第五章 特征值和特征向量 PPT课件
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第五章 特征值与特征向量(0808)
T
2019/3/31
10
对于 2 3 2而言，求解齐次线性方程组 (2 E A) X 0 即
1 1 1 x1 (2 E A) X 1 1 1 x2 0 1 1 1 x 3
T T
2 3 3
2 A 123 1 ( 3) 2 3
2019/3/31 21
三、特征值与特征向量的性质
m 1 定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 kA, A , A , A A m 1 分别有特征值： k , , , ，其中m为正整
A 数， 是A的伴随矩阵。
证明：因为：
E AT E T AT ( E A)T E A
则A与 AT有相同的特征多项式
2019/3/31
15
例4 设n阶方阵A满足 AT A E（为正交矩阵），
则的特征值必为1或 -1 证明：设 为的特征值，且 A ( 0) 对上式两边左乘 AT
这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。
定义5.1 设n阶方阵 A (aij )nn （1） E A 称为A的特征矩阵； a11 a12 （2）称 E A
12
n A
（5.7）
2019/3/31
18
证明：注意到A的特征多项式为：
a11 E A
a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n
ann
易知特征多项式中 n与 n1 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中,
2019/3/31
10
对于 2 3 2而言，求解齐次线性方程组 (2 E A) X 0 即
1 1 1 x1 (2 E A) X 1 1 1 x2 0 1 1 1 x 3
T T
2 3 3
2 A 123 1 ( 3) 2 3
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三、特征值与特征向量的性质
m 1 定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 kA, A , A , A A m 1 分别有特征值： k , , , ，其中m为正整
A 数， 是A的伴随矩阵。
证明：因为：
E AT E T AT ( E A)T E A
则A与 AT有相同的特征多项式
2019/3/31
15
例4 设n阶方阵A满足 AT A E（为正交矩阵），
则的特征值必为1或 -1 证明：设 为的特征值，且 A ( 0) 对上式两边左乘 AT
这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。
定义5.1 设n阶方阵 A (aij )nn （1） E A 称为A的特征矩阵； a11 a12 （2）称 E A
12
n A
（5.7）
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18
证明：注意到A的特征多项式为：
a11 E A
a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n
ann
易知特征多项式中 n与 n1 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中,
小学数学特征值与特征向量的基本概念与应用课件
● 课件特点： * 丰富的动画和视觉效果，激发学生的学习兴趣 * 结合实际案例，帮助学生理解抽象 概念 * 提供多种层次的练习题，满足不同学生的学习需求 * 互动性强，方便学生进行自主学习和 合作学习
● * 丰富的动画和视觉效果，激发学生的学习兴趣 ● * 结合实际案例，帮助学生理解抽象概念 ● * 提供多种层次的练习题，满足不同学生的学习需求 ● * 互动性强，方便学生进行自主学习和合作学习
线性方程组的 求解
图像处理中的 图像变换
机器学习中的 数据降维
控制系统中的 稳定性分析
特征值与特征向量的数学模型建立
特征值与特征向量的定义 特征值与特征向量的计算方法 特征值与特征向量的性质 特征值与特征向量的应用实例
特征值与特征向量的数学实 验
第五章
实验目的与要求
掌握特征值与特征向量的基本概念 理解特征值与特征向量的应用场景 能够进行简单的数学实验，验证特征值与特征向量的性质 培养数学实验能力和数学思维能力
实验结果与分析
特征值与特征向量的计算结果 实验数据的分析方法与过程 实验结果与预期结果的比较 实验结论与对实际应用的启示
课件总结与展望
第六章
课件总结
课件内容概述：简 要介绍课件的主题 和主要内容，包括 特征值与特征向量 的基本概念、计算 方法和应用等。
重点与难点：强调 课件中的重点和难 点，帮助学生更好 地理解和掌握相关 知识点。
教学方法：介绍课 件采用的教学方法 ，如案例分析、实 践操作等，以及这 些方法在帮助学生 理解上的作用。
教学效果：评估课 件的教学效果，包 括学生对知识点的 掌握程度、实际应 用能力等方面的反 馈。
未来发展展望
特征值与特征向量 的理论体系将进一 步完善
● * 丰富的动画和视觉效果，激发学生的学习兴趣 ● * 结合实际案例，帮助学生理解抽象概念 ● * 提供多种层次的练习题，满足不同学生的学习需求 ● * 互动性强，方便学生进行自主学习和合作学习
线性方程组的 求解
图像处理中的 图像变换
机器学习中的 数据降维
控制系统中的 稳定性分析
特征值与特征向量的数学模型建立
特征值与特征向量的定义 特征值与特征向量的计算方法 特征值与特征向量的性质 特征值与特征向量的应用实例
特征值与特征向量的数学实 验
第五章
实验目的与要求
掌握特征值与特征向量的基本概念 理解特征值与特征向量的应用场景 能够进行简单的数学实验，验证特征值与特征向量的性质 培养数学实验能力和数学思维能力
实验结果与分析
特征值与特征向量的计算结果 实验数据的分析方法与过程 实验结果与预期结果的比较 实验结论与对实际应用的启示
课件总结与展望
第六章
课件总结
课件内容概述：简 要介绍课件的主题 和主要内容，包括 特征值与特征向量 的基本概念、计算 方法和应用等。
重点与难点：强调 课件中的重点和难 点，帮助学生更好 地理解和掌握相关 知识点。
教学方法：介绍课 件采用的教学方法 ，如案例分析、实 践操作等，以及这 些方法在帮助学生 理解上的作用。
教学效果：评估课 件的教学效果，包 括学生对知识点的 掌握程度、实际应 用能力等方面的反 馈。
未来发展展望
特征值与特征向量 的理论体系将进一 步完善
第5章 特征值与特征向量ppt课件
a 1 (a 1 1 a 2 2 a n n ),
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
tr(A ) 1 2 n.
设 i 为方阵的一个特征值,则由方程(iEA)x0
可求得非零解 x pi .
特征向量
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5.1 矩阵特征值与特征向量
例1
求矩阵
A
3
5
1 1
的特征值与特征向量.
解
EA3
5
1
10.
(4)(2)0.
A 的 特 征 值 为 1 4 ,2 2 .
定义1 设A为n阶方阵, λ是一个数,若存在非零列向量x,使得
Ax x,
则称λ是A的一个特征值,非零列向量x称为A的对应于特征值 λ的特征向量.
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5.1 矩阵特征值与特征向量
Ax x,
(EA)x0.
它有非零解的充分必要条件是系数行列式
EA 0.
a11 a12 a21 a22
an1 an2
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
6 6 0 1 0 1
1
1 2 : 2EA3
3
00 1 1.
p1
1
.
3 6 3 0 0 0
1
对应的全部特征向量为 c1p1 (c1 0).
3 6 0 1 1 0
2 3 1: EA3 6 00 0 0.
3 6 0 0 0 0
2
0
p2
1
,
p3 0.
ห้องสมุดไป่ตู้
本节 上页 下页
5.1 矩阵特征值与特征向量
3 1 0 1 0 0
0
1 2 : 2EA4
1 00 1 0.
p1
0
.
自考线性代数第五章特征值与特征向量 ppt课件
从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项
式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似．
2021/3/30
32
证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，则P −1AkP = Bk .
设j (x) = cmxm + cm−1xm−1 + … + c1x + c0，那么 P −1 j (A) P
ann l
• 特征方程
| A−lE | = 0
• 特征多项式 | A−lE |
2021/3/30
9
二、基本性质
• 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值 （重根按重数计算）．
• 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，
则
✓l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓l1 l2 … ln = |A|
18
• 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程 组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全
体特征向量的最大无关组．
• 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m是矩阵多项式 j (A) = a0 +
a1 A + … + am A m 的特征值．
对应于特征值 l 的特征向量．
2021/3/30
6
例：
3 42 2 2 31 11
则l=1为
3
2
4
3
的特征值，
2 1
于l = 1 的特征向量.
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项
式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似．
2021/3/30
32
证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，则P −1AkP = Bk .
设j (x) = cmxm + cm−1xm−1 + … + c1x + c0，那么 P −1 j (A) P
ann l
• 特征方程
| A−lE | = 0
• 特征多项式 | A−lE |
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9
二、基本性质
• 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值 （重根按重数计算）．
• 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，
则
✓l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓l1 l2 … ln = |A|
18
• 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程 组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全
体特征向量的最大无关组．
• 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m是矩阵多项式 j (A) = a0 +
a1 A + … + am A m 的特征值．
对应于特征值 l 的特征向量．
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6
例：
3 42 2 2 31 11
则l=1为
3
2
4
3
的特征值，
2 1
于l = 1 的特征向量.
特征值与特征向量6.ppt
10
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
(2次多项式)
3
I A 1
1
3
(
3)2
1
2
6
8
( 4)( 2) 0
所以A的特征值为 1 2, 2 4.
当1 2时, 解方程(2I A)X 0.由
2I
A
2
1
3
2
1
3
1 1
11
1 0
01
11
特征值为 1 2, 2 4.
1 , 1 ,
1
1
1 . 0
A
2 2
2
,3 k .
1
2,4是A的特征值, , 分别是A对应于特征值
2，4的特征向量, 不是A的特征向量.
4
定义 设A是n阶方阵，
若数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
2 0
2 0
2 4 4 0 0 0
2
2
x1 2x2 2x3 基础解系
1 1 , 2 0.
对应特征值2的全部特征向量
0
1
k11 k22 (k1, k2不全为0)
16
1 2 2 2 2 4
当3 7时, 解 方程(7I A)X 0 2 4 2
I
A
1
3
1
3
1 1
0 0 x1 x2 ,
基础解系 1 11
对应特征值1 2的全部特征向量k11 (k1 0)
当2 4时, 解方程(4I A)X 0.由
4I
A
4
例
求A
3 1
31的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式为
(2次多项式)
3
I A 1
1
3
(
3)2
1
2
6
8
( 4)( 2) 0
所以A的特征值为 1 2, 2 4.
当1 2时, 解方程(2I A)X 0.由
2I
A
2
1
3
2
1
3
1 1
11
1 0
01
11
特征值为 1 2, 2 4.
1 , 1 ,
1
1
1 . 0
A
2 2
2
,3 k .
1
2,4是A的特征值, , 分别是A对应于特征值
2，4的特征向量, 不是A的特征向量.
4
定义 设A是n阶方阵，
若数 和n维非零列向量 ，使得 A 成立，
则称 是方阵A的一个特征值，
是方阵A的对应于特征值 的一个特征向量.
2 0
2 0
2 4 4 0 0 0
2
2
x1 2x2 2x3 基础解系
1 1 , 2 0.
对应特征值2的全部特征向量
0
1
k11 k22 (k1, k2不全为0)
16
1 2 2 2 2 4
当3 7时, 解 方程(7I A)X 0 2 4 2
I
A
1
3
1
3
1 1
0 0 x1 x2 ,
基础解系 1 11
对应特征值1 2的全部特征向量k11 (k1 0)
当2 4时, 解方程(4I A)X 0.由
4I
A
4
第五章特征值和特征向量PPT课件
根据上式可知，任一非零向量除以它的长度后 就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
特征值与特征向量的应用PPT
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 记为 tr A aii i . 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则 1 为 A1 的特征值． 推论２ 推论３ 则 k 为 kA 的特征值． 1 推论４ 则 A 为 A 的特征值．
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b 2 T . , a1 a2 an bn
施密特（Schmidt）正交化法 设 1 , 2 ,, r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 1 , 2 ,, r ，使 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, r 等价， 此问题称为把 1 , 2 ,, r 这组基标准正交化. 1）正交化 令 1 1
则 1 , 2 ,, r 两两正交，且与 1 , 2 ,, r 等价. 2）标准化 令 1
1
1
1 , 2
1
2
2 , , r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组. 如果 1 , 2 ,, r 是Ｖ的一组基，则 1 , 2 ,, r 就是
1 2 P, ( p1 , p2 , , pn ) n 所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量． 推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ 可相似对角化．
1 , 2 2 2 1 1 , 1 1 , r 2 , r r 1 , r r r 1 2 r 1 1 , 1 2 , 2 r 1 , r 1
特征值问题和特征向量精品课件
证 E AT (EA)T EA,
说 明 A 与 A T 有 相 同 的 特 征 多 项 式 ,
从而有相同的特征值.
注意: 尽 管 A 和 A T的 特 征 值 相 同 ， 但 一 般 它 们 的 特 征
特征值问题和特征向量
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以 及矩阵的对角化问题。
第一节 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的基本概念
定义 设 A 是 一 个 n 阶 方 阵 ， 如 果 存 在 一 个 数 ， 以 及 一 个 非 零 n 维 列 向 量 ， 使 得
A
则 称 为 矩 阵 A 的 特 征 值 ， 而 称 为 矩 阵 A 的 属 于
0
2 0
0
0
0
1
相应齐次线性方程组的基础解系为 3 0 ,
1
因 此 属 于 特 征 值 3 1 的 全 部 特 征 向 量 为 k 3 3 ( k 3 0 ) 。
例2
设
A
2 0
1 2
1
0, 求A的特征值与特征向量。
4 1 3
2 1 1 解 EA 0 2 0
4 1 3
对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即 为主对角元。
a 11 0
a 12 a 22
a 1n a2n
0 0 a nn
a 11 a 21
0 a 22
0
0 0
a n1 a n 2 a nn
1 0
0 2
0 0
0 0 n
三、特征值与特征向量的性质
k 11 k 22 ( k 1 ,k 2 不 全 为 零 ) ；
2 1 1
EA 0 2 0 12(二重 ) ,2 根 1.
说 明 A 与 A T 有 相 同 的 特 征 多 项 式 ,
从而有相同的特征值.
注意: 尽 管 A 和 A T的 特 征 值 相 同 ， 但 一 般 它 们 的 特 征
特征值问题和特征向量
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以 及矩阵的对角化问题。
第一节 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的基本概念
定义 设 A 是 一 个 n 阶 方 阵 ， 如 果 存 在 一 个 数 ， 以 及 一 个 非 零 n 维 列 向 量 ， 使 得
A
则 称 为 矩 阵 A 的 特 征 值 ， 而 称 为 矩 阵 A 的 属 于
0
2 0
0
0
0
1
相应齐次线性方程组的基础解系为 3 0 ,
1
因 此 属 于 特 征 值 3 1 的 全 部 特 征 向 量 为 k 3 3 ( k 3 0 ) 。
例2
设
A
2 0
1 2
1
0, 求A的特征值与特征向量。
4 1 3
2 1 1 解 EA 0 2 0
4 1 3
对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即 为主对角元。
a 11 0
a 12 a 22
a 1n a2n
0 0 a nn
a 11 a 21
0 a 22
0
0 0
a n1 a n 2 a nn
1 0
0 2
0 0
0 0 n
三、特征值与特征向量的性质
k 11 k 22 ( k 1 ,k 2 不 全 为 零 ) ；
2 1 1
EA 0 2 0 12(二重 ) ,2 根 1.
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1
0
e3
3 3
1 2
1 1
.
则 e1, e2 , e3 即为所求.
3. 正交矩阵
定义6 如果 n阶方阵A 满足
AAT AT A E （即A1 AT ）
那么称A 为正交矩阵. 定理3 A为正交矩阵的充分必要条件是
A的行（列）向量组为正交规范向量组.
定理4 设A，B都是n阶正交方阵，则
基础解系的线性组合（零向量除外）就是 A
对应于i 的全部特征向量．
例2
求矩阵
A
3 5
4 2
的特征值和特征向量．
解 A的特征多项式为
3 4 ( 7)( 2),
5 2
所以A的特征值为1 2, 2 7. 当1 2 时，对应的特征向量应满足
5 5
4 4
x1 x2
0 0
定理2 若 n维向量1,2 ,L ,r 是一组
两两正交的非零向量组，则
1,2 ,L ,r 线性无关.
例1 已知 1
1
1 1 ,2 1
,
1
2
求非零向量3 ,使 1,2 ,3 成为正交向量组.
x1
解
设
3
x2
,
则1T3
0,
T
23
0
x3
即
1T
T 2
x1 x2 x3
0,
1 1
1 1
1 2
x1 x2 x3
0 0
,
由 1 1
1 1
1 2
~
1
0
1 0
1 3
~
1
0
1 0
0 1
,
得
x1
x3
x2 0
,
从而有基础解系
1
1
,
0
1
取
3 1
0
即为所求.
2. Schmidt正交化方法
Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量
1,2 ,L ,r 作如下的线性交换，化为一组 与之等价的正交向量组 1, 2 ,L , r 的方法：
向量的长度具有下述性质：
（1）非负性： x 0 ;
（2）齐次性： x x ;
（3）三角不等式： x y x y .
当 x 1 时，称 x为单位向量.
任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
Cauchy-Schwarz 不等式：
[x, y]2 [x, x][ y, y] 或 [x, y] x y
由此得 [x, y] 1当 x y 0时
xy
定义3 当 x 0, y 0 时，
arc cos [x, y]
xy
称为 n维向量 x与y的夹角. 定义4 当[x, y] 0时，
称向量 x与 y 正交（或垂直）.
零向量与任何向量都正交
定义5 若一个向量组中任意两个向量都正交， 则称此向量组为正交向量组. 若一个正交向量组中每一个向量都是单位向 量，则称此向量组为正交规范向量组或标准 正交向量组.
这说明，正交变换不改变向量的长度.
二 特征值和特征向量
1. 概念
定义1 设A是 n阶方阵，如果数λ和n维非零
列向量x使关系式Ax= λx (1)成立， 则称λ是方阵A的特征值；
非零列向量x称为A的对应于特征值λ的特征 向量.
（1）式也可写为 (A E)x 0 (2)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组， 它有非零解的充要条件是系数行列式
基本性质： （1）反身性 ；（2）对称性 ；（3）传递性.
定理1 若 A 与 B 相似，则 （1）A 与B 有相同的特征多项式和特征值； （2） A B ; （3） R(A) R(B) ; （4） Am与 Bm也相似，其中 m为正整数.
2. 矩阵可对角化的条件
把方阵 A 对角化方法，即求相似变换矩阵P 使 P1AP 为对角阵.
xk
8 3
1 xk1 3
yk 1
yk
2 3
xk 1
7 3
yk 1
(k 1, 2,L )
xk和 yk为第k 个周期后的污染损耗和工业产值.
即
xk yk
1 3
8 2
1 xk1
7
yk
1
或 k Ak1(k 1, 2,L ) .
由此模型及当前的水平0 ，可以预测若干
发展周期后的水平：
A E 0 (3)
即 a11
a12
L
a21 a22 L
M
M
a1n a2n 0 M
an1
an2 L ann
方程组(2)的系数矩阵A - λE 称为A的特征矩阵; |A - λ E| 是λ的n次多项式,记作f(λ) ， 称为A的特征多项式; 式（3）称为A的特征方程.
显然，A的特征值就是A的特征方程的解， 在复数范围内，n阶方阵A有n个特征值 （重根按重数计算）.
它表明，经过n个发展周期后，工业产值已达
到一个相当高的水平 2n1 ，但其中一半被 污染损耗 2n 所抵消，造成资源的严重浪费.
如果当前的水平 0
11
19
，则不能直接
应用上述方法分析.
此时由于0 10 p1 p2 ,
于是 n An0 10An p1 An p2
10 2n p1 3n p2 10 2n 3n
定理2 n 阶方阵 A相似于n 阶对角矩阵的 充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. 推论 如果 n 阶方阵 A有 n 个互不相等特征值，
则 A与对角矩阵相似.
例1 已知矩阵
2 0 0
1 0 0
A
2
x
2
与
B
0
2
0
相似.
3 1 1
0 0 y
（1）求 x与 y ； （2）求一个可逆矩阵 P，使 P1AP B ; （3）求 A100 .
1 A0,2 A1 A20, L ,k Ak0.
下面利用矩阵特征值和特征向量的有关性质，
来计算A的幂. 为此，先计算 A的特征值.
A 的特征多项式为
8 AE 3
2 3
1
3 2 5 6 7
3
所以，A的特征值为 1 2, 2 3 .
1) 对于特征值 1 2 ，解齐次线性方程组
3. 特征值和特征向量的性质
定理1 设A是 n阶方阵， 则 A与AT有相同的特征值.
定理2 设 是方阵 A的特征值，k, m N,则 （1） k是Ak 的特征值；
（2）f () a0 a1 L amm 是
f ( A) a0E a1A L am Am的特征值.
定理3 设 n阶方阵A (aij )的 n个特征值为
1, 2,L , n 则
n
n
n
（1） i aii ，其中 aii 是 A的主对
i 1
i 1
i 1
角元之和，称为矩阵A的迹，记作 tr( A) ;
n
（2） i 1
i
A.
推论 n阶方阵 A可逆的充分必要条件是它的
任一特征值不等于零.
定理4 设1, 2,L , m是方阵 A的 m个特征值，
p1, p2,L , pm 依次是与之对应的特征向量.
（1） [x, y] [ y, x] ;
（2） [x, y] [x, y] ;
（3） [x y, z] [x, z] [ y, z] ; （4） [x, x] 0 , 等号当且仅当x 0 时成立.
定义2 令
x [x, x] x12 x22 L xn2
称为n维向量 x的长度（或范数）.
20 2n 3n
特别地，当 n 4 时，污染损耗为 x4 241 ,
工业产值为y4 239，损耗已超过了产值，
经济将出现负增长.
因 p2 中含负分量
由上面的分析可以看出：
尽管 A的特征向量 p2没有实际意义
但任一具有实际意义的向量0 都可以表示为
p1 , p2 的线性组合 从而在分析过程中，p2 仍具有重要作用.
1 1 ;
2
2
1,2 1, 1
1;
r
r
1,r 1, 1
1
2,r 2 , 2
2
L
可以证明：
r 1 , r r1, r1
r 1
1, 2,L , r 两两正交，且对任何k 1 k r
向量组 1, 2,L k 与 1,2,L k 等价.
2 3 1
例2
将1 1
,
2
A 2E x 0 可得 A 的属于 1 2
的一个特征向量
p1
1
2
.
2) 对于特征值 2 3，解齐次线性方程组
A 3E x 0 可得 A 的属于2 3
的一个特征向量
p2
1
1
.
如果当前的水平0 恰好等于p1，则k n时，
n
An0
An
p1
1n
p1
2n
1
2
即 xn 2n , yn 2n1 .
即所求解为 a 3,b 0, 1.
2. 特征值和特征向量的求法
求 n阶方阵 A的特征值与特征向量的步骤：
（1）求出 n 阶方阵 A的特征多项式 A E ; （2）求出特征方程 A E 0 的全部根i ，
即是A的特征值；
（3）把每个特征值i代入线性方程组（2）， 求出基础解系，就是 A对应于i 的特征向量，
解 （1）因 A与 B相似，故
AE BE
2 0 0 1 0 0 即 2 x 2 0 2 0 ,
3 1 1 0 0 y