理论力学第二章讲解
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理论力学第二章(2)
合力FR 的大小等于原力系的主矢
合力FR 的作用线位置
MO FR
小结：平面任意力系简化结果讨论
主矢
FR 0
FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
21
简化为一个力：
c os (FR
,
i)
Fx FR
,
cos(FR ,
j)
Fy FR
原力系的主矢与简化中心O的位置无关
主矩： 原力系中各力对简化中心O之矩的代数和称为原力
系对点O的主矩。
n
M O M O (F1) M O (F2 ) ...... M O (Fn ) M o (Fi ) i 1
主矩与简化中心的选择有关
称点O为简化中心 F1’、F2’、….Fn’平面汇交力系，合力为FR’
M1、M2、….Mn平面力偶系，合力偶矩为MO
10
1、主矢和主矩
FR’=F1’+F2’+….+Fn’=F ’= F
主矢：量（简平称面为力主系矢中）所有各力的矢量和FR′称为该力系的主矢
主矢FR′的大小和方向余弦为：
FR (Fx )2 (Fy )2
11
平面任意力系向作用面内一点简化
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系
（复杂力系）
（两个简单力系）
汇交力系 力偶系
力，FR‘(主矢) ， (作用在简化中心)
力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
理论力学课件第2章PPT教学课件
2020/12/10
8
• 4.平面汇交力系平衡的解析条件
F Fx2 Fy2 0 Fx F1x F2x Fnx0 Fy F1y F2y Fny0
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• 例2-3 重量P=20kN的重物用钢丝绳挂 在滑轮B并固定在绞车D上。A,B,C为 光滑铰接。杆和滑轮自重不计。求杆 AB和 BC所受的力。
• 解：画工件的受力图。 • 螺栓A给工件的力FA向左。螺栓B给工
件的力FB向右。
MB0:FAlM1M2M30
1 FAl(M1M2M3)20N0 FBFA20N0
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19
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
2020/12/10
20
考虑方向BC的静力 平衡：
F B CP co 3s 0P si3n 0 0 F BC P co 3s 0P si3n 0 2.3 7k2N
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12
§2-2 平面力对点力矩 的概念及计算
• 1.力对点的矩 • 作用在物体上的力矩是使物体绕点转动状
态发生改变的一种量度。 • 钳工用扳手拧紧螺丝、司机扳动方向盘，
• (2) 分析AB的受力：AB杆在,B,C受到约束 力，3个约束力组成平面汇交力系，并相交 于点E。
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5
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6
tan 0.5, 26.565
FA sin45
F sin(45
)
FC sin(90
)
sin45
F A F sin(45 ) 2.236F 22.36k N
都用到力矩。
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理论力学课件 第二章质点组力学讲解
心重合。
重心：质点系所受重力的合力的作用点。
（3）对于只有两个质点所组成的质点组 而言，其质心位置在质点1与质点2这两点连 线上，质心与质点1、2的距离反比于质点1、 2的质量。
例1 一凹底的圆锥体，由高为h、底面半径为 R的匀质正圆锥体自底面挖去高为d（d<h）的 共轴圆锥而成。求此凹底圆锥体的质心位置。
v
2 y
V
1 m(2M m) cos2
(M m)2
tan vy (1 m ) tan
vx
M
故由于炮车反冲 v V 而 。
例3 一个重量为P的人,手拿一个重为Q的物
体到最,以高与时水，平将线物成体α以角相的对速于度他v自0向己前的跳速。度当他u跳
水平向后抛出。问由于物体的后抛使人的跳远 的距离增加了多少？
m m
4 V v 4
zc
h
s
(3h d ) 4
§2.2 动量定理与动量守恒律
一、动量定理
假设由n个质点所组成的质点组，其中某一
个O的质位点矢的为质r量i ，为作m用i，其对上某的惯诸性力参的考合系力坐为标原点
Fi Fi(i) Fi(e)
质点pi的运mi 动dd2t微r2i 分F方i(i) 程Fi(e)
本章重点研究内容
〈一〉质心及质心运动定理 〈二〉动量定理及其守恒律 〈三〉动量矩定理及其守恒律 〈四〉动能定理、机械能守恒律 〈五〉两体问题、变质量问题
§2.1 质点组的基本概念
一、质点组的内力和外力 质点组：由许多（有限或无限）相互联系
着的质点所组成的系统。
内 力：质点组内质点间的相互作用力。
外 力：质点组外的物体对质点组内质点
理论力学第2章质点组力学ppt课件
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25
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26
和
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27
举例
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28
§2.4 动能定理与机械能守恒定 律
1 质点组的动能定理
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30
刚体情形
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31
2 机械能守恒定律
▪ 对质点组来讲，内力所作的功之和一般并不 为零，所以，若只有外力是保守力而内力并 不是保守力，质点组的机械能并不守恒；
54
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55
举例
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56
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57
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58
2 火箭原理
时间关系不讲， 若有兴趣请自己看书
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59
作业8讲解
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60
第15讲到此结束
最
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10
§2.2 动量定理与动量守恒定律
1 质点组动量定理
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12
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13
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14
2 质心运动定理
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15
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16
3 动量守恒定律
（3）由于 pmvC
，所以质心作惯性运动。
（4）如果合外力在某轴投影为零，则动量投影为常量。
i 1
i 1
i 1
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35
小结
▪ 质点组的三个动力学基本定理在分量形式下 一共有七个方程，和它们相关的守恒律成立 时也是这样。
▪ 但由于质点组的独立变量通常都大于七，所 以这些方程并不能用来确定质点组中每一质 点的运动，而只能由它们得出运动总的趋向 和某些特征，特别是与质心有关的总的特征。
理论力学第二章-PPT精品
第二章：有心运动
• §2.1 有心力和有心运动
– 如果运动质点受到的力及其作用先总是通过 惯性系中的某一固定点，这样的力(场)叫做 有心力（场），力所指向或背向的固定点叫 做力心，指向力心的有心力叫做引力，背向 力心的是斥力。
– 有心力的量值，一般只是力心与质点间距离 r 的函数，在有心力作用下质点的运动叫做 有心运动。
有心力是保守力，质点在运动过程中，其总的机械
能守恒
ETV12m(rm)2krm 2
rm2h
p rm1e
m2h pk2
r p
1ecos
E2m k42(h e21)
2m2h e1k4 E
质点的总 机械能与 轨道偏心 率的关系
e<1, 则 E<0, 则轨道为椭圆 e=1, 则 E=0, 则轨道为抛物线 e>1, 则 E>0, 则轨道为双曲线
进行变换 u 1 r
将
r h du
d hu 2
代入 r r 2 F(r)
m
r
h
d 2u
d 2
h 2u 2
d 2u
d 2
mh2u2(d2uu)F(u)
d2
有心运动的轨道微分方程 --- Binet （比内)公式
p
mh2
p
u2
mh2
p
1 r2
§2.2 距离平方反比引力下的质点运动
•
距离平方反比引力形式
k2 GMm
F
k2 r2
er
er
作变量代换 u 1 r
F(r)F(u)k2u2
d2u u k2
• §2.1 有心力和有心运动
– 如果运动质点受到的力及其作用先总是通过 惯性系中的某一固定点，这样的力(场)叫做 有心力（场），力所指向或背向的固定点叫 做力心，指向力心的有心力叫做引力，背向 力心的是斥力。
– 有心力的量值，一般只是力心与质点间距离 r 的函数，在有心力作用下质点的运动叫做 有心运动。
有心力是保守力，质点在运动过程中，其总的机械
能守恒
ETV12m(rm)2krm 2
rm2h
p rm1e
m2h pk2
r p
1ecos
E2m k42(h e21)
2m2h e1k4 E
质点的总 机械能与 轨道偏心 率的关系
e<1, 则 E<0, 则轨道为椭圆 e=1, 则 E=0, 则轨道为抛物线 e>1, 则 E>0, 则轨道为双曲线
进行变换 u 1 r
将
r h du
d hu 2
代入 r r 2 F(r)
m
r
h
d 2u
d 2
h 2u 2
d 2u
d 2
mh2u2(d2uu)F(u)
d2
有心运动的轨道微分方程 --- Binet （比内)公式
p
mh2
p
u2
mh2
p
1 r2
§2.2 距离平方反比引力下的质点运动
•
距离平方反比引力形式
k2 GMm
F
k2 r2
er
er
作变量代换 u 1 r
F(r)F(u)k2u2
d2u u k2
理 论 力 学 教学 课程第2章
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第二节 平面力偶系的简化与平衡
• 在国际单位制中，力矩的单位是 N·m（牛顿·米）或 kN·m（千牛 顿·米）。
• 在计算力系的合力对某点 O 的矩时，常用到合力矩定理：平面汇交 力系的合力对某点 O的矩等于各分力对 O 点矩的代数和，即
• 该定理建立了合力对点的矩与分力对同一点的矩的关系，其也可运用 于有合力的其他力系。它提供了计算力对点的矩的另一种方法，此外 它还可以用于确定力系合力作用线的位置。
于零的合力。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是，力系的合力等 于零。其矢量表达式为 • 力系平衡的几何条件是，力系的力多边形自行封闭，如图 2-2 所示。
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第一节 平面汇交力系的简化与平衡
• 二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
• 1．力在坐标轴上的投影 • 设力 F 作用于 A 点，如图 2-4 所示。在力 F 作用线所在的平面内任
• 设力 F 作用于刚体上的 A 点，为了将力 F 平行移动到刚体内另外一 点 O ［图 2-17 （ a ）］，又不改变其作用效应，可以进行如下等效 变换：先在 O 点施加平行于力 F 的一对平衡力 F ‘ 和 F ’‘ ，且令 F ’= - F ‘’= F ［图 2-17 （ b ）］。根据加减平衡力系公理，所加的 一对力并不改变原来的力 F 对刚体的作用效应，即力 F ［图 2-17 （ a ）］与力系 ( F ‘, F ’‘, F ) ［图 2-17 （ b ）］等效。图 2-17 （ b ）中力 F 与 F ’‘ 构成力偶，力系又可看作由作用于 O 点的力 F ’ 和力偶 ( F , F ‘’) 组成，可用图 2-17 （ c ）中所示力系表示，即为力 F 向 O点平移的最终结果。力偶 ( F , F ‘’) 称为附加力偶，其力偶矩 M= Fd ，而力 F 对 O 点的矩MO（F） =Fd ，附加力偶 ( F , F '') 的 力偶矩 M 为
第二节 平面力偶系的简化与平衡
• 在国际单位制中，力矩的单位是 N·m（牛顿·米）或 kN·m（千牛 顿·米）。
• 在计算力系的合力对某点 O 的矩时，常用到合力矩定理：平面汇交 力系的合力对某点 O的矩等于各分力对 O 点矩的代数和，即
• 该定理建立了合力对点的矩与分力对同一点的矩的关系，其也可运用 于有合力的其他力系。它提供了计算力对点的矩的另一种方法，此外 它还可以用于确定力系合力作用线的位置。
于零的合力。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是，力系的合力等 于零。其矢量表达式为 • 力系平衡的几何条件是，力系的力多边形自行封闭，如图 2-2 所示。
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第一节 平面汇交力系的简化与平衡
• 二、平面汇交力系合成与平衡的解析法
• 1．力在坐标轴上的投影 • 设力 F 作用于 A 点，如图 2-4 所示。在力 F 作用线所在的平面内任
• 设力 F 作用于刚体上的 A 点，为了将力 F 平行移动到刚体内另外一 点 O ［图 2-17 （ a ）］，又不改变其作用效应，可以进行如下等效 变换：先在 O 点施加平行于力 F 的一对平衡力 F ‘ 和 F ’‘ ，且令 F ’= - F ‘’= F ［图 2-17 （ b ）］。根据加减平衡力系公理，所加的 一对力并不改变原来的力 F 对刚体的作用效应，即力 F ［图 2-17 （ a ）］与力系 ( F ‘, F ’‘, F ) ［图 2-17 （ b ）］等效。图 2-17 （ b ）中力 F 与 F ’‘ 构成力偶，力系又可看作由作用于 O 点的力 F ’ 和力偶 ( F , F ‘’) 组成，可用图 2-17 （ c ）中所示力系表示，即为力 F 向 O点平移的最终结果。力偶 ( F , F ‘’) 称为附加力偶，其力偶矩 M= Fd ，而力 F 对 O 点的矩MO（F） =Fd ，附加力偶 ( F , F '') 的 力偶矩 M 为
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例2-5
已知:啮合力F = 1400 N, 压力角 θ 20 ，半径 r 60mm 求: MO (F)
解:直接按定义
MO (F) F h F r cos θ 78.93 N m
按合力矩定理
MO (F ) MO (Ft ) MO (Fr ) F cos θ r 78.93 N m
Fx
F x
F1 cos30
F2 cos 60
F3 cos 45
F4 cos 45
129.3N
Fy F y F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
FR Fx2 Fy2 171.3N
Fy 0
F F cos30 F cos60 0
BC
1
2
解得： F 27.32kN BC
例2-4 已知：液压夹紧机构，F = 3 kN，l = 1500 mm， h = 200 mm。忽略自重；
求：平衡时，压块 C 对工件的水平压力，以及AB 杆受力。
解：AB、BC 杆为二力杆。
i 1
N个力的情况：
力多边形 首尾相连
FF11
FR1 F1 F2
3
FR2 FR1 FR3 Fi
i 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
FR FRn1 Fn Fi Fi i1
F1 F2 F3 F4 F2 F4 F3 F1
第二章 平面力系
平面力系——力系中各力都处于同一平面
可分为：
平面汇交力系 平面力偶系 平面平行力系 平面任意力系
§2-1 平面汇交力系
1.平面汇交力系合成的几何法 ——力多边形法则
两个力的情况：
力平行四边形
力三角形
三个力的情况：
FR1 F1 F2 3
FR2 FR1 FR3 Fi
求：系统平衡时，杆AB、BC所受的力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图
用解析法，建图示坐标系
Fx 0
F F cos 60 F cos 30 0
BA
1
2
坐标轴应尽F 量F选取P与未知力作用线相垂直
1
2
解（得可：简化F平衡方7程.32）1kN BA
cos Fx 0.7548
FR cos β Fy 0.6556
FR
40.99 , β 49.01
4.平面汇交力系的平衡方程
平衡条件 FR 0 即 FR ( Fx )2 ( Fy )2
平衡方程
Fx 0
Fy 0
例2-3 已知： 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， P = 20 kN；
由合矢量投影定理，得合力投影定理
FRx Fx FRy Fy
根据合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影，等于各 分矢量在该轴上投影的代数和。
Fx F1x F2x ...... Fnx Fx Fy F1y F2 y ...... Fny Fy
2.方向：转动方向
力的作用线通过矩心时， 力矩为零
MO (F) F h 2A MO(F) r F
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘
积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。
常用单位 N m 或 kN m。
二、汇交力系的合力矩定理
首尾相连
2.平面汇交力系平衡的几何条件
平衡条件 Fi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 该力系的力多边形自行封闭。（即起点和终点重合）
例2-1 已知：AC=CB，F =10kN，各杆自重不计； 求：CD杆及铰链 A 的受力。
解：CD为二力杆，取 AB 杆，画受力图。
用几何法，画封闭力三角形。
力矩与合力矩的解析表达式
MO (F) MO (Fy ) MO (Fx )
x Fy y Fx x F sin y F cos
汇交力系的合力矩定理
MO (FR ) MO (Fi )
代入，得
MO (FR ) (xi Fiy yi Fix )
FR F1 F2 Fn
r
FR
r
F1
r
F2
r
Fn
MO (FR ) MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn )
即 MO (FR ) MO (Fi )
平面汇交力系
MO (FR ) MO (Fi )
平面汇交力系的合力对于平面内一点的矩，等于所有各分 力对该点的矩的代数和。（合力矩定理）
取销钉 B
用解析法
Fx 0
FBA cosθ FBC cosθ 0
得 F F
BA
BC
例2-4 已知： F = 3 kN, l = 1500 mm, h = 200 mm.忽略自重；
求ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平衡时，压块 C 对工件的水 平压力，AB 杆受力。
Fy 0 2FBA sin θ F 0
合力矢大小、方向的确定：
FR Fx2 Fy2 ( Fx )2 ( Fy )2
cos(FR , i)
Fx FR
cos(FR ,
j)
Fy FR
例2-2 已知: 图示平面共点力系, F1 = 200N, F2 = 300N,
F3 = 100N, F4 = 250N。求:力系的合力。 解：用解析法
按比例量得 FC 28.3kN, FA 22.4kN
F
或利用三角公式计算 FC 2 2F, FA 5F
3、平面汇交力系合成的解析法 合力 FR在坐标轴上的投影为 Fx FR cos Fy FR cos
合力等于各力矢量和，即
FR F1 F2 .... Fn Fi
得
FBA
F
2 sin
11.35
kN
压块 C 对工件的水平压力为
FCB
cos
F
2 sin
cos
F
2 tan
11.25
kN
§2-2 平面力对点之矩 平面力偶
一、平面力对点之矩（力矩）
力矩作用面，O称为矩心，O 到力的作用线的垂直距离h称 为力臂。
两个要素：
1.大小：力F与力臂h的乘积