上海市2018-2019学年嘉定二中高二上学期数学期中考试
上海市2018-2019学年嘉定二中高二上学期数学期中考试
一、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
1.已知()43-=，,=________.
2.方程组⎩
⎨⎧=-+=--083052y x y x 的增广矩阵是_________. 3.正六边形 ABCDEF 的中心是点O,以这七个点为起点与终点的向量中,与AB 相等的向量共有______个(不包含AB ).
4.已知()()()
，∥，，m +==2421则实数m 的值为_________. 5.已知()()，，，，1112--C B △ABC 的重心为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-3432，,则A 的坐标为_________. 6.已知()()，
，，，5132-==b a 那么在方向上的投影为__________. 7.已知矩阵 ⎝⎛=11A ⎪⎪⎭⎫11，则向量⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛32经过矩阵A 变换后所得的向量是________. 8.已知，，，＞⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a a a 1212102则b a ∙的最小值是________. 9.已知，
，122113
2PP P P P P PP λ=-=则λ的值为________.
10.已知21212123243e e e e e e +-=+=+-=若以b 与c 为一组基,则用b 与c 表示=a ________.
11.52==a 与b 的夹角为π32,令，
173+=-=λ若⊥则λ的值为______. 12. 已知函数22+-=x y 的图像交x 轴于点A 、交y 轴于点B,点P 在线段AB 上,点M(2,0),O 为坐标原点,则OP AM ∙的取值范围是____________.
二、选择题(本大题共5题,每题4分,满分20分)
13.下列命题正确的是（ ）
A.0=，则0=a
B.=则b a =或b a -=
C.若为平行向量,则同向
D.若为单位向量,= 14.已知矩阵 ⎝⎛-=11A ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫1220B ， ，⎪⎪⎭
⎫-34则2A-3B=（ ） A. ⎝⎛18 ⎪⎪⎭⎫-512 B. ⎝⎛--54 ⎪⎪⎭⎫-1312 C. ⎝⎛54 ⎪⎪⎭⎫-1312 D. ⎝⎛--18 ⎪⎪⎭
⎫512
15.如图,正六边形 ，
654321P P P P P P ,下列向量的数量积中最大的是（ ） A.3121P P P P ∙ B.4121P P P P ∙ C.5121P P P P ∙ D.6121P P P P ∙
16.若b a 、是不平行的两个向量,21λλ+=+=其中,R ∈21λλ、,则A 、B 、C 三点共线的充要条件是（ ）
A.121==λλ
B.121-==λλ
C.121=λλ
D.121-=λλ
17.如图,OM/AB,点P 在由射线OM 、线段0B 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且
OB y OA x OP +=.当
2
1-=x 时,y 的取值范围是（ ） A.()∞+，0 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛2321， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2321，
三、解答题(本大题共5题,满分52分)
18.(本题8分)已知()()，
，，，532--==b x a 与的夹角不超过90°,求实数x 的取值范围.
19.(本题10分)如图,矩形ABCD 中,E 为边BC 的中点,F 为边CD 的中点,，
，42==AD AB 设.b AD a AB ==， (1)试用和表示两个向量、(2)求两个向量、的夹角的大小(用反三角函数值表示).
20.(本题10分)已知b a 、是两个不平行的向量,()()ββααsin cos sin cos ，，==.
(1)求证:()()b a b a -⊥+；
(2)若，π
，π，π
53
444=∙=⎪⎭⎫
⎝⎛-∈βα求⎪⎭⎫
⎝⎛-4sin πα的值。
21.(本题12分)定义矩阵的方幂:设A 是一个n n ⨯矩阵,定义()*
11N k A A A A A k k ∈⎪⎩⎪⎨⎧==+,若 ⎝⎛=0
1A
⎪⎪⎭⎫11. (1)计算432A A A 、、；(2)猜想()*N n A n ∈的结论,并用数学归纳法证明你的结论.
22.(本题12分)在直角坐标系中已知A(4,O)、B(0,2)、C(-1,0)、D(0,-2),点E 在线段AB(不含端点)上,点F 在线段CD 上,E 、O 、F 三点共线。
(1)若F 为线段CD 的中点,证明:AB OE ⊥；
(2)“若F 为线段CD 的中点,则⊥”的逆命题是否成立?说明理由；
(3)设()，
、，R FC DF EB AE ∈==μλμλ,求λμ的值. 答案：
1、5
2、 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-813521 3、10
4、2
5、()4,3-
6、13-
7、⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛55 8、22
9、2
1 10、c b 277181+-
11、40
12、[]1,0
13~17 ABACB
18、⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈,5656,310x 19、（1）+=+=2
121 （2）4
10arccos =θ
20、（1）略
（2）5
4-
21、（1）⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=10212A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=10313A ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=10414A （2）略
22、（1）略
（2）成立，证明略
（3）4=λμ。
上海市嘉定二中2018-2019学年高二上学期数学期中考试(解析版)
2018-2019学年上海市嘉定二中等四校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知||=3，||=4，（-）（-3）=81，则与的夹角为（）A. B. C. D.3.二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A. 系数行列式B. 比例式C. 向量不平行D. 直线，不平行4.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A6则，，∈，，，的值组成的集合为（）A. 0，1，B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.方程组的增广矩阵为______．6.直线x+y-1=0的倾斜角的大小为______．7.过点（1，0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程______．8.已知=3，设=λ，则实数λ=______．9.三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为-10，则k=______．10.已知、是夹角为的两个单位向量，向量=-2，=k+2，若 ∥，则实数k的值为______．11.以行列式的形式表示的直线方程的一个法向量=______12.直线（m+2）x+（2-m）y-2m=0在x轴上的截距等于y轴上的截距的2倍，则m的值为______13.已知直线（a-2）y=（3a-1）x-1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是______．14.已知点（-，3）和（2，0）在直线l：ax-y+2=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是______15.已知点A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割成面积相等的两部分，则b的取值范围是______．16.定义：对于实数m和两定点M，N，在某图形上恰有n（n∈N*）个不同的点P i，使得，，，，称该图形满足“n度契合”．若边长为4的正方形ABCD中，=2，=3，且该正方形满足“4度契合”，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.已知直线方程l1：mx+y=m+1，l2：x+my=2m，问m为何值时，l1，l2相交，平行，重合？18.已知||=1，||=2，与的夹角为120°，当k为何值时．（1）k+与-垂直；（2）|k-2|取得最小值？并求出最小值．19.设D为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足=，=+，λ＞0．求：（1）记f（λ）=△ ，求f（λ）关于λ的表达式；（2）求出f（λ）的最大值并求出相应的λ值．20.在直角坐标系Oy中，过点P（4，2）作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于两点之间．（1）若=3，求直线l的方程；（2）求当•取得最小值时直线l的方程；（3）当S OAB面积最小值时的直线方程．21.已知直线：（2m+1）x+（m-1）y-5m-1=0，且与坐标轴形成的三角形面积为S．求：（1）求证：不论m为何实数，直线L过定点P；（2）分别求S=3和S=5时，所对应的直线条数；（3）针对S的不同取值，讨论集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素个数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是-，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=-2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．2.【答案】C【解析】解：∵||=3，||=4，（-）（-3）=81，∴（-）（-3）=-4+3=9-4×3×4×cos＜＞+3×16=81，∴cos＜＞=-，∴与的夹角为．故选：C．由（-）（-3）=-4+3=9-4×3×4×cos＜＞+3×16=81，由此能求出与的夹角．本题考查向量的夹角的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．3.【答案】D【解析】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：对向量分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形A1A2A4，它其它小三角形边上的向量相等；大三角形A1A3A6边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：，，，，，，，，，，，，，，，；∴所有值组成的集合为{1，-1，}．故选：D．通过观察图形知道向量分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下的值，从而求得答案．考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点．5.【答案】【解析】解：方程组的增广矩阵为，故答案为：，根据增广矩阵的定义即可求出．本题考查了增广矩阵的定义，属于基础题6.【答案】【解析】解：因为直线的斜率为：-，所以tanα=-，所以直线的倾斜角为：．故答案为：．利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角．本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法，考查计算能力．7.【答案】x-2y-1=0【解析】解：设过点（1，0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程为x-2y+c=0，把（1，0）代入，得：1-2×0+c=0，解得c=-1，∴过点（1，0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程为x-2y-1=0．故答案为：x-2y-1=0．设过点（1，0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程为x-2y+c=0，把（1，0）代入能求出结果．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】2【解析】解：根据条件，=；∴λ=2．故答案为：2．可知，这样带入便可得到，从而便可得出λ的值．考查向量减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量相等的概念．9.【答案】-14【解析】解：由题意得M21=（-1）3=2×2+1×k=-10解得：k=-14．故答案为：-14．根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（-1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．10.【答案】-1【解析】解：∵；∴存在实数λ，使；∴；又不共线；∴；∴k=-1．故答案为：-1．根据即可得出，存在实数λ，使得，从而得出，并且不共线，从而得出，这样即可求出k的值．考查单位向量的概念，共线向量和平面向量基本定理，向量的数乘运算．11.【答案】（1，-2）【解析】解：∵=2+x-2y-1=x-2y+1=0．∴以行列式的形式表示的直线方程的一个法向量=（1，-2）．故答案为：（1，-2）．=2+x-2y-1=x-2y+1=0．由此能求出结果．本题考查直线的法向量的求法，考查行列式的展开法则、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.【答案】-或0【解析】解：直线（m+2）x+（2-m）y-2m=0，当m=0时，直线化为x+y=0，在x轴上的截距与在y轴上的截距都为0，满足题意；当m≠0时，直线化为x+y=1，在x轴上的截距是，在y轴上的截距是，=2•，解得m=-；综上，m的值为-或0．故答案为：-或0．讨论m=0时直线化为x+y=0，满足题意；m≠0时，直线化为x+y=1，求出在x轴和y轴上的截距，列方程求出m的值．本题考查了直线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是基础题．13.【答案】[2，+∞）【解析】解：若a-2=0，即a=2时，直线方程可化为x=，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a-2≠0，直线方程可化为y=x-，此时若直线不经过第二象限，则≥0，≥0解得a＞2综上满足条件的实数a的范围是[2，+∞）故答案为：[2，+∞）由已知中直线（a-2）y=（3a-1）x-1不经过第二象限，我们分别讨论a-2=0（斜率不存在），a-2≠0（斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a的取值，进而综合讨论结果，得到答案．本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当k≥0且b≤0时，直线不过第二象限得到关于a的不等式组，是解答本题的关键，但解答时，易忽略对a-2=0（斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+∞）14.【答案】（，）【解析】解：∵点（-，3）和（2，0）在直线l：ax-y+2=0（a≠0）的同侧，∴（--3+2）（2a+2）＞0，解得-1＜a＜-，设直线的倾斜角为θ∈[0，π），∴-1＜tanθ＜-，∴．∴直线l倾斜角的取值范围是（，）．故答案为：（，）．点（-，3）和（2，0）在直线l：ax-y+2=0（a≠0）的同侧，推导出（--3+2）（2a+2）＞0，由此能求出直线的倾斜角的范围．要求直线l倾斜角的取值范围的范围，关键是要根据题意建立关于a 的不等式的范围，而根据不等式表示平面区域的知识可得在直线同一侧的点的坐标代入直线方程的左侧的值的符合一致，两侧的值的符合相反．，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】，【解析】解：由题意可得，三角形ABC的面积为S=•AB•OC=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由≤0可得点M在射线OA上．设直线和BC的交点为N，则由，可得点N的坐标为（，），①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则=-1，且=，解得a=b=，②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即•MB•yN=，即•（1+）•=，解得，故b，③若点M在点A的左侧，则＜-1，b＞a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，NP====，此时，点C（0，1）到直线y=ax+b的距离等于，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即••=，化简可得2（1-b）2=|a2-1|．由于此时0＜b＜a＜1，∴2（1-b）2=|a2-1|=1-a2 ．两边开方可得（1-b）=，则1-b，即b＞，综合以上可得，b=可以，且b＜，且b＞，即b的取值范围是，故答案为：．先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得b＜；③若点M在点A的左侧，求得b＞1-，综合起来可得结论．本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．16.【答案】m=-或2＜m＜6【解析】解，如图建立平面直角坐标系，可得N（0，1），M（4，2），设P i（x，y），由，可得（x-2）2+（y-）2=，即点P i的运动轨迹是以（2，）为圆心，半径r=的圆，只需该圆与正方形有4个交点即可．如图：当r=2，即m=-时（图中从内往外第一个圆），有4个交点；当动圆在图中第二个与第三个之间（从内往外第一个圆）时有4个交点，此时：=，∴2＜m＜6．∴答案为：m=-或2＜m＜6．利用数量积的定义和M，N两点的位置可得点P i的运动轨迹是以（2，）为圆心，半径r=的圆，只需该圆与正方形有4个交点即可．即可求得m的取值范围．本题考查学生对文字的处理能力和数量积的定义．动点轨迹问题，属于中档题．17.【答案】解：∵直线方程l1：mx+y=m+1，l2：x+my=2m，∴l1，l2相交时，，即m≠±1，∴m≠±1时，l1，l2相交；l1，l2平行时，，解得m=-1，∴m=-1时，l1，l2平行；l1，l2重合时，，解得m=1，∴m=1时，l1，l2重合．【解析】l1，l2相交时，；l1，l2平行时，；l1，l2重合时，．本题考查实数值的求法，考查直线与直线相交、平行、重合的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：（1）；∵与垂直；∴；∴ ；（2）；∴k=-2时，取得最小值．【解析】（1）根据条件先求出，与垂直时，，进行数量积的运算即可求出k；（2）先得出，配方即可求出k2+4k+16的最小值，进而得出的最小值．考查向量数量积的计算公式及数量积的运算，向量垂直的充要条件，配方求二次函数最值的方法．19.【答案】解：（1）∵=+=+，∴∥，∴f（λ）=△=•=•=，λ＞0；△（2）f（λ）=≤=，当且仅当λ=时，f（λ）取得最大值．【解析】（1）先推出：=，DP∥BC，再根据面积公式可求得f（λ）；（2）利用基本不等式求最值．本题考查了平面向量基本定理、基本不等式．属中档题．20.【答案】解：由题意知，直线l的斜率k存在且k≠0，设l：y=k（x-4）+2，得令y=0，得x=4-，所以A（4-，0），再令x=0，得y=2-4k，所以B（0，2-4k），∵点P（4，2）位于A、B两点之间，∴4-且2-4k＞2，解得k＜0．∴=（，2），=（-4，-4k）…2分（1）∵=3，∴，解得k=-．∴直线l的方程为y=-（x-4）+2，整理得x+6y-16=0．（2）∵k＜0，∴•=8[（-k）+（-）]≥16，当-k=-，即k=-1时，等号成立．∴当•取得最小值时直线l的方程为y=-（x-4）+2，化为一般式：x+y-6=0．（3）∵A（4-，0），B（0，2-4k），k＜0，∴S△OAB==8-（）≥8+2=8+8=16，当-=-8k时，即k=-时，取等号，∴当S OAB面积最小值时的直线方程为y=-（x-4）+2，即x+2y-8=0．【解析】设直线l：y=k（x-4）+2，可求出A（4-，0），B（0，2-4k）．结合P位于A、B之间，建立不关于k的不等式，可得k＜0．（1）由A、B、P的坐标，得出向量和坐标，从而将=3化为关于k的方程，解出k值即得直线l的方程；（2）由向量数量积的坐标运算公式，得出•关于k的表达式，再用基本不等式得到•取得最小值时l的斜率k，从而得到直线l的方程．（3）S△OAB==8-（）≥8+2=8+8=16，当-=-8k时，即k=-时，取等号，由此能求出当S OAB面积最小值时的直线方程．本题以向量的坐标运算为载体，求直线l的方程，着重考查了直线的方程和向量在几何中的应用等知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：（1）直线（2m+1）x+（m-1）y-5m-1=0可化为m（2x+y-5）+（x-y-1）=0，令，解得，∴不论m为何实数，直线L过定点P（2，1）；（2）由题意知，直线的斜率k存在，且k≠0，设直线方程为y-1=k（x-2），则直线与x轴的交点为A（2-，0），与y轴的交点为B（0，1-2k）；∴△AOB的面积为S=•|OA|•|OB|=×|2-|×|1-2k|=；令S=3，得（2k-1）2=6|k|，k＞0时，方程化为4k2-10k+1=0，解得k=，有两个正根，即有两条直线；k＜0时，方程化为4k2+2k+1=0，△=-12＜0，方程无实数根，即无直线；综上知，S=3时有两条直线；令S=5，得（2k-1）2=10|k|，k＞0时，方程化为4k2-14k+1=0，解得k=，有两个正根，即有两条直线；k＜0时，方程化为4k2+6k+1=0，解得k=，有两个负根，即有两条直线；综上知，S=5时有四条直线；（3）由题意得，（2k-1）2=2S|k|，k＞0时，方程化为4k2-（2S+4）k+1=0，解得k=，有两个正根，即有两条直线；k＜0时，方程化为4k2-（4-2S）k+1=0，△=4S（S-4），0＜S＜4 时，△＜0，方程无实数根，此时无直线；S=4时，△=0，方程有一负根k=-，此时有一条直线；S＞4时，△＞0，解得k=，方程有两负根，即有两条直线；综上知，0＜S＜$时有两条直线；S=4时有三条直线，S＞4时有4条直线；即0＜S＜4时，集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素有2个；S=4时，集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素有3个；S＞4时，集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素有4个．【解析】（1）直线方程化为m（2x+y-5）+（x-y-1）=0，令求得直线L所过的定点；（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与x、y轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数；（3）由题意得（2k-1）2=2S|k|，讨论k＞0和k＜0时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中元素的个数．本题考查了直线恒过定点的应用问题，也考查了三角形的面积应用问题和方程解的个数判断问题，是难题．。
上海2018-2019学年高二数学上册期中试题2
上师大附中2018学年第一学期期中考试高二年级 数学学科（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________．2. 向量(3,4)a =r 在向量(1,0)b =r方向上的投影为____ __.3. 已知向量(1,2),(,2)a b x =-=r r，若a b ⊥r r ，则b r ＝________．4. 已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______． 5. 若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ． 6. 若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为__ ____．(用弧度制表示) 7. 若行列式212410139xx =-，则=x ．8. 直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 9. 已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =u u u u ru u u r，AN nAD =u u u ru u u r(0m n ⋅≠), 若//MN BE u u u u ru u u r，则nm=______________. 10. 已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 . 11. 下面结论中，正确命题的个数为_____________．①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.12. 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________． 13. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7， 则AO →·BC →＝________.14．设A 是平面向量的集合，a ρ是定向量，对A x ∈ρ， 定义a x a x x f ρρρρρ⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ρ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ρ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ρ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ρ． 那么对于任意x ρ、A y ∈ρ，使y x y f x f ρρρρ⋅=⋅)()(恒成立的向量a ρ的序号是_______（写出满足条件的所有向量a ρ的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. “2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【 】 （A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===r r r，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【 】(A) 0a b c ++=r r r r (B) a b c r r r、、两两平行 (C) a b r r // (D) a b c r r r、、方向都相同 17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【 】 （A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A Λ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{,Λ∈j i ）的值组成的集合为【 】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、 )(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、 三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程； （2）AB 边所在的直线方程．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上． （1）求OA OB u u u r u u u rg； （2）a 为何值时与夹角为3π． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分.已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r，试用a r 、b r 、c r 表示h r ； (2) 证明：AH BC ⊥u u u r u u u r；(3) 若ABC ∆的60A ∠=o，45B ∠=o，外接圆的半径为R ，用R 表示h r．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB ∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N . （1）若1=k ，⎪⎭⎫⎝⎛21,23P ，求||OM 的值； （2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值； （3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且kS MON1Δ=，x当P 变化时，求||OT 的取值范围．上师大附中2018学年第一学期期中考试高二年级 数学学科参考答案 （考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 230x y +-=2. 33. . 2 5. 2 6. 4π7. 2或3- 8.－4 9. 2 10. 31-或3 11. 3 12. 50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦U ． 13. 52 14． ①③④ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. B 16. B 17. 18. D三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）解：设中国结每个x 元，记事本每本y 元，笔袋每个z 元，由题设有2103105230x y x y z y z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，因为2101310052D == ，则方程组有无穷多组解或无解， 又101010312003052x D ==≠，210011014000302y D ==-≠，2110131010000530z D ==≠，从而该方程组无解。
2018-2019学年上海中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．416．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．2018-2019学年上海中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．直线2x﹣y+3＝0的倾斜角为arctan2．【解答】解：因为直线2x﹣y+3＝0的斜率为k＝﹣＝2，设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，所以θ＝arctan2，故填：arctan2．2．行列式中元素0所对应的代数余子式的值为﹣6．【解答】解：行列式中元素0所对应的代数余子式的值为：（﹣1）5•＝﹣6．故答案为：﹣6．3．若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则a＝﹣2．【解答】解：直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，由于直线的斜率存在，所以斜率乘积为﹣1，即﹣1•（）＝﹣1，所以a＝﹣2．故答案为：﹣2．4．若＝（1，﹣2），＝（x，1），＝（1，2），且（）⊥，则x＝1．【解答】解：；∵；∴；∴x＝1．故答案为：1．5．以＝（﹣3，2）为方向向量的直线平分圆x2+y2+2y＝0，直线l的方程为2x+3y+3＝0．【解答】解：根据题意，要求直线的方向向量为＝（﹣3，2），设其方程为2x+3y+m ＝0，圆x2+y2+2y＝0，即x2+（y+1）2＝1，其圆心为（0，﹣1），若要求直线平分圆，则圆心在要求直线上，则有2×0+3×（﹣1）+3＝0，解可得m＝3，则要求直线的方程为2x+3y+3＝0；故答案为：2x+3y+3＝0．6．经过两条直线2x+3y+1＝0和3x﹣y+4＝0的交点，并且平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+＝0．【解答】解：联立直线的方程，得到两直线的交点坐标为（﹣，），平行于直线3x+4y﹣7＝0的直线方程是3x+4y+c＝0，则3（﹣）+4×+c＝0，解得c＝，所以直线方程为3x+4y+＝0．故填：3x+4y+＝0．7．若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则a+b＝3．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣1＝0的圆心为（﹣2，0），若直线ax+by﹣3＝0与圆x2+y2+4x﹣1＝0相切于点P（﹣1，2），则有，解可得a＝1，b＝2；则a+b＝3；故答案为：3．8．如图，△ABC中D在边BC上，且＝2，E为AD的中点，记＝，＝，则＝（用、的线性组合表示）【解答】解：∵E为AD的中点，，∴＝＝＝＝＝，故答案为：．9．二阶方阵A＝称矩阵为A的转置矩阵记作A T，设M、N是两个二阶矩阵，对于下列四个结论：（1）（M T）T＝M；（2）（M+N）T＝M T+N T；（3）（MN）T＝M T N T；（4）“M＝”是“M T＝M”的充分不必要条件；其中真命题的序号为（1）（2）（4）．【解答】解：对于（1），设M＝，则M T＝，（M T）T＝，所以（M T）T＝M，（1）正确；对于（2），设M＝，N＝，则M+N＝，∴（M+N）T＝；M T＝，N T＝，则M T+N T＝，∴（M+N）T＝M T+N T，（2）正确；对于（3），设M＝，N＝，则MN＝，∴（MN）T＝；M T＝，N T＝，则M T N T＝，∴（MN）T≠M T N T，（3）错误；对于（4），M＝时，M T＝，充分性成立，M T＝M时，M不一定为，如M＝，即必要性不成立，是充分不必要条件，（4）正确．综上，其中真命题的序号是（1）、（2）、（4）．故答案为：（1）、（2）、（4）．10．在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若＝0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴＝．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．11．设动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点P（2，1）的直线l交y＝x（x＞0）于点Q，那么的最大值为．【解答】解：设l：y＝k（x﹣2）+1，要它与y＝x（x＞0）相交，则k＞1或k＜0．令y＝0，可得：M（2﹣，0），令y＝x，得Q．∴|MP|＝，|PQ|＝．∴u＝＝．于是u2＝＝g（k），k＞1或k＜0．g′（k）＝，可得：k＝﹣2，函数g（k）取得极大值，g（﹣2）＝5．∴u max＝．此时M（﹣，0）．故答案为：．12．如图，已知向量的夹角为，|﹣|＝6，向量，的夹角为，|﹣|＝2，则与的夹角为，的最大值为．【解答】解：如图，设，则，，，∴AB＝6，，AC＝，又，∴A，O，B，C四点共圆，在△ABC中，由正弦定理得，即，∴sin∠ABC＝，则．由同弧所对圆周角相等，可得，即与的夹角为；设∠OAC＝θ，则，在△AOC中，由正弦定理得：，∴OC＝，，∴＝＝＝64×＝64×（）＝64×（）＝64×（）＝64[]．∴当，即时，有最大值为．故答案为：，．二.选择题13．“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：圆的方程可化为：，故若D2＝4F且E≠0，则圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，若圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切，则D2＝4F且E≠0，综上“D2＝4F且E≠0”是“圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0与x轴相切”的充要条件．故选：C．14．在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是（）A．＝（0，0），＝（1，2）B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）C．＝（3，5），＝（6，10）D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B能．选项C：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．15．实数x，y满足，若z＝2x+y的最大值为9，则实数m的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点B时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时2x+y＝9．由，解得，即B（4，1），∵B在直线y＝m上，∴m＝1，故选：A．16．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•＝m，•+•＝n，则（）A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝1C．m＝2，n＝6D．m＝3n，但m，n的值不确定【解答】解：∵P，Q分别是AC，BC中点，∴m＝•+•＝＝＝＝＝2；∵P，Q分别是AC，BC中点，∴，，∴n＝•+•＝+＝＝＝6．故选：C．三、解答题（共4小题，满分0分）17．已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组．【解答】解：对于增广矩阵，当m＝2时，矩阵化为，此时方程组有无数个解；当m＝﹣2时，矩阵化为，此时方程组无解；当m≠±2，矩阵第二行有，（2+m）（2﹣m）•y＝（m+1）（2﹣m），得进第一行得，综上所述，当m＝2时，方程有无数个解；当m＝﹣2时，方程组无解；当m≠±2时，，．18．已知||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61．（1）求与的夹角θ；（2）若，且＝0，求t及||【解答】解（1）∵||＝4，||＝3，（2﹣3）•（2+）＝61，∴•＝﹣6．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴cos θ＝＝＝﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又0≤θ≤π，∴θ＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）＝（）＝t+（1﹣t）＝﹣15t+9＝0∴t＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴||2＝（+）2＝，∴||＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l1：y＝2，设l1交l于D，则D（2，2）．∵l的倾斜角为30°，∴l2的倾斜角为60°，…∴，∴反射光线l2所在的直线方程为y﹣2＝（x﹣2）．即．…已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，∴①…又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，∴②，由①②得，圆C的半径r＝3．故所求圆C的方程为．…（Ⅱ）设点B（0，﹣4）关于l的对称点B'（x0，y0），则，…得．固定点Q可发现，当B'、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为为B'C﹣3．…，得，最小值．…（16分）20．已知a、b、c为△ABC的三边长，直线l的方程ax+by+c＝0，圆M：（x+a）2+（y+b）2＝c2．（1）若△ABC为直角三角形，c为斜边长，且直线l与圆M相切，求c的值；（2）若△ABC为正三角形，对于直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，求c的取值范围；（3）点E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，1）、G（1，1）、H（1，﹣1），设E、F、G、H四点到直线l的距离之和为S，求S的取值范围．【解答】解（1）因为若△ABC为直角三角形，c为斜边长，所以a2+b2＝c2，直线l与圆M相切，所以圆心（a，b）到直线ax+by+c＝0的距离为c，即，所以，即c2﹣c＝±c2，得c＝，或者c＝0（舍）．（2）若△ABC为正三角形，若△ABC为正三角形，则此时圆是以{c，c}为圆心，c为半径的圆，直线方程为x+y+1＝0，设圆心（c，c）到直线的距离为d，则d＝，要使直线l上任意一点P，在圆M上总存在一点Q，使得线段|PQ|的长度为整数，需满足同时成立，即，解得c≥．（3）依题意S＝+++，因为三角形的两边之和大于第三边，所以S可化为：S＝，∵c＜a+b，，∴S≤＝4，下面求S的最小值，从几何意义上看，S代表（1，1）到直线l的距离的二倍，而直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为﹣，三边中若c为最大值，则直线l在两坐标轴上的截距均小于﹣1，此时（1，1）到直线l 的最小距离大于2，即S＞4．若c不是最大值，不妨设a为最大值，则S＝＞＝＝2．综上2＜S＜．。
2018-2019学年上海市嘉定二中等四校高二上学期期中联考数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市嘉定二中等四校高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0， 两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行， 故前者是后者的充分条件， ∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1， ∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件． 故选A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．2．已知()()3,4,381a b a b a b ==-⋅-=，则a 与b 的夹角为（ ）. A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【解析】对等式()(3)81a b a b -⋅-=进行展开运算，求出a 与b 夹角的余弦值，从而得到夹角的值． 【详解】∵|3,||4,()(3)81a b a b a b ==-⋅-=，∴22()(3)43a b a b a a b b -⋅-=-⋅+9434cos ,31681a b =-⨯⨯⨯<>+⨯=，∴1cos ,2a b <>=-r r∴a 与b 的夹角为23π．故选：C ． 【点睛】本题考查向量的夹角的求法、向量数量积运算，考查运算求解能力，属于中档题． 3．二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的必要非充分条件是( )A ．系数行列式0D ≠B ．比例式1122a b a b ≠ C ．向量1122,a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不平行D ．直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行 【答案】D【解析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A B C ，，为充要条件，直线分共面和异面两种情况． 【详解】解：当两直线共面时，直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行，二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧+=⎨⎩存在唯一解 当两直线异面，直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行，二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧+=⎨⎩无解， 故直线111a x b y c +=，222a x b y c +=不平行是二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧+=⎨⎩存在唯一解的必要非充分条件． 故选D ． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．4．如图，由四个边上为1的等边三角形平成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为1236,,,,A A A A ，则12j i A A A A ⋅，{}(),1,2,3,,6i j ∈的值组成的集合为（ ）.A ．{}2,1,0,1,2--B ．12,1,,0,1,22⎧⎫---⎨⎬⎩⎭C ．3113,1,,0,,1,2222⎧⎫---⎨⎬⎩⎭D ．31132,,1,,0,,1,,22222⎧⎫----⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】通过观察图形知道向量j i A A 分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下12A A ，j i A A 的值，从而求得答案． 【详解】对向量j i A A 分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形，与其它小三角形124A A A 边上的向量相等；大三角形136A A A 边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：12121A A A A ⋅=,12211A A A A ⋅=-,114212A A A A ⋅=,411212A A A A ⋅=-, 214212A A A A ⋅=-,412212A A A A ⋅=,11322A A A A ⋅=,31122A A A A ⋅=-11621A A A A ⋅=,314223A A A A ⋅=-,413223A A A A ⋅=,212126620A A A A A A A A ⋅=⋅=, ∴12j i A A A A ⋅，{}(),1,2,3,,6i j ∈的值组成的集合为31132,,1,,0,,1,,22222⎧⎫----⎨⎬⎩⎭.故选：D ． 【点睛】本题考查等边三角形中线的特点、相等向量、相反向量等概念、向量数量积的运算，考查分类讨论思想和运算求解能力．二、填空题 5．方程组25038x y x y +-=⎧⎨-=⎩的增广矩阵为____________.【答案】125318⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】根据增广矩阵的定义即可求出． 【详解】方程组250253838x y x y x y x y +-=+=⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩的增广矩阵为125318⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，故答案为：125318⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 【点睛】本题考查了增广矩阵的定义，属于基础题.6．直线10x +-=的倾斜角为_______________. 【答案】150【解析】由直线10x -=的斜率为k =得到00tan ,[0,180)3αα=-∈，即可求解. 【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为k =设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=， 即换线的倾斜角为0150. 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 7．过点()1,0且与直线25x y +=垂直的直线的方程____________. 【答案】210x y --=【解析】设过点(1,0)且与直线25x y +=垂直的直线的方程为20x y c -+=，把(1,0)代入能求出结果． 【详解】设过点(1,0)且与直线25x y +=垂直的直线的方程为20x y c -+=， 把(1,0)代入，得：1200c -⨯+=，解得1c =-，∴过点(1,0)且与直线25x y +=垂直的直线的方程为210x y --=． 故答案为：210x y --=． 【点睛】本题考查直线与直线垂直的性质，考查运算求解能力，求解时注意互相垂直直线的设法． 8．已知3AB AP =，设BP PA λ=，则实数λ=____________. 【答案】2【解析】利用向量的减法和数乘运算，得到2BP PA =，从而得到λ的值． 【详解】根据条件，322BP AP AB AP AP AP PA PA λ=-=-=-==， ∴2λ=． 故答案为：2． 【点睛】考查向量减法及数乘运算，考查基本运算求解能力，属于基础题．9．行列式42k354112---中第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =______．【答案】-14【解析】先由题意得到3212kM (1)12=--，再进一步计算即可得出结果.【详解】由题意得3212kM (1)221k 1012=-=⨯+⨯=--解得：k 14=-． 故答案为：14-． 【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.10．已知12,e e 是夹角为2π的两个单位向量，向量122a e e =-r u r u r ，122b ke e =+，若//a b ，则实数k 的值为____________【答案】-1【解析】根据//a b 可得出，存在实数λ，使得b a λ=，从而得出12122(2)ke e e e λ+=-，并且12,e e 不共线，从而得出22k λλ=⎧⎨=-⎩，这样即可求出k 的值． 【详解】 ∵//a b ，∴存在实数λ，使b a λ=， ∴12122(2)ke e e e λ+=-， 又12,e e 不共线， ∴22k λλ=⎧⎨=-⎩∴1k =-． 故答案为：1-. 【点睛】本题考查共线向量的运用，考查向量的线性运算，属于于基础题．11．以行列式10121011xy =的形式表示的直线方程的一个法向量n =________. 【答案】()1,2-【解析】计算行列式01012111xy =得210x y -+=，再根据直线的法向量，即可得到答案． 【详解】∵1012122121011xx y x y y =+--=-+=，∴行列式10121011xy =的形式表示的直线方程的一个法向量(1,2)n =-．故答案为：()1,2-． 【点睛】本题考查直线的法向量的求法，考查行列式的展开法则、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．12．直线()()2220m x m y m ++--=在x 轴上的截距等于y 轴上的截距的2倍，则m 的值为________. 【答案】23-或0 【解析】对直线的截距进行讨论，即0m =和0m ≠两种情况，分别求出截距后，列方程求出m 的值． 【详解】直线(2)(2)20m x m y m ++--=， 当0m =时，直线化为0x y +=，在x 轴上的截距与在y 轴上的截距都为0，满足题意；当0m ≠时，直线化为22122m mx y m m +-+=， 在x 轴上的截距是22m m +，在y 轴上的截距是22mm-，22222m mm m =⋅+-，解得23m =-； 综上，m 的值为23-或0．故答案为：23-或0．【点睛】本题考查直线方程的一般形式、截距概念，考查分类讨论思想和运算求解能力． 13．已知直线()()2311a y a x -=--，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的范围是_______. 【答案】2a ≥【解析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，从而得到关于a 的不等式，求解不等式，即可得到答案． 【详解】若20a -=，即2a =时，直线方程可化为15x =，此时直线不经过第二象限，满足条件；若20a -≠，直线方程可化为31122a y x a a -=---，此时若直线不经过第二象限， 则3102a a ->-且102a ≥-，解得2a >. 综上满足条件的实数a 的范围是[2,)+∞. 故答案为：[2,)+∞ 【点睛】本题考查直线的斜截式方程，考查分类讨论思想的运用，求解时注意对斜率分两种情况进行讨论，同时注意将答案进行整合，防止错解为(2,)+∞.14．已知点()和()2,0在直线():200l ax y a -+=≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是_______.【答案】35,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由点(和(2,0)在直线:20(0)l ax y a -+=≠的同侧，可得(32)(22)0a -++>，求出a 范围，进一步得到斜率和倾斜角的范围．【详解】∵点(和(2,0)在直线:20(0)l ax y a -+=≠的同侧，∴(32)(22)0a -++>，解得1a -<<，设直线的倾斜角[0,)θπ∈，∴1tan θ-<<，∴3546ππθ<<， ∴直线l 倾斜角的取值范围是35,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：35,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查直线倾斜角与斜率的关系、不等式表示平面区域，考查运算求解能力，求解的关键是不等式的建立．15．已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是________【答案】122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 【解析】解法一：先求得直线y=ax+b （a ＞0）与x 轴的交点为M （﹣b a ，0），由﹣ba≤0可得点M 在射线OA 上．求出直线和BC 的交点N 的坐标，①若点M 和点A 重合，求得b=13；②若点M 在点O 和点A 之间，求得13＜b ＜12； ③若点M 在点A 的左侧，求得13＞b ＞1﹣2．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得结果． 解法二：考查临界位置时对应的b 值，综合可得结论． 【详解】解法一：由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1， 由于直线y=ax+b （a ＞0）与x 轴的交点为M （﹣ba，0），由直线y=ax+b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0， 故﹣ba≤0，故点M 在射线OA 上． 设直线y=ax+b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，则点N 为线段BC 的中点，故N （12，12）， 把A 、N 两点的坐标代入直线y=ax+b ，求得a=b=13． ②若点M 在点O 和点A 之间，此时b ＞13，点N 在点B 和点C 之间， 由题意可得三角形NMB 的面积等于12， 即12N MB y ⋅⋅=12，即 1121b a b a a +⎛⎫⨯+⋅ ⎪+⎝⎭=12，可得a=212b b-＞0，求得 b ＜12，故有13＜b ＜12． ③若点M 在点A 的左侧，则b ＜13，由点M 的横坐标﹣ba＜﹣1，求得b ＞a ． 设直线y=ax+b 和AC 的交点为P ，则由 1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即 12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |=12， 即12（1﹣b ）•|11b a -+﹣11b a --|=12，化简可得2（1﹣b ）2=|a 2﹣1|． 由于此时 b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2=|a 2﹣1|=1﹣a 2．两边开方可得（1﹣b ）＜1，∴1﹣bb ＞1故有1﹣2＜b ＜13．再把以上得到的三个b 的范围取并集，可得b 的取值范围应是 1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，解法二：当a=0时，直线y=ax+b （a ＞0）平行于AB 边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得211b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=12，b=1﹣2，趋于最小．由于a ＞0，∴b ＞1﹣2． 当a 逐渐变大时，b 也逐渐变大， 当b=12时，直线经过点（0，12），再根据直线平分△ABC 的面积，故a 不存在，故b ＜12．综上可得，1﹣2＜b ＜12，故答案为：12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．16．定义：对于实数m 和两定点,M N ，在某图形上恰有()*n n N ∈个不同的点i P ，使得()·1,2,3i i PM PN m i n ==，称该图形满足“n 度契合”.若边长为4的正方形ABCD 中，2,3BC BM DN NA ==，且该正方形满足“4度契合”，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】14m =-或26m << 【解析】分析：根据定义，分类讨论P 点在四条边上的不同情况；转化成m 的表达式后，利用二次函数求得m 的范围；分析在四种情况下，哪个符合有4个解，即可得到m 的取值。
2018-2019学年高二(上)期中数学试卷
2018-2019学年高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）双曲线﹣=1的焦距为．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为．4．（5分）直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．5．（5分）已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为．6．（5分）点A（4，5）关于直线l的对称点为B（﹣2，7），则l的方程为．7．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为．8．（5分）两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是．9．（5分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）10．（5分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．11．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．12．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为﹣，则椭圆C的离心率为．14．（5分）若点（x，y）在双曲线﹣y2=1上，则3x2﹣2xy的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；（1）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C：+=1的焦点在x轴上；命题q：直线l：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点．若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．17．（14分）如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，三角形ABC外接圆的圆心为M．（1）求BC边所在直线方程；（2）求圆M的方程；（3）直线l过点P且倾斜角为，求该直线被圆M截得的弦长．18．（16分）已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于A，B两点．（1）若离心率为，求椭圆的方程；（2）当•＜7时，求椭圆离心率的取值范围．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l 交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）双曲线﹣=1的焦距为8．【分析】由双曲线的标准方程可知：a2=9，b2=7，则c2=a2+b2=16，即可求得c，则焦距为2c=8．【解答】解：由双曲线﹣=1可知：a2=9，b2=7，则c2=a2+b2=16，∴c=4，焦距2c=8，故答案为：8．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单性质，属于基础题．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2＞0．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．（5分）直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则a的值为﹣1．【分析】由于l2的斜率存在，因此l1∥l2⇔且截距不等．即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴，化为a2﹣2a﹣3=0，解得a=3或﹣1．当a=3时，l1与l2重合，应舍去．因此a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，属于基础题．4．（5分）直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．【分析】通过圆的方程求出圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长的关系，求出直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0化为（x﹣2）2+（y+2）2=2，所以圆的圆心坐标（2，﹣2），半径为：，圆心到直线x﹣y﹣5=0的距离为：d==．圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，即半弦长为：=．所以弦长为：．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，解题比较简洁，可以利用直线与圆的方程联立方程组，求解弦长，比较麻烦．5．（5分）已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为2．【分析】先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设所求点坐标为M（x，y）作MQ⊥l于Q根据抛物线定义可知M到准线的距离等于M、Q的距离即x+1=3，解之得x=2，代入抛物线方程求得y=±4故点M坐标为：（2，y）即点M到y轴的距离为2故答案为：2．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．6．（5分）点A（4，5）关于直线l的对称点为B（﹣2，7），则l的方程为3x ﹣y+3=0．【分析】先求出A、B的中点，再求AB的斜率，求出中垂线的斜率，然后用点斜式求出直线方程．【解答】解：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线．A、B的中点坐标（1，6），AB的斜率为：中垂线的斜率为：3则l的方程为：y﹣6=3（x﹣1）即：3x﹣y+3=0故答案为：3x﹣y+3=0【点评】本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程，考查计算能力，是基础题．7．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为4．【分析】由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，可得c=，可得右焦点F（c，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．利用=c即可得出．【解答】解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，∴c==2，∴右焦点F（2，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．∴=2，解得p=4．故答案为：4．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是2＜r＜8．【分析】求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系，【解答】解：圆x2+y2=9的圆心（0，0），半径为3，圆x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）的圆心（﹣4，3），半径为：r，因为圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，所以，解得2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．【点评】本题考查两个圆的位置关系，通过圆心距在半径差与半径和之间求解，也可以联立方程组，利用判别式解答．9．（5分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的充分不必要条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要）【分析】求解a2＞2a，得出a＞2或a＜0，根据充分必要的定义判断即可得出答案．【解答】解：∵a2＞2a，∴a＞2或a＜0，根据充分必要的定义判断：“a＞2”是“a2＞2a”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，紧扣定义即可．10．（5分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．11．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【分析】先求出不等式|x﹣1|＜a的解集为集合B，再根据条件可知{x|0＜x＜4}⊂B，建立关于a的不等式组，解之从而确定a的取值范围．【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）【点评】本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题．12．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为．【分析】设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a，b，由此能求出椭圆方程．【解答】解：∵个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，∴设椭圆方程为=1，（a＞b＞0），∵P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴，且a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=，∴椭圆方程为．故答案为：．【点评】本题考是椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与不过坐标原点O的直线l：y=kx+m相交与A、B两点，线段AB的中点为M，若AB、OM的斜率之积为﹣，则椭圆C的离心率为．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．可得+=1，+=1，相减可得：+=0，利用中点坐标公式、斜率计算公式及其•k=，即可得出，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．线段AB的中点M（x0，y0）．∵+=1，+=1，相减可得：+=0，把x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，=k代入可得：+=0，又•k=，∴﹣=0，解得=．∴e==．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）若点（x，y）在双曲线﹣y2=1上，则3x2﹣2xy的最小值是6+4．【分析】由双曲线的标准方程可知：则x=2secα，y=tanα，由3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=+，由﹣1＜sinα＜1，1﹣sinα＞0，1+sinα＞0，由基本不等式的性质可知∴[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+）≥12+2=12+8，则+≥6+4，即可求得3x2﹣2xy的最小值．【解答】解：由线﹣y2=1，设x=2secα，y=tanα，3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα，=﹣，==，=+∵﹣1＜sinα＜1，1﹣sinα＞0，1+sinα＞0∴[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+），=12++≥12+2=12+8，当且仅当=等号成立，解得：sinα=3﹣2（3+2舍去）时，取得最小值，∵[（1﹣sinα）+（1+sinα）]•（+）=2（+），+≥6+4，∴3x2﹣2xy的最小值是6+4，故答案为：6+4．【点评】本题考查双曲线的参数方程，三角恒等变换，基本不等式性质的综合应用，考查计算能力，属于难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB=8，BC=6，其中A（﹣4，0）、B（4，0）．（1）若A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，求该椭圆的方程；（1）若A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，求双曲线的方程．【分析】（1）由椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，求得a=8，则b2=a2﹣c2=64﹣16=48，即可求得椭圆方程；（2）根据双曲线的定义：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，则求得a′=2，则b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，即可求得双曲线的标准方程．【解答】解：（1）∵A、B为椭圆的焦点，且椭圆经过C、D两点，根据椭圆的定义：丨CA丨+丨CB丨=16=2a，∴a=8，…4分在椭圆中：b2=a2﹣c2=64﹣16=48，…6分∴椭圆方程为：；…8分（2）∵A、B为双曲线的焦点，且双曲线经过C、D两点，根据双曲线的定义：丨CA丨﹣丨CB丨=4=2a′，∴a′=2，…10分在双曲线中：b2=c2﹣a′2=16﹣4=12，…12分∴双曲线方程为：．…14分．【点评】本题考查椭圆及双曲线的标准方程，椭圆及双曲线的定义，属于基础题．16．（14分）在平面直角坐标系xOy中，设命题p：椭圆C：+=1的焦点在x轴上；命题q：直线l：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点．若命题p、命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【分析】求出命题p，q为真时，m的范围，结合命题p、命题q中有且只有一个为真命题，分类讨论，综合后可得实数m的取值范围．【解答】解：命题p为真：由题意得，m＞8﹣m＞0，解得4＜m＜8．…3分命题q为真：x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=9有公共点则圆心O到直线l的距离：d=≤3，解得：﹣3≤m≤3．…7分因为命题p、命题q中有且只有一个为真命题若p真q假，则：解得：3＜m＜8．…10分若p假q真，则：解得：﹣3≤m≤4 …13分综上：实数m的取值范围是3＜m＜8或﹣3≤m≤4．…14分．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了椭圆的方程，直线与圆的位置关系，复合命题，难度中档．17．（14分）如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点B（0，﹣2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，三角形ABC外接圆的圆心为M．（1）求BC边所在直线方程；（2）求圆M的方程；（3）直线l过点P且倾斜角为，求该直线被圆M截得的弦长．【分析】（1）求出BC的斜率，可得BC边所在直线方程；（2）求出圆心与半径，即可求圆M的方程；（3）直线l过点P且倾斜角为，得出直线方程，即可求该直线被圆M截得的弦长．【解答】解：（1）∵k AB=﹣，AB⊥BC (1)分∴k BC=，∴BC边所在直线方程y=x﹣2．…4分（2）在上式中，令y=0得：C（4，0）…5分∴圆心M（1，0）又∵AM=3 …7分∴外接圆的方程为（x﹣1）2+y2=9 …9分（3）∵P（﹣1，0），直线l过点P且倾斜角为，∴直线l的方程为y=（x+1） (10)分点M到直线l的距离为…12分直线l被圆M截得的弦长为2．…14分．【点评】本题考查直线与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．18．（16分）已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于A，B两点．（1）若离心率为，求椭圆的方程；（2）当•＜7时，求椭圆离心率的取值范围．【分析】（1）由题意可知：（a＞b＞0），由准线方程为：x==m+1，即可求得a2=m（m+1），b2=m，由e===，即可求得b=c，求得m的值，代入求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），求得=（2m+1，m+1），=（1，m+1），由•=m2+4m+2＜7，即可求得0＜m＜1，由离心率e===，即可求得椭圆离心率的取值范围．（1）椭圆的右焦点F（m，0），故焦点在x轴上，设椭圆方程为：【解答】解：（a＞b＞0），∴c=m，准线方程为：x==m+1，∴a2=m（m+1），b2=m …2分由e===，可得b=c，从而m=1，…4分故a=，b=1，∴椭圆方程：；…6分（2）由题意可知：A（﹣m﹣1，﹣m﹣1），B（m+1，m+1），∴=（2m+1，m+1），=（1，m+1），…9分故•=2m+1+（m+1）2=m2+4m+2＜7，解得：0＜m＜1，…12分由离心率e===，…14分故所求的离心率范围为（0，）．…16分．【点评】本题考查椭圆方程及简单几何性质，考查向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；（2）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由．（3）求线段AB长度的最小值．【分析】（1）根据圆M的标准方程即可求出半径r=2和圆心M坐标（0，4），并可设P（2b，b），从而由条件便可求出|MP|=，这样便可求出b的值，即得出点P的坐标；（2）容易求出圆N的圆心坐标（b，），及半径，从而可得出圆N的标准方程，化简后可得到（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，从而可建立关于x，y的方程，解出x，y，便可得出圆N所过的定点坐标；（3）可写出圆N和圆M的一般方程，联立这两个一般方程即可求出相交弦AB 的直线方程，进而求出圆心M到直线AB的距离，从而求出弦长，显然可看出b=时，AB取最小值，并求出该最小值．【解答】解：（1）由题意知，圆M的半径r=2，M（0，4），设P（2b，b），∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP=90°，∴，解得，∴P（0，0）或．（2）设P（2b，b），∵∠MAP=90°，∴经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为，即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0，由，解得或，∴圆过定点（0，4），．（3）因为圆N方程为，即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0，圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0，②﹣①得：圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0，点M到直线AB的距离，相交弦长即：，当时，AB有最小值．【点评】考查圆的标准方程和一般方程的形式，圆心和切点的连线垂直于切线，以及直径所对圆周角为直角，以及两圆的相交弦所在直线方程的求法，配方求二次函数最值的方法，直角三角形边的关系．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l 交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．【分析】（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）直线l的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．（3）OM的方程可设为y=kx，与椭圆联立得M点的横坐标为，由OM∥l，能求出结果．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点为A （﹣4，0），∴a=4，又，∴c=2．…（2分）又∵b2=a2﹣c2=12，∴椭圆C的标准方程为．…（4分）（2）直线l的方程为y=k（x+4），由消元得，．化简得，（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12）]=0，∴x1=﹣4，．…（6分）当时，，∴．∵点P为AD的中点，∴P的坐标为，则．…（8分）直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E点坐标为（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0），使得OP⊥EQ，则k OP k EQ=﹣1，即恒成立，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立，∴，即，∴定点Q的坐标为（﹣3，0）．…（10分）（3）∵OM∥l，∴OM的方程可设为y=kx，由，得M点的横坐标为，…（12分）由OM∥l，得=…（14分）=，当且仅当即时取等号，∴当时，的最小值为．…（16分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用．。
嘉定区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
嘉定区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（）A．B．C．D．10101化为十进制数的结果为（）2．二进制数）（2A．15B．21C．33D．413．等差数列{a n}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于（）A．B．6 C．D．34．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜15．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（）A．0 B．0或C．或D．0或6．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．3 D．27．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y PA ．0.1B ．0.3C ．0.42D ．0.58． 若函数1,0,()(2),0,x x f x f x x +≥⎧=⎨+<⎩则(3)f -的值为（ ）A ．5B ．1-C ．7-D ．29． PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM 2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（ ）A ．甲B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定10．设实数，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a ＜c ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c11．487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3的系数为（ ）A ．4320B ．﹣4320C ．20D ．﹣2012．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）A ．16cmB ．C ．D ．26cm二、填空题13．已知条件p ：{x||x ﹣a|＜3}，条件q ：{x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．14．用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ．15．设集合A={x|x+m ≥0}，B={x|﹣2＜x ＜4}，全集U=R ，且（∁U A ）∩B=∅，求实数m 的取值范围为 ． 16．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D 中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是 ．18．当a ＞0，a ≠1时，函数f （x ）=log a （x ﹣1）+1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣y+n=0上，则4m +2n的最小值是 ．三、解答题19．在平面直角坐标系xOy 中．己知直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=4． （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程； （2）直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求∠AOB 的值．20．已知F1，F2分别是椭圆=1（9＞m＞0）的左右焦点，P是该椭圆上一定点，若点P在第一象限，且|PF1|=4，PF1⊥PF2．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求点P的坐标．21．已知等差数列{a n}中，其前n项和S n=n2+c（其中c为常数），（1）求{a n}的通项公式；（2）设b1=1，{a n+b n}是公比为a2等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．22．在中，，，.（1）求的值;（2）求的值。
嘉定区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
嘉定区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．2． “a ＞0”是“方程y 2=ax 表示的曲线为抛物线”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3． 如图，三行三列的方阵中有9个数a ij （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．05． 已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF1B 的周长为4，则C 的方程为（ ）A ．+=1B ．+y 2=1C ．+=1D ．+=16． 已知条件p ：x 2+x ﹣2＞0，条件q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1 D ．a ≤﹣37． 方程x 2+2ax+y 2=0（a ≠0）表示的圆（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y=x 轴对称D ．关于直线y=﹣x 轴对称8． 已知函数1)1(')(2++=x x f x f ，则=⎰dx x f 1)(（ ）A ．67-B ．67C ．65D ．65- 【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.9． 直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若偶函数f （x ）在（﹣∞，0）内单调递减，则不等式f （﹣1）＜f （lg x ）的解集是（ ）A ．（0，10）B ．（，10）C ．（，+∞）D ．（0，）∪（10，+∞）11．若a ＞b ，则下列不等式正确的是（ ）A ．B ．a 3＞b 3C ．a 2＞b 2D ．a ＞|b|12．如果集合 ,A B ，同时满足{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =,就称有序集对(),A B 为“ 好集对”. 这里有序集对(),A B 是指当A B ≠时，(),A B 和(),B A 是不同的集对， 那么“好集对” 一共有（ ）个A ．个B ．个C ．个D ．个二、填空题13．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （﹣3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2，则= ．14．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一 个红球的概率为 ．15．若x ，y 满足线性约束条件，则z=2x+4y 的最大值为 ．16．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.17．数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是 ．18．把函数y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．三、解答题19．已知数列{a n }中，a 1=1，且a n +a n+1=2n ， （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n}的前n项和S n，求S2n．20．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a＜c，f（A）=，且a=，b=，求△ABC的面积．21．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式f（x）+f（x+1）≤2（2）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（2a）22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．（1）证明：EF∥平面PAC；（2）证明：AF⊥EF．23．（本小题满分12分）椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，k P A·k PB＝－12.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．24．已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．（1）求x2的系数取最小值时n的值．（2）当x2的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．嘉定区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，其中恰有两个球同色C31C41=12种，故恰有两个球同色的概率为P==，故选：B．【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基础题．2．【答案】A【解析】解：若方程y2=ax表示的曲线为抛物线，则a≠0．∴“a＞0”是“方程y2=ax表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义是解决本题的关键，比较基础．3．【答案】D【解析】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；∴所求的概率为=故选D．【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．4．【答案】B【解析】排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P，底面四边形的个顶点为A、B、C、D．分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，（PA、DC；PB、AD；PC、AB；PD、BC）或（PA、BC；PD、AB；PC、AD；PB、DC）那么安全存放的不同方法种数为2A44=48．故选B．【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖．5．【答案】A【解析】解：∵△AFB的周长为4，1∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．【答案】A【解析】解：∵条件p：x2+x﹣2＞0，∴条件q：x＜﹣2或x＞1∵q是p的充分不必要条件∴a≥1故选A．7．【答案】A【解析】解：方程x2+2ax+y2=0（a≠0）可化为（x+a）2+y2=a2，圆心为（﹣a，0），∴方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆关于x轴对称，故选：A．【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．8．【答案】B9．【答案】A【解析】解：直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是：=．故选：A．10．【答案】D【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（|x|），因为f（x）在（﹣∞，0）内单调递减，所以f（x）在（0，+∞）内单调递增，由f（﹣1）＜f（lg x），得|lg x|＞1，即lg x＞1或lg x＜﹣1，解得x＞10或0＜x＜．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于0，是个基础题．11．【答案】B【解析】解：∵a＞b，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：=﹣1，=﹣，显然A不正确．a 3=﹣1，b 3=﹣6，显然 B 正确． a 2 =1，b 2=4，显然C 不正确． a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．故选 B ．【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．12．【答案】B 【解析】试题分析：因为{}{}{}{}1,2,3,41,1,1AB B A B =≠≠，A =，所以当{1,2}A =时，{1,2,4}B =；当{1,3}A =时，{1,2,4}B =；当{1,4}A =时，{1,2,3}B =；当{1,2,3}A =时，{1,4}B =；当{1,2,4}A =时，{1,3}B =；当{1,3,4}A =时，{1,2}B =；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.考点：元素与集合的关系的判断.【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]二、填空题13．【答案】 （﹣，） ．【解析】解：∵，，设OC 与AB 交于D （x ，y ）点则：AD ：BD=1：5即D 分有向线段AB 所成的比为则解得：∴又∵||=2∴=（﹣，）故答案为：（﹣，）【点评】如果已知，有向线段A（x1，y1），B（x2，y2）．及点C分线段AB所成的比，求分点C的坐标，可将A，B两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．814．【答案】9【解析】【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较x可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好． 15．【答案】 38 ．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y 得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A 时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z 最大，由，解得，即A （3，8），此时z=2×3+4×8=6+32=32， 故答案为：3816．【答案】649π【解析】111]考点：球的体积和表面积.【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键. 17．【答案】 2 ．【解析】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2，∴=，∴S 2= [（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2，故答案为2；【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n 个数据，x1，x 2，…x n 的平均数，是一道基础题；18．【答案】 y=cosx ．【解析】解：把函数y=sin2x 的图象向左平移个单位长度，得，即y=cos2x 的图象，把y=cos2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx 的图象；故答案为：y=cosx ．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵a 1=1，且a n +a n+1=2n，∴当n ≥2时，．∴a n+1﹣a n ﹣1=2n ﹣1，当n=1，2，3时，a 1+a 2=2，a 2+a 3=22，．解得a 2=1，a 3=3，a 4=5． 当n 为偶数2k （k ∈N *）时，a 2k =（a 2k ﹣a 2k ﹣2）+（a 2k ﹣2﹣a 2k ﹣4）+…+（a 6﹣a 4）+（a 4﹣a 2）+a 2 =22k ﹣2+22k ﹣4+…+24+22+1==．当n为奇数时，，∴，∴（k∈N*）．（2）S2n=（a2+a4+…+a2n）+（a1+a3+…+a2n﹣1）=（a2+a4+…+a2n）+[（2﹣a2）+（23﹣a4）+…+（a2n﹣1﹣a2n）]=2+23+…+22n﹣1==．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵由图象可知，T=4（﹣）=π，∴ω==2，又x=时，2×+φ=+2kπ，得φ=2kπ﹣，（k∈Z）又∵|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）…6分（Ⅱ）由f（A）=，可得sin（2A﹣）=，∵a＜c，∴A为锐角，∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，得A=，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：7=3+c2﹣2，即：c2﹣3c﹣4=0，∵c＞0，∴解得c=4．∴△ABC的面积S=bcsinA==…12分【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识的应用，属于基本知识的考查．21．【答案】【解析】（1）解：不等式f（x）+f（x+1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2．|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的点x到1、2对应点的距离之和，而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2，∴不等式的解集为[0.5，2.5]．（2）证明：∵a＜0，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|=f（2a﹣2），∴f（ax）﹣af（x）≥f（2a）成立．22．【答案】【解析】（1）证明：如图，∵点E，F分别为CD，PD的中点，∴EF∥PC．∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．∵EF⊂平面PDC，∴AF⊥EF．【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．23．【答案】 【解析】解：（1）可设P 的坐标为（c ，m ）， 则c 2a 2＋m 2b2＝1， ∴m ＝±b 2a ，∵|PF |＝1 ，即|m |＝1，∴b 2＝a ，①又A ，B 的坐标分别为（－a ，0），（a ，0），由k P A ·k PB ＝－12得b 2ac ＋a ·b 2a c －a＝－12，即b 2＝12a 2，②由①②解得a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （2，1），此时S △PMN ＝12×22×2＝2.当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得x 24＋k 2x 22＝1，即x ＝±21＋2k2，∴y ＝±2k1＋2k2，即M （21＋2k2，2k 1＋2k2），N （－21＋2k2，－2k 1＋2k2），∴|MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 1＋2k 22 ＝41＋k 21＋2k 2，点P （2，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝|2k －1|k 2＋1，∴S △PMN ＝12|MN |d ＝12·41＋k 21＋2k 2·|2k －1|k 2＋1＝2·|2k －1|1＋2k 2＝22k 2＋1－22k1＋2k 2＝21－22k 1＋2k 2， 当k ＞0时，22k 1＋2k 2≤22k22k ＝1，此时S ≥0显然成立， 当k ＝0时，S ＝2.当k ＜0时，－22k 1＋2k 2≤1＋2k 21＋2k 2＝1，当且仅当2k 2＝1，即k ＝－22时，取等号． 此时S ≤22，综上所述0≤S ≤2 2.即当k ＝－22时，△PMN 的面积的最大值为22，此时l 的方程为y ＝－22x .24．【答案】【解析】 【专题】计算题．【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x 的系数，列出方程得到m ，n 的关系；利用二项展开式的通项公式求出x 2的系数，将m ，n 的关系代入得到关于m 的二次函数，配方求出最小值（2）通过对x 分别赋值1，﹣1，两式子相加求出展开式中x 的奇次幂项的系数之和．【解答】解：（1）由已知C m 1+2C n 1=11，∴m+2n=11，x2的系数为C m2+22C n2=+2n（n﹣1）=+（11﹣m）（﹣1）=（m﹣）2+．∵m∈N*，∴m=5时，x2的系数取得最小值22，此时n=3．（2）由（1）知，当x2的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x）5+（1+2x）3．设这时f（x）的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2++a5x5，令x=1，a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33，令x=﹣1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1，两式相减得2（a1+a3+a5）=60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．。
高二数学-2019学年高二上学期期中考试数学试题课件.doc
2018 —2019 学年度第一学期期中考试高二数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题 5 分，共70 分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上。
）1、已知命题p ：x R, s in x 1，则p :___________.2、“若a＞b，则 a 2b2 ”的逆否命题为.2 k y2 k3、若方程x ( 1) 1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是.4、已知平面上定点F1、F2 及动点M．命题甲：“|MF1 | | MF | 2a 0（a为常数）”；命2题乙：“M 点轨迹是以F1、F2 为焦点的双曲线”．则甲是乙的_____条件．( 填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)5、若点a,b 在直线x 3y 1上，则 a 8b2 的最小值为.6、双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为6，虚轴长为8，则双曲线的标准方程是。
2 2x y7、双曲线1的离心率为5，则m __________.4 m8、已知正数x、y 满足2x y 1，则1x1y的最小值为__________.9、不等式x2 2x m2 0恒成立，则m 的范围是2 2x y10 、若点P 是以F1, F2 为焦点的双曲线 1a b2 2上一点，满足PF1 PF2 ，且PF1 2 PF ，则此双曲线的离心率为.2x y 2 011、已知实数x, y 满足x y 0 则z 2x y 的最小值为__________.x 12 y2x12、已知点P 是椭圆 1上一点，P到椭圆右焦点的距离为2，则点P 到椭圆16 7yP的左准线的距离为_____.Q2 2F 1O F2xx y13、如图，已知F1,F2 是椭圆C : 1 (a b 0) 的2 2a b2 2 2左、右焦点，点P 在椭圆 C 上，线段PF 与圆x y b2相切于点Q ，且点Q为线段P F 的中点，则椭圆 C 的离21心率为.14、以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A,B 为两个定点，k 为非零常数，| PA | | PB | k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦AB ，则弦AB 中点P的轨迹为椭圆；③方程2x2 5x 2 0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；2 y 22x x2④双曲线1与椭圆1y25 9 35有相同的焦点.其中真命题的序号为__________. （写出所有真命题的序号）二、解答题（本大题共 6 小题，14 14 15 15 16 16 ，共90 分。
2018-2019学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．设直线0x my n ++=的倾斜角度为θ,则它关于y 轴对称的直线的倾斜角是（ ） A ．θ B ．2θπ- C ．πθ-D ．2πθ+【答案】C【解析】利用对称性，求出直线关于y 轴对称的直线的倾斜角即可. 【详解】设关于y 轴对称的直线的倾斜角为α，则有αθπ+=，所以απθ=-.故答案为：C. 【点睛】本题主要考查直线倾斜角的概念，准确理解概念是求解的关键，侧重考查对概念的理解力. 2．若已知极限sin lim 0n n n →∞==，则3sin lim sin 2n n nn n→∞--的值为（ ）A ．3-B ．32- C ．1- D ．12-【答案】D 【解析】因为sin lim 0n n n →∞=，对3sin sin 2n n n n--分子分母同时除以n ，再求极限即可【详解】因为sin lim 0n n n →∞=，所以3sin 13sin 101limlim sin sin 20222n n nn n n n n n n→∞→∞---===----.故选：D. 【点睛】本题主要考查极限的运算，对目标式的合理化简是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 3．设平面向量123a a a 、、的和1230a a a ++=，如果向量123b b b 、、满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30°后与i b 同向,其中123i =，，，则（ ） A ．1230b b b -++= B ．1230b b b -+= C ．1230b b b -+=D ．1230b b b ++=【答案】D【解析】利用特殊向量进行选项验证，通过特例法可得选项. 【详解】由题意，不妨设1i a =，且123a a a 、、的夹角均为120︒，则2i i b a ==2，由于i a 顺时针旋转30°后与i b 同向，所以123b b b 、、的夹角均为120︒，故1230b b b ++=，故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，明确向量运算的规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知向量i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足n i a n ⋅=r u u r ，21n j a n ⋅=+r u u r，其中*n ∈N ，设nθ为i 和n a 的夹角，则（ ） A ．n θ随着n 的增大而增大 B ．n θ随着n 的增大而减小C ．随着n 的增大，n θ先增大后减小D ．随着n 的增大，n θ先减小后增大【答案】B【解析】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 可得()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,进而可得到tan n θ的表达式,结合函数的单调性可选出答案. 【详解】分别以i 和j 所在的直线为x 轴和y 轴,以向量所在方向为正方向,建立平面直角坐标系, 则()1,0i =,()0,1j =,设(),n n n a x y =,因为n i a n ⋅=r u u r ，21n j a n ⋅=+r u u r,所以,21n n x n y n ==+,则(),21n a n n =+,n θ为i 和n a 的夹角，211tan 2n n n n y n n x θ+===+,*n ∈N ,tan 0n θ>,则π0,2n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 显然1tan 2n nθ=+为减函数, 又因为函数tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数,所以n θ随着n 的增大而减小.故选:B. 【点睛】本题考查了向量的数量积的运算,考查了学生的推理能力,利用坐标法是解决本题的一个较好方法,属于中档题.二、填空题5．已知两个不同向量()()112OA m OB m ==-，，，，若OA OB ⊥，则实数m =_____.【答案】13【解析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得若OA OB ⊥，则有12310O m OB m m A ⋅=-+=-=，易得m .【详解】因为OA OB ⊥，所以12310O m OB m m A ⋅=-+=-=，解得13m =.故答案为：13.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，利用向量垂直可得数量积为零，题目较为简单，侧重考查数学运算的核心素养.6．已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =r，则a b ⋅=_______．(结果用数值表示)【答案】6-【解析】由题向量a 在向量b 方向上的投影为2-，即cos ,2,3, 6.a b a ba ab ab a b a b b⋅⋅===-=∴⋅=-⋅即答案为-6.7．在数列{}n a 中,若对一切*n N ∈都有13n n a a +=-，且()24629lim 2n n a a a a →∞++++=，则1a 的值为________. 【答案】12-【解析】由题意得数列{}n a 为公比是13q =-的等比数列，然后进行数列极限的运算，解方程即可. 【详解】因为在数列{}n a 中,若对一切*n N ∈都有13n n a a +=-，所以数列{}n a 为公比是13q =-的等比数列，所以()()2122222462119311121li 9m limn n nn a a a a q a a a q q →∞→∞--===--+-++⋯+=，求得112a =-.故答案为：12-.【点睛】本题主要考查等比数列的求和及数列极限的求解，判定数列是等比数列及利用求和公式是求解的关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.8．已知两条直线()()1212:34350:2580//l m x y m l x m y l l +++-=++-=，，，则直线1l 的一个方向向量是_________. 【答案】(1,1)【解析】先利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出m 的值，然后求出直线1l 的斜率，最后根据一个与直线平行的向量都是该直线的方向向量，易得结果. 【详解】 由12l l //可得3435258m m m +-=≠+-，可得7m =-，所以直线1:22130l x y -+=，所以直线1l 的斜率为1，则直线1l 一个方向向量为(1,1). 故答案为：(1,1). 【点睛】本题主要考查两条直线的位置关系，两条直线平行可得方程的系数对应成比例是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.9．若1225PP PP =-且121PP PP λ=，则λ=____________ 【答案】32【解析】由1225PP PP =-化为11122()5PP PP PP -=-+后,再整理可得. 【详解】因为1225PP PP =-,所以11122()5PP PP PP -=-+, 所以1212355PP PP =,即12132PP PP =, 所以32λ=.故答案为: 32.【点睛】本题考查了向量的线性运算,属于基础题.10．执行如图所示的程序框图,若输入p 的值是7,则输出S 的值是_________.【答案】12764【解析】按照程序框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件n p <，跳出循环，确定输出S 的值. 【详解】由程序框图知:第一次循环112,2;S n -=+=第二次循环12122,3;S n --=++= 第三次循环1231222,4S n ---=+++=第六次循环1261271222,764S n ---=++++==； 第七次循环时，不满足条件n p <，跳出循环，输出12764S =.故答案为：12764.【点睛】本题主要考查根据程序框图求解输出值，理清循环体的循环规律及终止循环的条件是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.11．已知直线l 的倾斜角为3sin 5αα=，，且这条直线l 经过点P (3,5)，则直线l 的一般式方程为___________________.【答案】34110x y -+=或34290x y +-=【解析】先由倾斜角求直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后化为直线的一般式方程. 【详解】因为3sin 5α=，所以2cos 1sin 54αα=±-=±，所以直线l 的斜率为3=tan 4k α=±，又因为直线l 经过点P (3,5)，所以直线l 的方程为()3543x y -=- 或()3543y x ---=，所以直线l 的一般式方程为34110x y -+=或34290x y +-=.故答案为：34110x y -+=或34290x y +-=. 【点睛】本题主要考查利用直线的点斜式方程求解直线的方程，根据倾斜角求解直线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12．直线cos 40sin 4010x y -︒+︒+=的倾斜角是_________. 【答案】50︒【解析】先化简直线方程，求出斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出倾斜角的大小. 【详解】原式cos 40sin 4010x y -︒+︒+=可化为sin 40cos 401y x ︒=︒-，所以直线的斜率为cos 40sin 50sin 40cos50tan 50k ===︒︒︒︒︒，所以直线的倾斜角为50︒.故答案为:50︒.【点睛】本题主要考查利用直线的方程求解直线的倾斜角，斜率和倾斜角之间的关系式是求解的关键，同时注意直线倾斜角的范围，侧重考查数学运算的核心素养.13．设两个向量12,e e ，满足122,||1e e ==，12,e e 的夹角为60°,若向量122t 7e e +与向量12e te +的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为____________. 【答案】14141(7,)(,)222----.【解析】当两向量的夹角为钝角时，则两向量的数量积为负数，由此可得实数t 的取值范围，但要注意排除两向量共线反向的情形． 【详解】∵122,||1e e ==，12,e e 的夹角为60°,∴1221601e e cos ︒=⨯⨯=．∵向量122t 7e e +与向量12e te +的夹角为钝角， ∴(()()2222121211222t 7)2t 2t 772t 1570e e e te e e e te t ++=+++=++<，解得172t -<<-． 令()12122t 7(0)e e e te λλ+=+<，则得27t t λλ=⎧⎨=⎩，解得14142t λ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． ∴当142t =-时，向量122t 7e e +与向量12e te +共线反向，不合题意． ∴实数t 的取值范围为141417,,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】解答本题时注意以下结论：①0a b a b ⊥=；②当,a b 的夹角为锐角时，可得0a b >，反之不成立（注意共线同向的情形）；③当,a b 的夹角为钝角时，可得0a b <，反之不成立（注意共线反向的情形）．14．记12111nna a a +++为数列{}n a 的调和平均值,n S 为自然数列{}n 的前n 项和,若n H 为数列{}n S 的调和平均数,则limnn H n→∞=_________.【答案】12【解析】先求出n S 为自然数列{}n 的前n 项和，再利用已知条件12111nna a a +++为数列{}n a 的调和平均值求出n H 的表达式，最后求解极限即可. 【详解】因为n S 为自然数列{}n 的前n 项和，所以()12n n n S +=， 又因为12111nna a a +++为数列{}n a 的调和平均值， 所以()12111112221111122112232231nn nnnn n n H S S S n n +===⎛⎫++++++⨯-+-++- ⎪⨯⎝+⨯+⎭=所以11limlim 22n n n H n n n →∞→∞+==.故答案为：12.【点睛】本题主要考查数列极限的求解及数列的裂项求和，准确理解题目所给的新定义是求解的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.15．设A 是平面向量的集合,a 是定向量,对x A ∈，定义()()2f x x a x a =-⋅⋅，现给出如下四个向量：()22221300442222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，；②，；③，；④，，那么对于任意x y A ∈，，使()()f x f y x y ⋅=⋅恒成立的向量a 的序号是________(写出满足条件的所有向量a 的序号). 【答案】①③④【解析】根据所给定义，结合选项逐个进行验证可得. 【详解】对于①，当()00a =，时，()f x x =满足()()f x f y x y ⋅=⋅； 当0a ≠r r，因为()()2f x x a x a =-⋅⋅，()()2f y y a y a =-⋅⋅， 所以()()24()()4()()f x f y x y a y a x a x a y a ⋅=⋅-⋅⋅+⋅⋅若使得()()f x f y x y ⋅=⋅恒成立，则只需21a=，结合所给向量可知③④符合条件；综上可得答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于新定义问题，准确的理解给出的新定义是求解的关键，建立()()f x f y ⋅的表达式是突破口，侧重考查数学运算的核心素养.16．已知AB 为单位圆O 的一条弦,P 为单位圆O 上的点,若()()f AP AB R λλλ=-∈的最小值为m ,当点P 在单位圆上运动时,m 的最大值为43,则线段AB 的长度为________. 【答案】223【解析】设AC AB λ=,把()fλ化简为CP ,考虑CP 的几何意义，即()f λ的最小值就是点P 到直线AB 的距离，由此可得结论.【详解】设AC AB λ=,则()=f AP AB AP AC CP λλ=--=, 因为AC AB λ=，所以点C 在直线AB 上，所以()fλ的最小值就是点P 到直线AB 的距离.因为m 的最大值为43，所以圆心到直线AB 的距离为13，所以2122=133AB ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故答案为：223. 【点睛】本题主要考查平面向量的应用，明确()f λ的几何意义及取到最值时的临界状态是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.三、解答题17．如图所示,在△ABC 中，D 是AC 的中点,E 是AB 延长线上的一点,且AE =2BE ,试用向量CA CB 、分别表示.AB DE 、【答案】AB CB CA =-；322DE CB CA =-.【解析】利用向量的减法很容易可以表示AB CB CA =-，利用中点转化可以表示DE . 【详解】AB CB CA =-; 11322()2222DE DA AE CA AB CA CB CA CB CA =+=+=+-=-【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基底向量表示目标向量时，充分利用题设中的等量关系是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.18．已知P :矩阵图51102x x ⎛⎫+⎪+ ⎪ ⎪-⎝⎭的某个列向量的模不小于2；Q :行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不大于2,若P 是Q 成立的充分条件,求实数m 的取值范围. 【答案】[2,)+∞【解析】先根据行列式中元素1-的代数余子式的值求出P ，再根据矩阵图某个列向量的模不小于2求出Q ，结合P 是Q 成立的充分条件可得实数m 的取值范围. 【详解】因为矩阵图51102x x ⎛⎫+⎪+ ⎪ ⎪-⎝⎭的某个列向量的模不小于2，所以521x x +≥+，解得13x -≤≤；因为行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不大于2，所以2323211mm x x --=-+≤，即21m x ≤-；因为P 是Q 成立的充分条件，所以213m -≥，解得2m ≥；故实数m 的取值范围是[2,)+∞. 【点睛】本题主要考查矩阵和行列式的运算及充分条件，明确矩阵和行列式的运算规则是求解的关键，充分条件转化为集合的包含关系，侧重考查数学运算的核心素养.19．设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点P ,求PA PB ⋅的最大值.【答案】5【解析】先求解直线过的定点，结合直线垂直得到2210PA PB +=，结合基本不等式可求. 【详解】由题意可得(1)30m x y --+=，所以可得定点(0,0),(1,3)A B ,因为直线0x my +=和直线30mx y m --+=始终垂直，所以PA PB ⊥，即22210PA PB AB +==,所以2252PA PBPA PB +⋅≤=,当且仅当PA PB =时取到最大值.【点睛】本题主要考查与直线有关的最值问题，直线所过定点的求解一般是合并参数，观察到隐含的垂直关系是求解本题的关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.20．某公司全年的纯利润为b 元,其中一部分作为奖金发给n 位职工,奖金分配方案如下首先将职工工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1到n 排序,第1位职工得奖金bn元,然后再将余额除以n 发给第2位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设()1k a k n ≤≤为第k 位职工所得奖金额,试求23a a 、，并用k n 、和b 表示k a (不必证明)；(2)证明()1121k k a a k n +=>⋯-，，，，并解释此不等式关于分配原则的实际意义；(3)发展基金与n 和b 有关,记为()n P b ，对常数b ,当n 变化时,求()lim n n P b →∞.(可用公式11lim 1nn n e →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭) 【答案】(1) 2231111(1),(1)a a b b n n n n =-=-,111(1)k k a b n n -=-； (2)证明见解析； (3) ()lim n n bP b e→∞=.【解析】(1)根据题意建立关系式即可，k a 可以通过观察式子的特征求得； (2)利用作差比较法可以证明，作差，化简证明结果为正； (3)根据题意先求解出()n P b ，结合极限公式可得结果. 【详解】 (1) 21123111111,(1),(1),,(1)k k a a a a b b b b n n n n nn n-==-=-=-.(2)证明：因为1112111111(1)(1)(1)0k k k k k b b b n n n n n a a n--+-=---=->， 所以()1121k k a a k n +=>⋯-，，，，此分配方案体现了按照工作业绩的按劳分配原则.(3)设()k f b 表示发给第k 位职工后所剩余额，则212111()(1),()(1),,()(1)k k f b b f b b f b b n n n=-=-=-发展基金()n P b =1(1)k b n -，故()lim nn bP b e→∞=. 【点睛】本题主要考查数列的递推关系及数列极限，实际问题的求解重在数学模型的构建，难度适中，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 21．已知一列非零向量*n a n ∈N ，满足:()()()()111111052n n n n n n n a a x y k x y x y n ----=-==-+≥，，，，(其中k 是非零常数). (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求向量1n a -与n a 夹角θ的弧度数()2n ≥； (3)当12k =时,把12n a a a ⋯，，，中所有与1a 共线的向量按原来的顺序排成一列,记为12n d d d ⋯，，，，令12n n OD d d d =+++，O 为坐标原点,求点列{}n D 的极限点D 的坐标.(注:若点n D 坐标为()n n t v ，且lim lim n n n n t t v v →∞→∞==，，则称点D ()t v ，为点列{}n D 的极限点).【答案】(1) ()1=552n n a k-；(2) 当0k >时，1,4n n a a π-=；当k 0<时，13,4n n a a π-=； (3) (8,4)-.【解析】(1)根据向量模长公式可得数列的递推关系式，结合等比数列的定义可求； (2)先求解1n n a a -⋅，结合向量的夹角公式可得夹角；(3)先根据题意求解数列{}n d 的通项公式，从而可得()n n t v ，，结合极限知识可求解极限点D 的坐标. 【详解】(1)因为()()()11112n n n n n n n a x y k x y x y n ----==-+≥，，，所以222221111=[()()]n n n n n n n a x y k x y x y ----+=-++2221112()2n n n k x y k a ---=+=.所以1=20n n a k a -≠，即{}n a 为等比数列.因为()1105a =-，，所以155a =，所以()1=552n n a k-.(2) 1111111(,)(,)n n n n n n n n a a k x y x y x y -------⋅=-+⋅222111()n n n k x y k a ---=+=,所以21112112cos ,22n n n n n n n n k a a a ka a ka a k a -----⋅===； 当0k >时，1,4n n a a π-=；当k 0<时，13,4n n a a π-=. (3)由(2)知12k =时，1,4n n a a π-=，所以每隔3个向量的两个向量必共线，且方向相反， 所以与1a 共线的向量为{}{}159123,,,,,,,,a a a d d d =，设n a 的单位向量为0n a ，则()001111122(1)2n n n n n n n a a a a ka a ---⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，所以441143121(1)(10,5)()24n n n n n d a a ----⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以21111110[1()()()]8[1()]4444n n n t -=+-+-++-=--，lim 8n n t →∞=， 同理可求lim 4n n v →∞=-，故点列{}n D 的极限点D 的坐标为(8,4)-. 【点睛】本题主要考查向量与数列的综合，难度较大，主要涉及涉及向量模长的计算，等比数列的判定及求和，数列极限等问题，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.。
嘉定区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
嘉定区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a ﹣5|，9}，∁U A={5，7}，则实数a 的值是（ ） A ．2 B ．8C ．﹣2或8D ．2或8 2． 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件. 3． 设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 4． 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．5． 已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(||)0(log )(2x x x x x f ，函数)(x g 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意R x ∈，有1()(2)2g x g x =+；③当]1,1[-∈x 时，()g x 则函数)()(x g x f y -=在区间]4,4[-上零点的个数为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.6． 在空间中，下列命题正确的是（ ） A ．如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，那么m ∥nB ．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC ．如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m ⊥αD ．如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么必有m ⊥β7． 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为（ ） A ．120 B ．110C ．10D ．208． 已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形， 则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．32C ．643 D ．32310．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A．B．C．1 D．11．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日12．下列4个命题：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”；②若“¬p或q”是假命题，则“p且¬q”是真命题；③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2；其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为．14．log 3+lg25+lg4﹣7﹣（﹣9.8）0= ．15．直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点P （a ，b ）与点（1，0）之间距离的最小值为 ．16．设f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＞0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 ．17．（﹣）0+[（﹣2）3]= ．18．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()f x '是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x -<'，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________． 三、解答题19．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,R a b c ∈有一个零点为4，且满足()01f =.（1）求实数b 和c 的值；（2）试问：是否存在这样的定值0x ，使得当a 变化时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线互相平行？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由； （3）讨论函数()()g x f x a =+在()0,4上的零点个数.20．生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽100（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．21．已知△ABC的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC的面积．22．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+，数列{b n}满足b n=（Ⅰ）证明：b n∈（0，1）（Ⅱ）证明：=（Ⅲ）证明：对任意正整数n有a n．23．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，边72c =，且tan tan tan 3A B A B +=-ABC ∆的面积为2ABC S ∆=，求a b +的值．24．已知数列{a n }共有2k （k ≥2，k ∈Z ）项，a 1=1，前n 项和为S n ，前n 项乘积为T n ，且a n+1=（a ﹣1）S n +2（n=1，2，…，2k ﹣1），其中a=2，数列{b n }满足b n =log 2，（Ⅰ）求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）若|b 1﹣|+|b 2﹣|+…+|b 2k ﹣1﹣|+|b 2k ﹣|≤，求k 的值．嘉定区第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：由题意可得3∈A，|a﹣5|=3，∴a=2，或a=8，故选D．2．【答案】A【解析】运行该程序，注意到循环终止的条件，有n=10，i=1；n=5，i=2；n=16，i=3；n=8，i=4；n=4，i=5；n=2，i=6；n=1，i=7，到此循环终止，故选A.3．【答案】A【解析】考点：集合的包含关系的判断与应用.【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 4．【答案】C【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C．【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．5．【答案】D第Ⅱ卷（共100分）[．Com]6． 【答案】 C【解析】解：对于A ，直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，则m 与n 可能平行，可能异面，故不正确；对于B ，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确； 对于C ，根据线面垂直的判定定理可得正确；对于D ，如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么可能m ⊥β，也可能m 和β斜交，；故选：C ．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．7． 【答案】B 【解析】试题分析：若{}n a 为等差数列，()()111212nn n na S d a n nn -+==+-⨯，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列公差为2d ,2017171100,2000100,201717210S S d d ∴-=⨯==,故选B. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式. 8． 【答案】 A【解析】解：取a=﹣时，f （x ）=﹣x|x|+x ，∵f （x+a ）＜f （x ），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．9．【答案】B【解析】试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:144432⨯⨯⨯=，故选B.2考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10．【答案】B【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．【答案】C【解析】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．【答案】C【解析】解：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”，①正确；②若“¬p或q”是假命题，则¬p、q均为假命题，∴p、¬q均为真命题，“p且¬q”是真命题，②正确；③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2，由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误；④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则¬p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确．∴正确的命题有3个．故选：C．二、填空题13．【答案】．【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有V=×2×h××2，当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，则四面体ABCD的体积的最大值为．故答案为：．【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．14．【答案】．【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=，故选：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．15．【答案】．【解析】解：∵△AOB是直角三角形（O是坐标原点），∴圆心到直线ax+by=1的距离d=，即d==，整理得a2+2b2=2，则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d==≥，∴点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．16．【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）．【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g ′（x ）=，∵当x ＞0时总有xf ′（x ）﹣f （x ）＞0成立， 即当x ＞0时，g ′（x ）＞0，∴当x ＞0时，函数g （x ）为增函数，又∵g （﹣x ）====g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数， ∴x ＜0时，函数g （x ）是减函数，又∵g （﹣2）==0=g （2），∴x ＞0时，由f （x ）＞0，得：g （x ）＞g （2），解得：x ＞2， x ＜0时，由f （x ）＞0，得：g （x ）＜g （﹣2），解得：x ＞﹣2， ∴f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．17．【答案】 ．【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]=1+（﹣2）﹣2=1+=．故答案为：．18．【答案】()(),10,1-∞-⋃【解析】三、解答题19．【答案】（1）1,14b c ==；（2）答案见解析；（3）当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点；当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.【解析】试题分析：（1）由题意得到关于实数b,c的方程组，求解方程组可得1,14b c==；（3）函数()g x的导函数()()2132444g x x a x a⎛⎫=+--+⎪⎝⎭'，结合导函数的性质可得当1a<-或0a>时，()g x在()0,4有两个零点；当10a-≤≤时，()g x在()0,4有一个零点.试题解析：（1）由题意()()01{440f cf b c=+=-+=，解得1{41bc==；（2）由（1）可知()()324f x x a x=+--1414a x⎛⎫++⎪⎝⎭，∴()()2132444f x x a x a⎛⎫=+--+⎪⎝⎭'；假设存在x满足题意，则()()2000132444f x x a x a⎛⎫=+--+⎪⎝⎭'是一个与a无关的定值，即()2000124384x a x x-+--是一个与a无关的定值，则240x-=，即2x=，平行直线的斜率为()1724k f==-'；（3）()()()324g x f x a x a x=+=+-1414a x a⎛⎫-+++⎪⎝⎭，∴()()2132444g x x a x a⎛⎫=+--+⎪⎝⎭'，其中()21441244a a⎛⎫∆=-++=⎪⎝⎭()224166742510a a a++=++>，设()0g x'=两根为1x和()212x x x<，考察()g x在R上的单调性，如下表1°当0a >时，()010g a =+>，()40g a =>，而()152302g a =--<， ∴()g x 在()0,2和()2,4上各有一个零点，即()g x 在()0,4有两个零点； 2°当0a =时，()010g =>，()40g a ==，而()15202g =-<， ∴()g x 仅在()0,2上有一个零点，即()g x 在()0,4有一个零点；3°当0a <时，()40g a =<，且13024g a ⎛⎫=->⎪⎝⎭， ①当1a <-时，()010g a =+<，则()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,42⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点，即()g x 在()0,4有两个零点；②当10a -≤<时，()010g a =+≥，则()g x 仅在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点， 即()g x 在()0,4有一个零点；综上：当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点； 当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f （x ）在[a ，b ]内所有使f ′（x ）＝0的点，再计算函数y ＝f （x ）在区间内所有使f ′（x ）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）元件A 为正品的概率约为．元件B 为正品的概率约为．（Ⅱ）（ⅰ）∵生产1件元件A 和1件元件B 可以分为以下四种情况：两件正品，A 次B 正，A 正B 次，A次B 次．∴随机变量X 的所有取值为90，45，30，﹣15．∵P （X=90）==；P （X=45）==；P （X=30）==；P （X=﹣15）==．∴随机变量X 的分布列为：EX=．（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5﹣n 件．依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以n=4或n=5．设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，则P（A）==．21．【答案】【解析】解：由题意设a=n、b=n+1、c=n+2（n∈N+），∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A，由正弦定理得，则，∴，得cosA=，由余弦定理得，cosA==，∴=，化简得，n=4，∴a=4、b=5、c=6，cosA=，又0＜A＜π，∴sinA==，∴△ABC的面积S===．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．22．【答案】【解析】证明：（Ⅰ）由b n=，且a n+1=a n+，得，∴，下面用数学归纳法证明：0＜b n＜1．①由a1=∈（0，1），知0＜b1＜1，②假设0＜b k＜1，则，∵0＜b k＜1，∴，则0＜b k+1＜1．综上，当n ∈N *时，b n ∈（0，1）；（Ⅱ）由，可得，，∴==．故；（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，故．由知，当n ≥2时，=．【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．23．【答案】112． 【解析】试题解析：由tan tan tan 3A B A B +=-可得tan tan 1tan tan A BA B+=-tan()A B +=∴tan()C π-=tan C -=tan C =∵(0,)C π∈，∴3C π=.又ABC ∆的面积为2ABC S ∆=1sin 22ab C =，即1222ab ⨯=，∴6ab =. 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，∴2227()2cos 23a b ab π=+-，∴22227()()32a b ab a b ab =+-=+-，∴2121()4a b +=，∵0a b +>，∴112a b +=.1 考点：解三角形问题．【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题． 24．【答案】【解析】（本小题满分13分）解：（1）当n=1时，a 2=2a ，则；当2≤n ≤2k ﹣1时，a n+1=（a ﹣1）S n +2，a n =（a ﹣1）S n ﹣1+2，所以a n+1﹣a n =（a ﹣1）a n ，故=a ，即数列{a n }是等比数列，，∴T n =a 1×a 2×…×a n =2n a1+2+…+（n ﹣1）=，b n ==．…（2）令，则n ≤k+，又n ∈N *，故当n ≤k 时，，当n ≥k+1时，．…|b 1﹣|+|b 2﹣|+…+|b 2k ﹣1﹣|+|b 2k ﹣|=+（）+…+（）…=（k+1+…+b 2k ）﹣（b 1+…+b k ）=[+k]﹣[]=，由，得2k2﹣6k+3≤0，解得，…又k≥2，且k∈N*，所以k=2．…【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．。