高等数学同济第七版第3章习题解答

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教材习题同步解析

习题3-1

1.验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间??

????65,6ππ上的正确性. 证 x y sin ln =在??

????65,6ππ上连续，在??? ??ππ65,6内可导，且 ??

? ??π=??? ??π656y y .故函数x y sin ln =在区间]65,6[ππ上满足罗尔定理的条件.

又解0cot =='x y 得2

π+π=n x ),2,1,0( ±±=n ,取0=n ，确实存在??

? ??∈=65,62πππξ使得0cot )(=='ξξy .因此罗尔定理对函数x y sin ln =在区间]6

5,

6[ππ上正确. 注意 凡是验证定理正确与否的命题,一定要验证两点(1)定理的条件是否满足;(2)若条件满足,求出定理结论中的ξ值.

5.不求函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)(='x f 有几个实根，并指出它们所在的区间.

解 函数)(x f 分别在区间[3,4][2,3],2],,1[上连续，在区间2),,1( (3,4)(2,3),内可导，且0)4()3()2()1(====f f f f . 由罗尔定理知，至少存在),2,1(1∈ξ),3,2(2∈ξ),4,3(3∈ξ使

).3,2,1( 0)(==ξ'i f i 即方程0)(='x f 至少有三个实根.又因0)(='x f 为三次方程，故它至多有三个实根. 因此，方程0)(='x f 有且只有三个实根，分别位于区间2),,1((3,4)(2,3),内.

6.证明恒等式: ).11(,2arccos arcsin ≤≤-=

+x x x π

136 证 设x x x f arccos arcsin )(+=，则

11,01111

)(2

2<<-=???? ??--+-='x x x x f . 于是].1,1[,)(-∈=x c x f 其中c 为常数. 因为,20arccos 0arcsin )0(π

=+=f 故

).11(,2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π

7.若方程01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根0x x =,证明方程 0)1(12110=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根.

证 设x a x a x a x f n n n 1110)(--+++= ,可见0)0(=f ,又依题意,有0)(0=x f .并注意到12110)1()(---++-+='n n n a x n a nx a x f ,于是)(x f 在],0[0x 上满足罗尔定理条件,故存在),0(0x ∈ξ,使得0)(=ξ'f ,即0)1(12110=++-+---n n n a x n a nx a 有小于0x 的正根.

8.若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中b x x x a <<<<321，证明：在),(31x x 内至少存在一点ξ，使得0)(=ξ''f .

证 由于)(x f 在],[21x x 上连续，在),(21x x 内可导，且)()(21x f x f =，根据罗尔定理，至少存在一点∈ξ1),(21x x ，使得0)(1=ξ'f .同理可证至少存在一点∈ξ2),(32x x ，使得0)(2=ξ'f .

又因为)(x f 在),(b a 内二阶可导，所以函数)(x f '在],[21ξξ上连续，在),(21ξξ内可导，且0)()(21=ξ'=ξ'f f .再次应用罗尔定理知：至少存在一点?ξξ∈ξ),(21),(31x x ，使得0)(=ξ''f .

10. 设,0>>b a 证明：

b b a b a a b a -<<-ln . 分析 由于b a b

a ln ln ln -=,所以可以构造函数x x f ln )(=,然 后应用中值定理证明.