特征值与特征向量6.ppt
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线性代数第六章特征值与特征向量课件
3）对于 (x) as xs a1x a0 ，()是( A) 的特征值，且 是 () 属于( A)的特征向量；
4）当 A 是可逆矩阵时，1是 A1的特征值，且 是 A1属于1的特征向量．
例4 设 A 是一个 4 阶方阵，且 2, -1, 1, 3 为 A 的 特征值．
１）求 A 的伴随矩阵 A* 的特征值； ２）求 A3 2A2 2A E 的特征值． 定理5 设 1, 2, , s 是矩阵 A 的互不相同的 s 个 特征值，1,2, ,s 为分别与之对应的特征向量， 则 1,2 , ,s 线性无关．
定理13 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上的一个线性变换． 那么 是可对角化的充分必要 条件是 存在个线性无关的特征向量．
推论 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上 的一个线性变换． 如果 存在 n 个互不相同的特征 值，那么 是可对角化的．
定理14 设 1, 2, , s 是线性变换 的 s 个互不相同 的特征值，i1, i2 , , iri 是 的属于特征值 i的线性
1 1, 2 2 , , n n 为 D 的全部特征值．
如果 A 是可对角化的，且与 A 相似的对角矩阵 D 如（10）所示， 那么， 由于相似矩阵具有相同的 特征值，
1 1, 2 2 , , n n 也是 A 的全部特征值． 若不考虑 1,2, ,n 的顺序， D 是唯一确定的． 因此，也称对角矩阵 D 为 A 的相
定理3 互为转置的两个矩阵具有相同的特征值．
对一个 n 阶方阵 A，我们也可以定义矩阵的多 项式．设
(x) as xs as1xs1 a1x a0
是一个以 x 为未知量的 s 次多项式， a0, a1, , as 为 常数，且 as 0 ．
4）当 A 是可逆矩阵时，1是 A1的特征值，且 是 A1属于1的特征向量．
例4 设 A 是一个 4 阶方阵，且 2, -1, 1, 3 为 A 的 特征值．
１）求 A 的伴随矩阵 A* 的特征值； ２）求 A3 2A2 2A E 的特征值． 定理5 设 1, 2, , s 是矩阵 A 的互不相同的 s 个 特征值，1,2, ,s 为分别与之对应的特征向量， 则 1,2 , ,s 线性无关．
定理13 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上的一个线性变换． 那么 是可对角化的充分必要 条件是 存在个线性无关的特征向量．
推论 设 V 是数域 F 上的一个线性空间， 是 V 上 的一个线性变换． 如果 存在 n 个互不相同的特征 值，那么 是可对角化的．
定理14 设 1, 2, , s 是线性变换 的 s 个互不相同 的特征值，i1, i2 , , iri 是 的属于特征值 i的线性
1 1, 2 2 , , n n 为 D 的全部特征值．
如果 A 是可对角化的，且与 A 相似的对角矩阵 D 如（10）所示， 那么， 由于相似矩阵具有相同的 特征值，
1 1, 2 2 , , n n 也是 A 的全部特征值． 若不考虑 1,2, ,n 的顺序， D 是唯一确定的． 因此，也称对角矩阵 D 为 A 的相
定理3 互为转置的两个矩阵具有相同的特征值．
对一个 n 阶方阵 A，我们也可以定义矩阵的多 项式．设
(x) as xs as1xs1 a1x a0
是一个以 x 为未知量的 s 次多项式， a0, a1, , as 为 常数，且 as 0 ．
第五章特征值和特征向量PPT课件
根据上式可知，任一非零向量除以它的长度后 就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
特征值与特征向量的应用PPT
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
矩阵特征值和特征向量计算.ppt
j
＝1
1
1
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
j
i
n 2
i
i 1
k
1
i
j
i
j
( 4.2)
lim
uk
j
k
uk1
j
1 ,
故k充
分
大
时
， uk
j
uk1
j
1 ，
(j
1,2,, n)
由（4.1）显然知k充分大时， 0 ,
x 故 uk ( 1k1 1 )就 是1对 应 的 近 似 特 征 向 量 。
v u v u u 如用
m
m
或 m
m
代替 继续迭代, m
u( )m max
(u ) min m
u u u 这里(
m )max 和(
m )min 分 别 表 示 向 量(
)的 绝 对 值
m
最 大 的 分 量 和 最 小 分 量;
4. 由(4.1),乘 幂 法 的 速 度 与 比 值| 2 | 有 关, 1
n
A1
x
1
x
一 定 是A1的
按
模
最
大
的
征值，故对A1用乘幂法— 反幂法，可得1 的近似值
算法（步1）骤：u0 0
n
( 2) (3)
计 算u k
1 A uk 1
(k 1,2,3,)
u 若k充分大后 ( u(
k)j c, ) k 1 j
则n
1 ,
c
uk
就
是n
注：实际相计对算应: A的u特征u向量三。角分解A LU ,
方阵的特征值与特征向量ppt课件
1
0 2
2 12 0
特征值为 1 2,2 3 1
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组
A E x 0, 求非零解。
9
当1 2 时，齐次线性方程组为 A 2E x 0
系数矩阵
3 1 0 1 0 0
A
2E
4 1
1 0
0 0
0 0
1 0
0 0
自由未知量: x3
相同的特征值.
(3) 求 (i E A)x 0 或 ( A - i E)x 0 的非零解，得到A的关于 i 的全部特征向量.
8
1 1 0
例1：
求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和全部特征向量.
解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.
1 1 0 A E 4 3 0 0
f ( ) E A ( - 1)( 2 )( n ) n (1 2 n )n1 (1)n 12 n
由多项式相等,系数相等,即(1)得证.
7
求A的特征值与特征向量的步骤:
(1) 求出A 的特征多项式 f ( ) E A ；
(2) 解特征方程 f ( ) E A 0，求出A的全部 特征值1 ,, n .其中f ( )的r重根对应A的r个数
解答: 因为 | A | 0, 故A可逆. 由 | A 3E | 0 知
3是A的一个特征值, 从而 1 是A1的一个特征值. 3
又由 AAT 2E 得 | AAT || 2E | 16, 即
| A |2 16, 于是 | A | 4, 但 | A | 0, 因此 | A | 4, 故A*有一个特征值为4 .
称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）
n
特征值特征向量定义.ppt
例设
A 3 2， 1 0
则有
X1
1 1
O，使得
AX1
3 1
2 0
1 1
1 1
1X1
，
所以 1 是A的特征值，对应的特征向量为 X1 .
有
X2
2 1
O，使得
AX 2
3 1
2 0
2 1
4 2
2
2 1
2X2
，
所以 2 是A的特征值，对应的特征向量分别为 X2 .
对于 1.
§4.1 矩阵的特征值与特征向量
（一） 特征值特征向量的定义
定义4.1 设A是 n 阶方阵，如果存在数
和 n 维非零向量 X 使
AX X
则称 为方阵A的一个特征值，X 为方阵A对应于或
属于特征值 的一个特征向量。
特征值公式实现了矩阵乘法向数乘的转换。
特征值问题在经济理论，自动控制，稳定性理论 等方面有着非同寻常的用途。
得基础解系
0
，
A对应于
1＝2
1 的全部特征向量为：
c
0 0,c
0
1
将 2＝1 代入方程组 (I A)X O,整理得
x2
x3
2 x1 , x1
1
取 x1 1 得基础解系
2
,
1
A对应于 2＝1 的全部特征向量为：
1 c 2
,c 0
1
此二重特征值 1对应了一个线性无关的特征向量。
性质2
X ,Y 是A 属于同一特征值 0 的特征向量，且 X Y O X Y 也是A 属于 0 的特征向量。
证 AX 0 X , X O, AY 0Y ,Y O A( X Y ) AX AY 0 X 0Y 0( X Y )
五章矩阵的特征值和特征向量ppt课件
,n
的列(行)
向量都是单位向量且两两正交．
由此可知A的列向量组构成 Rn的 一个标准正交基。
同样的方法，行向量组也是。
例3 判别下列矩阵是否为正交矩阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
解 （2）由于
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1
9 8
9 9
4 9
4 9
9 7 9
1 1
,
e2
2 2
,
,er
r r
,
那么 e1, e2 , , er为W的一个标准正交基 .
上述
由线
性无关
向量
组1
,,
构造
r
出正交
向量组1,, r的过程,称为施密特正交化过程 .
例1 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1)T , a2 (1, 1, 0, 4)T , a3 (3, 5,1, 1)T
9 4
9
所以它是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 4
9
9 7
9
0
0
1
提示：此法为 定义法，利用定理3如何证明？
定理2 设A, B皆是n阶正交矩阵,则
1 A 1或1
2 AT 即A1 也是正交矩阵.
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
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10
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
(2次多项式)
3
I A 1
1
3
(
3)2
1
2
6
8
( 4)( 2) 0
所以A的特征值为 1 2, 2 4.
当1 2时, 解方程(2I A)X 0.由
2I
A
2
1
3
2
1
3
1 1
11
1 0
01
11
特征值为 1 2, 2 4.
1 , 1 ,
1
1
1 . 0
A
2 2
2
,3 k .
1
2,4是A的特征值, , 分别是A对应于特征值
2，4的特征向量, 不是A的特征向量.
4
定义 设A是n阶方阵，
若数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
2 0
2 0
2 4 4 0 0 0
2
2
x1 2x2 2x3 基础解系
1 1 , 2 0.
对应特征值2的全部特征向量
0
1
k11 k22 (k1, k2不全为0)
16
1 2 2 2 2 4
当3 7时, 解 方程(7I A)X 0 2 4 2
I
A
1
3
1
3
1 1
0 0 x1 x2 ,
基础解系 1 11
对应特征值1 2的全部特征向量k11 (k1 0)
当2 4时, 解方程(4I A)X 0.由
4I
A
4
1
3
4
1
3
1 1
11
1 0
10
12
1 0
1 0
x1 x2 ,
1
基础解系 2 1
对应特征值2 4的全部特征向量
22 7 0
(3次多项式)
特征值为：1 2 2, 3 7
(2称为二重根) (7称为单根)
15
特征值为：1 2 2, 3 7 1 2 2
2 2 4
当1 2 2时, 解方程(2I A)X 0 2 4 2
1 2I A 2
2 4
2 4
1 0
k22 (k2 0)
13
例
设
A
1 2
2 2
2
4 求A的特征值与特征向量．
2 4 2
解 A的特征多项式
1 2 2
I A 2 2 4
2 4 2
1
2 0
2
2 2
2 1
4 2
2 0
4
6
0
2 4
2
14
1 4 2
I A 2 6 4
0 0 2
2 2 5 6 8
1 2是A对应于特征值的特征向量
推广 设Ai i i 1,2,, s, 则
k11 k22 kss是A对 应 于 特 征 值的 特 征 向 量
6
特征子空间 设 V | A , Rn 0
则由特征值与特征向量的性质可知：
, V , V V , k R, k V . 故 V 是 n 维向量空间Rn 的子空间 . V 称为矩阵 A 的特征子空间.
1 3
1
1 0
A 2 21 2 , A 4 4 1 4 ,
2 1
4 1
A 3 k .
1
y A
x
0
A
A
3
定义 设A是n阶方阵，
若数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
例
A
3 1
31 ,
1
基础解系 3 2
2
对应特征值 7的全部特征向量
k33 (k3不为0)
18
0 1 1 1
设
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
求A的特征值与特征向量．
解 1 1 1
1 1 1 1
1 I A
1
1
1
( 1)
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
§5. 1 基本概念与计算 §5. 2 矩阵的相似对角化 §5. 3 n维向量空间的正交化 §5. 4 实对称矩阵的相似对角化
1
§ 5.1 基本概念与计算
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的计算
2
一、特征值与特征向量的定义
例 矩阵
A 3 1 , 1 , 1 , 1 .
说明 1. 特征向量 0,
特 征 值 问 题 是 对 方 阵 而言 的. 特征值与特征向量是成对出现的
5
二、 性质
1. 设 A 0, 则 A k kA k k .
k是A对 应 于 特 征 值的 特 征 向 量
2. 设A1 1 , A2 2 则
A1 2 A1 A2 1 2 (1 2 )
19
1 1 1 1
1 1 1 1
1 ( 1)
11
1
1
0
( 1)
1
2
2
1
0 2 1 2
1 1 1
0 0 0 1
1 2 ( 1) 2 1
2 2
( 1)2 1 2 2 1
0
0 1 (4次多项式)
7
三、特征值与特征向量的计算
A (数和n维非零列向量 )
( A I ) 0或(I A) 0
齐次线性方程(I A)X 0有非零解 ,
特征值满足：I A 0，
对应特征值的特征向量
即是方程I AX 0的非0解
8
定义
Ann
aij
, 数
nn
a11 a12
fA() I A
(2)求齐次线性方程组 (I A)X 0
的一个基础解系 1 ,2 ,,t t n R(I A)
(3) A的 对 应 特 征 值的 全 部 特 征 向 量: k11 k22 ktt (k1 , k2 ,, kt不全为0) V L(1 ,2 ,,t ) dim V t n R(I A)
7I
A
8 2
2 5
2 4
2 4
5 1
4 1
2
4
5
2 4 5
2 5 4 2 0 9 9 0
5 1
4 1
2 0
0 1
1
1
1 0
0 1
1 2 1
0 9 9 0 0
0 0 0 0
0
0
0
17
1 0 1
2
0 1 1
x1
1 2
x3
0
0
0
x2 x3
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2 ann
是关于 的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式,
f A( ) I A 0 称为矩阵A的特征方程,
特征方程 的根就是特征值,也称为特征根.
9
求特征值、特征向量的步骤：
A
(1)解 特 征 方 程I A 0 即可求出特征值 ;
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
(2次多项式)
3
I A 1
1
3
(
3)2
1
2
6
8
( 4)( 2) 0
所以A的特征值为 1 2, 2 4.
当1 2时, 解方程(2I A)X 0.由
2I
A
2
1
3
2
1
3
1 1
11
1 0
01
11
特征值为 1 2, 2 4.
1 , 1 ,
1
1
1 . 0
A
2 2
2
,3 k .
1
2,4是A的特征值, , 分别是A对应于特征值
2，4的特征向量, 不是A的特征向量.
4
定义 设A是n阶方阵，
若数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
2 0
2 0
2 4 4 0 0 0
2
2
x1 2x2 2x3 基础解系
1 1 , 2 0.
对应特征值2的全部特征向量
0
1
k11 k22 (k1, k2不全为0)
16
1 2 2 2 2 4
当3 7时, 解 方程(7I A)X 0 2 4 2
I
A
1
3
1
3
1 1
0 0 x1 x2 ,
基础解系 1 11
对应特征值1 2的全部特征向量k11 (k1 0)
当2 4时, 解方程(4I A)X 0.由
4I
A
4
1
3
4
1
3
1 1
11
1 0
10
12
1 0
1 0
x1 x2 ,
1
基础解系 2 1
对应特征值2 4的全部特征向量
22 7 0
(3次多项式)
特征值为：1 2 2, 3 7
(2称为二重根) (7称为单根)
15
特征值为：1 2 2, 3 7 1 2 2
2 2 4
当1 2 2时, 解方程(2I A)X 0 2 4 2
1 2I A 2
2 4
2 4
1 0
k22 (k2 0)
13
例
设
A
1 2
2 2
2
4 求A的特征值与特征向量．
2 4 2
解 A的特征多项式
1 2 2
I A 2 2 4
2 4 2
1
2 0
2
2 2
2 1
4 2
2 0
4
6
0
2 4
2
14
1 4 2
I A 2 6 4
0 0 2
2 2 5 6 8
1 2是A对应于特征值的特征向量
推广 设Ai i i 1,2,, s, 则
k11 k22 kss是A对 应 于 特 征 值的 特 征 向 量
6
特征子空间 设 V | A , Rn 0
则由特征值与特征向量的性质可知：
, V , V V , k R, k V . 故 V 是 n 维向量空间Rn 的子空间 . V 称为矩阵 A 的特征子空间.
1 3
1
1 0
A 2 21 2 , A 4 4 1 4 ,
2 1
4 1
A 3 k .
1
y A
x
0
A
A
3
定义 设A是n阶方阵，
若数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
例
A
3 1
31 ,
1
基础解系 3 2
2
对应特征值 7的全部特征向量
k33 (k3不为0)
18
0 1 1 1
设
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
求A的特征值与特征向量．
解 1 1 1
1 1 1 1
1 I A
1
1
1
( 1)
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
§5. 1 基本概念与计算 §5. 2 矩阵的相似对角化 §5. 3 n维向量空间的正交化 §5. 4 实对称矩阵的相似对角化
1
§ 5.1 基本概念与计算
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的计算
2
一、特征值与特征向量的定义
例 矩阵
A 3 1 , 1 , 1 , 1 .
说明 1. 特征向量 0,
特 征 值 问 题 是 对 方 阵 而言 的. 特征值与特征向量是成对出现的
5
二、 性质
1. 设 A 0, 则 A k kA k k .
k是A对 应 于 特 征 值的 特 征 向 量
2. 设A1 1 , A2 2 则
A1 2 A1 A2 1 2 (1 2 )
19
1 1 1 1
1 1 1 1
1 ( 1)
11
1
1
0
( 1)
1
2
2
1
0 2 1 2
1 1 1
0 0 0 1
1 2 ( 1) 2 1
2 2
( 1)2 1 2 2 1
0
0 1 (4次多项式)
7
三、特征值与特征向量的计算
A (数和n维非零列向量 )
( A I ) 0或(I A) 0
齐次线性方程(I A)X 0有非零解 ,
特征值满足：I A 0，
对应特征值的特征向量
即是方程I AX 0的非0解
8
定义
Ann
aij
, 数
nn
a11 a12
fA() I A
(2)求齐次线性方程组 (I A)X 0
的一个基础解系 1 ,2 ,,t t n R(I A)
(3) A的 对 应 特 征 值的 全 部 特 征 向 量: k11 k22 ktt (k1 , k2 ,, kt不全为0) V L(1 ,2 ,,t ) dim V t n R(I A)
7I
A
8 2
2 5
2 4
2 4
5 1
4 1
2
4
5
2 4 5
2 5 4 2 0 9 9 0
5 1
4 1
2 0
0 1
1
1
1 0
0 1
1 2 1
0 9 9 0 0
0 0 0 0
0
0
0
17
1 0 1
2
0 1 1
x1
1 2
x3
0
0
0
x2 x3
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2 ann
是关于 的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式,
f A( ) I A 0 称为矩阵A的特征方程,
特征方程 的根就是特征值,也称为特征根.
9
求特征值、特征向量的步骤：
A
(1)解 特 征 方 程I A 0 即可求出特征值 ;