安培力和洛伦兹力的关系

安培力和洛伦兹力的关系文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]24．（20分）对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质。

（1）一段横截面积为S 、长为l 的直导线，单位体积内有n 个自由电子，电子电量为e 。

该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为v 。

（a ）求导线中的电流I ；（b ）将该导线放在匀强磁场中，电流方向垂直于磁感应强度B ，导线所受安培力大小为F 安，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为F ，推导F 安=F 。

（2）正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内粒子数量n 为恒量。

为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；其速率均为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变。

利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与m 、n 和v 的关系。

（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）24．（1）（a ）设Δt 时间内通过导体横截面的电量为Δq ，由电流定义，有：neSv tt neSv t q I =∆∆=∆∆= （b ）每个自由电子所受的洛仑兹力：F 洛=evB设导体中共有N 个自由电子：N =n ·Sl导体内自由电子所受洛仑兹力大小的总和：F =NF 洛=nSl ·evB由安培力公式，有：F 安=BlI =Bl ·neSv得：F 安= F（2）一个粒子每与器壁碰撞一次，给器壁的冲量为：ΔI =2mv如答图3，以器壁上的面积S 为底，以v Δt 为高构成柱体，由题设可知，其内的粒子在Δt 时间内有1/6与器壁S 发生碰撞，碰壁粒子总数为：NΔt 时间内粒子给器壁的冲量为：t nSmv l N I ∆=∆=231 面积为S 的器壁受到粒子压力为：tI F ∆= 器壁单位面积所受粒子压力为：231nmv S F f == 安培力与洛仑兹力的关系杨兴国运动电荷在磁场中受到洛仑兹力，通电导线在磁场中受到安培力，导线中的电流是由大量自由电子的定向移动形成的，安培力与洛仑兹力之间必定存在密切的关系，可以认为安培力是洛仑兹力的宏观表现，洛仑兹力是安培力的微观实质，但不能认为安培力是导线上自由电子所受洛仑兹力的合力，也不能认为安培力是通过自由电子与导线的晶格骨架碰撞产生的．图中，通电导线置于静止的磁场之中，导线通有电流I ，长为d l 的导线元，所受的安培力为I d l ×B ．从微观的角度看，导线中的自由电子以速度v 向右运动，在洛仑兹力f =-ev ×B 的作用下，以圆周运动的方式向导线下方侧向偏移，使导线下侧出现负电荷的积累；在导线中产生侧向的霍耳电场，霍耳电场对自由电子有作用力，阻碍自由电子作侧向运动．经过一段时间后，自由电子受到的洛仑兹力与霍耳电场力N 平衡，自由电子只沿导线方向作定向运动，此时，-eE +（-ev ×B ）=0，霍耳电场的场强导线内有带负电的自由电子和带正电的晶格，均匀导线内部的电荷体密度为零，自由电子所带电量与晶格骨架所带电量等量异号，若单位体积内自由电子的个数为n ，导线的横截面积为S ，则在导线元d l 中，自由电子电量为- enS d l ，晶格骨架所带的电量为在讨论安培力时，可以认为品格均匀分布，排列有序．霍耳电场在导线元d l 内也是均匀的，在导线元d l 通有电流I 时，晶格骨架所受的力为将 、 两式代入，有考虑到自由电子的定向运动与电流元的关系可将 式改写为df = Idl ×B ，即为 式．如果通电导线在静磁场运动，运动速度为u （图3. 13 -3）．在导线中的自由电子，相对于参考系的速度为u+v ，受洛仑兹力-e (u+ v )×B ，同样令在导线中产生霍耳电场．当霍耳电场的场强为E = -(u+v )×B 时，自由电子没有侧向偏移，仍沿导线方向作定向运动，通电导线运动时，晶格骨架随之运动，也受到洛仑兹力，晶格骨架受到的力为通过上面的论述可以看出：无论磁场中的通电导线是否运动，导线中作定向运动的自由电子均在洛仑兹力的作用下，使导线表面的电荷分布发生变化，在导线内产生霍耳电场，平衡时，自由电子在侧向受到的合力为零，仍沿导线方向作定向运动，没有偏向偏移，不会在侧向与晶格碰撞产生安培力．带正电的晶格所受合力不为零，导线的晶格骨架所受到各力的合力即为安培力．洛仑兹力与安培力的关系赵凯华比较一下洛仑兹力公式和安培力公式，可以看出二者很相似。

这里的qv与电流元Idl相当。

这并不是偶然的，因为运动电荷就是一个瞬时的电流元。

载流导线中包含了大量自由电子，下面我们来证明，导线受的安培力就是作用在各自由电子上洛仑兹力的宏观表现。

如图4-50所示，考虑一段长度为△l的金属导线，它放置在垂直纸面向内的磁场中（在图中用“×’’表示磁感应线方向）。

设导线中通有电流I，其方向向上。

从微观的角度看，电流是由导体中的自由电子向下作定向运动形成的。

设自由电子的定向运动速度为u，导体单位体积内的自由电子数（叫做自由电子数密度）为n，每个电子所带的电量为-e(e = ×10-19库仑)。

按照定义，电流强度是单位时间内通过导线截面的电量。

现在我们看看，在时间间隔△t内通过导线某一截面B的电量有多少。

因为在时间△t内每个电子由于定向运动而向下移动了距离u△t.我们可以在截面S之上相距u△t的地方取另一截面S’.在这两个截面之间是一段体积△V=Su△t的柱体（这里心又代表截面的面积）.不难看出，凡是处在这个柱体内的电子，在时间间隔△t后都将通过截面S;凡是位于这个柱体之外的电子，在时间间隔△t内都不会通过S.所以在时间间隔△t 内通过S的电子数等于这个柱体内的全部电子数，它应是n△V=nSu△t而在时间间隔△t内通过S的电量△q应等于上述这个数目再乘以每个电子的电量e（这里只考虑数值，暂不管它的正负），即子是电流强度由于这里电子的定向速度u与磁感应强度B垂直，sir 0=1，每个电子由于定向运动受f到的洛仑兹力为euB虽然这个力作用在金属内的自由电子上，但是自由电子总是与金属的晶体点阵不断碰撞的，自由电子获得的动量，最终都会传递给金属的晶格骨架。

宏观上看起来将是金属导线本身受到这个力。

整个长度为△l的这段导线的体积为S△l，共中包含自由电子的总数为nS△l，每个电子受力f=euB，所以这段导线最终受到的总力为根据式，上面括弧中的量刚好是宏观的电流强度I，故最后得到力的大小为这正好与安培力的公式符合。

请读者自己验证一下，力的方向也是符合的。

应当指出，导体内的自由电子除定向运动之外，还有无规的热运动。

由于热运动速度v朝各方向的几率相等，在任何一个宏观体积内平均说来，各自由电子热运动速度的矢量和∑v为0.而洛仑兹力与v和B都垂直，由热运动引起的洛仑兹力朝各方向的几率也是相等的。

传递给晶格骨架后迭加起来，其宏观效果也等于0.即对于宏观的安培力F 来说，电子的热运动没有贡献，所以在上述初步的讨论中我们可以不考虑它。

梁灿斌328电流是由电荷的定向运动产生的，因此磁场中的载流导体内的每一定向运动的电荷，都要受到洛伦兹力．由于这些电荷（例如金属导体中的自由电子）受到导体的约束，而将这个力传递给导体，表现为载流导体受到一个磁场力，通常称为安培力，下面我们从运动电荷所受的洛伦兹力导出安培力公式．图5-45表示一固定不动的电流元，其电流强度为I，横截面为dS，长为dl，设在电流元范围内有相同的磁感应强度B，则金属载流导体内每一定向运动的电子所受到的洛伦兹力为v为电子定向漂移速度，与电流密度矢量j反向（j=-nev，n为导体单位体积的自由电子数），电流元内作定向运动的自由电子数N=-ndSdl，因而电流元内作定向运动的电子所受的合力为在电流元的条件下，我们用dl来表示其中电流密度的方向，并注意到电流强度I=jdS，于是上式表示为：式为电流元Idl内定向运动的电子所受到的合磁场力，如前所述，这个力被传递给载流导体，表现为电流元这个载流导体所受到的磁场力．通常称式为安培力公式．式由式推导而得．但在历史上式首先是由实验得出的，因此不少作者将式做为基本实验定律.由式(5-57)原则上可以求得任意形状的电流在磁场中所受的合力，即求积分l为在磁场中的导线长度．如果有兴趣的话，我们来探讨一下金属载流导体（例如金、铜、铝、银、镍等）中，定向运动的电子所受到的洛伦兹力是怎样成为载流导体的安培力的．现设有如讲述“霍尔效应’’时的图5-44 b所示的载流导体，以及如图所示的电流I，所加的外磁场B，因为载流导体中每一个定向运动的电子，都要受到一个洛伦兹力f L显然，f L沿+z方向，这导至导体的A侧出现负电荷，而在A’侧出现正电荷的堆积，结果将在载流导体上下两侧产生一个U AA，<0的电位差，以及一个沿+z的横向电场E t．最后，当E t=vB之后，导体中定向运动的电子所受到的横向电场力与磁场力（洛伦兹力）平衡，这时，载流导体中作定向运动而形成电流的电子的运动状况，与外磁场B不存在时相同（沿-z 方向运动）．与外磁场B 不存在时的区别，在于载流导体内部出现了横向电场E t ．我们来分析一下受力关系．载流导体中定向运动的电子在z 轴方向受到两个力的作用，一为洛伦兹力，B ev f L ⨯-=，沿+z 方向；一为稳恒电场E t 所给予的电场力f l =-e E t ，沿-z 方向。

两者等值反向，使电子不出现z 轴方向的位移．我们知道稳恒电场力遵从牛顿第三定律，因此，该电子将给A ，A’两侧的负、正电荷以一个指向+z 的反作用力．显然这个力的数值和方向正好等于外磁场给予运动电子的洛伦兹力，也就是说，外磁场作用在运动电上的洛伦兹力，通过横向电场的作用，表现为外磁场给予载流导体的安培力．以上只讨论了磁场中静止的载流导线所受到的安培力．如果载流导体在磁场中运动，问题就会复杂些，一方面，只要导线运动方向不与安培力方向垂直，安培力就要在导线运动时做功，另一方面，安培力是洛伦兹力的宏观表现，而前面讲过洛伦兹力是永不做功的．这似乎是一个矛盾．这个问题将在第六章介绍“动生电动势概念时得到一个满意的回答，我们将看到：当载流导体运动时，安培力只是洛伦兹力的一个分量（而不是全部）的宏观表现．。