跟踪训练 2.如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以 看到 A、B 的点 E 处，取 AE、BE 延长线上的 C、D 两点， 使得 CD//AB. 若测得 CD＝5 m，AD＝15m，ED=3 m， 则 A、B 两点间的距离为 20 m.
人教版初中数学九年级下册《相似三角形的应用》PPT课件
设BE=CG=x，BC= y，得：
x 5 ，y x 11 ，
y AB x AB
两式相加，得 y 16 ，
y AB
即AB=16 m； 所以她的做法是正确的．
变式拓展 2.夹文件或试卷用的铁夹子在常态下的侧面示意图
如图所示，它是轴对称图形，AC，BC表示铁夹子 的两个面，点O是轴，OD⊥AC于点D，已知 OD=10 mm，OC=26 mm，AD=15 mm．求A、B之间的 距离.
【例1】如图所示，某测量工作人员的眼睛A与标杆 顶端F，电视塔顶端E在同一直线上，已知 此人眼睛距地面1.6 m，标杆为3.2 m，且 BC=1 m，CD=19 m，求电视塔的高ED．
解析：此题考查了相似三角形 的性质，通过构造相似 三角形．利用相似三角 形对应边成比例解答即可．
解：过A点作AH⊥ED，交FC于G，交ED于H． 由题意可得△AFG∽△AEH ∴ AG FG 即 1 3.2 1.6
第2题
第3题
4.要测量河两岸相对的两点A，B间的距离，先从B 处出发，向与AB成90°角的方向走50m到C处，在 C处立一根标杆，然后方向不变地继续朝前走10m 到D处，在D处转90°，沿DE方向再走17m，到达E 处，使A(目标物)，C(标杆)与E在同一直线上(如 图)，那么据此可测得A，B间的距离是 25 m.
第二十七章 相似
27.5 相似三角形的应用
27.2.5 相似三角形的应用
课前预习
1.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，
连结AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF∥AB
交BC于点F，量得EF=6m，则AB的长为（ B ）
A.30m
B.24m
人教版九年级数学下册1相似三角形应用举例
探
索
新
知
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视
线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点
A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域
Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
相似三角形应用举例
学
习
目
标
1. 能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量
的物体的高度和宽度. (重点)
2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化
为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决
问题的能力. (难点)
0 1 . 课 前 导 入
0 2 . 探 索 新 知
∴ BO
FD
3
=134 (m).
因此金字塔的高度为
134 m.
探
索
新
知
方法总结：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一
时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
探
索
新
知
小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时
测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼
因此，河宽大约为 90 m.
探
索
新
知
方法总结：
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相
似三角形求解.
探
索
新
知
如图，为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离，在可以看
2019春九年级数学下册27相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形应用举例第1课时学案新版新人教版
27.2.3 相似三角形应用举例(第1课时)学习目标1.掌握在平行光线照射下,同一时刻不同物体的物高与影长成比例.2.掌握构造A字图和X字图的过程.3.能通过作图、测量、计算等活动,得到不能测量物体的长度.学习过程一、自主预习1.相似三角形的判定有哪些?2.相似三角形的性质有什么?3.如图,当时,△∽△.4.物高与影长:在太阳光下,同一时刻两个物体的高度和影长.如果某一电视塔在地面上的影长为60 m,同时一根高为2 m的竹竿的影长为3 m,则电视塔高.5.如图,AC∥DE,点C在直线BE上,AB⊥BE于B,DC⊥BE于C,求证:AAAA =AAAA.二、例题探究探究一:阅读教材39页例4及40页的解题过程,回答下列问题:(1)想一想如何测量金字塔的高度.(2)“在同一时刻,物高与影长之比是定值”这句话对吗?为什么?(3)写出解题过程.探究二:例5 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果我们测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,求河的宽度PQ.要求:(1)阅读题目了解如何测河宽.(2)由具体的操作获得已知条件,认真审题自己尝试求解.三、反馈练习1.课本41页练习第1题.2.课本41页练习第2题.3.如图,某同学身高AB=1.60米,他从路灯底部的D点处沿直线前进4米到点B时,其影长PB=2米,求路灯杆CD的高度.四、总结反思说说利用相似三角形进行测量的一般步骤是什么?五、能力提升1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某高楼的影长为60米,那么高楼的高度是()A.32米B.34米C.36米D.38米2.如图,要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先从B处出发,与AB成90°角方向,向前走50米到C处立一根标杆,然后方向不变继续朝前走10米到D处,在D处沿垂直于BD的方向再走5米到达E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一直线上,则AB的长为米.3.如图,一圆柱形油桶,高1.5 m,用一根2 m长的木棒从桶盖小口斜插桶用另一端的小口处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2 m,求桶内油面高度.4.如图1,物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播,现将图1抽象为图2,其中线段AB为蜡烛的火焰,线段A'B'为其倒立的像,如果蜡烛火焰AB的高度为2 cm,倒立的像A'B'的高度为5 cm,点O到AB的距离为4 cm,求点O到A'B'的距离.评价作业1.(6分)如图所示,在同一时刻,身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米,一棵大树的影长为5米,则这棵树的高度为()A.1.5米B.2.3米C.3.2米D.7.8米2.(6分)如图所示,身高1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A 走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=3.2 m,CA=0.8 m,则树的高度为()A.4.8 mB.6.4 mC.8 mD.10 m3.(6分)如图所示,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则P到AB的距离是()mA.56mB.67C.6m5mD.1034.(6分)如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B 间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是()A.AB=24 mB.MN∥ABC.△CMN∽△CABD.CM∶MA=1∶25.(8分)如图所示,已知小明在打网球时,要使球C恰好能打过网DE,而且落在离网5 m 的位置上,则球拍击球的高度h应为 m.6.(8分)如图所示,已知零件的外径为25 mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA=1∶2,量得CD=10 mm,则零件的厚度x=mm.7.(8分)一高1 m的油桶内有一定量的油,为了测出桶内油的深度,用一根长1.2 m的木棒从桶盖小口斜插入桶内,一端到桶底,另一端正好到小口,抽出棒,量得棒上浸油部分长0.45 m,则桶内油的深度为.8.(8分)如图所示,已知有两堵墙AB,CD,AB墙高2米,两墙之间的距离BC为8米,小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时,木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时,木梯刚好到达墙的顶端,则墙CD的高为.9.(13分)如图所示,为了测量一个大峡谷的宽度AO,地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O,再在他们所在的这一侧选点A,B,D,使AB⊥AO,DB⊥AB,然后确定DO和AB的交点C,测得AC=120 m,CB=60 m,BD=50 m,请你帮助他们算出峡谷的宽AO.10.(13分)王芳同学利用下面的方法测量学校旗杆的高.如图所示,在旗杆的底部B引一条直线BM,在这条直线适当的位置E处放一面镜子,当她沿着这条直线走到点D处时恰好在镜子中看到旗杆的顶端A,又测得BE=18米,ED=2.4米,已知王芳的眼睛到地面的高度CD=1.6米,求旗杆AB的高.11.(20分)将△ABC纸片按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B',折痕为EF.已知AB=AC=6,BC=8.(1)求△ABC的周长;(2)若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,求BF的长.参考答案学习过程一、自主预习1.(1)平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所得三角形与原三角形相似.(2)三条边成比例的两个三角形相似.(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(4)两角分别相等的两个三角形相似.(5)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.2.(1)相似三角形的对应边成比例;(2)相似三角形的对应角相等;(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;(4)相似三角形的周长比等于相似比;(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.3.DE∥BC ADE ABC4.成正比20 m5.证明:∵AC∥DE,∴∠ACB=∠DEC.∵AB⊥BE于B,DC⊥BE于C,∴∠ABC=∠DCE=90°,∴△ABC∽△DCE,∴AAAA =AAAA.二、例题探究探究一:解:太阳光是平行光线,因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°,∴△ABO∽△DEF.∴AAAA =AAAA,∴BO=AA·AAAA =201×23=134(m).因此金字塔的高度为134 m.探究二:解:∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P, ∴△PQR∽△PST.∴AAAA =AAAA,即AAAA+AA =AAAA,AAAA+45=6090,PQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90(m).因此,河宽大约为90 m.三、反馈练习1.解:设这栋楼的高度为x m,根据题意得1.83=A90,解得x=54,∴这栋楼的高度为54 m.2.解:由图得AB⊥BC,EC⊥BC,∴∠B=∠C=90°.∵∠ADB=∠EDC,∴△ABD∽△ECD,∴AA AA =AAAA,∴12060=AA50,解得AB=100.故河宽AB为100 m.3.解:根据题意得:AB∥CD,PD=2+4=6(米),∴△PAB∽△PCD,∴AAAA=AAAA,即1.62=AA6,解得CD=4.8(米).答:路灯杆CD的高度为4.8米.四、总结反思利用相似三角形进行测量的一般步骤:①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与表示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度;③画出示意图,利用相似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出未知量;④检验并得出答案.五、能力提升1.C2.253.解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴AAAA =AAAA,即AA1.5=1.22,解得AE=0.9 m,∴EC=1.5-0.9=0.6(m).∴桶内油面高度为0.6 m.4.解:∵AB ∥A'B', ∴△ABO ∽△A'B'O ,∴AA A 'A '=25是相似比,∴点O 到A'B'的距离=52×4=10(cm), ∴点O 到A'B'的距离为10 cm .评价作业1.C2.C3.C4.D5.2.76.2.57.38 m 8.7.5米9.解:∵AB ⊥AO ,DB ⊥AB ,∴∠A=∠B=90°.又∠ACO=∠BCD ,∴△ACO ∽△BCD ,∴AAAA =AA AA .∵AC=120 m,BC=60 m,BD=50 m,∴AA50=12060,解得AO=100(m),即峡谷的宽AO 是100 m .10.解:如图所示,过点E 作镜面的垂线EF ,由光学原理得∠AEF=∠CEF.∵∠DEC=90°-∠CEF ,∠BEA=90°-∠AEF ,∴∠DEC=∠BEA.又∵∠CDE=∠ABE=90°,∴△CDE ∽△ABE ,∴AAAA =AA AA ,即1.6AA=2.418,解得AB=12(米).答:旗杆AB 高为12米.11.解:(1)∵AB=AC=6,BC=8,∴△ABC 的周长=AB+AC+BC=20.(2)①∵以点B',F ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,∴△B'FC ∽△ABC ,∴B'F ∶AB=FC ∶BC ,即BF ∶6=(8-BF )∶8,解得BF=247.②∵以点B',F ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,∴△FB'C ∽△ABC ,∴B'F ∶AB=FC ∶AC ,即BF ∶6=(8-BF )∶6,解得BF=4.综上所述,BF 的长为247或4.。
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如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA得为201m, 求金字塔的高度BO.
如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA得为201m, 求金字塔的高度BO. 解:太阳光是平行的光线,因此:∠BAO=∠EDF. 又 ∠AOB=∠DFE=900.
分析:如图,设观察者眼睛的位置(视点)为点F(EF近似为人 的身高),画出观察者的水平视线FG ,它交AB、 CD于点H 、 K.视线FA、 FG的夹角∠ AFH是观察点A的仰角.能看到C 点．类似地, ∠ CFK是观察点C时的仰角,由于树的遮挡,区 域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就 根本看不到C点了.
∴△ABO∽△DEF. ∴
因此金字塔的高为134m.
一题多解
还可以有其他方法测量吗？
B E
┐ F
△ABO∽△AEF
平面镜
A
OB
OA
=
EF
AF
┐ O
OA ·EF OB =
AF
例5. 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选 定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直 线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适 当的点T,确定PT与点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测 得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.
“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。
（2） 测距（不能直接测量的两点间的距离） 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三
角形求解。
2. 解相似三角形实际问题的一般步骤：
人教版数学九年级下册 27.2.3相似三角形应用举例(1) 课件
2.如图，若标杆高度CD=3 m，标杆与旗杆的水平距离BD=15 m，人的眼
睛与地面的高度EF=1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF=2 m，则旗杆的高度
AB=_________．
13.
A
E
F
C
H
D
B
3.如图，把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4 m的点E处，然后沿着直线
BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4 m，
（太阳光是平行光）
（同位角相等）
③利用镜子的反射
（反射角、入射角相等）
【例题1】如图，利用标杆测量建筑物的高度，标杆的高为1.5m，将标
杆直立于距建筑物底端点7m的处，从标杆后退2m到处，在处测得建
筑物的顶端和标杆的顶端在同一直线上，则建筑物的高为________m.
6.75
0.96
,
2.8+0.96
【例题3】学校数学小组，测量旗杆的高度，如图，把一面很小的镜子放在
离旗杆（）8.1 m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里
看到旗杆顶点A，再用皮尺量得DE=2.7 m，观察者目高CD=1.6 m，则旗杆的高
度AB为_______m．
.
分析：平面镜反射：入射角等于反射角.
墙上的影子高为1.2，地面部分的影子长为2.8，求树高.
解：设墙上的影子落到地面上的长度为cm.
竹竿及影子如图. 则∆FGH∽∆ .
∴ = 即 1 = 0.8,
1.2
= 0.96
∆AEB∽∆ , ∴ =
即
=
1.2
= 4.7, 所以，树高为4.7m.